最优化模型计算讲座一

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1、 东南大学数学系东南大学数学系殷殷 翔翔第二讲第二讲最优化问题的最优化问题的LINGO建模与求建模与求解解第三讲第三讲LINGO软件与外部文件间的数据传软件与外部文件间的数据传递递第四讲第四讲应用应用LINGO软件求解数学建模问软件求解数学建模问题题第一讲第一讲 最优化模型与最优化模型与LINGO入门入门 LINGO和和Excel在数学建模中的应用在数学建模中的应用.袁新生等编著袁新生等编著.科学出版社科学出版社 LINGO用户指南用户指南(LINGO8.0的帮助文档的帮助文档)最优化模型与实验最优化模型与实验.朱德通编著朱德通编著.同济大学出版社同济大学出版社 Optimization Mo

2、deling with LINGO(Sixth Edition).LINDO Systems,Inc.()Applications of optimization with Xpress-MP.Dash Optimization Ltd.()运筹学运筹学.刁在筠等编著刁在筠等编著.高等教育出版社高等教育出版社 新编新编运筹学教程运筹学教程.杨文鹏等编著杨文鹏等编著.陕西科学技术出版社陕西科学技术出版社 v 最优化问题的数学模型最优化问题的数学模型v LINDO公司的主要软件产品及功能简介公司的主要软件产品及功能简介v LINGO软件使用简介软件使用简介v LINGO常用函数常用函数，即，即最优

3、化理论最优化理论，或在有的领域被称为，或在有的领域被称为管理管理科学科学，是近几十年发展和形成的一门新兴的，是近几十年发展和形成的一门新兴的应用性应用性学科学科。它主要。它主要解决解决最优生产计划、最优分配、最优最优生产计划、最优分配、最优设计、最优决策、最佳管理等最优化问题。主要设计、最优决策、最佳管理等最优化问题。主要研研究方法究方法是是定量化、系统化和模型化方法定量化、系统化和模型化方法，特别是运，特别是运用各种数学模型和技术来解决问题。用各种数学模型和技术来解决问题。由于实际问题的由于实际问题的规模一般都很大规模一般都很大，即使建立了，即使建立了数学模型，找到了求解方法，但面对庞大的计

4、算量数学模型，找到了求解方法，但面对庞大的计算量也只能望而却步。也只能望而却步。，一个一个方便而强大方便而强大的求解最优化问题软件是必不可少的求解最优化问题软件是必不可少的。的。LINGO优化软件包优化软件包就是一个理想的软件工具。就是一个理想的软件工具。实际问题的实际问题的最优化模型最优化模型mixgtsxxxxfzMaxMiniTn,2,1,0)(.),(),()(1或或x决策变量决策变量f(x)目标函数目标函数gi(x)0约束条件约束条件数学规划数学规划线性规划线性规划(LP)二次规划二次规划(QP)非线性规划非线性规划(NLP)纯整数规划纯整数规划(PIP)混合整数规划混合整数规划(M

5、IP)整数规划整数规划(IP)0-1整数规划整数规划一般整数规划一般整数规划连续规划连续规划 美国芝加哥美国芝加哥(Chicago)大学的大学的Linus Schrage教授于教授于1980年前后开发年前后开发,后来成立后来成立 LINDO系统公司（系统公司（LINDO Systems Inc.），），网址：网址：http:/ LINGO:Linear INteractive General Optimizer (V10.0)LINDO API:LINDO Application Programming Interface (V5.0)Whats Best!:(SpreadSheet e.g.

6、EXCEL)(V9.0)演示演示(试用试用)版、学生版、高级版、超级版、工业版、版、学生版、高级版、超级版、工业版、扩展版扩展版（求解（求解问题规模问题规模和和选件选件不同）不同）线性规划线性规划(LP)非线性规划非线性规划(NLP)二次规划二次规划(QP)例例1：奶制品加工计划奶制品加工计划1桶牛奶 3公斤A1 12小时 8小时 4公斤A2 加工利润24元/公斤 利润16元/公斤 v问题问题1 1：制订生产计划，使每天获利最大？：制订生产计划，使每天获利最大？问题问题2：若市场有若市场有35元元1桶牛奶，是否购买？每天最多桶牛奶，是否购买？每天最多 买多少买多少?问题问题3：如聘用临时工，其

7、工资最多是每小时几元：如聘用临时工，其工资最多是每小时几元?问题问题4：A1利润改为利润改为30元元/公斤，是否需调整计划公斤，是否需调整计划？x1桶牛奶生产桶牛奶生产A1 x2桶牛奶生产桶牛奶生产A2 获利获利 243x1 获利获利 164 x2 原料供应原料供应 5021 xx劳动时间劳动时间 48081221 xx加工能力加工能力 10031x决策变量决策变量 目标函数目标函数 216472xxzMax每天获利每天获利约束条件约束条件非负约束非负约束 0,21xx线性线性规划规划模型模型(LP)Global optimal solution found at iteration:4 Ob

