教育专题：解析—归类整理——定点定值问题

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1、圆锥曲线定点定值问题直线过定点问题1已知椭圆的焦点坐标为F1（2，0），F2（2，0），过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且，（1）求椭圆的方程；（2）M为椭圆的上顶点，过点M作直线MA、MB交椭圆于A、B两点，直线MA、MB的斜率分别为k1、k2，且k1+k2=8，求证：AB过定点，并求出定点坐标解：（1）由已知得c=2，丨PQ丨=2，即a=b2，由a2=b2+c2=b2+1，由解得：b=2，a=2故椭圆方程为；（2）证明：若直线AB的斜率存在，设AB方程为y=kx+m，且m2，设A（x1，y1），B（x2，y2），整理得：（2k2+1）x2+4kmx+2m28=0，x1+x2=，x

2、1x2=，由已知可知：+=8，则+=8，即2k+（m2）=8，（8分）k=4，整理得m=k2故直线AV的方程为y=kx+k2，即y=k（x+）2所以直线AB过定点（，2） （10分）若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x0，设A（x0，y0），B（x0，y0），由已知，得此时AB方程为，显然过点（，2）综上，直线AB过定点（，2）（12分）2.已知椭圆C的方程为=1（ab0）左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2点M是椭圆C上一点，满足F1MF2=60，且=，（）求椭圆的方程（）过点P（0，1）分别作直线PA，PB交椭圆C于A，B两点，设直线PA，PB的斜律分别为k1，k2，且k1+k2=2

3、，求证：直线AB过定点解：（）设|MF1|=m，|MF2|=n，则F1MF2=60，且=，4=m2+n2mn，mn=，m+n=2，2a=2，a=，c=1，b=1，椭圆C的方程为（5分）（）当直线AB存在斜率时，设其方程为y=kx+m（m0），又设A（x1，y1），B（x2，y2）把y=kx+m代入并整理，得（2k2+1）x2+4kmx+2m22=0，=16k2m24（2k2+1）（2m22）0，且，k1+k2=2，y1=kx1+m，y2=kx2+m，即，可得m=k1，所以直线AB方程为：y=k（x+1）1，显然直线AB恒过定点（1，1）当直线AB过定点（1，1）且垂直x轴时，也满足k1+k2=

4、2综上，直线AB过定点（1，1）1（2017新课标）已知椭圆C：+=1（ab0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点解：（1）根据椭圆的对称性，P3（1，），P4（1，）两点必在椭圆C上，又P4的横坐标为1，椭圆必不过P1（1，1），P2（0，1），P3（1，），P4（1，）三点在椭圆C上把P2（0，1），P3（1，）代入椭圆C，得：，解得a2=4，b2=1，椭圆C的方程为=1证明：（2）当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，y

5、A），B（m，yA），直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，=1，解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理，得（1+4k2）x2+8kbx+4b24=0，x1x2=，则=1，又b1，b=2k1，此时=64k，存在k，使得0成立，直线l的方程为y=kx2k1，当x=2时，y=1，l过定点（2，1）3已知椭圆C：=1（ab0）的离心率为，且C上任意一点到两个焦点的距离之和都为4（）求椭圆C的方程；（） 如图，设A是椭圆长轴一个顶点，直线l与椭圆交于P、Q（不同于A），若PAQ=90，求证直线l

6、恒过x轴上的一个定点，并求出这个定点的坐标解：（）2a=4，a=2，椭圆的方程是（）设直线AP的方程为l1：y=k（x2），P（x1，y1）由得，（1+4k2）x216k2x+16k24=0则，PAQ=90，设Q（x2，y2）以代换x1，y1表达式中的k，得，设直线PQ交x轴于点M（m，0），5m（1+k2）=6（1+k2）则，直线EF过定点4.已知椭圆C：（ab0）的离心率为，两个焦点分别为F1和F2，椭圆C上一点到F1和F2的距离之和为12（）求椭圆C的方程；（） 设点B是椭圆C 的上顶点，点P，Q是椭圆上；异于点B的两点，且PBQB，求证直线PQ经过y轴上一定点解：（）设椭圆C：+=1（

