实验二时域分析

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1、实验二 信号与系统的时域分析一、实验目的1、熟悉和掌握常用的用于信号与系统时域仿真分析的MATLAB函数；2、牢固掌握系统的单位冲激响应的概念，掌握 LTI 系统的卷积表达式及其 物理意义，掌握卷积的计算方法、卷积的基本性质；3、掌握利用MATLAB计算卷积的编程方法，并利用所编写的MATLAB程 序验证卷积的常用基本性质；4、掌握 MATLAB 描述 LTI 系统的常用方法及有关函数，并学会利用 MATLAB求解LTI系统响应，绘制相应曲线。二、实验原理1 LTI系统的时域描述1.1 线性时不变系统在分析LTI系统时，有关LTI系统的两个重要的性质是必须首先掌握和理解 的。这就是线性性(Li

2、nearity)和时不变性(Time-invariance)。所谓线性性就 是指系统同时满足齐次性和叠加性。这可以用下面的方法来描述。假设系统在输入信号X(t)作用时的响应信号为y1(t)，在输入信号x2(t)作用时 的响应信号为y2(t)，给定两个常数a和b，如果当输入信号为x(t)时系统的响应 信号为y(t),且满足x(t) = x1(t) + x2(t)y(t) = y1(t) + y2(t)则该系统具有叠加性(Additivity)。如果满足1.9(a)1.9(b)x(t) = ax1(t) y(t) = ay1(t)1.10(a)1.10(b)则该系统具有齐次性(Homogeneit

3、y)。一个系统如果是线性系统的话，那么这 个系统必须同时具有叠加性和齐次性。又假设系统在输入信号x(t)作用时的响应信号为y(t)，对一个给定时间常数 t0，如果当输入信号为x(t-t0)时，系统的响应信号为y(t-t0)的话，则该系统具有时 不变性。同时具有线性性和时不变性的系统，叫做线性时不变系统，简称 LTI 系统。 LTI系统有连续时间LTI系统和离散时间LTI系统之分。连续时间系统的输入和 输出信号都必须是连续时间信号，而离散时间系统的输入和输出信号都必须是离 散时间信号。1.2 LTI系统的单位冲激响应和卷积模型给定一个连续时间LTI系统，在系统的初始条件为零时，用单位冲激信号6(

4、t) 作用于系统，此时系统的响应信号称为系统的 单位冲激响应 (Unit impulse response)，一般用h(t)来表示。需要强调的是，系统的单位冲激响应是在激励信 号为8(t)时的零状态响应(Zero-state response)。系统的单位冲激响应是一个非常重要的概念，对于一个系统，如果我们知道 了该系统的单位冲激响应，那么，该系统对任意输入信号的响应信号都可以求得。 也就是说，系统的输入信号x(t)、xn和输出信号y(t)、yn之间的关系可以用一 个数学表达式来描述，这个数学表达式为y(t)=代 x(T )h(t-t )dT1.11(a)g这个表达式就是LTI系统的卷积模型，

5、它是根据系统的线性性和时不变性以 及信号可以分解成单位冲激函数经推理得到的。这个表达式实际上告诉了我们一 个重要的结论，那就是，任意LTI系统可以完全由它的单位冲激响应h(t)/hn 来确定。由于系统的单位冲激响应是零状态响应，故按照式 1.11 求得的系统响 应也是零状态响应。式 1.11 中的积分运算叫做卷积积分，求和运算叫做卷积和， 是描述连续时间系统输入输出关系的一个重要表达式。1.3卷积的计算卷积的计算通常可按下面的五个步骤进行(以卷积积分为例)：1. 更换两个信号波形图中的横坐标，由t改为T，T变成函数的自变量；2. 把其中一个信号反褶，如把h(T)变成h(-T)；3. 把反褶后的

