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1、音乐与数学存在着天然的联系。德国哲学家及数学家莱布尼兹说: “ 音乐, 就它的基础来说, 是数学的; 就它的出现来说, 是直觉的。” “ 音乐是心灵的算术练习, 心灵在听音乐时计算着自己而不知。” (汪流等编艺术特征论210页)音乐中众多的术语与数学有关, 如: 一音对一音、二声部歌曲、三声部赋格曲、四重奏、五声音阶、平行六和弦、七连音、八度卡农、九度音程、十度复对位、十一和弦、十二音体系、一百零八分音符以及为记忆音程性质与五线谱调名的口诀等众所周知，在诺大的声音世界里只有为数极少的声音乐音为音乐所最多采用（原因可从美学上寻找），而乐音与噪音（非乐音）的区别在于，前者有着周期性的振动频率（如国
2、际标准音a1 的振动频率是每秒钟440 次，e2 是 660 次 ,a2 是880 次等；噪音却无此振动规律），即音乐一开始就与数理结了缘。 哆来咪发索拉梯, 1234567, 当音乐一遇上数学便在数学理论的指导下展开了她那轻盈矫健的翅膀翱翔环宇了。1. 钢琴的键盘与斐波那契数列在钢琴的键盘上, 从一个键到下一个键就是音乐中的一个八度音程, 其中共包括13 个键, 有8个白键和5个黑键, 而5个黑键分成2组, 一组有2 个黑键, 一组有3个黑键。2、3、5、8、13恰好是斐波那契数列中的前几个数。2. 音阶与等比数列在钢琴的键盘上, 1、2、3、4、5、6、7、等音阶就是利用等比数列规定的,
3、显然这个八度音程被黑键和白键分成了12个半音, 并且我们知道下一个键发出乐音的振动次数(即频率)是第一个键振动次数的2倍。3. 函数图形中的平移与音乐中的反复作曲者创作音乐的目的在于淋漓尽致地抒发自己内心情感, 可是内心情感的抒发是通过整个乐曲来表达并在主题处得到升华的, 音乐的主题正是以某种形式的反复出现的。4. 乐声与正弦函数十九世纪的法国的数学家约瑟夫傅里叶(Joseph Fourier), 他证明了所有的乐声, 不管是器乐还是声乐, 都可以用数学式(周期正弦函数的和)来表达和描述。每一个声音有三个性质, 即音高、音量和音质, 可以在图形上清楚地表示出来。音高与曲线的频率有关, 音量和音
4、质分别与周期函数的振幅和形状有关。 音阶里各音的形成，与生律法密切相关，而生律法离开数学则不可想象。所谓五度相生律就是向上方五度下方四度方向生律5 次、向上方四度下方五度方向生律1 次，来得到七声音阶的七个音的；十二平均律则将八度音程均匀分成十二个相等的间距，来生出十二个半音；纯律除了以纯八度、纯五度、纯四度生律外，还要在再加上纯正协和的大三度来作为生律法。调式内各音的稳定性程度，是以各音与主音的关系而定的。这种关系，必须用数学比例的标识来加以揭示：与主音相差一个纯八度的音，主音和它在振动频率上的比是1:2;与主音相差一个纯五度的音，主音和它在振动频率上的比是2:3。等等。这种频率比的不同，如
5、果不是在音与音出现的时间先后关系上，而是在音与音同时发响的和声上，就表现为和谐的程度不同：1:2 的八度和声最和谐，2:3 的五度和声次之，3:4 的四度和声更次之等. 音程，指音与音的距离。由于距离不能没有数的规范，音程才有所谓大小二、大小三、大小六、大小七，纯四、纯五、纯八、增四、减五度之说。 音区的拓展对于丰富音乐的表现力有重要意义。处于不同音区的乐音由什么来支撑呢？由数理逻辑来支撑。音越低，每秒振动次数就越少，反之就越大（如A 音在五线谱低音谱表的大字组、小字组，高音谱表的小字一组、小字二组的振动频率，分别为110次/ 秒，220 次/ 秒，440 次/ 秒，880 次/秒）。 音色的
6、千变万化之谜，直到近现代才被数理科学揭秘：音色的不同，是因音的谐波（音的谐音振动状态）的音量强弱的不同所使然。而谐波和音量可予计算是不言而喻的。 时值，其所谓全音符、二分音符、四分音符、八分音符、十六分音符、三十二分音符之间的关系，其实就是数学比例关系。节拍中除自由节拍（其实自由节拍也有个强拍数目和句的数目问题）外，音乐在审美上需要有规律的节拍来规范其运动，也即在一定范围（如段落）中，每个小节内要有相同的拍子数量。由此不仅产生拍子周而复始的循环性，也产生不同类型的拍子（一拍子、二拍子、三拍子、四拍子、五拍子）。而无论何种拍子，其每一拍必由某指定时值的音符为标准（如以四分音符为一拍，便产生1/4
7、、2/4、3/4、4/4、5/4拍子）。节拍的刻板性、共性，要求节奏的多样性、个性来充实。然而节奏虽然千姿百态，却也有某种程度的周而复始性，否则一盘散沙，叫人盲然。这也就是说，节奏表现的无限性要寓于规范的有限性中。而要运用规范，就不能没有数学问题，这应是常识了。音乐还离不开速度。我们通常用广板、柔板、慢板、快板、急板、中快、中慢，进行曲速度、舞曲速度等来作速度标记。其实它们也是受数的规范的。故在较严格、精确的曲谱里，就有了每分钟多少拍的速度标记。而在渐快、渐慢里，更有个增函数、减函数的数学问题。狭义的力度通常指音量，它由发音体振动时来回振动的距离振幅来决定。振幅越大，音量越大，反之则越小。也即音量的大小与振幅的大小成正比。另外，力度ppp、pp、p、mp、mf、f、ff、fff、sf、sfp，以及渐强、渐弱等，其强弱程度似乎只具相对性而难以定量，其实其中就蕴有经典数学中的增、减函数，和现代模糊数学的因子，故用数学完全可解。
音乐与数学存在着天然的联系