7、ab0）的半焦距为c，则椭圆C上一点到F1和F2的距离之和为12，离心率为，解得，b2=a2c2=9所求椭圆C的方程为：（4分）（） 显然直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y=kx+b联立方程组，消去y整理得（1+4k2）x2+8kbx+4b236=0设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=y1+y2=k（x1+x2）+2b=，y1y2=（8分）PBQB，且=（x1，y13），=（x2，y23），=x1x2+（y13）（y23）=0，+3+9=05b26b27=0解得b=或 b=3（舍去）直线PQ经过y轴上一定点（0，）（12分）3（2013陕西）已知动圆过定点A（

8、4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8（） 求动圆圆心的轨迹C的方程；（） 已知点B（1，0），设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是PBQ的角平分线，证明直线过定点解：（）设圆心C（x，y）（x0），过点C作CEy 轴，垂足为E，则|ME|=|MN|，|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2，（x4）2+y2=42+x2，化为y2=8x当x=0时，也满足上式动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x（）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意可知y1+y20，y1y20.，x轴是PBQ的角平分线，kPB=kQB，化为8+y1y2=0直线PQ的方程为，化为，化为，y（y

9、1+y2）+8=8x，令y=0，则x=1，直线PQ过 定点（1，0）定值问题1.已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，且过点（0，）（I）求椭圆C的方程；（）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，求证：|PA|2+|PB|2为定值（1）解：C的焦点在x轴上且半短轴为，可设椭圆C的方程为 +=1e=，可得，解得a=2，椭圆C的方程为：（2）证明：P是椭圆C长轴上的一个动点，设P（m，0）（2m2），过P作斜率为的直线l，直线l的方程是y=，联立2x22mx+m24=0（*）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程（*）的两个根，x1+x2=m，

10、x1x2=|PA|2+|PB|2=（x1m）2+y12+（x2m）2+y22=（x1m）2+（x1m）2+（x2m）2+（x2m）2=（x1m）2+（x2m）2=（x1+x2）22m（x1+x2）2x1x2+2m2=m22m2（m24）+2m2=71已知椭圆C的中心是坐标原点O，长轴在x轴上，且经过点C上任意一点到两个焦点的距离之和为4（）求椭圆C的标准方程；（）已知M，N是椭圆上的两点，且OMON，求证：为定值（I）解：由题意可设椭圆的坐标方程为（ab0）椭圆C上一点到两个焦点的距离之和为4可得a=2，经过点，2a=4，解得b2=3椭圆C的标准方程为（II）证明：当OP与OQ的斜率都存在时，

11、设直线OP的方程为y=kx（k0），则直线OQ的方程为y=x（k0），P（x，y）联立，化为x2=，|OM|2=x2+y2=，同理以代替k可得|ON|2=，=为定值当直线OM或ON的斜率一个为0而另一个不存在时，上式也成立因此为定值2已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，且C上任意一点到两个焦点的距离之和都为4（）求椭圆C的方程；（）设直线l与椭圆交于P、Q，O为坐标原点，若POQ=90，求证+为定值（）解：由题意可得：2a=4，a=2，又，c=，则，椭圆的方程是；（）证明：设P（x1，y1），若k存在，设直线OP的方程为l1：y=kx，代入，得，即，PAQ=90，以代换上式的k得，=若k不

12、存在，即P、Q分别是椭圆长、短轴的顶点，|OP|2=4，|OQ|2=1则综上：3已知椭圆C：（ab0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，且过点（）求椭圆C的标准方程；（）M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ分别过点F1，F2，且这两条直线互相垂直，求证：为定值（）解：由已知，得所以a2=2b2所以C：，即x2+2y2=2b2因为椭圆C过点，所以，得b2=4，a2=8所以椭圆C的方程为（）证明：由（）知椭圆C的焦点坐标为F1（2，0），F2（2，0）根据题意，可设直线MN的方程为y=k（x+2），由于直线MN与直线PQ互相垂直，则直线PQ的方程为设M（x

