二次函数中的平行四边形问题

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1、二次函数综合（动点）问题平行四边形存在问题适用学科初中数学适用年级初中三年级适用区域全国新课标课时时长（分钟）60分钟知识点1、二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质2、平行四边形性质3、平行四边形模型探究学习目标一、 知识与技能1、掌握二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质；2、掌握平行四边形的性质；3、会对平行四边形模型进行探究，分类讨论不同的情况。二、 过程与方法1、首先要掌握二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质，因为平行四边形存在问题是在二次函数的前提下进行的；2、掌握平行四边形的性质，先脱离二次函数，再回到二次函数的情景中研究；3、先从简单入手探究平面直角坐标系中动点情况下平

2、行的存在问题，然后回到二次函数前提下的平行四边形存在问题。4、充分运用数形结合、转化、方程等数学思想来帮助解题。三、 情感、态度与价值观1、培养学生的处理图像综合运用的能力；2、让学生养成从特殊到一般，从简单到复杂的学习方法；3、形成对图形的处理能力，形成解题技巧，树立对解决此类问题的信心。学习重点是否存在一点使得四边形是平行四边形，如果存在求出点的坐标学习难点是否存在一点使得四边形是平行四边形，如果存在求出点的坐标学习过程一、复习预习（一）利用待定系数法求抛物线解析式的三种常用形式：（1）【一般式】已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为 ，然后解三元方程组求解；（2）【顶点式】已知抛物线的顶

3、点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为 求解；（3）【交点式】已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为 。（二）抛物线上两个点A（x1，y），B（x2，y）之间的关系：(1)如果两点关于对称轴对称，则有对称轴；(2)两点之间距离公式：已知两点， 则由勾股定理可得：练一练：已知A（0，5）和B（2，3），则AB 。(3)中点公式：已知两点，则线段PQ的中点M为。练一练：已知A（0，5）和B（2，3），则线段AB的中点坐标是 (4)如图：PGX轴，QGY轴，P点的横坐标为，G点的横坐标为，纵坐标为，Q点的纵坐标为，则线段PG=，QG=。（三）求三角形的面积：（1）直接用面积公式计算；（2）割

4、补法；（3）铅垂高法；如图，过ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在ABC内部线段的长度叫ABC的“铅垂高”（h）我们可得出一种计算三角形面积的新方法：SABC=ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。BC铅垂高水平宽haA（四）二次函数中三角形面积、周长的存在性问题解题思路：（1）如果是一个三角形面积为一个三角形面积的多少倍，则分别表示出每个三角形的面积去求解；如果是一个三角形面积为固定值，则用含有未知数的式子去表示面积去求解；如果是三角形周长最小，则做对称点去求解；如果是三角形面积最大，则划归为二次函数最值

5、问题去求解。（2）再画图；（3）后计算。二、知识讲解考点/易错点1二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质：a0a0图 象开 口对 称 轴顶点坐标最 值当x 时，y有最 值是 当x 时，y有最 值是 增减性在对称轴左侧y随x的增大而 y 随x的增大而 在对称轴右侧y随x的增大而 y随x的增大而 考点/易错点2平行四边形性质：两组对边分别平行且相等，对角相等，对角线互相平分。考点/易错点3平行四边形模型探究：1. 已知三个定点，一个动点的情况在直角坐标平面内确定点M，使得以点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标。如图：分别以三角形ABC的边做平行线，三条平行线相加形成一

6、个三角形三角形的三个顶点即是满足题意的M点的坐标。2. 已知两个定点，两个动点的情况确定两定点连接的线段为一边，则两动点连接的线段应和已知边平行且相等；两定点连接的线段没确定为平行四边形的边时，则这条线段可能为平行四边形的边或对角线。三、例题精析【例题1】 【题干】（十堰）已知抛物线y=-ax2+2ax+b与x轴的一个交点为A（-1，0），与y轴的正半轴交于点C（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）当点C在以AB为直径的P上时，求抛物线的解析式；（3）坐标平面内是否存在点M，使得以点M和（2）中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出

7、点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1) x=1，B（3，0）；(2) y=-x2+x+；(3) M1（4，），M2（-4，），M3（2，-）.【解析】解：（1）对称轴是直线：x=1，点B的坐标是（3，0）（2）如图，连接PC，点A、B的坐标分别是A（-1，0）、B（3，0），AB=4PC=AB=4=2在RtPOC中，OP=PA-OA=2-1=1，OC=，b=当x=-1，y=0时，-a-2a+=0a=y=-x2+x+（3）存在理由：如图，连接AC、BC设点M的坐标为M（x，y）当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CMAB，且CM=AB由（2）知，AB=4，|x|=4，y=OC=

8、x=4点M的坐标为M（4，）或（-4，）当以AB为对角线时，点M在x轴下方过M作MNAB于N，则MNB=AOC=90度四边形AMBC是平行四边形，AC=MB，且ACMBCAO=MBNAOCBNMBN=AO=1，MN=CO=OB=3，0N=3-1=2点M的坐标为M（2，-）综上所述，坐标平面内存在点M，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形其坐标为M1（4，），M2（-4，），M3（2，-）【例题2】 【题干】（安福县模拟）已知：如图，抛物线y=ax2+3ax+c（a0）与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧点B的坐标为（1，0），OC=3BO（1）求抛物线的解析式；（2

