《流体力学》PPT课件

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1、第第3章章 流体运动学流体运动学 要点：要点：描述流体运动的方法、描述流体运动的方法、迹线和流线、连迹线和流线、连续性方程、流体运动特点、势流和势函数、流续性方程、流体运动特点、势流和势函数、流函数和平面势流函数和平面势流难点：难点：描述流体运动的方法的互换、连续性方描述流体运动的方法的互换、连续性方程计算、流体运动分析、势函数计算、势函数程计算、流体运动分析、势函数计算、势函数和流函数的相互计算。和流函数的相互计算。流体运动学是用几何的观点来研究流体的运动，而不涉及流体的动力学性质。在流体力学中研究流体质点往往是用伯努利（Bernoulli）方程将压强和速度联系起来。从这方面来讲研究流体质点

2、的速度更为重要。流体力学分流体静力学和流体动力学。流体动力学是研究流体的运动特性及运动时的力学规律，也就是研究流体在运动中其流动参量之间的相互关系，以及引起运动的原因和流体对周围物体的影响。流动参量除流体静力学中已熟习的压力、密度等外，还有速度、粘度、应力、作用力、力矩、能量等。流体动力学就是从理论上研究这些参量之间的相互关系.流体动力学又包括流体运动学和流体动力学。流体运动学只研究流体的运动，如运动的方式和速度、加速度、位移、转角等随着空间与时间的变化，而不研究分析引起质点运动的原因。而流体动力学则研究引起运动的原因和决定作用力、力矩、动量和能量的方法。本章主要探讨流体运动学的问题，也就是探

3、讨在某一瞬间流体中每点的速度和加速度。速度的大小确定以后，便可求出压力的分布，因而求出了流体中的作用力。本章重点讨论是不可压缩流体的运动。3.1 3.1 描述流体运动的两种方法描述流体运动的两种方法 3.1.1 3.1.1 流体质点和空间点流体质点和空间点 流体质点是指在流场中取出一块极小体积的流体微团，由于其几何尺寸极小可以略去不计，作为一个点，但它却具有一定的物理量，例如速度、加速度、压强和密度等。有时也将流体质点称为流体微团。在流场中，由于流体是一个连续介质，因此在任何时候每一个空间点都有一个相应的流体质点占据它的位置。3.1.2 3.1.2 描述流体运动的两种方法描述流体运动的两种方法

4、 1.1.拉格朗日（拉格朗日（LagrangeLagrange）法）法 拉格朗日法又称随体法。跟随一个选定的流体质点，观察它在空间运动过程中各个物理量的变化规律，当逐次由一个质点转移到另一个质点便可了解整个或部分流体的运动全貌。用一组数（）来作为该流体质点的标记。以单个流体质点作为研究对象，研究其运动要素（位置、速度等）的变化过程，并通过综合各个流体质点的运动来获得一定空间内所有流体质点的运动规律，它着眼于流体质点。cba,),(),(),(tcbazztcbayytcbaxx 流体质点的速度和加速度。流体质点的位置坐标：流体质点的位置坐标：速度速度ttcbaztcbattcbaytcbatt

5、cbaxtcbazzyyxx)()()()()()(，流体质点的加速度流体质点的加速度：222222)()()()()()()()()(ttcbazttcbatcbaaattcbayttcbatcbaaattcbaxttcbatcbaaazyyyyyxxx，用拉格朗日坐标描述流体质点群运动的数学方程十分复杂，以致无法求解。除了研究波浪运动，或者台风运动，一般都应用欧拉法来描述。1.1.欧拉（欧拉（EulerEuler）法）法 欧拉法又称当地法。它是在选定的一个空间点，观察先后经过这个空间点的各个流体质点物理量的变化情况，当逐次由一个空间点转移到另一个空间点便能了解整个流场或部分流场的运动情况。

