曲线、曲面及立体相交

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1、,第6章 曲线、曲面及立体相交,6.1 曲线的形成与投影 6.2 常见曲面 6.3 立体的三面投影 6.4 平面与曲面立体相交 6.4 两曲面立体相交,6.1 曲线的形成与投影,一、曲线概述 曲线可以看成是点的运动轨迹，也可以看作曲面与曲面或曲面与平面的交线。 1、平面曲线：曲线上的所有点在同一平面内，如圆、双曲线、抛物线、摆线等； 2、空间曲线：曲线上四个连续的点不在同一平面内，如螺旋线。 3、曲线投影性质：曲线的投影一般仍为曲线，其切线和割线的同面投影一般情况下仍为曲线投影的切线和割线。,二、圆的投影 圆的投影一般为椭圆。 1、椭圆的常用概念和术语 椭圆的直径：过椭圆中心且两端点在椭圆周线

2、上的直线段，如AB、CD； 共轭直径：图中点O为椭圆中心，AB是椭圆直径，过AB的平行弦MN的中点作直径CD，则AB和CD是该椭圆的一对共轭直径，椭圆共轭直径有无穷多对； 椭圆的长、短轴：椭圆共轭直径中互相垂直的一对共轭直径称为椭圆的长轴和短轴。 2、圆的投影特性 1）圆上任何一对互相垂直的直径的投影必为投影椭圆的一对共轭直径； 2）圆上平行于切线的弦必被过切点的直径所平分，该性质在投影中保持不变； 3）圆的外切正方形的投影成为投影圆的外切平行四边形。,3、圆的投影作图 1) 特殊位置圆的投影作图 圆与投影面平行，在该投影面上的投影为圆，在其余两个投影面上的投影集聚为直线；圆与投影面垂直时，在

3、该投影面上积聚为直线，在另两个投影面上的投影为椭圆，长轴为圆直径的实长，短轴为圆直径实长下圆所在平面和投影面夹角的余弦的积。,2) 一般位置圆的投影作图 已知平面S及面上一点O，求平面S上以点O 为圆心、直径为20mm的圆的投影。,三、圆柱螺旋线 1、螺旋线形成 动点M沿直线AB等速移动，同时直线AB又绕与它平行的轴线OO等速旋转，点M的轨迹称为圆柱螺旋线。 2、螺旋线投影作图,6.2 常见曲面,曲面形成和分类 1、形成 曲面是直线或曲线城空间运动所形成的轨迹 2、分类： 运动方式： 回转面、非回转面； 母线形状： 直线曲面、曲纹曲面。,6.3 立体的三面投影,6.3.1 立体的投影 6.3.

4、2 平面立体 6.3.3 平面截切平面立体 6.3.4 曲面立体 6.3.5 曲面立体的截切与相贯,常见的基本立体,平面立体,曲面立体,圆锥,圆环,6.3.4 平面立体,1、 棱柱 2 、棱锥,平面立体侧表面的交线称为棱线 若平面立体所有棱线互相平行，称为棱柱 若平面立体所有棱线交于一点，称为棱锥,平面立体：是由若干个平面图形所围成的几 何体，如棱柱体、棱锥体等。,棱柱体,是平面立体各表面投影的集合 -由直线段组成的封闭图形。,平面立体的投影,11,由两个底面和六个侧棱面组成。侧棱面与侧棱面的交线叫侧棱线，侧棱线相互平行。,1）六棱柱,1、 棱柱,（1）六棱柱的投影视图,-无轴投影图,13,(

5、2) 棱柱表面上取点,a,b,b,点的可见性判别： 若点所在的平面的投影可见，点的投影也可见；若平面的投影积聚成直线，点的投影也可见。,c,c,（1）三棱柱的视图,由两个底面和三个侧棱面组成。侧棱面与侧棱面的交线叫侧棱线，侧棱线相互平行。,2） 三棱柱,三棱柱的两底面为水平面，在俯视图中反映实形。 其余三个侧棱面都是铅垂面，水平投影积聚，与三角形的边重合。,点的可见性判别： 若点所在的平面的投影可见，点的投影也可见；若平面的投影积聚成直线，点的投影也可见。,由于三棱柱的表面都是平面，所以在三棱柱的表面上取点与在平面上取点的方法相同。,用相对坐标，量取坐标差的方法在表面取点。,（2）三棱柱表面的