13、1，y1），N（x2，y2）由方程组消y得（2k2+1）x2+8k2x+8k28=0则 ，所以|MN|=同理可得|PQ|=所以=3已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，短轴长为，直线l与椭圆C交于M、N两点（ I）求椭圆C的方程；（ II）若直线l与圆O：相切，证明：MON为定值解：（1）根据题意，椭圆C上的点到两个焦点的距离之和为，短轴长为，则有；（2）当直线l垂直X轴时，直线方程为直线方程为时，M、N分别为，有同理直线方程为时，有，当直线l与X轴不垂直时，设当直线l为y=kx+t，M（x1，y1），N（x2，y2）；则，；由得为定值4（2015陕西）如图，椭圆E：+=1（ab0）经过点A（

14、0，1），且离心率为（）求椭圆E的方程；（）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ斜率之和为2解：（）由题设知，=，b=1，结合a2=b2+c2，解得a=，所以+y2=1；（）证明：由题意设直线PQ的方程为y=k（x1）+1（k0），代入椭圆方程+y2=1，可得（1+2k2）x24k（k1）x+2k（k2）=0，由已知得（1，1）在椭圆外，设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1x20，则x1+x2=，x1x2=，且=16k2（k1）28k（k2）（1+2k2）0，解得k0或k2则有直线AP，AQ的斜率之和为kAP+kAQ=+=+=

15、2k+（2k）（+）=2k+（2k）=2k+（2k）=2k2（k1）=2即有直线AP与AQ斜率之和为24已知椭圆C：=1（ab0）上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点（）求圆O和椭圆C的方程；（）已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N求证：MQN为定值解：（）依题意得解得：a=2，所以圆O的方程为x2+y2=2，椭圆C的方程为（）证法一：如图所示，设P（x0，y0）（y00），Q（xQ，y0），则即，又由得由得所以 ，所以 所以 QMQN，即

16、MQN=90（）证法二：如图所示，设P（x0，y0），AP：y=k（x+2）（k0）由得（2k2+1）x2+8k2x+8k24=0所以 ，即所以 ，即所以 直线BP的斜率为所以 令x=0得：M（0，2k），设Q（xQ，y0），则，所以 因为 ，所以 所以 QMQN，即MQN=905已知F1、F2是椭圆E：+=1（ab0）的左、右焦点，椭圆E的离心率为过原点O的直线交椭圆于C、D两点，若四边形C F1DF2的面积最大值为2（1）求椭圆E的方程（2）若直线1与椭圆E交于A、B且OAOB，求证：原点O到直线1的距离为定值解：（1）由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，e=，a=2c，当C，D位于椭圆的上下

17、顶点时，四边形CF1DF2的面积最大值为2，即2c2b=2则bc=，则c=1，b=，a=2，椭圆E的方程；（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB斜率不存在时，由椭圆的对称性可知x1=x2，y1=y2，即=0，x1x2+y1y2=0，x12y12=03x12+4y12=12，|x1|=|y1|=，原点O到直线l的距离为d=|x1|=当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，消元可得（3+4k2）x2+8kmx+4m212=0，m23+4k2，=64k2m24（3+4k2）（4m212）0，整理得：x1+x2=，x1x2=，y1y2=（kx1+m）（

18、kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2，即=0，x1x2+y1y2=0，（1+k2）km+m2=0，即=0，7m2=12（k2+1）原点O到直线的距离为d=，综上，点O到直线AB的距离为定值1. 如图，过抛物线y2x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值证明设kABk(k0)，直线AB，AC的倾斜角互补，kACk(k0)，AB的方程是yk(x4)2.由方程组消去y后，整理得k2x2(8k24k1)x16k216k40.A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解4xB，即xB.以k代换xB中的k，得xC，kBC.6已知

19、椭圆C：=1（ab0）的短轴长为2，离心率为圆E的圆心在椭圆C上，半径为2直线y=k1x与直线y=k2x为圆E的两条切线（1）求椭圆C的标准方程；（2）试问：k1k2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由解：（1）由椭圆C：=1（ab0）焦点在x轴上，短轴长为2，则2b=2，即b=，椭圆的离心率e=，1=，解得：a2=20，b2=5，（2分）椭圆C的标准方程为：；（4分）（2）设E（x0，y0），圆E的方程为：（xx0）2+（yy0）2=4，由直线y=k1x与圆E：（xx0）2+（yy0）2=4相切，=2，（6分）整理得：（x024）k122x0y0k1+y024=0，同理可得：直线y=