6、流体质点的速度场表示为(,)x y z tvv 流体质点的密度场 、压强场p也可用欧拉变数表示为：),(tzyx),(tzyxpp 用欧拉法表示的流体质点的加速度 速度表达式中的坐标x，y，z是质点运动轨迹上的空间点坐标，它不是独立变数，而是时间t的函数，即()()()xx tyy tzz t流体质点的加速度则按复合函数求全导数的方法来求：ddddddddxyzttxtytztvvvvvazyxdtdzdtdydtdx,其分量式为 引进汉米顿（Hamilton）算子符号:xyz ijkzyxtazyxtazyxtazzzyzxzzyzyyyxyyxzxyxxxx可表示为 ddttvvavv 加

7、速度各项的物理意义是,流体质点的加速度由两部分组成。称 为当地加速度或局部加速度，由流场的不恒定性引起的。称 为变位加速度或迁移加速度，由流场的不均匀性引起的。vvtv 质点的加速度是这两项之和，即 xuuautx 图3.1是水箱内的水经收缩管流出，若水箱无来水补充。Hux图.1 3收缩管出流 如果该水箱有来水补充，水位H保持不变。该质点的加速度 xuauxHx图.2 3等直径直管出流 图3.2是水箱内水经等截面直管流出，若水位H不变即 。0 xa推广到求任意物理量的质点导数，引入算子符号 :DDtDDtuvwtxyz物理量 的质点导数(随体导数)定义为:(,)B x y z tDDtBBBB

8、Buvwtxyz 等式右边第一项表示当地（局部）变化率，其它三项表示迁移（变位）变化率。拉格朗日法和欧拉法，它们之间是可以互相转换的。（1）设已给的是拉格朗日表达式(,)(,)(,)xx a b c tyy a b c tzz a b c t首先将上式两边微分后得到(,)(,)(,)xuu a b c ttyvv a b c ttzww a b c tt3.1.3 3.1.3 两种表示方法的互相转换两种表示方法的互相转换 然后以欧拉坐标 代替式中的拉氏坐标 ，也就是求拉氏法的反函数。便得欧拉表达式。),(zyx),(cba【例3.1】已知流体质点运动拉格朗日表达式为 eeeettttxabya

9、b试用欧拉法来表示流体质点的运动。【解】流体运动为二维（平面）流动，首先对上式两边进行微分 eeeettttxuabtyvabt由于 e2txyae2txyb将上式代入，得 2222xyxyuyxyxyvxuyvx即此为欧拉法表达的流体质点运动。（2）设已给的是欧拉表达式(,)(,)(,)uu x y z tvv x y z tww x y z t首先对两边进行积分，得 123123123(,)(,)(,)xx c cc tyy c cc tzz c cc t式中 为积分常数 321,ccc从 123123123(,0)(,0)(,0)ax c ccby c cccz c cc得到 和 的关系

10、，然后以拉氏坐标 替代式中的积分常数，便得到拉格朗日表达式。cba,321,ccccba,【例3.2】已知流体质点运动用欧拉表达式为 22uxvy 试将上式转换成拉格朗日表达式。【解】由于 2xuxt上式可表示为 ，d2dxxtd2dxtx两边积分 1ln2xtC故 2122eettxcyc当t=0时（即初始时刻）acx1bcy2代入上式得到 22eettxayb即为拉格朗日表达式。3.2 3.2 流体运动的分类、迹线和流线流体运动的分类、迹线和流线 3.2.1 3.2.1 流体运动的分类流体运动的分类 一、流体运动的分类：按流体性质分：按运动状态分：按流体空间自变量数(坐标)分：可压缩流体的

11、运动不可压缩流体的运动粘性流体的运动不考虑切向应力理想流体的运动const；紊流流动层流流动无旋流动有旋流动非定常流动定常流动0t；三元流动二元流动一元流动非均匀流动均匀流动1.1.流体运动按物理量变化来进行分类流体运动按物理量变化来进行分类 流体运动可以分为恒定流动（定常流动）和非恒定流动（非定常流动）。所谓恒定流动是指在任何固定的空间点来观察流体质点的运动，流体质点的流体参数皆不随时间变化。反之即为非恒定流动。对于恒定流动，流场方程为(,)(,)(,)x y zpp x y zx y zvv2.2.流体运动按坐标来进行分类流体运动按坐标来进行分类 流体运动可分为一维、二维（平面）和三维（空

