初中统计概率的内涵及教学中的问题

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1、初中统计概率的内涵及教学中的问题,合肥师范学院数学系王家正 e-mail:,主要内容,一、初中统计与概率所涉及的概念、基本思想、方法的内涵分析 二、统计与概率的应用案例介绍 三、初中统计与概率的认识及教学中存在的误区及分析 四、课例及教学课件 五、中美教材中习题对比分析,统计学与数学的区别,立论基础不同 从数量和数量关系这个角度考虑，数学是建立在概念和符号的基础上的。统计学是建立在数据的基础上，虽然概念和符号对于统计学的发也很重要，但是统计学在本质上是通过数据进行推断的。 推理方法不同 数学的推理依赖的是公理和假设，是一个从一般到特殊的方法；而统计学的推断依赖的是数据和数据产生的背景，强调根据

2、背景寻找合适的推断方法；统计学的推断过程在本质上是归纳法，这是一个从部分推断全体的方法，是一个从特殊到一般的方法。 判断原则不同 数学在本质上是确定性的，它对结果的判断标准是对与错；统计学对结果的判断标准是好与坏。,案例1:“有福共享，有难同当”吗? 某工厂有5个股东，100个工人.工人的工资总额与工厂的股东总利润见下表: 该工厂老板根据表中数据，作出了表1，并声称股东与工人“有福共享，有难同当”，你如何看待他的说法?,案例2 设计一个桥梁，这个桥应该设计多宽？ 到达的车辆数服从泊松分布； 车辆它占的位置是多宽，几个车道 ； 如果宽一点或者窄一点，这个流量大概需要多少时间（车子）可以通过 ；

3、司机的心理和居民的心理能够承受的那种等待时间就作为设计桥梁宽度的依据； 路面宽了以后花钱就要花得多，太窄了等待时间太长了大家有意见。,工程系统设计,案例3工业噪声对听力是有损伤的，强噪声的情况下，工人在这种车间里面工作，大概30年很多人就会聋了。而这种聋是不可治愈的，就是说你再吃药也没有用。因此就提出一个问题来，应该怎么定这个噪声标准，定多少？ 100分贝？95分贝？90分贝？究竟多强是合理的？ 假设定 100分贝，在一个毛纺厂里进行100分贝条件之下，对工人听力变化的进行测试。招了一批新工人，还没有进车间就先进行一次测试； 他们在工厂里面进织布车间或者什么车间里面去工作，工作10个月以后，我

4、们又追踪同样的人，把同样的人请来，再进行测试。从而得到两组数据。是否对工人造成了损伤 ，要检验。 这是国际上公认的一种办法,劳动保护,案例4某调查公司发布了对不同年龄的市民主要的情绪分布 年龄段：18岁到25岁，26岁到35岁，36岁到45 岁，46岁到55岁，56岁到65岁，老年。 情绪分为：发愁无聊、空虚紧张、平淡冷漠、平静满足、浪漫愉快、还有其他的情绪。 我们关心两个问题：1.情绪的分布跟年龄段有没有关系 ; 2.如果有关系，哪一项跟年龄特别显著的关系 . 需要检验-相关分析,社情分析,案例5北京市的人才需求，需要进行认真调查和分析的，不能简简单单地、随便的一个统计数字，这样会出现错的结

5、论. 1.人才的分布、需求的分布在163家公司的访问里，有9个岗位需要中专、高中毕业、中专毕业；84个岗位需要大专毕业；（需要）本科的有60个岗位，（需要）硕士的有7个岗位，博士在访问中只有一家（公司）要. 2.工资水平怎么样？ 3.代表性的工资是多少？,案例6电视收视率问题 案例7赛场统计，球员身价 案例8民意调查,英国遗传学家、优生学的创始人高尔顿得出结论是：子代的身高有向中心（各代人的平均身高）回归的趋势 高尔顿收集了205对夫妇与他们的928位成年子女的身高资料，其总平均身高为173.35厘米，超过这个数字的就是高个子，不到这个数字的就是矮个子。若以记父母二人的平均身高，记其子女的平均

