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1、,第二章,二、自变量趋于有限值时函数的极限,第三节,自变量变化过程的六种形式:,一、自变量趋于无穷大时函数的极限,本节内容 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的极限,一、自变量趋于无穷大时函数的极限,定义1 . 设函数,大于某一正数时有定义,若,则称常数,时的极限,几何解释:,记作,直线 y = A 为曲线,的水平渐近线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,A 为函数,两种特殊情况 :,当,时, 有,当,时, 有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 证明,证:,取,因此,注:,就有,故,欲使,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,直线 y = A 仍是曲线 y = f (x
2、) 的渐近线 .,几何意义 :,例如，,都有水平渐近线,都有水平渐近线,又如，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、自变量趋于有限值时函数的极限,1.,时函数极限的定义,引例. 测量正方形面积.,面积为A ),边长为,(真值:,边长,面积,直接观测值,间接观测值,任给精度 ,要求,确定直接观测值精度 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义1 . 设函数,在点,的某去心邻域内有定义 ,当,时, 有,则称常数 A 为函数,当,时的极限,或,即,当,时, 有,若,记作,几何解释:,极限存在,函数局部有界,这表明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 证明,证:,故,对任意的,当,时
3、 ,因此,总有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 证明,证:,欲使,取,则当,时 , 必有,因此,只要,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 证明,证:,故,取,当,时 , 必有,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 证明: 当,证:,欲使,且,而,可用,因此,只要,时,故取,则当,时,保证 .,必有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 局部保号性定理,定理1 . 若,且 A 0 ,证: 已知,即,当,时, 有,当 A 0 时,取正数,则在对应的邻域,上,( 0),则存在,( A 0 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,若取,则在对应的邻域,上,若,则存在
4、,使当,时, 有,推论:,分析:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 2 . 若在,的某去心邻域内, 且,则,证: 用反证法.,则由定理 1,的某去心邻域 ,使在该邻域内,与已知,所以假设不真,(同样可证,的情形),思考: 若定理 2 中的条件改为,是否必有,不能!,存在,如,假设 A 0 ,条件矛盾,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 左极限与右极限,左极限 :,当,时, 有,右极限 :,当,时, 有,定理 3 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 设函数,讨论,时,的极限是否存在 .,解: 利用定理 3 .,因为,显然,所以,不存在 .,机动 目录 上页 下页 返
5、回 结束,三、 极限的四则运算法则,则有,定理 1 . 若,机动 目录 上页 下页 返回 结束,推论: 若,且,则,利用保号性定理证明 .,说明: 定理 1 可推广到有限个函数相加、减的情形 .,提示: 令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 2 . 若,则有,说明: 定理 2 可推广到有限个函数相乘的情形 .,推论 1 .,( C 为常数 ),推论 2 .,( n 为正整数 ),例1. 设 n 次多项式,试证,证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(详见P44),定理 3 . 若,且 B0 , 则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,x = 3 时分母为 0 !,例3. 设有分式
6、函数,其中,都是,多项式 ,试证:,证:,说明: 若,不能直接用商的运算法则 .,例4.,若,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4 . 求,解: x = 1 时,分母 = 0 , 分子0 ,但因,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5 . 求,解:,时,分子,分子分母同除以,则,分母,“ 抓大头”,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一般有如下结果：,为非负常数 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、 复合函数的极限运算法则,定理4. 设,且 x 满足,时,又,则有,证:,当,时, 有,当,时, 有,对上述,取,则当,时,故,因此式成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
7、定理4. 设,且 x 满足,时,又,则有,说明: 若定理中,则类似可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 求,解: 令,已知, 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2 . 求,解: 方法 1,则,令, 原式,方法 2,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、 两个重要极限,一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则,第五节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,极限存在准则及,两个重要极限,第二章,一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则,1. 函数极限与数列极限的关系,定理1.,有定义,为确定起见 , 仅讨论,的情形.,有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理1.,有定
8、义,且,设,即,当,有,有定义 , 且,对上述 ,时, 有,于是当,时,故,可用反证法证明. (略),有,证：,当,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理1.,有定义,且,有,说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 .,法1 找一个数列,不存在 .,法2 找两个趋于,的不同数列,及,使,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 证明,不存在 .,证: 取两个趋于 0 的数列,及,有,由定理 1 知,不存在 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 函数极限存在的夹逼准则,定理2.,且,( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,圆扇形AOB的面积,二、
9、两个重要极限,证: 当,即,亦即,时，,显然有,AOB 的面积,AOD的面积,故有,注,注 目录 上页 下页 返回 结束,当,时,注,例2. 求,解:,例3. 求,解: 令,则,因此,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解: 原式 =,例5. 已知圆内接正 n 边形面积为,证明:,证:,说明: 计算中注意利用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,证: 当,时, 设,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当,则,从而有,故,说明: 此极限也可写为,时, 令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 求,解: 令,则,说明 ：若利用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,原式,例7. 求,解: 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的不同数列,内容小结,1. 函数极限与数列极限关系的应用,(1) 利用数列极限判别函数极限不存在,(2) 数列极限存在的夹逼准则,法1 找一个数列,且,使,法2 找两个趋于,及,使,不存在 .,函数极限存在的夹逼准则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 两个重要极限,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,填空题 ( 14 ),第七节 目录 上页 下页 返回 结束,
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