8、jectivevalue:3360.000Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000 X2 30.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3360.000 1.000000 2 0.000000 48.00000 3 0.000000 2.000000 4 40.00000 0.000000max=72*x1+64*x2;x1+x2=50;12*x1+8*x2=480;3*x1=100;打开打开LINGO8.0，在模型，在模型窗口输入窗口输入LINGO程序程序所有的决策变量均默认为非

9、负所有的决策变量均默认为非负目标函数用目标函数用max=或或min=表示表示每个语句必须以分号每个语句必须以分号“；”结结束，每行可以有多个语句，语束，每行可以有多个语句，语句可以跨行，注释语句以句可以跨行，注释语句以“！”开头开头L I N G O 模 型 以 语 句模 型 以 语 句“MODEL：”开头，开头，“END”结束。（可略）结束。（可略）LINGO模型默认的文件格模型默认的文件格式为式为*.lg4，其它还有文本格，其它还有文本格式式*.lng点击工具条上的按钮点击工具条上的按钮 ，执行程序，得到结果：，执行程序，得到结果：4 4次迭代后得到全局最优解次迭代后得到全局最优解最优目标

10、值为最优目标值为33603360最优解：最优解：20桶牛奶生产桶牛奶生产A1,30桶生产桶生产A2“Slack or Surplus”表示松表示松驰变量值，即约束条件中驰变量值，即约束条件中的资源剩余量。的资源剩余量。资源剩余资源剩余为零的约束为为零的约束为紧约束紧约束（有（有效约束）效约束）“Reduced Cost”表示变量在表示变量在最优单纯形表中的判别数最优单纯形表中的判别数（检验数），表示当变量单（检验数），表示当变量单位变化时位变化时,目标值的变化量目标值的变化量Global optimal solution found at iteration:4 Objectivevalue:

11、3360.000Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000 X2 30.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3360.000 1.000000 2 0.000000 48.00000 3 0.000000 2.000000 4 40.00000 0.000000基变量基变量的的Reduced Cost值为值为0；非基变量非基变量xj的的Reduced Cost值表示当该非基变量值表示当该非基变量xj 增加一个单位时目标函数的增加一个单位时目标函数的减少量减少量(max型问题型问题

12、)Global optimal solution found at iteration:4 Objectivevalue:3360.000Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000 X2 30.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3360.000 1.000000 2 0.000000 48.00000 3 0.000000 2.000000 4 40.00000 0.000000“Dual Price”（对偶价格）（对偶价格）表示在表示在最优解下，某资源增最优解下，某资源增加一

13、个单位时，目标值的增加一个单位时，目标值的增量量（也称（也称影子价格影子价格）每个约束都有一对偶价格，每个约束都有一对偶价格，非紧约束非紧约束的的对偶价格为对偶价格为0；紧约束紧约束（资源无剩余）的对资源无剩余）的对偶价格非偶价格非0，表示增加单位，表示增加单位资源的最高出价资源的最高出价 Ranges in which the basis is unchanged:Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X1 72.00000 24.0000

14、0 8.000000 X2 64.00000 8.000000 16.00000 Righthand Side Ranges Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease 2 50.00000 10.00000 6.666667 3 480.0000 53.33333 80.00000 4 100.0000 INFINITY 40.00000 “Objective Coefficient Ranges”：约束条件不变约束条件不变，在，在最优解不变最优解不变的条件下，目标系的条件下，目标系数允许变化的范围数允许变化的范围 x1系数范围

15、系数范围(72-8=64,72+24=96)x2系数范围系数范围(64-16=48,64+8=72)“Righthand Side Ranges”：目标函数不变目标函数不变，在，在影子价格有影子价格有意义（最优基不变）意义（最优基不变）的条件下，的条件下，约束右端允许变化的范围约束右端允许变化的范围 至多增加至多增加10桶牛奶，或加工时间增加桶牛奶，或加工时间增加53小时小时 问题问题2：若若1桶牛奶的市场价桶牛奶的市场价35元元11桶牛奶的影子价格桶牛奶的影子价格48 48，可以购买至多可以购买至多10桶（桶（？）问题问题3：临时工每小时工资最多不超过临时工每小时工资最多不超过1小时加工时间

16、的影子价格小时加工时间的影子价格2 问题问题4：A1利润改为利润改为30元元/公斤，每桶牛奶生产公斤，每桶牛奶生产A1的利润为的利润为30*3=9096，不调整计划，不调整计划太好了！全交给太好了！全交给LINGO去做吧！去做吧！我现在需要考虑更重要的事！我现在需要考虑更重要的事！目标函数与约束条件段目标函数与约束条件段 集合段（集合段（SETS ENDSETS）数据段（数据段（DATA ENDDATA）初始段（初始段（INIT ENDINIT）LINGO模型的构成：模型的构成：4个段个段 对于简单的模型，可以用上面方法直接输入对于简单的模型，可以用上面方法直接输入LINGO模型。但是当问题规

