教育专题：第25章_解直角三角形

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1、25.1 测 量教学目标1、 在探索基础上掌握测量。2、 掌握利用相似三角形的知识教学重难点重点：利用相似三角形的知识在直角三角形中，知道两边可以求第三边。难点：应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和。教学过程当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？你可能会想到利用相似三角形的知识来解决这个问题如图2511，站在操场上，请你的同学量出你在太阳光下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以利用相似三角形的知识计算出旗杆的高度如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识试一试如图2512所示，

2、站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角BAC为34，并已知目高AD为1.5米现在若按1500的比例将ABC画在纸上，并记为ABC，用刻度直尺量出纸上BC的长度，便可以算出旗杆的实际高度你知道计算的方法吗？实际上，我们利用图2512（1）中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾股定理），那么它的边与角又有什么关系？这就是本章要探究的内容练习1小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度2请你与

3、你的同学一起设计切实可行的方案，测量你们学校楼房的高度习题2511如图，为测量某建筑的高度，在离该建筑底部300米处，目测其顶，视线与水平线的夹角为40，目高15米试利用相似三角形的知识，求出该建筑的高度（精确到01米）2在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？3如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A处另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高度小结与作业:小结本节内容:利用相似三角形的知识在直角三角形中，知道两边可以

4、求第三边作业:一课一练25.2 锐角三角函数教学目标3、 正弦、余弦、正切、余切的定义。4、 正弦、余弦、正切、余切的应用教学重难点重点：正弦、余弦、正切、余切。难点：正弦、余弦、正切、余切的应用。教学过程第一节.锐角三角函数在251中，我们曾经使用两种方法求出操场旗杆的高度，其中都出现了两个相似的直角三角形，即ABCABC按的比例，就一定有，就是它们的相似比当然也有我们已经知道，直角三角形ABC可以简记为RtABC，直角C所对的边AB称为斜边，用c表示，另两条直角边分别为A的对边与邻边，用a、b表示（如图2521）前面的结论告诉我们，在RtABC中，只要一个锐角的大小不变（如A34），那么不

5、管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与邻边的比值是一个固定的值思考一般情况下，在RtABC中，当锐角A取其他固定值时，A的对边与邻边的比值还会是一个固定值吗？观察图2522中的Rt、Rt和Rt，易知RtRt_Rt_，所以_可见，在RtABC中，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是唯一确定的我们同样可以发现，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是唯一确定的因此这几个比值都是锐角A的函数，记作sinA、cosA、tanA、cotA，即sinA，cosA，tanA，cotA分别叫做锐角A的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角A的三角函数显然，锐角三角函

6、数值都是正实数，并且0sinA1，0cosA1根据三角函数的定义，我们还可得出1，tanAcotA1例1求出图2523所示的RtABC中A的四个三角函数值解，sinA，cosA，tanA，cotA练习:P76.1.2.小结本节内容: 正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角A的三角函数作业:一课一练第二课时教学目标1、 探索直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系。2、 掌握30、45、60等特殊角的三角函数值。3、掌握三角函数定义式：sin A=, cos A=,tan A=, cot A= 教学重难点重点：三角函数定义的理解。难点：掌握三角函数定义式。教学过程探索根据三角函数的定义，sin30

7、是一个常数用刻度尺量出你所用的含30角的三角尺中，30角所对的直角边与斜边的长，与同伴交流，看看常数sin30是多少通过计算，我们可以得出sin30，即斜边等于对边的2倍因此我们可以得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半思考上述结论还可通过逻辑推理得到如图2524，RtABC中，C90，A30，作BCD60，点D位于斜边AB上，容易证明BCD是正三角形，DAC是等腰三角形，从而得出上述结论做一做在RtABC中，C90，借助于你常用的两块三角尺，或直接通过计算，根据锐角三角函数定义，分别求出下列A的四个三角函数值：（1）A30；（2）A60；（3）A45为了

8、便于记忆，我们把30、45、60角的三角函数值列表如下： sincostancot30451160练习求值：2cos602sin304tan45四、学习小结:记忆特殊角的函数值五、布置作业 习题：1第三课时教学目标1、 进一步复习直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系。2、 进一步掌握30、45、60等特殊角的三角函数值。3、掌握三角函数定义式：sin A=, cos A=,tan A=, cot A= 教学重难点重点：三角函数定义的理解。难点：掌握三角函数定义式。教学过程例1 求出如图所示的RtDEC（E90）中D的四个三角函数值 sin30是一个常数.用刻度尺量出你所用的含30的三角尺