6、身高，则高尔顿建立了一个父母平均身高与子女平均身高之间的关系式：,若设父亲的身高为176.0厘米，母亲的身高为165.5厘米，则父母的平均身高为170.25厘米，比总平均低了3.1厘米；再由上述公式，其子女的平均身高为虽然仍属矮个子之列，但与总平均的差距只有2.48厘米(只有其父代差距的80%)，显示出向中心（173.35厘米）回归的趋势,较好地解释了一代一代的身高的分布基本保持稳定的原因。,子代身高与父代的关系,涉及的知识、方法和基本思想初中阶段,从最新的英国、美国、日本以及港、台地区的教材看，统计与概率是初中数学教学内容的重要组成部分，大多数教材在初中的各年级都有统计与概率的内容，而且占有

7、一定的比例。比较这几种教材的统计与概率内容，基本内容包括： 收集数据的方法； 抽样调查； 用样本数据估计总体的情况； 利用条形图、折线图、扇形图、直方图、茎叶图等描述数据； 利用平均数、加权平均数、方差、标准差等分析数据； 频数与频率； （累计） 频数分布与（累计） 频率分布； 正态分布； 数学期望； 概率的意义； 计算等可能事件发生的概率； 通过大量试验，利用频率估计概率等。,对于这些内容，各种教材在处理方式上不尽相同，各有特色。学习统计与概率这部分的基本出发点：用数据说话。充分体现如下两个特点：（1）随机特点（随机现象的理解）；（2）用数据揭示规律。,谈概率,除了概率的公理化定义以外，概率

8、通常有三种定义的途径： 古典的，理论的古典概率公式（理论概率） 频率的，经验的无限次或接近无限次试验得到的频率（实验概率） -客观概率 主观的，直觉的新收集到的信息调整主观的估计（主观概率）,一、理解随机性与概率 【随机性和规律性】 【概率和机会】 【有些概率是无法精确推断的】 【有些概率是可以估计的】 【随机事件】 【概率和频率】,在许多领域，很难用确定的公式或论述来描述一些现象，比如，人的寿命。一个吸烟、喝酒、不锻炼的人可能比一个很少得病、生活习惯良好的人活得长。 可以说，活得长短是有一定随机性的。这种随机性可能和人的经历、基因、习惯等无数说不清的因素都有关系。 从总体来说，我国公民的预期

9、寿命却是非常稳定的。而且女性的预期寿命也稳定地比男性高几年。这就是规律性。 你可能活过这个预期寿命，也可能活不到这个年龄，这是随机的。 但是总体来说，预期寿命的稳定性，说明了随机之中有规律性。这种就是统计规律。,常听到概率这个名词，如天气预报中提到的降水概率。如果降水概率是百分之九十，那就很可能下雨；但如果是百分之十，就不大可能下雨。 因此，从某种意义说来，概率描述了某件事情发生的机会。 显然，这种概率不可能超过百分之百，也不可能少于百分之零。换言之，概率是在0和1之间的一个数，说明某事件发生的机会有多大。,比如你对别人说你下一个周末去公园的概率是百分之八十。但你无法精确说出为什么是百分之八十

10、而不百分之八十四或百分之七十八。 其实你想说的是你很可能去，但又没有完全肯定。、 实际上，到了周末，你或者去，或者不去；不可能有分身术把百分之八十的你放到公园，而其余的放在别处。,随机现象是指：在条件相同的情况下，做重复试验，试验结果却不确定，以至于在试验之前无法预料是哪一个结果出现。我们把这时的试验结果称为“随机事件”。换句话说，随机事件是和重复试验紧密相连的。并非所有不确定的结果都是随机事件。关于随机事件有二个误区： 1.把目前尚不知道结论是否正确的命题当成了随机事件 例如，哥德巴赫猜想是否成立、火星上是否有生命等。显然，这些命题或结果没有任何随机性，它是完全确定的。只是人们至今尚未知道其

11、结论而已。特别地，在数学中，凡是未被证明或否定的猜想都是这种命题，它们没有任何随机性，更不是随机事件. 2.把和重复试验无关的不确定结果当成了随机事件 有些事情：比如美国的总统选举。虽然选举前不能确定它的结果。但它不满足可重复性。所以它不是数学中所指的随机现象。因此不存在“概率”的问题。,对概率概念的理解应该从整体上把握,重要的是掌握以下几点: 我们所讨论的现象是可以做“重复试验”的.并非所有不确定现象都是概率论研究的对象. 频率和概率的关系.频率是随机的,是这n次试验中的频率.换另外n次试验一般说频率将不同.而概率是一个客观存在的常数. 概率反映的是“多次试验”中频率的稳定性 。 出现频率偏