6、点,2 、棱锥,1）棱锥的组成,由一个底面和若干侧棱面组成。侧棱线交于有限远的一点锥顶。,s,B,a,s,a,c,s,b,C,A,S,棱锥处于图示位置时,其底面ABC是水平面，在俯视图上反映实形。侧棱面SBC为侧垂面，另两个侧棱面为一般位置平面。,2）棱锥的投影三视图,s,(c),s,a,a,c,b,b,c,s,b,a,3）棱锥表面上取点,3,(3),B,C,A,S,n,n,一、平面与平面立体相交,截平面,断面,断面的边界线是 截交线。,平面立体的截交线是截平面与平面立体表面的交线。,二、平面立体截交线的性质,三. 棱柱上截交线的求法,作图方法:,1 求棱线与截平面 的共有点,2 连线,3 根

7、据可见性处理轮廓线,3,4,5,6,7,求截交线的实质是求两平面的交线,例题1 求六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影,2棱锥上截交线的求法,例题2 求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的 水平投影和侧面投影。,例题2 求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的 水平投影和侧面投影。,(1) 求Pv与sa、sb、sc的交点1、2、3为截平面与各棱线的交点、的正面投影。,1,2,3,(2) 根据线上取点的方法，求出1、2、3和1”、2”、3”。,1,1”,2”,2,3,(3) 连接各点的同面投影即等截交线的三个投影。,(4) 补全棱线的投影。,3”,具体步骤如下：,1,2,3(4),1”,

8、3”,4”,1,2,4,3,例题3 求三棱锥被截切后的水平投影和侧面投影,例题4 求立体切割后的投影,1,6,1、 圆柱 2 、圆锥 3 、圆球 4 、圆环,6.3.5 回转体,工程中常见的曲面立体,是回转体。,直母线生成的回转曲面称为直线回转面如:圆柱面、圆锥面等。,回转曲面是由母线(直线或曲线)绕定轴线作回转运动生成的。,曲母线生成的回转曲面称为曲线回转面如:圆球面、圆环面等。,回转体的表面主要由回转曲面构成。,表面由曲面或曲面和平面构成的立体称为曲面立体。,回转面的术语,O,O,顶圆,素线,赤道圆,喉圆,纬圆,底圆,母线,轴线,1、 圆柱,圆柱的形成,圆柱面上与轴线平行的任一直线称为圆柱

9、面的素线。,1）圆柱体的组成,由圆柱面和上下两底圆组成。,圆柱面是由直母线AA1绕与之平行的轴线旋转而 成。,2）圆柱的投影,圆柱面的俯视图积聚成一个圆，在另两个视图上分别以两个方向的外形轮廓线的投影表示。 其上下底圆为水平面,在俯视图上反映实形，在另两个视图上分别积聚成为一直线。,（1）分析圆柱轮廓线的投影一,（1）分析圆柱轮廓线的投影二,（2）圆柱投影对V面可见性的判别,前半面可见,后半面不可见,曲面的可见性的判断,轮廓线的投影是判断曲面可见性的依据,（3）圆柱投影对W面可见性的判别,左半面可见,右半面不可见,曲面的可见性的判断,3）圆柱表面上取点,( ),利用积聚性先求出水平投影,a,c

10、,4）圆柱面上的曲线,曲线投影的求法是先求出线段上一系列点的投影； 然后，再将这些点的投影依次光滑地连接起来。,利用积聚性 先求出侧面投影,注意求出特殊位置的点（A、C） -特殊点,圆锥的形成,2、 圆锥,圆锥面是由直母线SA绕与它相交的轴线OO1旋转而成。,1）圆锥体的组成,由圆锥面和底圆组成。,S称为锥顶，圆锥面上过锥顶的任一直线称为圆锥面的素线。,2） 圆锥的投影,如图示位置，俯视图为一圆。另两个视图为等腰三角形，三角形的底边为圆锥底圆的投影，两腰分别为圆锥面不同方向的两条轮廓素线的投影。,(1) 圆锥的投影特点,轮廓线的投影,底圆的投影,(2) 圆锥可见性的判别V面,前半面可见,后半面