20、k2x与圆E：（xx0）2+（yy0）2=4相切，（x024）k222x0y0k2+y024=0，k1，k2为方程（x024）x22x0y0x+y024=0的两个根（8分）k1k2=，又E（x0，y0），在椭圆上，y02=5（1）（10分）k1k2=，故k1k2是定值，为（12分）7在平面直角坐标系xoy中，已知点P（2，1）在椭圆C：上且离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）不经过坐标原点O的直线l与椭圆C交于A，B两点（不与点P重合），且线段AB的中为D，直线OD的斜率为1，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值【解答】解：（1）由椭圆的离心率e=，则a2=2b2，由P

21、（2，1）在椭圆上，则，解得：b2=3，则a2=6，椭圆的标准方程：；（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），则D（，），由直线的斜率为1，则x1+x2=y1+y2，由点A，B在椭圆上，则，两式相减整理得：，x1x2+2（y1y2）=0，则=，设直线l的方程y=x+t，整理得：3x24tx+4t212=0，则x1+x2=，x1x2=，则k1k2=，=，k1k2为定值7已知椭圆C：=1（ab0）的焦距为2，且过点A（2，1）（） 求椭圆C的方程；（） 若不经过点A的直线l：y=kx+m与C交于P，Q两点，且直线AP与直线AQ的斜率之和为0，证明：直线PQ的斜率为定值解：（） 因为椭圆C

22、的焦距为，且过点A（2，1），所以，2c=2（2分）因为a2=b2+c2，解得a2=8，b2=2，（3分）所以椭圆C的方程为=1（4分）证明：（）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1=kx1+m，y2=kx2+m，由，消去y得（4k2+1）x2+8kmx+4m28=0，（*）（5分）则，（6分）因为kPA+kQA=0，即=，（7分）化简得x1y2+x2y1（x1+x2）2（y1+y2）+4=0即2kx1x2+（m12k）（x1+x2）4m+4=0（*）（8分）代入得4m+4=0，（9分）整理得（2k1）（m+2k1）=0，所以k=或m=12k（10分）若m=12k，可得方程（*）的一

23、个根为2，不合题意（11分）所以直线PQ的斜率为定值，该值为（12分）8在直角坐标系xOy中，已知定圆M：（x+1）2+y2=36，动圆N过点F（1，0）且与圆M相切，记动圆圆心N的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）设A，P是曲线C上两点，点A关于x轴的对称点为B（异于点P），若直线AP，BP分别交x轴于点S，T，证明：|OS|OT|为定值解：（1）因为点F（1，0）在M：（x+1）2+y2=36内，所以圆N内切于圆M，则|NM|+|NF|=6|FM|，由椭圆定义知，圆心N的轨迹为椭圆，且2a=6，c=1，则a2=9，b2=8，所以动圆圆心N的轨迹方程为（2）设P（x0，y0），A（x1

24、，y1），S（xS，0），T（xT，0），则B（x1，y1），由题意知x0x1则，直线AP方程为yy1=kAP（xx1），令y=0，得，同理，于是，又P（x0，y0）和A（x1，y1）在椭圆上，故，则所以9已知P是圆上任意一点，点F2的坐标为（1，0），直线m分别与线段F1P、F2P交于M、N两点，且（1）求点M的轨迹C的方程；（2）直线l：y=kx+m与轨迹C相交于A，B两点，设O为坐标原点，判断AOB的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由解：（1）P是圆上任意一点，点F2的坐标为（1，0），直线m分别与线段F1P、F2P交于M、N两点，且点N是线段PF2的中点，（）2=（）2，

25、化简可得=0，NMPF2，可得MN是线段PF2的垂直平分线，|=|，可得|+|=|=4点M的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆，长轴2a=4，焦距2c=1，可得b2=a2c2=3点M的轨迹C的方程为=1（2）设A（x1，y1），（x2，y2），则A，B的坐标满足，整理得，（3+4k2）x2+8kmx+4m212=0，由0，得4k2m2+30y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=，=，即y1y2=，=，即2m24k2=3|AB|=O到直线y=kx+m的距离d=，SAOB=为定值10如图，点F是抛物线：x2=2py （p0）的焦点，点A是抛物线上的定点，且=（2，0），点B，C是抛物线上的动点，直线

