数学方法与学习方法

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1、数学方法与学习方法一、数学的重要性随着科学技术的发展（尤其是计算机技术的发展），数学的应用愈来愈广泛，不少著名学者将数学的作用提高到与自然科学并列的地位。早在1959年著名数学家华罗庚在他的文章大哉数学之为用中，形象地概述了数学的各种应用：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜，日用之繁等各个方面，无处不有数学的重要贡献。”时至今日，计算机的高速计算使得许多过去求解的问题成为可能，大量新兴的数学方法正在被有效地采用，数学的应用范围急剧扩大，由于计算机具有处理大量信息的功能，所以定量分析的技术已经渗透到一切学科领域，如果说二次大战以前，数学主要用于天文、物理，那么，现在数学

2、已经深入到化学、生物以及经济、管理等社会科学领域中，现举几例为说明。数学对经济学的发展起了很大的作用。1969年至1981年间颂发的13个诺贝尔经济学奖中，有7个获奖工作是相当数学化的，其中Kantorovich由于对物资最优调拨理论的贡献而获1975年奖；Klein的“设计预测经济变动的计算机模式”获1980年奖；Tobin的“投资决策的数学模型”获1981年奖等等。在经济和管理中，预测是管理（资金的投放、商品的产销、人员的组织等）的依据，而数学则是预测的重要武器，我国数学工作者在气象、台风、地震、病虫害、鱼群、海浪等方面进行过大量的统计预测，获得了良好的效果。现在不懂数学的经济学家，决不会

3、成为杰出的经济学家。医学中广泛应用的CT（X射线计算机层析摄影仪）的研制成功是本世纪医学的奇迹。其原理是基于不同的物质有不同的X射线衰减系数。如果能确定人体的衰减系数的分布，就能重建其断层或三维图像，但通过X射线透射时，只能测量到人体的直线上的X射线衰减系数的平均值（是一积分）。当直线变化时，此平均值（依赖于某参数）也随之变化。能否通过此平均值求整个衰减系数的分布呢？人们利用数学中的Radon变换解决了此问题，Radon变换已成为CT理论的核心。首创CT理论的A.M.Cormark（美）及第一台CT制作者C.N.Hounsfield(英)因而荣获1979年诺贝尔医学和生理学奖。由此可以看出数学

4、在CT技术中的关键作用。在设计与制造工业方面广泛地用到数学。以飞机制造为例，设计师必须考虑结构强度和稳定性，这是用限元来分析的，而机翼的振动情况则需解特征值问题；为了使飞机省油与提高速度必须找到一种最佳机翼和整个机体的形状；飞机设计在极大程度上以计算为基础，研究描绘机翼和整个机体附近气流的方程。随着计算机技术的飞速发展，目前以计算机辅助设计（CAD）和计算机辅助制造（CAM）技术为标志的设计革命正在波及整个制造业，CAD是数学设计与计算机技术相结合的产物。计算流体力学可以帮助人们设计新的飞行器。数学模型可以代替许多实验，以前设计某一部件，必须在机械车间建一模型，而今天可以设计一数学模型在计算机

5、上进行模拟，如果改变设计，只要通过键盘打进新的参数即可，这样既成本低又省时，而且具有适用性、安全性。综上所述，21世纪信息社会的两个重要特征，简言之就是“计算机无所不在”，“数学无处不在”。根据这一分析，21世纪培养的科技人才究竟应该具备什么样的数学素质呢？数学素质是数学知识和能力的综合体现，还应包含数学建模能力与数值计算能力（含数据处理能力），即会“用数学”解决实际问题，会用计算机进行科学计算。1992年美国工业与应用数学学会（SIAM）的一篇论文指出：“一切科学与工程技术人员的教育必须包括愈来愈多的数学和计算科学的内容、数学建模和相伴的计算正在成为工程设计过程中的关键工具。科学家正日益依赖

6、于计算方法以及在解释结果的精度和可靠性方面有充分的经验。美国科学、工程和公共事务政策委员会在一份报告中指出：“今天，在技术科学中最有用的数学研究领域是数值分析和数学建模。”21世经培养的各类专业科技人才，应该具有将他所涉及的专业实际问题建立数学模型的能力，这样才能在实际工作中发挥更大的创造性。例如，1981年Tobin建立了“投资决策的数学模型”获得了当年诺贝尔经济学奖；飞机设计师为了寻求最佳机翼与整个机体的形状，需要建立描绘飞机机翼和整个机体附近气流的数学模型；在水资源研究方面，为了建立一套地下水资源评价的理论与方法，需要建立各种地层结构的数学模型，随着计算机的发展，数学渗透到各行业，从卫星