12、间）流动。流场中的运动参数（以速度为主）都可以表示为三个空间坐标（及时间）的函数，称这种流动是三维流动，或空间流动。如果速度场可简化表示为两个空间坐标的函数，称这种流动为二维流动（平面流动）；可简化为一个空间坐标的函数，称这种流动为一维流动。(,)x y z tvv图3.3所示为理想流体绕一个无限长圆柱体的流动。yx图.3 3二维圆柱绕流 整个流场只需用x和y方向的两个坐标表示，即 ，属于二维流动，又称为平面流动。(,)vv x y t 在实际工程中，当流动管道或渠道流束的纵向尺寸远大于横向尺寸，当不考虑过流截面上速度分布时，为简化计算，工程上常将流速取断面的平均流速 ，那么，流动也可视为一维

13、流动 。V(,)s tVV3.3.按流体质点的变位加速度来分类按流体质点的变位加速度来分类流体质点的变位加速度为零，即 0vv 将这种流动称为均匀流动，否则就是非均匀流动。【例3.3】已知速度场 。试问：（1）t=1s时在（2,1）点的加速度是多少。（2）流动是恒定流还是非恒定流。（3）流动是均匀流还是非均匀流。(46)(69)vijyx tyx t【解】（1）由式（3.7）xuuuauvtxy)4()96()6()64()64(ttxyttxyxy(46)(166)22yxtt以t=1s，x=2，y=1代入上式，得 8xa 2m/s212m/sya 同理 22214.42m/sxyaaa（2

14、）因速度场随时间变化，此流动为非恒定流。（3）由式 uuvvuvuvxyxyvvij0故此流动是均匀流。3.2.2 3.2.2 迹线和流线迹线和流线 1.1.迹线的概念迹线的概念 某一个流体质点在连续的时间t到t+dt这段时间内，在空间描绘出来的一条曲线，称为迹线。迹线是用拉格朗日法来描述的，即根据式：(,)(,)(,)xx a b c tyy a b c tzz a b c t 从中消去t，并给定(a,b,c)值，就可得到x,y,z表示的某流体质点（a,b,c）的轨迹。Mt=0At=t1Bt=t2Ct=t3D),(),(),(tcbazztcbayytcbaxx例：已知 2222222)(s

15、in)(cosbatabaybataabx式中 a(t)为时间的某一函数，求质点的迹线。解：消去 a(t)，有：222bayx 这表明流体质点的迹线是一条抛物线。2.2.迹线的微分方程迹线的微分方程 ，如图3.4所示，该流体质点的速度分量分别为：ddddddxyzxyzvvvttt,M(x,y,z)1tM(x+x,y+y,z+z)2dddt+td图.4 3迹线式中 是t的函数，表示一个流体质点在不同时刻t占据的空间位置。zyx,便得到迹线的微分方程 dttzyxvdztzyxvdytzyxvdxzyx,3.3.流线的概念流线的概念 流线就是这样的一条曲线，在某个瞬时，这条曲线上所有空间点上的流

16、体质点速度方向和该曲线相切。这曲线就称为该瞬时的流线（图3.5）。123v1v2v3图.5 3某时刻流线图图.6 3绕二维圆柱体的流线图AB 一般情况下，二条流线是不能相交的，除非这个相交点，流体质点的速度为零。如图3.6，两条流线在A、B点相交，通常将A和B分别称为前驻点和后驻点。在流场中，某时刻过任意一点都可以作出一条相应的流线。如图3.7所示。ABCDEvAvBvCvDvEdl1dl2dl3dl4图.7 3过一点的流线 流线和迹线是两个完全不同的概念，但是在恒定流动中，流线和迹线在形式上是重合的。4.4.流线的微分方程流线的微分方程 在t时刻，在流线AB上某点处取微分线段矢量，为该点的速