11、不可见,曲面的可见性的判断。,注意：轮廓线的投影与曲面的可见性的判断,(3) 圆锥可见性的判别W面,左半面可见,右半面不可见,曲面的可见性的判断。,3） 圆锥表面上取点,A,a,a,如何取圆的半径？,圆锥表面上特殊位置的取点,例：,4）圆锥面上的曲线,求曲线上一系列点的投影； 注意：特殊点 然后，再将这些点的投影依次光滑地连接起来。,圆球的形成,3、 圆球,1）圆球的形成,球是由球面围成的。球面可看作圆绕其直径为轴线旋转而成。,2） 圆球的投影,（1）圆球的投影特点,圆球的轮廓线的投影,（2）圆球可见性的判别,3）圆球表面上取点,采用辅助圆法求圆球面上的点,圆的半径？,a,圆球面上特殊点的求法

12、,A为一般点；,例：,B、C为特殊点。,4）圆球面上的曲线,采用辅助圆法求圆球面上的线,注意：特殊点,注意：特殊点,采用辅助圆法求圆球面上的线,4）圆球面上的曲线,一圆母线绕其所在平面内的一条轴线作回转而成。,4、 圆环,点击图片播放动画,1）圆环的画法,2）圆环的投影特点,主视图是素线极限位置和内、外环分圆的投影； 俯视图是上、下环面的投影； 左视图与主视图相同。,3）圆环投影可见性的判别,圆环面上的辅助圆,4）圆环表面上取点,采用辅助圆法求圆环面上的点或线,6.4 平面与曲面立体相交,一、截交线的性质：,截交线的形状取决于曲面立体表 面的形状及截平面与曲面立体轴 线的相对位置。, 截交线都

13、是封闭的平面图形。,截交线是截平面与曲面立体表面 的共有线。,二、求平面与曲面立体截交线的一般步骤, 空间及投影分析, 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置，以便确定截交线的形状。, 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交 线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出 截交线的已知投影，预见未知投影。, 画出截交线的投影,当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：, 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。, 先找特殊点，补充中间点。,三、具体的作图步骤,四、截交线上的特殊点,矩形,椭圆,圆,6.4.1 平面与圆柱相交,截平面垂直于圆柱轴线，截交线为垂直于轴线的 圆,截平面平行于

14、圆柱轴线，截交线为平行于轴线的 两条直线,截平面倾斜于圆柱轴线，截交线为椭圆,6.4.1 平面与圆柱相交,例1 求圆柱被截切后的侧面投影,分析：截平面与圆柱轴线斜 交，截交线为椭圆。,作图方法: 1.求特殊点,1,1”,1,2.适当求一般点,34,3.连线,4.处理轮廓线,作图方法: 表面取点法,注意:当截平面与圆柱轴线交线交角为45时， 截交线投影为圆。,例2 求圆柱截交线,解题步骤 1分析 截平面为正垂面，截交线的侧面投影为圆，水平投影为椭圆；,2求出截交线上的特殊点、 、 ；,3求出若干个一般点、 、；,4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性； 5整理轮廓线。,例3 求圆柱截

15、交线,解题步骤 1分析侧面投影为圆的一部分，截交线的水平投影为椭圆的一部分； 2求出截交线上的特殊点、 ； 3求出若干个一般点、 ； 4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。,例4 求切口圆柱的水平投影和侧面投影,解题步骤 1 分析 截交线的水平投影为椭圆，侧面投影为圆； 2 求出截交线上的特殊点、 、 ； 3 求出若干个一般点、 、； 4 光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。,例5 求截切圆柱的水平投影和侧面投影,解题步骤 1 分析 截交线的水平投影为圆的一部分，侧面投影为矩形； 2 求出截交线上的特殊点、； 3 顺次地连接各点，