12、离概率较大的情形是可能的.这是随机现象的特性.,概率论是一门研究随机现象的数量规律学科。 它起源于对赌博问题的研究。概率概念只是在17世纪中叶法国数学家帕斯卡与费马的讨论中才比较明确。他们在往来的信函中讨论合理分配赌注问题。该问题可以简化为： 甲、乙两人同掷一枚硬币。每人拿6元，共12元。规定：正面朝上，甲得1点；若反面朝上，乙得1点，先积满3点者赢取全部赌注12元。假定在甲得2点、乙得1点时，赌局由于某种原因中止了，问应该怎样分配赌注才算公平合理。,概率论的第一本专著是1713年问世的瑞士数学家雅各布贝努利（1654-1705）的推测术（猜度术）。经过二十多年的艰难研究，贝努利在该书中，表述

13、并证明了著名的“大数定律”。 这一定律第一次在单一的概率值与众多现象的统计度量之间建立了演绎关系，构成了从概率论通向更广泛应用领域的桥梁。因此，贝努利被称为概率论的奠基人。 为概率论确定严密的理论基础的是俄国数学家柯尔莫哥洛夫。1933年，他发表了著名的概率论的基本概念，用公理化结构，这个结构明确定义了概率论发展史上的一个里程碑，为以后的概率论的迅速发展奠定了基础。,在概率论中，我们所讨论的都是随机现象，其结果在个别试验中应呈现出不确定性，而在大量重复试验中又具有统计规律性。如果一个在理论上发生概率非常小的事件在单个试验中就出现了，我们完全有理由怀疑这样的结果是否具有随机性。 在实际问题中我们

14、认为概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，这就是所谓实际推断原理。,实际推断原理,案例1某一天，你开车进了一个过去从未去过的机关停车场，发现里面共有18个车位，其中有8个位置停了车，而有一连10个位置是空着的。这时，你可以随便找个地方把车停下吗？ 我们先假定车辆的停放是随意的，则一连10个位置空着共有9种可能的情况（从110号车位空着到918号车位空着），故这种放法出现的概率为,如此小概率的事件竟然发生了，可以肯定关于停车位置是有具体规定的。,实际推断原理,案例2 某接待站在某一周曾接待过12次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有规定的？ 假设接

15、待站的接待时间没有规定，而各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待来访者都在周二、周四的概率为 可以推断接待时间是有规定的。,实际推断原理,案例3警方怀疑甲向乙出售毒品，理由是疑犯乙某日曾从银行账户中取出12618元，而第二天疑犯甲的账户上就多出了12618元。 由于这是间接证据，控方律师便适时地使用了实际推断法。根据警方的调查，疑犯乙取款之前账户上共有24515元，因此他可以从账户中取走124515元，且每种情况都是等可能的。而他实际取款的数目却是疑犯甲进账的数目，如果这是一种巧合的话，它发生的概率只有 虽然控方律师立论的基础还有待讨论，例如他的等可能假设，但它已足以使陪

16、审团相信，这不是一种巧合。,实际推断原理,什么是两个事件相互独立？ 通俗地说：这两个事件发生与否不产生影响 案例1：一位医生在检查完病人后摇了摇头，“你病得很重”，医生对病人说，“在10个得这种病的人中只有1 个能救活。”正当病人被这个消息吓得半死的时候，医生继续说：“但你是幸运的,因为你找到了我。我已看过9个这样的病人，而他们都死了。 案例2：还有人试图用自己的行动去干预外面的世界 案例3：生男生女之谜 张先生和其太太一直想要个儿子，可是却一连生了5个女儿。这次张太太又怀孕了，那么这个孩子是男孩的概率是多少呢？张太太说：“我们已经有了5个女儿，这回总该是个儿子吧！”张先生说：“你说得一点不错