17、度矢量（图3.8），两者方向一致。drv在直角坐标系中 ddddxyzrijk在场论中，直角坐标系下 和 相切，表示为：drv图.8 3流线方程ABvzxyoxyzvvvvijkdddd0ijkrvxyzuvw故必须满足 由于流线是对某一瞬时而言，所以微分方程中t是参变量，在积分过程中是作为常数来处理的。展开得：0 xyvvdydx0yzvvdzdy0zxvvdxdz),(),(),(tzyxvdztzyxvdytzyxvdxzyx【例3.4】已知流体的速度分布为 00uytyvxtx )0,(0试求流线方程，并画流线图。【解】由流线的微分方程式（3.12）图.9 3同心圆族的流线图yxo00

18、ddxytytx得 其中t是参变量，积分得 Cyx22 显然，流线图是一组以原点为圆心的同心圆族（图3.9）。由于在流线方程中不含有参变量t，所以流线的形状不随时间变化，但运动不是恒定流动。【例3.5】已知流场的速度分布为 1 uyvt试求：（1）t=1，过（0,0）点的流线方程。（2）t=0，位于（0,0）点流体质点的轨迹。【解】（1）由流线的微分方程式（3.12）dd1xyyt以t作为参变量，积分得 Cyytx22为不同时刻t时的流线方程。当t=1时 x=y=0 得到C=0 即流线方程为 22yyx（2）由迹线的微分方程式（3.11）ddd1xytyt即 d(1)d(1)dd(2)xyty

19、t t其中t是自变量，式积分，得122Cty由 t=0,y=0 确定积分常数C1=0 即 代入 式，得 22ty 2d1d2txt积分，得 236Cttx由t=0 ,x=0 确定积分常数C2=0 得 63ttx消去时间变量t，得迹线方程 22312yyx【例3-6】已知流场的速度分布为 uKxvKy（K0 常数，且是在上半平面的流动）试求：（1）流线方程，并绘制流线图；（2）迹线方程，并绘制迹线图。【解】（1）由流线的微分方程式（3.12）ddxyKxKy积分，得 lnlnCyxyxoCxy 流线族是一组以x轴和y轴为渐近线的等边双曲线，如图3.10所示。（2）由迹线的微分方程式（3.11）d

20、ddxytKxKy积分，得 1lnCKtx即 eKt1xCeKt2yC消去t，即得 xy=C，为一组迹线方程。由于流动是恒定流动，所以迹线和流线在形式上是重合的。3.2.3 3.2.3 流管和流量流管和流量 1.1.流管和流束流管和流束 在流场中作一任意非流线的封闭曲线C，过C上每一点作出该瞬时的流线，由于这些流线是不会互相穿越的，它们所构成的管状壁面就称为流管，而里面的流体就称为流束。如果取的封闭曲线C相当小，则构成的流管称为微流管。2.2.过流断面、元流和总流过流断面、元流和总流 在流束上作出与流线相垂直的横断面称为过流断面，如果流线是相互平行的均匀流，过流断面是平面，否则就不是平面（图3

21、.11）。元流是指过流断面无限小的流束，它可以看成一条流线。总流是指过流断面为有限大的流束，它可以看成由无限多的元流构成。图.11 3过流断面3.3.流量流量 流量是指单位时间内通过某一空间曲面（往往是过流断面）流体的量。用体积表示就称体积流量，用QV表示，QV=m3/s；用质量表示就称质量流量，用Qm表示，Qm=kg/s；它们之间的关系是 mVQQ其中 流体的密度 流量的计算方法：设A为流场中的一个任意控制曲面，那么通过A曲面的体积流量Q的计算，如图3.12。AnvvndA图.12 3流量的计算方法 通过dA面的体积流量为 ddQAv ncosv nnvv 式中 是 和 两矢量的夹角。vn通