7、到核电站，从天气预报到家用器，高技术的高精度、高速度、高自动、高安全、高质量、高效率等特征，无不是通过数学模型和数学方法并借助于计算机的计算控制来实现的，所以，说到底，高技术是数学技术。中科院院士吴文俊，在数学基础理论研究、数学机械化（即利用计算机证明数学定理）等领域的杰出工作，获得中国科技进步特等奖。而中科院院长和中国工程院院士王选，将数学与计算机技术应用于汉字激光照排领域，发明了方正彩色激光照排系统，使我国的印刷业告别了铅与火，走进了声与色、光与电的时代，被誉为中国当代的毕升，他两次荣获中国科技进步特等奖。吴文俊和王选之所以能取得今天这样非凡的成就，得益于他们在大学时所受到的数学训练。他们

8、的成功是对数学重要性的一个有力的佐证。二、常用的数学方法1、归纳著名数学家华罗夷在他的一本小册子数学归纳法中，对数学归纳法的思想作了通俗而精辟的论述。“归纳法不仅能帮助我们前进，而且也能退后。当遇到一个复杂问题，可先退一步，把问题退到一个最简单而又不改变问题实质的地方（即：一个不失原问题的一般性的简单命题），着手解决这个不丧失原问题实质的简单问题，一旦把个简单问题想透了，运用归纳法来一个飞跃前进，继而解决整个问题。”华罗夷先生给出的一个有趣的实例。【例子一】有位先生，想鉴别他的N个得意门生哪一个更聪明一些，他采用了一个办法，事先准备好了2N1顶帽子，其中N顶是的，N1顶是的。在试验时，他先把每

9、个学生的眼睛蒙上，替他们都戴上一顶花色帽子，并把N1顶灰色帽子藏起来，最后，再让他们张开眼睛，请他们说出自己头上帽子的颜色。这N位学生相互看了一看，踌躇了一下，然后，他们回答头上戴的都是花色帽子。设想自己在其中，该如何考虑这个问题呢？先退一步，考虑问题的简单形式N=2，即2个学生，2项花色帽子，1顶灰色帽子。可以这样思虑：如果我戴的是灰色帽子，那问题就变成为，一个学生，2顶花色帽子，这是一个极其明白的问题，我的学友脱口就可以答出，可他在踌躇，这说明我头上戴的不是灰色帽子，而是花色帽子。对于N=3，即3个学生，3顶花色帽子，2顶灰色帽子，我仍可以这样考虑：假如我戴得是灰色帽子，那问题变成为，2个

10、学生，3顶花色帽子，一顶灰色帽子。对于这个问题，我的2个学友应该可以马上解决，可他们在踌躇，这说明我头上戴的不是灰色帽子，应是花色帽子。想透了这两种不失原问题一般性的特殊情况，就可运用归纳法大踏步前进，解决一般问题。归纳法的另一个重要用途是帮助我们发现真理。【例子二】把N个不同元素在一条直线上排列，共有不同的排列总数为N！。若将N个元素在圆周上排列，其不同的排列总数多少？先退一步：考虑N=2的情形，2个元素在圆周上排列的方法显然只有一种；N=3的情形，若以其中一个元素为基准，另2个元素的位置相对于该基准元素有左右之分，故排法是2种。至此，我们可以尝试地猜测问题的答案是（N1）！，而设法用归纳法

11、去证明这一猜测。一般说来，去发现一个数学问题的结论比证明该问题的结论要难度大一些。因为，当我们尚不知道该数学问题的解是否存在时，动手去求解是一件没多大把握的事情。相反地，去证明该问题已知的结论，心里就要踏实多了，而且往往问题的结论会为我们证明它提供一些有用的信息。从这个意义上讲，归纳法拓宽了我们解题的途径。2、特殊化特殊化一般是从考虑一组给定的对象集合过渡到考虑该集合中一上较小的集合或仅仅一个对象，特殊化在求解问题时常常用到。【例子三】在一张对称的桌面上，两人玩放围棋子的游戏，直到桌面上无法放棋子为止，棋子放得多的一方为胜者。问：该游戏规则对先放棋子者是否有利？设想：如果将桌面特殊化成一张充分