26、AB，AC斜率分别为k1，k2（ I）求抛物线的方程；（）若k2k1=2，点D是点B，C处切线的交点，记BCD的面积为S，证明S为定值解：（）设A（x0，y0），可知F（0，），故，代入x2=2py，得p=2抛物线的方程为x2=4y（）过D作y轴的平行线交BC于点E，并设B（），C（），由（）得A（2，1）=2，x2x1=8直线DBy=，直线CDy=，解得直线BC的方程为y=，将xD代入得BCD的面积为S=ED（x2x1）=（定值）11椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，M在椭圆上，MF1F2的周长为，面积的最大值为2（I）求椭圆C的方程；（II）直线y=kx（k0）与椭圆C交于A，B，连接AF

27、2，BF2并延长交椭圆C于D，E，连接DE探索AB与DE的斜率之比是否为定值并说明理由解：（ I），2，4得，所以6（2）（ II）设A（x0，y0），则B（x0，y0）直线，8代入得，因为，代入化简得，设，则，所以，12直线，同理可得，所以=，所以kDE：k=9 15存在性问题定点定值综合1椭圆+=1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为，点M为椭圆上一动点，F1MF2面积的最大值为（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为A1，过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，连结A1A，A1B并延长交直线x=4分别于P、Q两点，问是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由解：

28、（1）椭圆+=1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为，设c=t（t0）则a=2t，b=，又F1PF2面积取最大值时，即点P为短轴端点，=，解得t=1，椭圆方程为（2）设直线AB的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（3t2+4）y2+6ty9=0，直线AA1的方程为y=，直线BA1的方程为y=，P（4，），Q（4，），=（3，），=（3，），=9+（）（）=，为定值02已知椭圆C：（ab0）的左右焦点分别是F1（c，0），F2（c，0），直线l：x=my+c与椭圆C交于两点M，N且当时，M是椭圆C的上顶点，且MF1F2的周长为6（1）求椭圆C的方程；（

29、2）设椭圆C的左顶点为A，直线AM，AN与直线：x=4分别相交于点P，Q，问当m变化时，以线段PQ为直径的圆被x轴截得的弦长是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由解：（1）当时，直线的倾斜角为120，又MF1F2的周长为6所以：（3分）解得：，（5分）所以椭圆方程是：；（6分）（2）当m=0时，直线l的方程为：x=1，此时，M，N点的坐标分别是，又A点坐标是（2，0），由图可以得到P，Q两点坐标分别是（4，3），（4，3），以PQ为直径的圆过右焦点，被x轴截得的弦长为6，猜测当m变化时，以PQ为直径的圆恒过焦点F2，被x轴截得的弦长为定值6，（8分）证明如下：设点M，N点的坐标分别是

30、（x1，y1），（x2，y2），则直线AM的方程是：，所以点P的坐标是，同理，点Q的坐标是，（9分）由方程组得到：3（my+1）2+4y2=12（3m2+4）y2+6my9=0，所以：，（11分）从而：=0，所以：以PQ为直径的圆一定过右焦点F2，被x轴截得的弦长为定值6（13分）3已知动圆P经过点N（1，0），并且与圆M：（x+1）2+y2=16相切（1）求点P的轨迹C的方程；（2）设G（m，0）为轨迹C内的一个动点，过点G且斜率为k的直线l交轨迹C于A、B两点，当k为何值时？=|GA|2+|GB|2是与m无关的定值，并求出该值定值解：（1）由题设得：|PM|+|PN|=4，点P的轨迹C是以

31、M、N为焦点的椭圆，2a=4，2c=2，椭圆方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），G（m，0）（2m2），直线l：y=k（xm），由，得（3+4k2）x28k2mx+4k2m212=0，=|GA|2+|GB|2的值与m无关，4k23=0，解得此时=|GA|2+|GB|2=74已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴为半径的圆与直线2xy+6=0相切（）求椭圆C标准方程；（）已知点A，B为动直线y=k（x2）（k0）与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在点E，使为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值，若不存在，说明理由解：（）由e=，得=，即c=a，