17、，我已经请教了专家，生女儿的概率大约是0.485，而一连生6个女儿的概率只有(0.485)60.013=1.3% 所以我们下一个肯定是儿子。”可是,他们的第6个孩子依然是个女孩.于是张先生得出一个结论:”这些搞概率的都是卖狗皮膏药的.”,事件的独立性,对概率的常见错误认知,误以为概率是运气、如何操作等有关，不可度量； 误以为概率是用来预测结果是否发生的； 误以为每个结果发生的概率都一样； 误以为重复试验是需要，但是不要做大数次； 分解多步试验再用“简单合成”来判断。,题目,案例学校里有200个女同学，1000个男同学，学校里每个同学的名字都各自写在一张小纸条上，放入一个盒中搅匀。如果校长闭上眼

18、睛随便从盒中取出1张纸条，那么下面哪个说法是正确的？ a) 抽到男同学的可能性比抽到女同学的可能性大； b) 抽到男同学的可能性比抽到女同学的可能性小； c) 抽到男同学的可能性与抽到女同学的可能性一样大； d) 无法比较这两种可能性的大小。,案例一个高三学生对我说 ,可能性和概率不能划等号，可能性说的是日常生活中的问题，概率是数学，看问题时可以结合概率考虑。我们数学老师说抛掷一个硬币那么得到正面的概率是1/2，但是，如果抛1000次，按概率应该500对500，但我敢保证她掷出的结果肯定不会是500对500，所以，我认为无法判断取出男同学名字的可能性大还是取出女同学名字的可能性大。,随机与规律

19、,案例机会不可比较的例子,因为这张纸条可以是男同学的名字也可以是女同学的名字。当抽出一个女同学的名字的时候，说明抽出一个女同学的可能性大。 当抽出一个男同学的名字的时候，又说明抽出一个男同学的可能性大，所以我认为无法比较这两种可能性的大小。,案例机会均等的例子,可能性一样大。盒子里有 770 张纸条，365 张女同学的名字，405 张男同学的名字。女同学的概率是 47%，男同学的是53%. 也就是说，如果抽 100 次, 那么 47 次会是女同学的名字，53 次会是男同学的名字。两者的区别不大，如果你只抽一次的话，那么男同学和女同学机会应该是一样的。,一道给7年级（下）学生的考题,在一个黑色不

20、透明的口袋中放了一个红球，一个黑球，八个黄球，如果一次从口袋中拿出三个球，请写出拿球过程中的必然事件、可能事件、不可能事件各一件；如果一次取出三个球，有一个红球的机会有多大（不能只写出结果，要说明理由）,教学中误区？ 通过实验去验证等可能性 教学可能性 师:下面我们来做一个抛硬币的实验，谁先来猜一下，硬币落下来后，正面朝上和反面朝上的可能性怎样? 生:正面朝上和反面朝上的可能性相等 师:你们都同意吗? 生(齐) :同意 师:下面我们一起做实验来验证一下 (师生一起做实验，可不巧的是抛的累计次数越多，差距也随着不断加大，学生议论纷纷，有的说抛的同学动作有问题，有的建议重新实验，师不得已叫停了实验

21、) 师解释:如果我们做实验的次数很多很多，你会发现正面朝上和反面朝上的次数会很接近，下面我们来看历史上几位数学家的实验数据 。(课件出示表格),概率教学中的几个误区,剖析： 抛硬币确实是一个有助于学生感受随机性简便易行的实验，但在实际教学中，如果将它处理为证等可能性的手段，就容易让教师处于尴尬的境地 ，等可能性是“思想 ”上的概率，即理论概率(古典概率，它一般不是通过实验验证的，往往是根据人们长期形成的“对称性经验”确认的。有些教师多次抛硬币尝试之后感慨: 能否验证1/2，要凭运气，其实 ，这恰体现了随机现象的随机性和可能性的魅力。,概率教学中的几个误区,对概率概念的理解： 在数学上概率是用公

22、理化的形式定义的.各种教科书中出现的概率统计定义,古典概率定义,几何概率定义都是一些描述性的说法,教师不应该过分地去揣摩,探究那里的用语,而应理解其实质. 概率的统计定义通常可以这样叙述:在相同的条件下做大量的重复试验,一个事件出现的次数k和总的试验次数n之比,称为这个事件在这n次试验中出现的频率.当试验次数n很大时,频率将稳定在一个常数附近,n越大,频率偏离这个常数大的可能性越小.这个常数称为该事件的概率.,对概率概念的理解应该从整体上把握,重要的是掌握以下几点: 我们所讨论的现象是可以做重复试验的.并非所有不确定现象都是概率论研究的对象. 频率和概率的关系.频率是随机的,是这n次试验中的频