9、中，30所对的直角边与斜边的长，sin30=即斜边等于对边的2倍.因此我们还可以得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.做一做在RtABC中，C90，借助于你常用的两块三角尺，根据锐角三角函数定义求出A的四个三角函数值：（1）A30（2）A60（3）A45.为了便于记忆，我们把30、45、60的三角函数值列表如下.（请填出空白处的值）课堂练习1. 如图，在RtMNP中，N90.P的对边是_,P的邻边是_;M的对边是_,M的邻边是_;2. 求出如图所示的RtDEC（E90）中D的四个三角函数值.3. 设RtABC中，C90，A、B、C的对边分别为a、b、c，

10、根据下列所给条件求B的四个三角函数值.（1）a=3,b=4; （2）a=6,c=10.4. 求值：2cos60+2sin30+4tan45.学习小结: 记忆特殊角的函数值布置作业习题：练习册习题：22.用计算器求锐角三角函数值教学目标学会计算器求任意角的三角函数值。教学重难点重点：用计算器求任意角的三角函数值。难点：实际运用。教学过程 拿出计算器，熟悉计算器的用法。下面我们介绍如何利用计算器求已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角.（1） 求已知锐角的三角函数值.3、 求sin635241的值.（精确到0.0001）解先用如下方法将角度单位状态设定为“度”：显示再按下列顺序依次按键：显

11、示结果为0.897 859 012.所以sin6352410.8979例3求cot7045的值.（精确到0.0001）解在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出），按下列顺序依次按键：显示结果为0.349 215 633.所以cot70450.3492.（2） 由锐角三角函数值求锐角例4已知tan x=0.7410,求锐角x.（精确到1）解在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出），按下列顺序依次按键：显示结果为36.538 445 77.再按键：显示结果为363218.4.所以，x3632.例5 已知cot x=0.1950,求锐角x.（精确到1）分析根据tan x，可以求出tan x的

12、值，然后根据例4的方法就可以求出锐角x的值.四、课堂练习1. 使用计算器求下列三角函数值.（精确到0.0001）sin24,cos514220,tan7021,cot70.2. 已知锐角a的三角函数值，使用计算器求锐角a.（精确到1）（1）sin a=0.2476; （2）cos a=0.4174;（3）tan a=0.1890; （4）cot a=1.3773.五、学习小结内容总结不同计算器操作不同，按键定义也不一样。同一锐角的正切值与余切值互为倒数。在生活中运用计算器一定要注意计算器说明书的保管与使用。方法归纳在解决直角三角形的相关问题时，常常使用计算器帮助我们处理比较复杂的计算。一、 布

13、置作业习题：3，4，5；练习册25.3 解直角三角形教学目标1、 巩固勾股定理，熟悉运用勾股定理。2、 学会运用三角函数解直角三角形。3、 掌握解直角三角形的几种情况。教学重难点重点：使学生养成“先画图，再求解”的习惯。难点：运用三角函数解直角三角形。教学过程我们已经掌握了直角三角形边角之间的各种关系，这些都是解决与直角三角形有关的实际问题的有效工具.例1如图19.4.1所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？解利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为261036（米）.所以，大树在折断之前高为36米.在例1中，我们还可以利用直角

14、三角形的边角之间的关系求出另外两个锐角.像这样，在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.例2如图，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离.（精确到1米）解在RtABC中，因为CAB90DAC50，tanCAB,所以BCABtanCAB=2000tan502384(米).又因为，所以AC答：敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米.在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，边长保留四个有效数字，角度精确到1.解直角三角形，只有下面两种情

15、况：（1）已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角课堂练习1. 在电线杆离地面8米高的地方向地面拉一条长10米的缆绳，问这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方？2. 海船以32.6海里/时的速度向正北方向航行，在A处看灯塔Q在海船的北偏东30处，半小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与海船的距离最短，求灯塔Q到B处的距离.（画出图形后计算，精确到0.1海里）学习小结布置作业习题：1；练习册25.3 解直角三角形第二课时教学目标1、 巩固勾股定理，熟练运用勾股定理。2、 学会运用三角函数解直角三角形。3、 掌握解直角三角形的几种情况。4、 学习仰角与俯角。教学重难点：重点：使学生养成“先画图，再求解

16、”的习惯。难点：运用三角函数解直角三角形。教学过程一、 情境导入读一读如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.二、合作探究例3如图4，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a22，求电线杆AB的高（精确到0.1米）解 在RtBDE中，BEDEtan aACtan a22.7tan 229.17， 所以ABBEAE BECD 9.171.2010.4（米）答： 电线杆的高度约为10.4米三、课堂练习1. 如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC1200米，从飞机

