振型分解反应谱法

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1、工程抗震原理Principles of Seismic Engineering,土木工程专业本科专业课,第三章 建筑结构抗震原理,1 概述 2 单自由度体系地震反应分析 3 单自由度体系水平地震作用 4 多自由度体系地震反应分析 5 地震分析振型分解反应谱法 6 水平地震作用的底部剪力法 7 考虑扭转的水平地震作用 8 结构竖向地震作用 9 建筑结构抗震验算 10 结构自振周期和频率的实用计算方法 11 工程结构地震反应的时程分析方法 12 地基与结构动力相互作用效应,第三章 建筑结构抗震原理,上次课重点回顾： 多自由度体系地震反应分析 动力方程的建立 振型、频率 振型的正交性 求解多自由度反

2、应的振型分解法,4 多自由度体系地震反应分析,4.2 地震反应分析的振型叠加法 1. 振型与自振频率 求解弹性体系的自振频率和振型称为自振特性分析。 由于体系的固有频率和相应的振型都仅取决于体系自身的性质，而与时间无关，所以从广义的观点，自振特性分析的基本手段是变量分离法，即把时间因素与结构位置因素分离后，利用特征方程具有非零解的充分必要条件求取自振频率及相应的振型。,4 多自由度体系地震反应分析,无阻尼多自由度弹性体系的自由振动方程为： 设结构作简谐振动，其位移反应为： 式中，自振频率；初始相位角; 仅与位置坐标有关的向量。 可以得到特征方程： 根据线性代数的知识，特征方程存在非零解的充要条

3、件是系数行列式等于零，即得到频率方程：,4 多自由度体系地震反应分析,根据特征方程： 对应于频率方程中的每一个根，都存在特征方程的一个非零解j，称为振型向量，或叫特征向量，或叫模态向量。 由于特征方程的齐次性，该非零解是不定的，即振型向量幅值是任意的，但形状是唯一的。 因此，振型定义为结构位移形状保持不变的振动形式。 根据 可知，若结构体系按某一振型振动，则体系的所有质点将按同一频率作简谐振动。,4 多自由度体系地震反应分析,2. 振型的正交性 根据特征方程： 分别对振型i、j列出运动方程： 左式(a)两边乘以向量j的转置jT，右式两边乘以向量i的转置iT，则有： 左式不变，而对右式进行转置运

4、算可得,8/180,4 多自由度体系地震反应分析,2.振型正交性 对ji，则有： 同时有： 分别称为振型对质量矩阵的正交性和振型对刚度矩阵的正交性。,4 多自由度体系地震反应分析,振型的两两正交特性说明它们具备作为一类线性空间基底的基本条件。 事实上，由振型向量所张成的线性空间正是一般动力反应空间，在这空间的任一点表示一个特定的动力反应，并且这一点的坐标值可由关于基底（振型）的广义坐标给出。,4 多自由度体系地震反应分析,一般的多自由度线弹性体系，式(3-59)可写成如下形式 其中： -位移向量 -广义坐标向量 -振型矩阵 -为体系的第j个振型向量。,(3-60),4 多自由度体系地震反应分析

5、,利用振型关于质量矩阵的正交性及式(3-60)，可以导出广义坐标(qj(t)与一般位移(ui(t)反应的关系。将式(3-60)两端分别前乘 在水平地震运动作用下，多自由度弹性体系的运动方程为： 将式(3-60)代入式(3-40)，并前乘振型向量的转置 ，利用振型向量对质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵的正交性，可得：,（3-40）,（3-61）,4 多自由度体系地震反应分析,注意到 ， ，上式可化成 其中 称 为第j振型的振型参与系数。 利用单自由度体系的杜哈美积分公式，广义坐标 可表示为假定初始条件为 ,（3-62）,（3-63）,（3-64a）,4 多自由度体系地震反应分析,可简记为 其中 式中

6、，j(t)阻尼比和自振频率分别为j 和j 的单自由度弹性体系的位移反应。,（3-64b）,（3-64c）,第三章 建筑结构抗震原理,1 概述 2 单自由度体系地震反应分析 3 单自由度体系水平地震作用 4 多自由度体系地震反应分析 5 地震分析振型分解反应谱法 6 水平地震作用的底部剪力法 7 考虑扭转的水平地震作用 8 结构竖向地震作用 9 建筑结构抗震验算 10 结构自振周期和频率的实用计算方法 11 工程结构地震反应的时程分析方法 12 地基与结构动力相互作用效应,5 地震分析振型分解反应谱法,采用振型分解法可求得体系各质点的位移、速度和绝对加速度时程曲线，但对于工程实践而言，振型分解法

7、还是较为复杂，且运用不便。 注意到工程抗震设计时仅关心各质点反应的最大值，给合单自由度体系的反应谱理论，在振型分解法的基础上，可导出更实用的振型分解反应谱法。,5 地震分析振型分解反应谱法,思路：利用各振型相互正交的特性，将原来耦联的微分方程组变为若干互相独立的微分方程，从而使原来多自由度体系的动力计算变为若干个单自由度体系的问题； 求解：在求得了各单自由度体系的解后，再将各个解进行组合，从而可求得多自由度体系的地震反应。,5 地震分析振型分解反应谱法,5.1 水平地震作用的确定 多自由度弹性体系的水平地震作用可用各质点所受惯性力来代表，故质点i上的水平地震作用为： 可以证明： 因此： 其中