23、率.换另外n次试验一般说频率将不同.而概率是一个客观存在的常数. 概率反映的是多次试验中频率的稳定性 。 出现频率偏离概率较大的情形是可能的.这是随机现象的特性.,（掷硬币问题） 把一个均匀硬币掷100次出现50次正面的概率有多大？ 解: 答案是，出现50次正面的概率为,我们知道，掷一个均匀硬币，出现正面的概率是0.5。有人以为，掷100次应该出现50次正面。为什么这件事发生的概率只有0.08，和想象相差甚远。好像均匀硬币不应该有这样的结果。你学过了概率的统计定义，该如何解释这一结果呢？,事实上，一个事件的概率0.5是指，在大量重复试验中，该事件出现的频率稳定在0.5（即在0.5附近，偏离0.

24、5很大的可能性极小），并非每两次试验中出现一次。那么，掷100次均匀硬币出现50次正面的概率，也应该理解为，做大量重复试验，即多次地掷100次硬币，出现50次正面的频率应稳定在0.08。 下面是一个模拟试验结果（选自W.费勒的概率论及其应用）。做了100次试验（在这里，我们把掷100个均匀硬币看成是一次试验），每次出现正面个数如下：,54 46 53 55 46 54 41 48 51 53 48 46 40 53 49 49 48 54 53 45 43 52 58 51 51 50 52 50 53 49 58 60 54 55 50 48 47 57 52 55 48 51 51 49

25、44 52 50 46 53 41 49 50 45 52 52 48 47 47 47 51 43 47 41 51 49 59 50 55 53 50 53 52 46 52 44 51 48 51 46 54 43 47 46 52 47 48 59 57 45 48 47 41 51 48 59 51 52 55 39 41,我们看到，掷100个均匀硬币不一定出现50个正面。可以出现54个正面，也可以出现46个正面，等等。在上述100次试验中，出现50个正面的有7次。即掷100次均匀硬币出现50次正面的频率是0.07，和理论上的值0.08相差不大。,教学设计,谈统计,统计学是关于收集和

26、分析数据的科学和艺术 -不列颠百科全书 具体地说：统计学是研究“收集数据、整理数据、分析数据、由数据得出结论”的原理和方法,统计存在于国民经济及日常生活的各个方面，不懂统计很可能会不知不觉地受到损失 科学地认识客观事物的一种工具 发现 赛场统计，电脑键盘上的字母为何不按顺序排列 判断 许多不确定现象无法用形式逻辑推理解决说理方式不同 如，变量之间是否有关系？关系有多强？是因果关系吗？ 决策 预测 买哪一种彩票，下联号的注还是凌乱的注 交流 结论来自于数据和统计方法，可靠恰当吗？ 统计学是一个很可能不知不觉地出错的领域。对不确定现象的良好直觉需要在修正中培养,普及统计，培养有统计素养的公众,卖报

27、利润问题：某人以卖报为生，每天早上从发行商处购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。如果每份报纸的购进价为0.8元，零售价为1元，退回价为0.75元，那么为了获得最大的利润，他每天应购进多少份报纸？,生成统计素养的元素和影响统计素养表现的因素（示意图）,培养数据分析观念（标准2011年版）,了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。数据分析是统计的中心。,义

28、务教育数学课程标准（2011）,“统计与概率”的主要内容有：收集、整理和描述数据，包括简单抽样、整理调查数据、绘制统计图表等；处理数据，包括计算平均数、中位数、众数、方差等；从数据中提取信息并进行简单的推断；简单随机事件及其发生的概率。,概率统计在人教社新课程教材中所占课时数与百分比,培养概率统计基本素养抓五条知识技能主线,贯穿所有学段，但要求逐步提高,体验不确定现象,定性地描述可能性大小,可能性 可以量化,实验概率 理论概率,发现和提出问题阳光与植物生长,水平A: 一棵植物放在窗边是否比放在远离窗边的地方长得更高？ 水平B: 放在窗边的5棵植物是否比放在远离窗口的5棵植物长得更高？ 水平C:

29、 阳光多少对植物的生长有怎样的影响?,数据的集中趋势与离中程度,著名的美国科学杂志认为“统计”是影响人们未来生活最大的二十项科学成就之一。 统计与概率的学习，决不应该简单地处理为知识的灌输，而着重在于培养学生的随机思维模式、素养。随机思想是概率的重要概念，是认识随机现象和统计规律的重要思想。,数据的集中趋势与离中程度,数据的代表 平均数、中位数和众数的特征： 1.平均数、中位数、众数都是表示一组数据“平均水平”的平均数。 2.平均数能充分利用数据提供的信息，在生活中较为常用，但它容易受极端数据的影响，且计算较繁。 3.中位数的优点是计算简单，受极端数据影响小，但不能充分利用所有数据的信息。 4

30、.众数的可靠性较差，它不受极端数据的影响，求法简单，当一组数据中个别数据变动较大时，适宜选择众数来表示这组数据的“集中趋势”,2004河南省中考题,在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶，如下图所示是其中的甲、乙台阶路的示意图。请你用所学过的统计知识(平均数、中位数、方差、标准差等)回答下列问题： (1) 两段台阶路有哪些相同点和不同点? (2) 哪段台阶路走起来更舒服?为什么? (3)为方便游客行走，需要重新整修上山的小路，对于这两段台阶路台阶数不变的情况下，请你提出合理的整修建议。,三个问题哪个更像统计问题？,（1）求20，21，21，22，22，22，22，23，23.这组数

31、据的平均数、中位数和众数； （2）9位学生的鞋号由小到大是： 20，21，21，22，22，22，22，23，23.这组数据的平均数、中位数和众数中哪个指标是鞋厂最不感兴趣的？哪个指标是鞋厂最感兴趣的？ （3）某鞋厂在你们全年级中随机抽取2个班级，调查并记录每个学生的鞋号，你认为这组数据的平均数、中位数和众数中哪个指标是鞋厂最不感兴趣的？哪个指标是鞋厂最感兴趣的？鞋厂据此调查数据组织生产一定与现在你们全年级学生所需各种尺码鞋子的数量一致吗？,数据的集中趋势与离中程度,【学习中容易出现的问题】 教学疑点1：学生容易把一组数据中出现次数最多的数据的次数当作众数。 （1）众数是一组数据中出现次数最多

32、的数据，是一组数据中的原数据，而不是相应的次数。在这一点上，学生很容易混淆。 （2）一组数据中的众数有时不止一个，如数据2、3、-1、2、1、3中，2和3都出现了2次，它们都是这组数据的众数。,数据的集中趋势与离中程度,弄错考查对象 例1 一个射手连续射靶20次，其射靶成绩如下： 求其射击成绩的中位数。 错解： 将2，7，8，3按由小到大的顺序排列是2，3，7，8，故中位数是（3+7）/2=5。,数据的集中趋势与离中程度,错解剖析：弄错了考查对象，这里要考查的是射手的射靶成绩。 正解： 将射手的射靶成绩按由小到大排列： 7，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，1

33、0，10 中间的两个数据是8、8，故中位数是8环。,混淆数据和数据的权 例2 某班在一次数学测试后成绩统计如下表，求这次数学测试中学生得分的众数。 错解：因为90分出现了12次，70分出现了12次，所以这次数学测试中学生得分的众数是12。 错解剖析：对众数的概念理解不清是造成错误的主要原因，众数是一组数据中出现次数最多的数据，而不是出现的次数，众数可以不止一个。 正解：因为90分出现了12次，70分也出现了12次，都是出现次数最多的数据，所以这次数学测试中学生得分的众数是90分和70分。,数据的集中趋势与离中程度,数据的集中趋势与离中程度,算术平均数和加权平均数的区别和联系 算术平均数是加权平