6、信号做移位，移位量是t,这样t是一个参变量。在T坐标系中， t 0时图形右移，t 0时图形左移。4. 计算两个信号重叠部分的乘积 x(T)h(t-T)；5. 完成相乘后图形的积分。对于两个时限信号(Time-limited signal)，按照上述的五个步骤，作卷积积 分运算时，关键是正确确定不同情况下的积分限。只要正确地确定了积分限都能 得到正确定积分结果。尽管如此，在时域中计算卷积积分，总体上来说是一项比 较困难的工作。借助MATLAB的内部函数conv()可以很容易地完成两个信号的卷积积分运 算。其语法为：y = conv(x,h)。其中x和h分别是两个作卷积运算的信号，y为 卷积结果。

7、用 MATLAB 处理连续时间信号时，独立时间变量 t 的变化步长应该是很小 的，假定用符号dt表示时间变化步长，那么，用函数conv()作两个信号的卷积 积分时，应该在这个函数之前乘以时间步长方能得到正确的结果。也就是说，正 确的语句形式应为： y = dt*conv(x,h)。对于定义在不同时间段的两个时限信号x(t)，t0 t t1,和h(t)，t2 t t3o如 果用y(t)来表示它们的卷积结果，则y(t)的持续时间范围要比x(t)或要长，其 时间范围为t0+t2 t t+t3。这个特点很重要，利用这个特点，在处理信号在时 间上的位置时，可以很容易地将信号的函数值与时间轴的位置和长度关

8、系保持一 致性。根据给定的两个连续时间信号h(t) = tu(t)-u(t-1)和x(t) = u(t)-u(t-l),编写程 序，完成这两个信号的卷积运算，并绘制它们的波形图。范例程序如下：% Program2_1% This program computes the convolution of two continuou-time signals clear;close all;t0 = -2; t1 = 4; dt = 0.01;t = t0:dt:t1;x = u(t)-u(t-1);h = t.*(u(t)-u(t-1);y = dt*conv(x,h);% Compute the

9、 convolution of x(t) and h(t)subplot(2,2,1)plot(t,x), grid on, title(Signal x(t), axis(t0,t1,-0.2,1.2)subplot(2,2,2)plot(t,h), grid on, title(Signal h(t), axis(t0,t1,-0.2,1.2)subplot(2,1,2)t = 2*t0:dt:2*t1; % Again specify the time range to be suitable to the% convolution of x and h.plot(t,y); grid

10、ontitle(The convolution of x(t) and h(t) axis(2*t0,2*t1,-0.1,0.6);xlabel(Time t sec)1.4用线性常系数微分方程描述LTI系统在MATLAB中，一个LTI系统可以用系统微分方程的系数来描述，例如, 一个LTI连续时间系统的微分方程为学 + 3 竽 + 2 y () = x(t)dt2dtMATLAB则用两个系数向量num = 1和den = 1 3 2来描述该系统，其中num和den分别表示系统微分方程右边和左边的系数，按照微分运算的降阶排列。MATLAB 的内部函数 impulse()， step()， ini

11、tial()， lsim() 可以用来计算并绘制连续时间LTI系统的单位冲激响应，单位阶跃响应和任意信号作用于系统的零状态响应。这些函数的用法描述如下：h= impulse(sys, T) 和 impulse(sys, T)s = step(sys, T)和 step(sys, T)y = lsim(sys, x, t) 和 lsim (sys, x, t)式中sys是LTI系统模型，用来表示微分方程、差分方程、状态方程。在求 解微分方程时，微分方程的LTI系统模型sys要借助MATLAB中的tf函数来获 得，其调用形式为：sys=tf(num,den)函数impulse。, step()用来

12、计算由sys表示的LTI系统的单位冲激响应和单位 阶跃响应，响应的时间范围为0T，其中den和num分别为系统微分方程左右 两边的系数向量，T为指定的响应的终点时间。h和s的点数默认值为101点。 由此可以计算时间步长为dt = T/(101-1)。不带返回值的函数如impulse(num, den,T)和step(num, den, T)将直接在屏幕上绘制系统的单位冲激响应和单位阶跃响应 曲线。带返回值的函数如y = lsim(num, den, x, t)和lsim(num, den, x, t),用来计算 由num和den表示的LTI系统在输入信号x作用下的零状态响应。其中t为指定 的时