12、小的桌面，仅能放下一颗棋子，显然，先放者必胜。如果再让桌面具有对称性地向外延拓，那么后放棋子的选手将棋子无论放在桌面上的哪个位置，先放者总可在桌面上找到相应的对称位置放棋子。因此，最终在桌面上无法放下一颗棋子的是后放者。规则对先放者有利。特殊化的方法在数学的许多定理、公式的证明与推导过程中经常用到。往往是先解决特殊化后的问题，再把一般问题转化到特殊化问题上来。譬如高等数学中的三个微分中值定理，其关系为柯西中值定理 拉格朗日中值定理 罗尔中值定理。但证明的思路却是，通过构建辅助函数，借助罗尔中值定理来证明拉格朗日中值定理（柯西中值定理）。特殊化方法还有另一个用途。“以例外证明规律”，这是一句人所

13、共知的格言，把它当作一个笑话来嘲笑某类逻辑上不严谨的人。但是，一个例外当然足以反驳任何自封为规律或普遍性的命题。否定这类命题最常用、而且最好的方法就是举出一个和它不一致的对象，这种对象通常称之为反例。举反例的方法在大学数学学习中应经常为同学们所用，它会使你对概念、定理、公式的理解更全面、透彻。最简单而最优秀的反例莫过于欧拉发表的世界上最短的一篇数学论文：它推翻了独步数坛百余年的费马猜想：“n为非负整数时，一切形如 的数是素数。”函数在一点连续而不可导的例子：在 连续，但不可导。3、变更问题美国著名的数学家波里亚在他的世界名著怎样解题一书中曾提出了解数学题的基本思维步骤，其中有一个重要的步骤为：

14、你能重新叙述这个问题吗？你能否叙述得更不同些？你能否提出一个合适的该问题的“变型问题”？提出一个有价值的“变型问题”是一件十分引人入胜的智力活动，它需要足够的机敏、想象力。【例子四】设 为互异实数，求解三元一次方程组表面上看这是一个关于未知量 的三元一次方程组，可采用消元法来求解，但这种解法的计算量太大。如果我们将问题变更一下提法，可得到一个“变型问题”。设实数 是关于 的一元三次方程的三个互异实根，求 的系数。由这种提法的问题，我们有据韦达定理，可方便地得到最著名的变更问题的例子首推欧拉解决的哥尼斯堡的“七桥问题”。哥尼斯堡有一条名叫布勒尔的河，这条河有两个支流，在城中心汇合成大河，中间是岛

15、区，河上有七座桥（见下图）。哥尼斯堡的大学生傍晚散步时，总想一次走过七座桥，而每座桥只准走一遍，可是试来试去总是办不到，于是便写信给数学家欧拉，请他帮助。欧拉想了几天，彻底解决了这个问题，他所用的方法是这样的。既然岛与半岛是桥梁的连接点，两岸陆地也是桥梁的通往地，那未就不妨把这四处地点缩小成四个点，并把七座桥表示成七条线，这样当然并不改变问题的实质。于是人们步行走过这些地点和七座桥时，就相当于用笔画出以上图形。于是，一次不重复地走过七座桥的问题，就变更成一笔画出上述图形，它导致了一个新的数学分枝 图论的起源。4、提出辅助问题辅助问题是这样的一个问题，我们考虑它并非为了它本身，而是因为我们希望通

16、过它帮助我们去解决另一个问题，即我们原来的问题。原来的问题是我们要达到的目的，而研究辅助问题只是我们试图达到目的的手段。在初中平面几何中，为了证明某个命题，我们往往需要添加辅助线，辅助线的作用是为了使我们能更快地找到解决问题的途径。一般来说，辅助问题可由倒推、特殊化、类比等手段获得，当然，提出一个好的辅助问题，需要我们在解题实践中磨砺。在高等数学中，时常遇到辅助函数、辅助不等式、辅助行列式等辅助问题，在学习中，应注意研究这些辅助问题是如何构思出来的。【例子五】如果函数 在 内满足关系式 ，而且 ，求 。分析： 证明：作辅助函数 由 得， ， 因此 ， 。5、倒推分析法倒推分析法对大多数学过数学