8、称为i质点对应j振型的水平地震作用。,(3-67),5 地震分析振型分解反应谱法,根据前述反应谱的概念，由此可得， 因此，结构的水平地震作用按下式计算： -体系j振型i质点水平地震作用标准值计算公式 式中，Fji j振型i质点的水平地震作用； j 相应于j振型自振频率j和阻尼比j的水平地震影响系数； Sja 相应于j振型自振频率j和阻尼比j的水平向地震加速度反应谱值；,(3-68),5 地震分析振型分解反应谱法,ji j振型i质点的水平相对位移； j j振型的参与系数； Gi 集中于i质点的重力荷载代表值。 据此，结合抗震设计规范给出的设计反应谱Sa或曲线，可方便地求得对应于某一振型各质点的最

9、大水平地震作用，再按照一般的结构力学原理，把地震作用视为静力荷载，可求得对应于各振型的地震作用效应（弯矩、剪力、轴力、位移等） Sj。,课堂讨论： 由式 计算地震效应，其中利用单自由度模型计算出水平地震影响系数j，水平地震作用Fji是 值，对应于j单自由度模型 时刻的反应。 1、A.最大值； B.第j模态i质点处峰值； C.平均值；D.第j单自由度体系最大值； 2、A.第j周期Tj；B.任意； C.峰值点；D.某特定；,5 地震分析振型分解反应谱法,B,C,5 地震分析振型分解反应谱法,5.2 振型组合方法 根据前述 结构在任一时刻所受的地震作用等于结构对应于各振型的地震作用之和。 应该注意到

10、，当某一振型的地震作用达到最大值时，其余各振型的地震作用不一定也达到最大值，因而结构地震作用的最大值并不等于各振型地震作用最大值之和。 因此，如果要利用对应于各振型的最大地震作用效应来求结构总的地震作用效应，将存在各振型最大反应如何组合的问题。,5 地震分析振型分解反应谱法,假定地震地面运动为平稳随机过程，根据随机振动理论可知，结构总的地震作用效应S与各振型的地震作用效应Sj的关系近似描述为： 即为振型组合公式，称为完全二次项组合法，简称CQC法（Complete QuadraticCombination）。 式中， S 水平地震作用效应； m参与组合的振型数，可取35个振型；如结果较复杂，振

11、型个数可适当增加； ij振型互相关系数。,5 地震分析振型分解反应谱法,一般情况下，当任意两个振型频率之比大于2或小于0.5时，可以不考虑振型之间的相关性。 此外，当阻尼比0.1时，工程设计中通常取振型阻尼比i=j=，如满足 则可以认为ij近似为零，此时振型组合公式可改写为： 称为“平方和开平方”法，简称SRSS法(Square Root of Sum of Squares )。,5 地震分析振型分解反应谱法,建筑抗震设计规范规定，结构的水平地震作用效应（弯矩、剪力、轴向力和变形）按下式计算： 式中，SEk水平地震作用标准值的效应； Sjj振型水平地震作用标准值的效应。 一般可取23个振型,

12、当基本自振周期T11.5s 或房屋高宽比大于5时，振型个数可适当增加。,5 地震分析振型分解反应谱法,总的： -体系j振型i质点水平地震作用标准值计算公式 j -相应于j振型自振周期的地震影响系数； xji - j振型i质点的水平相对位移； j - j振型的振型参与系数； Gi - i质点的重力荷载代表值。,地震作用效应 （弯矩、位移等）,Sj-j振型地震作用产生的地震效应；,m -选取振型数,一般只取2-3个振型，当基本自振周期大于1.5s或房屋高宽比大于5时，振型个数可适当增加。,例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。 抗震设防烈度为8度，类场地，设计地震分组为第二组。

13、,解：,已知体系的自振周期和振型,（1）计算各振型的地震影响系数,查表得,第一振型,第二振型,第三振型,解：,已知体系的自振周期和振型,（2）计算各振型的振型参与系数,第一振型,第二振型,第三振型,解：,已知体系的自振周期和振型,（3）计算各振型各楼层的水平地震作用,第一振型,解：,已知体系的自振周期和振型,（3）计算各振型各楼层的水平地震作用,第二振型,解：,已知体系的自振周期和振型,（3）计算各振型各楼层的水平地震作用,第三振型,解：,已知体系的自振周期和振型,（3）计算各振型各楼层的水平地震作用,（4）计算各振型的地震作用效应（层间剪力）,第一振型,解：,已知体系的自振周期和振型,（3）

14、计算各振型各楼层的水平地震作用,（4）计算各振型的地震作用效应（层间剪力）,第二振型,解：,已知体系的自振周期和振型,（3）计算各振型各楼层的水平地震作用,（4）计算各振型的地震作用效应（层间剪力）,第三振型,解：,已知体系的自振周期和振型,（3）计算各振型各楼层地震作用,（4）计算各振型的地震作用效应,（5）计算地震作用效应（层间剪力）,解：,已知体系的自振周期和振型,工程结构抗震原理,37/322,5 地震分析振型分解反应谱法,本节重点： 振型分解的概念和计算（至少掌握前3阶的手算技能）； 振型分解反应谱法计算水平地震作用； 两种组合方法（SRSS和CQC法）的适用条件。,课后作业：,P83页例题，课下仔细学习。 书上本章复习题：3-4和3-5题,