22、过A曲面上的体积流量 d()ddnAAAQQAvAv n规定，当流体是流出封闭曲面则Q0，当流体是流入封闭曲面，则Q0）。设源的源点位于极坐标的原点。流速场 图.26 3源yx=Co=Cr2rmvr0v，速度势 dddrrddrvrv rdln22mmrrr流函数 dddrrddd22rmmvrv rrr等势线是以O点为圆心的同心圆族。CCr 等势线方程，流线是由O点引出的射线。CC流线方程，若以直角坐标表示 22(,)ln2mx yxy(,)arctg2myx yx2.2.汇汇 流体在平面上从四周沿径向均匀地流入一点，这样的流动称为汇（图3.27）。流入汇点的体积流量Q称为汇流强度，一般用-

23、m表示。汇的速度势和流函数的表达式与源相同，符号相反，即 ln2 mr图.27 3汇yx=Co=Cr2 m若以直角坐标表示 22(,)ln2 mx yxy(,)arctg2 myx yx 在实际的油田中，对于均匀等厚的地层，在稳定情况下，油流向生产井可看作是汇。【例3.13】如图3.28，有一扩大的水渠，两壁面交角为1弧度，在两壁面相交处有一小缝，通过该缝流出的体积流量 （m3/s）。求：（1）该渠道的速度分布；（2）t=0时，r=2m处流体的速度和加速度。112Qt【解】（1）该渠道流量壁面交角1弧度时为 112Qt则当交角为2弧度时的流量为 1212mt源的速度势 1ln1 ln22mrt

24、r流场的速度场 1112rvtrr图.28 3水渠的流动1radr=2mo0vr（2）当t=0，r=2m处 m/s，负号表示流向O点。12rv ddrrrrrvvvavttr223111m1 s228trr3.7.3 3.7.3 环流环流 流体绕某一固定点作圆周运动，并且它的速度大小与圆周半径成反比，这样的流动称为环流（图3.29）。该固定点称为环流中心。将坐标系原点置于环流中心，则速度场为，0rv v2r式中 是个常数，称为环流强度，当质点逆时针作圆周运动时，0；当质点顺时针作圆周运动时，0。速度势 dddrvrv rd22rr流函数 dddrv rvrdln22rrr等势线方程 等势线是由

25、O点引出的射线族。CC即 流线方程，CCr 流线是以O点为圆心的同心圆族。若以直角坐标表示：(,)arctgyx y2x(,)ln 22x yxy2 在实际情况中，如大气中出现气旋，除去涡核区以外的区域，则涡核所引起的诱导速度场可用环流表征。3.7.4 3.7.4 偶极子偶极子 设在坐标原点有一强度为-m的汇，在 处有强度为m的源，图（3.30），(,0)1211()222mmm 图.30 3偶极子的形式1P(r,)rxyoB01当源和汇无限靠近时，形成偶极子，因此，sinsinlim2210mmrr mM 常数，称为偶极子强度，它的方向从汇指向源为正，可得偶极子的流函数为 sin2Mr co

26、s2Mr等势线方程，CcosCr 等势线是圆心在x轴上的圆族。流线方程，CsinCr 流线是圆心在y轴上的圆族。（如图3.30）若以直角坐标表示 22(,)2Mxx yxy22(,)2Myx yxy=C=CyxO【例3.14】已知位于原点的强度为m的源和沿x方向速度为 的均流叠加成一平面流场。0U 求 1）该平面流动的速度势和流函数；2）流场中的速度分布；3）流线方程；4）画出零流线及部分流线图。【解】（1）速度势的极坐标形式为:120cosln2mU rr流函数的极坐标形式为:120sin2mU r（2）流场中速度分布为:0cos2rmvUrr01sinvUr（3）流线方程为：令 常数，流线方程为：0sin2mU rC式中C取不同值代表不同的流线。（4）如图3.32，所示，零流线的左半支是负x轴的一部分 ，驻点 由（c）式 决定：()(,0)Ab,00cos022rmmvUUrb 故 02mbU 通过驻点的右半部分零流线由A点的流函数值决定：即 0sin,22AmU rb零流线方程为：图.32 3兰金半体U0yxbbbAO02sinsinmbrU故称右半部分所围区域为兰金（Rankine）半体，它 们的渐近线如下：当无穷远处 和 时两条流线趋于平行，渐近线方程为：0200,20,2sinyrbb 第3章结束