17、的人来说，它是一种较熟悉的方法。最初提出这一方法的是公元300年左右的希腊数学家帕扑斯，方法的大意是：假设把需要去做的当作已经做好的（把要求寻找的当作已经找到的，把必须求证的当作已经成立的），我们问根据什么前提可以导出所需要的结果；然后，我们又问这个前提的前提可能是什么，如些等等，这样从前提过渡到前提，直到最终我们遇到某个事物是已知的或被认为是成立的。此过程称之为分析，倒推求解或回归论证。【例子六】如果函数 在 内满足关系式 ，而且 ，求证： 。分析：如果 成立，应该有， ， 即： ， ， 显然前提条件 ， 均被满足，故所需论证的结论是正确的。6、反证法为了证明从已知条件能推导出某个结论，反证

18、法假定该结论的相反命题成立，再证明这相反命题和已知条件矛盾。由于相反命题不成立，原来的结论必定成立。【例子七】试证明 有且只有一个实根。证明：设 ，它是在 上连续的初等函数。而 , 同理, 利用函数的保号性，必存在两个充分大的正数 ，使得在闭区间 上利用零点定理，至少存在一点 ，使得即：方程 至少有一个实根。下面用反证明来证明函数零点的唯一性假设函数 存在两个互异的零点 ，且 ，则有于是有而 ，故 另一方面产生矛盾。故： 只有唯一零点，方程 只有唯一实根。三、数学的学习方法1、数学学习中最重要的进行数学素质与运算能力的培养何为数学素质？我以为，它是一种准确理解深奥的数学概念，对实际问题建立数学

19、模型，准确找到求解（求证）的正确途径的意识。这种素质需要在学习数学中逐步培养、磨练。数学问题的最终解决，总离不开运算，这是基本功。欧拉的最短论文和高斯的“正十七边形可用直尺、圆规作出”（即：分圆方程 存在有理复数解），是他们有着超乎寻常的运算能力，才能在十几岁的年令取得杰出的数学成就。2、注重大学数学特点大学数学有以下三个显著特点。（一）、精确化数学从诞生之日起，以严密、简洁、精确而著称。而高等数学（上册）（也称分析数学），更是集中体现了这一风格，整个分析数学都建立在极限的精确语言 语言与 语言之上。这两个语言的精确性，可以说是字字千金，它经历了一百余年的提练。（二）、抽象高等数学中的一些概念

20、具有一定的抽象性，如极限、可导、可积等概念。设想一下，如果数学没有了抽象性，总是究一个问题研究一个问题，那么数学的发展能有今天这样繁荣吗？那我们的数学科学岂不是成了一本厚厚的习题解。试想一下，欧拉不经过抽象思维，能把“七桥问题”转化成“一笔画”问题吗？抽象的主要表现是：定义了一系列新的概念。列宁说过“自然科学的生命是概念”，概念一般从实际事物中经过抽象而得到，但它又较原实际问题包含更丰富的内涵。可以这样说，大学数学学习的成败的一个重要方面，是对概念的理解与掌握。学习抽象概念，要抓住下面几个环节。（1）、记住一两个引入概念的实例，避免出现抽象旋晕症；（2）、记住一两个与概念相悖的反例，从多侧面加

21、深对概念的理解；（3）、弄清概念与其它已有概念的关系，避免将诸多概念分割成孤零零的教条，将诸概念之间的关系，用例子（包括反例）、定理、公式联系起来。以函数 在 处的导数定义为例说明（1）、 是运动物体在 处的瞬时速度，是曲线 在 处的切线斜率；（2）、求分段函数 在分段点 处的导数，需使用导数定义；（3）、函数在 连续而不可导的例子，其中原点分别是尖点与振荡点； （4）、可导与连续的关系可导则函数连续，而函数连续则不一定可导（5）、可导是一个局部概念，即函数在一点可导，在该点附近不一定可导。著名的狭利克雷函数（三）、丰富的技巧这方面的能力，需要用我们前面所提到过的数学方法去进行创造性的工作，也

22、可以通过向前人与书本学习，获得这方面的能力。但必须指出，任何高超的技巧离不开基本运算技能的辅助。2、如何听课大学课程的讲课学时较少，主要靠学生自学。因此，一节课的内容往往相当多，讲课的节奏也较快，如何有效地掌握课堂教学内容，有几点忠告可供大学参考。（1）、“讲得学生人人都能听懂的教师，不是好教师”，这是美国大学教授们所奉行的观点，也是大学课堂的特点。因为将知识分解，讲得太细，会使学生获取知识的能力下降，也不利于学生的自学能力的培养。因此，不要企望上课时能把全部内容都听懂，更不要在某一地方卡壳之后，中止听课。（2）、上课主要听概念，尤其注意教师强调的地方，这往往是容易出现错误的地方；听定理证明的