32、（1分）以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2+y2=a2，（2分）此圆与直线2x+6=0相切，a=，代入得c=2，（4分）b2=a2c2=2，椭圆的方程为 （5分）（）由，得（1+3k2）x212k2x+12k26=0，（6分）设A（x1，y1），B（x2，y2），（7分）根据题意，假设x轴上存在定点E（m，0），使得为定值，则有=（x1m，y1）（x2m，y2）=（x1m）（x2m）+y1y2=（k2+1）=（k2+1）（2k2+m）+（4k2+m2）=，（9分）要使上式为定值，即与k无关，则应有3m212m+10=3（m26），（10分）即m=，（11分）此时=为定值，定点为（

33、）（12分）2已知椭圆C：（ab0）的离心率为，左焦点为F（1，0），过点D（0，2）且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点（1）求椭圆C的标准方程；（2）求k的取值范围；（3）在y轴上，是否存在定点E，使恒为定值？若存在，求出E点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由所以k的取值范围是：（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=又y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=，y1+y2=（kx1+2）+（kx2+2）=k（x1+x2）+4=设存在点E（0，m），则，=要使得 =t（t为常数），只要 =t，从而（2m222t）k2+m24m+10t=

34、0，即由（1）得 t=m21，代入（2）解得m=，从而t=，故存在定点 ，使 恒为定值 5已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，且椭圆的焦距为2，离心率为e=（）求椭圆E的方程；（）过点（1，0）作直线l交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由解：（I）设椭圆E的方程为+=1（ab0），由已知得：2c=2，=，b2=a2c2，联立解得c=1，b=1，a=椭圆E的方程为+y2=1（）符合条件的点M存在，其坐标为证明如下：假设存在符合条件的点M（m，0），又设P（x1，y1），Q（x2，y2），则：=x1x2m（x1+x2）+

35、m2+y1y2当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x1），由，得（2k2+1）x24k2x+（2k22）=0，x1+x2=，x1x2=，y1y2=k2（x11）（x21）=k2（x1+x2）+x1x2+1=，对于任意的k值，上式为定值，所以2m24m+1=2（m22），解得m=，此时=为定值当直线l的斜率不存在时，直线l：x=1，x1x2=1，x1+x2=2，y1y2=由m=，得=12+=为定值综上述知，符合条件的点M存在，其坐标为8（2016河东区一模）已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为（）求椭圆C的方程；（）已知动直线y=k

36、（x+1）与椭圆C相交于A、B两点 若线段AB中点的横坐标为，求斜率k的值；若点M（，0），求证：为定值【解答】（1）解：因为满足a2=b2+c2，（2分）根据椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为，可得从而可解得，所以椭圆方程为（2）证明：将y=k（x+1）代入中，消元得（1+3k2）x2+6k2x+3k25=0=36k44（3k2+1）（3k25）=48k2+200，因为AB中点的横坐标为，所以，解得由知，所以（11分）=2（2013江西）如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线A

37、B与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3问：是否存在常数，使得k1+k2=k3？若存在，求的值；若不存在，说明理由解：（1）椭圆C：经过点P （1，），可得由离心率e=得=，即a=2c，则b2=3c2，代入解得c=1，a=2，b=，故椭圆的方程为（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x1）代入椭圆方程并整理得（4k2+3）x28k2x+4k212=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，在方程中，令x=4得，M的坐标为（4，3k），从而，=k，注意到A，F，B共线，则有k=kAF=kBF，即有=k所以k1+k2=+=+（+）=2k代入得k1+k2=2k=2k1，又k3=k，所以k1+k2=2k3，故存在常数=2符合题意方法二：设B（x0，y0）（x01），则直线FB的方程为，令x=4，求得M（4，）从而直线PM的斜率为k3=，联立，得A（，），则直线PA的斜率k1=，直线PB的斜率为k2=所以k1+k2=+=2=2k3，故存在常数=2符合题意