34、均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，加权平均数中的权相等时，就是算术平均数。 【加权平均数的概念】 加权平均数是不同比重数据的平均数，加权平均数就是把原始数据按照合理的比例来计算，下面举一个简单的例子。 你的小测验成绩是80分，期末考成绩是90分，老师要计算总的平均成绩，就按照小测验40%、期末成绩60%的比例来算，所以你的平均成绩是： 8040%+9060%=86,数据的集中趋势与离中程度,误入极差、方差迷途 刻画随机变量取值平均状态的一个重要指标数学期望。我们将介绍刻画随机变量的另外一个重要的指标方差。为了说明引入这一指标的意义，我们看一个夸张例子。 例3：有甲、乙两组人干活。每

35、组都有两人，其中甲组两个人的年龄分别为35岁和37岁，乙组两个人的年龄分别为70岁和2岁。从平均年龄来看，两组没有区别，都是36岁，但两组人干活的效率显然是不可同日而语的。这其中的一个主要原因是两组人的年龄的波动情况（或者说各组中每人的年龄与平均年龄的偏离程度）相差比较悬殊造成的。 例4：已知一组数据0，x，1，2的极差是3，求得x=3。 当x为最小值时，有2-x=3，解得x=-1。 故求得x=3或x=-1。 错解反思： 错在受思维定式的影响，考虑问题不周密。事实上，这组数据中的x有两种取值情况，既有可能是这组数据中的最大值也有可能是最小值,数据的集中趋势与离中程度,课例 中位数与众数 一.教

36、学目标 1.掌握中位数、众数等数据代表的概念， 能根据所给信息求出相应代表。 2.能结合具体情境体会平均数、中位数和众数三者的差别，能初步选择恰当的数据做出自己的评判。 二.设计意图 单纯从计算角度看， 中位数和众数非常简单. 只要知道数的大小， 会数数， 就能够计算它们， 但作为一个统计概念，它就不那么简单了. 因此教学的重点不能够放在怎样找（计算）中位数与众数上， 而应放在对概念含义的理解上. 三.教学过程 1.教师呈现问题情境：,数据的集中趋势与离中程度,某公司员工的月工资如下,你怎样看待该公司员工的收入情况? 2.学生讨论 3.教师提供信息: 经理、职员C、职员D从不同角度描述了该公司

37、员工的收入情况。 经理说：我公司员工收入很高，月平均工资2000元. 月平均工资2000元，指所有员工工资的平均数是2000元， 说明公司每月将支付工资总计20009元 职员C:我的工资是1200元，在公司算是中等收入. C的工资是1200元，恰好居于所有员工工资的正中间(恰有4人的工资比他高， 有4人的工资比他低)， 我们称它为中位数.,数据的集中趋势与离中程度,职员D:我们好几个人的工资为1100元。 9个员工中有3个人的工资为1100元， 出现的次数最多， 我们称它为众数 4.学生思考 你认为用哪个数据表示该公司员工收入的“平均水平”更合适？ 为什么该公司员工收入的平均数比中位数高得多？

38、 5.呈现概念 一般地，数据按大小顺序排列， 处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫这组数据的中位数， 一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数. 如一组数据1.5，1.5，1.6，1.65，1.7， 1.7，1.75，1.8的中位数是1/2(1.65+1.7)， 即1.675; 这组数据的众数是1.5和1.7,数据的集中趋势与离中程度,6.学生讨论 平均数、中位数、众数各自特征是什么? 如果要选用它们代表一组数据的“平均水平”，你认为它们各自在什么场合下使用比较合理? 设计思路分析: 显然，学习平均数、中位数和众数概念，主要目的不是会计算它们的值， 那样做是把统计当

39、作算术(代数) 来教了. 重要的是让学生理解为什么需要它们;它们各自的含义是什么; 在什么样的场合下能够有效地使用它们等， 而这一切只能在情境中学， 只能让学生在对现实问题情境分析的过程中逐渐理解这些概念的意义.,统计教学中的几个误区,误区一 ：以“平均数”为标准确定 “中等偏上” 片断一 ：教学平均数 师:谁能举一个平均数的例子? 生:这次单元测验我们班的数学平均分是84分 师:想一想，你自己考了多少分? 你的成绩处于什么水平? 生:我考了 8 6 分，我的成绩在班上处于中等偏上 师:你的成绩在班上处于中等偏上，还要继续努力哦！ ,统计教学中的几个误区,剖析： 高于平均数的一定表示中上水平吗