9、）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1) yx2+x3；(2) ；(3) P1（-3，-3），P2(，3)，P3(，3).【解析】解：（1）B（1，0），OB=1；OC=3BO，C（0，-3）；y=ax2+3ax+c过B（1，0）、C（0，-3），解这个方程组，得抛物线的解析式为：yx2+x3（2）过点D作DMy轴分别交线段AC和x轴于点M、N在yx2+x3中，令y=0，得方程x2+x3=0解这个方程，得x1=-4，

10、x2=1A（-4，0）设直线AC的解析式为y=kx+b解这个方程组，得AC的解析式为：yx3S四边形ABCD=SABC+SADC=+DM(AN+ON) =+2DM设D(x，x2+x3)，M(x，x3)DMx3(x2+x3) (x+2)2+3当x=-2时，DM有最大值3此时四边形ABCD面积有最大值.（3）如图所示，过点C作CP1x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形，C（0，-3）设P1（x，-3）x2+x33解得x1=0，x2=-3P1（-3，-3）；平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC=PE时，四边形ACEP为平

11、行四边形，C（0，-3）设P（x，3），x2+x33， x2+3x-8=0解得x或x，此时存在点P2(，3)和P3(，3)综上所述存在3个点符合题意，坐标分别是P1（-3，-3），P2(，3)，P3(，3)【例题3】 【题干】（义乌市）如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如

12、果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由【答案】(1) y=-x-1；(2)；(3) F1（1，0），F2（-3，0），F3（4+，0），F4（4-，0）.【解析】解：（1）令y=0，解得x1=-1或x2=3A（-1，0）B（3，0）将C点的横坐标x=2代入y=x2-2x-3得y=-3C（2，-3）直线AC的函数解析式是y=-x-1；（2）设P点的横坐标为x（-1x2）则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1）E（x，x2-2x-3）P点在E点的上方，PE=（-x-1）-（x2-2x-3）=-x2+x+2=-（x-）2+，当x时，PE的最大值=；（3）存在4个这样的点F，分别是

13、F1（1，0），F2（-3，0），F3（4+，0），F4（4-，0）如图，连接C与抛物线和y轴的交点，那么CGx轴，此时AF=CG=2，因此F点的坐标是（-3，0）； 如图，AF=CG=2，A点的坐标为（-1，0），因此F点的坐标为（1，0）； 如图，此时C，G两点的纵坐标关于x轴对称，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1+，3），由于直线GF的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF的解析式为y=-x+h，将G点代入后可得出直线的解析式为y=-x+4+因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+，0）； 如图，同可求出F的坐标为（4-，0）综合四种情况可得出，存在4个符合条件

14、的F点 四、课堂运用【基础】1. （阜新）如图，抛物线y=x2+x-与x轴相交于A、B两点，顶点为P（1）求点A、B的坐标；（2）在抛物线是否存在点E，使ABP的面积等于ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）坐标平面内是否存在点F，使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标2. （湖州）已知抛物线y=x2-2x+a（a0）与y轴相交于点A，顶点为M直线y=x-a分别与x轴，y轴相交于B，C两点，并且与直线AM相交于点N（1）试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标；（2）如图，将NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N恰好落在

15、抛物线上，AN与x轴交于点D，连接CD，求a的值和四边形ADCN的面积；（3）在抛物线y=x2-2x+a（a0）上是否存在一点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由【巩固】1. （盘锦三模）如图，对称轴为直线x=的抛物线与y轴交于点C（0，-3），与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），AB=5（1）求A、B两点的坐标及该抛物线对应的解析式；（2）D为BC的中点，延长OD与抛物线在第四象限内交于点E，连结AE、BE求点E的坐标；判断ABE的形状，并说明理由；（3）在x轴下方的抛物线上，是否存在一点P，使得四边形OBEP是平行四边形？若

16、存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由2. （柳州）如图，已知抛物线y=ax2-2ax-b（a0）与x轴的一个交点为B（-1，0），与y轴的负半轴交于点C，顶点为D（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点A的坐标；（2）以AD为直径的圆经过点C求抛物线的解析式；点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，且以B，A，F，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标3. （槐荫区三模）如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D，连接BC，BC与抛物线的对称轴交于点E（1）求点B、点C的坐标和抛物线的对称轴；（2）求直线

17、BC的函数关系式；（3）点P为线段BC上的一个动点，过点P作PFDE交抛物线于点F设点P的横坐标为m；用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？【拔高】1. （湛江）如图，抛物线y=x2+bx+c的顶点为D（-1，-4），与y轴交于点C（0，-3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，CD，AD，试证明ACD为直角三角形；（3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由2. （路北区一模）如图，抛物线y=

18、（x+1）2+k与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（0，-3）（1）求抛物线的对称轴及k值；（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；（3）点M是抛物线上一动点，且在第三象限，当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标；（4）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A、B、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由3.（内江）如图，抛物线y=x2-mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0-1）且对称轴x=l（1）求出抛物线的解析式及A、B两点的坐标；（2）在x轴下方的抛物线上是否存在点D，使四边形ABDC的面积为3？若存在，求出点D的坐标；若不存在说明理由（使用图1）；（3）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P的坐标（使用图2）课程小结