16、作出截交线并判别可见性； 4 整理轮廓线。,6.4.2 平面与圆锥相交,圆,椭圆,三角形,双曲线加直线段,抛物线加直线段,截平面垂直于圆锥轴线，截交线为垂直于轴线的圆。,截平面平行于圆锥轴线，或截平面倾斜于圆锥轴线且过锥顶，截交线为两相交直线。,平面截圆锥（一）,截平面平行于圆锥轴线，或截平面倾斜于圆锥轴线，且bf ， 截交线为双曲线。,截平面倾斜于圆锥轴线，且bf，截交线为椭圆。,截平面倾斜于圆锥轴线，且b=f，截交线为抛物线。,平面截圆锥（二）,求圆锥截交线上点的方法,素线法,纬圆法,分析：截平面过锥顶,截交线为 三角形。,例题1求圆锥被截切后的水平投影和侧面投影,作图：,例题2 求圆锥截

17、交线,解题步骤 1分析 截平面为正垂面，截交线为椭圆；截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆； 2求出截交线上的特殊点、 、 ； 3求出一般点； 4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性； 5整理轮廓线。,圆,6.4.3 平面与圆球相交,截平面截圆球，截交线为圆。,平面截圆球,纬圆法 在圆球表面上取若干个纬圆，并求出这些 纬圆与截平面的交点。,求圆球截交线上点的方法,例1 求圆球截交线,解题步骤 1分析 截平面为正垂面，截交线为圆；截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆； 2求出截交线上的特殊点、 、 ； 3求出若干个一般点A、B、C、D； 4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性

18、； 5整理轮廓线。,水平面截圆球的截交线的投影，在俯视图上为部分圆弧，在侧视图上积聚为直线。,两个侧平面截圆球的截交线的投影，在侧视图上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。,例2 求圆球截交线,例2 求圆球截交线,6.5 曲面立体与曲面立体相贯,两曲面立体的相贯线，在一般情况下是封闭的空间曲线，相贯线上每个点都是两曲面立体表面的共有点。,相贯线是两曲面立体表面的共有线，相贯线上的点是两曲面立体表面的共有点。 不同的立体以及不同的相贯位置，相贯线的形状也不同。一般情况下两回转体相贯，相贯线为封闭的空间曲线，特殊情况为平面曲线或直线。,1.两回转体相交,交线为相贯线,2.相贯线为二立体表面的公共线,

19、3.相贯线一般为封闭的空间曲线,圆柱与圆锥,相贯线为二立体表面公共线,相贯线,相贯线,圆柱与圆柱,封闭的空间曲线,10.5.1 两回转体相交,一、曲面立体相贯线的性质图例,二、曲面立体相贯的三种基本形式,2 外表面与内表面相交；,1 两外表面相交；,3 两内表面相交。,三、求曲面立体相贯线的方法,1表面取点法 2辅助平面法 3辅助球面法,求曲面立体相贯线的方法有：,四、求相贯线的一般步骤,2求作相贯线上的特殊点。 3根据需要求出若干个一般点。 4光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并判别可见性。 5整理轮廓线。,特殊点,分析:,1.相贯线水平投影不用求,2.相贯线侧面投影不用求,作图:,最前点

20、1,最后点 2,最低点,最左点 3,最右点 4,最高点,2.适当求一般点,3.连线,1,2,3,4,1.求特殊点,例1 求二圆柱的相贯线,1. 利用积聚性的表面取点法,圆柱表面交线的三种情况,两外表面相交,外表面与内表面相交,两内表面相交,两正交圆柱相贯线的变化趋势,2、利用辅助平面法求相贯线,辅助面的选用原则,例2 求圆柱与圆锥的相贯线,解题步骤 1 分析 相贯线的侧面投影已知，可利用辅助平面法求共有点； 2 求出相贯线上的特殊点 、 、； 3 求出若干个一般点 、； 4 光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。,用辅助平面求共有点示意图,用水平面作为辅助平面求共有点,特殊位置和形状的相贯线,-等径正交两圆柱的相贯线,三个圆柱的复合相贯,相贯线的简化画法,国家标准规定，在不引起误解的情况下，相贯线允许采用简化画法，如可用直线或圆弧代替非圆曲线。,本 章 结 束,