23、方法，而不要过分拘泥于听懂证明过程中的每一个细小步骤，但对主要步骤要听懂，下课之后再自行补充。（3）、一堂课至始至终保持注意力不太容易做到，因此，建议同学们把主要精力集中在概念讲述、定理证明方法、易出错地方的介绍，学会合理分配精力与体力。3、看书（1）、建议你选定一本习题指导、疑难问题解答、考研复习资料作为你的参考书。（2）、读书的特点是：多则惑，少则得。建议你在读书中绐终抓住几个主要概念、定理，尝试着用它们派生出其它的概念与结论。这也是华罗夷先生所提倡的读书方法。即：把书先读“薄”，将知识进行分类，浓缩。（3）、当你把一本书读“薄”这一过程完成之后，你应该尝试着再把书读“厚”，把你的体会、你

24、从参考书上学来的例子、新的证明方法等等添加进去，使之丰富起来，使书真正成为你自已“写出来”的书一样。这个读“厚”的过程，往往需要我们象侦探一样，去猜想、探索著书者的思想，去翻一翻他们的草稿纸。这个阶段可以说是你读书的高级阶段，是你真正学习数学方法、掌握数学技巧的主要来源。如果你不经过这个阶段，仅仅只是把书上的那些简洁得不能再简洁的文字，由此及彼地顺着看懂了，并没有学到数学的“活的思想”。4、练习（1）、对概念题的练习应该是最重要的，建议你多花点时间。（2）、对基本的运算题应多练习，并注意准确性与速度，少看书后的参考解答，靠答案的辅助提示，做对运算题容易在考试中栽跟斗。（3）、对做错的练习不要放

25、过，记住，你的错误往往正是这道题检测你时所预先设计的，你要引起警觉。（4）、当你做完一道题后，建议你思考一下以下几个问题：、题目主要检测你哪方面的概念与知识；、部分地改变题目的条件，你能导出什么新的结论；、题目的解题方法是否带有普遍性，是否能成为一种程序化的解法；、解题中所用的技巧是如何想出的；记住一条谚语：当你采集到一朵时，别忘了四周看一看，可能会是一片蘑菇。4、计算机辅助数学学习与计算机学习数学大师高斯有句名言，“数学是一切科学的皇后”。过去，数学是少数大师可企及的皇后，让一般人感到高不可攀；今天，借助于计算机和优秀的数学软件Mathematica、Matlab，数学的学习与应用变得普遍而

26、简单，一般人就可以了解它并广泛地应用它。（1）、利用数学软件理解一些深奥的数学概念定积分思想起源于阿基米德的穷竭法，通过动画，我们可以更直观地了解定积分 思想的实质。（运行程序djf.m） 对于二重积分 的几何意义，我们也可以计算机动画来加以演示说明。 （2）、用数学软件进行基本分析与代数运算、作图数学软件可以方便地帮助我们进行许多的数学运算、函数作图，让我们将大量的时间与精力花到理解概念、学习方法培养、创新探索上。（3）、每一个数学软件就是一本数学手册，它涵盖了绝大部分数学的知识（4）、使用数学软件辅助数学学习，也是学习计算机的一个绝好的切入点使用计算机解决实际问题，大致需要如下几步：对实际

27、问题建立一个数学模型，给出求解这个模型的数学算法，将数学算法转化计算机上可实现的算法，用编程语言实现该算法，运行调试等。而用象C语言、PASCAL语言来编写程序，相当复杂，而且容易出错。这使得初次接触计算机编程的大一学生，普遍感到困难。而使用Mathematica语言、Matlab语言来编程，写程序就容易得多,出错率小多了，这样一来，我们可以将大量时间用到数学建模、算法设计上。因此，我们说，通过学习数学软件来学习计算机，可以降低学习与应用计算机的“门坎”，减少学习与应用计算机解决问题时，可能遇到的一些“瓶颈”。以辅助数学学习的工具来说，价格为680元的图形计算器，是为数学学习与应用定身打造的，其功能十分地强大。我院的A1班就是一个配备有HP38G图形计算器的数学实验班，使用这种设备，可以进行数学实验、探索活动，也可以编程。