17、上看地面控制点B的俯角a1631，求飞机A到控制点B的距离.（精确到1米）2. 两座建筑AB及CD，其地面距离AC为50.4米，从AB的顶点B测得CD的顶部D的仰角25，测得其底部C的俯角a50，求两座建筑物AB及CD的高.（精确到0.1米）四、学习小结内容总结仰角是视线方向在水平线上方，这时视线与水平线的夹角。俯角是视线方向在水平线下方，这时视线与水平线的夹角。梯形通常分解成矩形和直角三角形（或分解成平行四边形与直角三角形）来处理。方法归纳认真阅读题目，把实际问题去掉情境转化为数学中的几何问题。把四边形问题转化为特殊四边形（矩形或平行四边形）与三角形来解决。五、布置作业习题：2，3；练习册2

18、5.3 解直角三角形第三课时教学目标1、 巩固勾股定理，熟练运用勾股定理。2、 学会运用三角函数解直角三角形。3、 掌握解直角三角形的几种情况。4、 学习仰角与俯角。教学重难点重点：使学生养成“先画图，再求解”的习惯。难点：灵活的运用有关知识在实际问题情境下解直角三角形。教学过程一、情境导入读一读在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.如图5，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）.记作i,即i=.坡度通常写成1m的形式，如i=16.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，有i=tan a显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.二、课前热身分组练习，

19、互问互答，巩固勾股定理和锐角三角函数定义等内容，掌握仰角与俯角等概念。三、合作探究例4如图6，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32和28求路基下底的宽（精确到0.1米）解作DEAB，CFAB，垂足分别为E、F由题意可知DECF4.2（米），CDEF12.51（米）在RtADE中，因为所以在RtBCF中，同理可得因此ABAEEFBF 6.7212.517.9027.13（米）答： 路基下底的宽约为27.13米三、课堂练习一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽6.2米，坝高23.5米，斜坡AB的坡度i113，斜坡CD的坡度i2=12.5.

20、求：（1）斜坡AB与坝底AD的长度；（精确到0.1米）（2）斜坡CD的坡角.（精确到1）四、学习小结内容总结坡角是斜坡与水平线的夹角；坡度是指斜坡上任意一点的高度与水平距离的比值。坡角与坡度之间的关系是：i=tan a。坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡。方法归纳在涉及梯形问题时，常常首先把梯形分割成我们熟悉的三角形、平行四边形，再借助这些熟悉图形的性质与特征来加以研究。五、布置作业习题：4；练习册小结与复习1教学目标1、 了解本章的知识结构。2、 回顾勾股定理的证明教学重难点重点：勾股定理。难点：选择适当的知识解决具体问题。教学过程一、 情境导入通过本章的学习，你学到了哪些知识？你有哪些收获？

21、二、课前热身同学们交流、讨论、概括出本章所学的主要内容。三、合作探究知识结构概括1. 了解勾股定理的历史，经历勾股定理的探索过程；2. 理解并掌握直角三角形中边角之间的关系；3. 能应用直角三角形的边角关系解决有关实际问题课堂练习1. 求下列阴影部分的面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆（第1题）2. 如图，以RtABC的三边向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系3. 已知直角三角形两条直角边分别为6、8，求斜边上中线的长4. 求下列各式的值（1） 2cos 30cot 602tan 45;（2） sin2 45cos2 60;（3） .学习小结内

22、容总结本节课主要复习了两个部分的内容：一部分是本章的知识结构；另一部分是直角三角形中勾股定理及锐角三角函数定义。方法归纳在测量时，要以构造直角三角形在实际生活中应用的实例，至少一个。布置作业习题：10，11；练习册小结与复习2教学目标1、 通过复习，进一步理解勾股定理及三角函数的意义。2、 通过复习，进一步掌握直角三角形的解法。3、 学会运用勾股定理和三角函数解决简单的实际问题。教学重难点重点：灵活运用解直角三角形知识解决问题。难点：选择恰当知识解决具体问题。教学过程一、 情境导入三角函数是怎样定义的？如何把梯形分解成三角形？二、课前热身学生交流、讨论上述问题。三、课堂练习5. 求下列各直角三

23、角形中字母的值（第5题）6.小明放一个线长为125米的风筝，他的风筝线与水平地面构成39角他的风筝有多高？（精确到1米）7. 在RtABC中，C90，A60，A平分线AM的长为15 cm，求直角边AC和斜边AB的长8. 已知在RtABC中，C90，直角边AC是直角边BC的2倍，求B的四个三角函数值9. 如图，在直角坐标平面中，P是第一象限的点，其坐标是（3，y），且OP与x轴的正半轴的夹角a的正切值是，求：（1） y的值； （2） 角a的正弦值 12. 一架25米的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物7米如果梯子的顶部滑下4米，梯子的底部滑开多远？13. 如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角a和坝底宽AD（iCEED，单位米，结果保留根号）14. 如图，两建筑物的水平距离BC为24米，从点A测得点D的俯角a30，测得点C的俯角b60，求AB和CD两座建筑物的高（结果保留根号）四、学习小结五、布置作业习题：15，16，17；