13、间变化范围, x 为输入信号,它们的长度应该是相同的。如带返回参数 y, 则将计算的响应信号保存在y中，若不带返回参数y,则直接在屏幕上绘制输入 信号 x 和响应信号 y 的波形图。例如，编写程序，计算并绘制由下面的微分方程表示的系统的单位冲激响应 h(t)，单位阶跃响应s(t)。d2 y (t) * 3 dy (t)dt 2dt+ 2 y (t) = 8 x (t)MATLAB范例程序如下：% Program2_2% This program is used to compute the impulse response h(t) and the step response s(t) of

14、a% continuous-time LTI systemclear, close allnum = input(Type in the right coefficient vector of differential equation： ); den = input(Type in the left coefficient vector of differential equation： ); sys=tf(num,den)t = 0:0.01:8x = input(Type in the expression of the input signal x(t)： )subplot(2,2,1

15、),impulse(sys,8)subplot(2,2,2),step(sys,8)subplot(2,2,3),plot(t,x)subplot(2,2,4),lsim(sys,x,t)三、实验内容及步骤实验前，必须首先阅读本实验原理，读懂所给出的全部范例程序。实验开始时，先在计算机上运行这些范例程序，观察所得到的信号的波形图。并结合范例 程序应该完成的工作，进一步分析程序中各个语句的作用，从而真正理解这些程 序。实验前，一定要针对下面的实验项目做好相应的实验准备工作，包括事先编 写好相应的实验程序等事项。Q2-1：编写程序Q2_l,使之能够接受以键盘方式输入的定义在不同时间段的两 个不同连

16、续时间信号并完成卷积运算，分别绘制这两个信号及其卷积的结果的图 形，图形按照2x2分割成四个子图。编写的程序Q2_1如下：信号x (t)、h(t)和x (t)*h(t)的波形图此处粘贴图形Q2-2仿照范例程序Program2_2，编写程序Q2_2，计算并绘制由如下微分方程 表示的系统在输入信号为x(t) = (e-2t- e-3t)u(t)时的零状态响应和你手工计算得到 的系统零状态响应曲线。d2 y (t)dy (t)8 (八:+ 3； + 2 y (t) = 8 x(t) dt 2dt手工计算得到的系统零状态响应的数学表达式是：编写的程序Q2_2如下：用MATLAB绘制的手工计算的系统响应

17、粘帖用MATLAB绘制的手工计算的系统响应执行程序Q2_2得到的系统响应此处粘帖执行程序 Q2_2 得到的系统响应Q2-3：利用程序Q2_l,验证卷积的相关性质。(a) 验证性质：x(t) * 6 (t) = x(t)选择信号x(t)的数学表达式为：x(t)、8(t)和 x(t)*8(t)的波形验证所得结论是：(b) 验证性质：x(t)*6 (t-1 )二 x(t-1 )00选择信号x(t)的数学表达式为：x(t)、8(t-t0)和x(t)*6 (t -10)的波形验证所得结论是：(c)验证性质：x(t 一 t ) * 6 (t 一 t ) = x(t 一 t ) * 6 (t 一 t ) = x(t 一 t 一 t )l22ll 2选择信号x(t)的数学表达式为： 选择的 tl =秒, t2 =秒。执行程序Q2_1，输入信号x(t-t1)和S(t-t2)的数学表达式，得到的信号及其卷积 的波形图如下：执行程序Q2_1，输入信号x(t-t2)和S(t-t1)的数学表达式，得到的信号及其卷积的波形图如下：验证所得结论是：Q2-4:做如下总结：1、信号与系统分析，就是基于信号的分解，在时域中，信号主要分解成2、求解连续时间 LTI 系统的单位冲激响应、单位阶跃响应以及系统在某一个输入信号作用下的零状态响应的MATLAB函数有哪些？