40、? 我们举个例子来看看，10个学生的数学考试成绩为: 2个0分，1个84分，6 个88 分，还有一位王同学的分数是82分，这10个同学的平均成绩是69.4分，王同学高出平均分12.6 分，但王同学在10人中却处于倒数第3名，可见平均数不一定能代表中等水平，而中位数的特征是比它大的数据和比它小的数据一样多，所以要问某个数据处于什么水平，要以中位数为标准，如上述片断，在班级数学成绩中位数以上的分数，才能说 是“中等偏上”，显然 ，在这里，教师把比较的标准搞错了。,误区二： 把统计方法得出的结论绝对化 片断二： 教学复式折线统计图 (课件出示:小红和小芳跳绳成绩的复式折线统计图） 师:小红跳绳的成绩

41、有什么特点? 生:成绩最好的一次是小红跳的。 生:小红跳绳的成绩不稳定，忽高忽低。 师:小芳的呢? 生:小芳的成绩一直呈上升趋势 。 师:如果，我们从两人中选1人做代表参加学校组织的“冬季三项比赛 ”，你们认为应该选谁? 为什么? 生:选小芳，因为，尽管成绩最好的一次是小红跳的，但她的成绩不稳定，而小芳的成绩一直呈上升趋势。 师:你分析得很有道理。 ,统计教学中的几个误区,剖析 ： 首先，我们要弄明白，数理统计学是“归纳”科学，而不是 “演绎 ”科学，它是由“部分推断整体 ”，属于归纳性的结论 。 因此 ，统计规律未必蕴含因果关系，这一点是统计方法的本性。这里，小芳的成绩一直呈上升趋势，但这仅

42、仅是一个归纳性的结论，并不是一个必然的结论。如果，我们将这个由统计方法得出的结论绝对化，认为小芳的成绩一定会越来越好，一定会超过小红的最高成绩，就会犯一个重大错误，把归纳推理当成了演绎推理。这里的选拔问题，我们应把选手的最高跳绳成绩放在第一位，其次再考虑稳定性。,统计教学中的几个误区,中美教材统计与概率习题差异,情境数学在美国已经使用了十年之久，而且有一定的使用率，且得到了教师、学生和家长的一致好评。 人教版的初中数学教科书与美国情境数学进行统计与概率部分的习题比较。这里，习题是例题、练习题、习题及复习题等的总称。 习题主要从探究、背景、运算、推理和知识含量等五个因素进行比较，而且，每个因素又

43、划分为若干水平。,各个因素及具体界定,综合难度模型因素,中美初中数学统计与概率习题在各因素上的指标,几个值得注意的问题,1淡化计算，深入理解数学知识 虽然标准要求在统计与概率知识方面要淡化计算，但是通过比较我们发现，中国教材依然强调了计算。必要的计算能力固然重要, 但是纯粹的计算不能使学生真正地掌握知识,因此教材编写中淡化无意义的计算，将必要的计算与深入理解数学知识相结合。 2创设合理情境，引导学生建构 丰富的现实情境可以激发学生的探究兴趣，合理的数学情境能够促进学生数学知识的建构。因此，习题需要创设能够激发学生发现问题，解决问题，符合学生现实的探究情境，减少人为创设的痕迹。同时，挖掘有意义的

44、习题提问方式，引导学生进行自主探究，达到真正的自主建构。,3加强估算与猜想，促进数学化过程 尽管课程标准明确提出要培养学生的估算能力和猜想，但是教材习题设置中没有明显地体现出来。培养学生的估算能力符合社会发展趋势，在现实生活中有广泛的应用。合理的猜想活跃学生思维，能够创造新的知识，促进横向数学化的发展。培养和发展学生的估算与猜想能力，首先需要有充足、合理的习题，再需要有效解决这些问题的途径。因此，教材中的习题配备是首要的。 4活用知识，自主创造 发展学生的解决问题能力是数学教学的目标之一。使学生掌握全面的知识固然重要， 但是更重要的是指导学生在现实情境中灵活地运用知识。再创造的最高层次是学生自己的成果中不仅包含解决问题的解法的再创造，而且包括问题的再创造。因此，我们不仅应该强调学生综合运用知识能力，同时也应该发展学生在不同现实情境中活学活用知识的能力。,几个值得注意的问题,谢谢大家！,2013.8.14,