17、模较大或约束众多时，模型。但是当问题规模较大或约束众多时，必须利用必须利用LINGO提供的建模语言，简单而有效表达提供的建模语言，简单而有效表达模型。模型。注注：线性问题不需要初始段：线性问题不需要初始段例例2:求有求有6个发点和个发点和8个收点的最小费用运输问个收点的最小费用运输问题。产销单位运价如下表。题。产销单位运价如下表。运运价价 销销地地 产产地地 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 产产量量 W1 6 2 6 7 4 2 5 9 60 W2 4 9 5 3 8 5 8 2 55 W3 5 2 1 9 7 4 3 3 51 W4 7 6 7 3 9 2 7 1 43 W5

18、 2 3 9 5 7 2 6 5 41 W6 5 5 2 2 8 1 4 3 52 销销量量 35 37 22 32 41 32 43 38 xij表示从第表示从第i个发点到第个发点到第j个收点的货物运输量。个收点的货物运输量。记记cij表示从第表示从第i个发点到第个发点到第j个收点的单位货物运价，个收点的单位货物运价，ai表示第表示第i个发点的最个发点的最大供货量，大供货量，dj表示第表示第j个收点的需求量。个收点的需求量。6181minijijijxcz总运输费用最少总运输费用最少决策变量决策变量目标函数目标函数约束条件约束条件各发点运出货物量不超过其产量各发点运出货物量不超过其产量各收点

19、收到货物量等于其销量各收点收到货物量等于其销量6,2,181iaxijij8,2,161jbxjiij决策变量非负限制决策变量非负限制8,2,16,2,10jixij各产、销点的产量和销量约束，决策变量限制各产、销点的产量和销量约束，决策变量限制model:!6发点发点8收点运输问题收点运输问题;sets:!集合段集合段;wh/w1.w6/:ai;vd/v1.v8/:dj;links(wh,vd):C,X;endsetsmin=sum(links:C*X);!目标函数目标函数;for(vd(J):sum(wh(I):X(I,J)=dj(J);!需求约束需求约束;for(wh(I):sum(vd

20、(J):X(I,J)=ai(I);!产量约束产量约束;data:!数据段数据段;ai=60 55 51 43 41 52;dj=35 37 22 32 41 32 43 38;C=6 2 6 7 4 2 9 5 4 9 5 3 8 5 8 2 5 2 1 9 7 4 3 3 7 6 7 3 9 2 7 1 2 3 9 5 7 2 6 5 5 5 2 2 8 1 4 3;enddataend集合段（集合段（Sets-endsets）数据段（数据段（data-enddata）目标函数与约束条件段目标函数与约束条件段 sets:!集合段集合段;wh/w1.w6/:ai;vd/v1.v8/:dj;li

21、nks(wh,vd):C,X;endsetsdata:!数据段数据段;ai=60 55 51 43 41 52;dj=35 37 22 32 41 32 43 38;C=6 2 6 7 4 2 9 5 4 9 5 3 8 5 8 2 5 2 1 9 7 4 3 3 7 6 7 3 9 2 7 1 2 3 9 5 7 2 6 5 5 5 2 2 8 1 4 3;enddatamin=sum(links:C*X);!目标函数目标函数;for(vd(J):sum(wh(I):X(I,J)=dj(J);!需求约束需求约束;for(wh(I):sum(vd(J):X(I,J)=ai(I);!产量约束产量

22、约束;集合要先定义、后使用集合要先定义、后使用集合的名称、集合内成员（元素）、集合的属集合的名称、集合内成员（元素）、集合的属性（与集合结构相同的一维数组）性（与集合结构相同的一维数组）“.”是特定省略号。集合是特定省略号。集合links是以基本集合是以基本集合wh和和vd为基础的派生集合，其属性为基础的派生集合，其属性C、X是二维数组是二维数组数据间可以用逗号或空格隔开数据间可以用逗号或空格隔开 数据部分也可以指定一些数据部分也可以指定一些标量变量值，称为标量变量值，称为 集合属性集合属性的右边输入一个值，将该属性所有成员都的右边输入一个值，将该属性所有成员都赋予这个值赋予这个值 用一个问号

23、（用一个问号（?）取代数值，表示该数据将在执行）取代数值，表示该数据将在执行程序时通过对话框输入程序时通过对话框输入同语句同语句min=sum(links(I,J):C(I,J)*X(I,J);sum是是LINGO内部函数，作用是对某集合所有成员，求内部函数，作用是对某集合所有成员，求指定表达式的和；指定表达式的和；for是对某集合所有成员，分别生是对某集合所有成员，分别生成一个约束表达式成一个约束表达式sum和和for可以嵌套使用可以嵌套使用Global optimal solution found at iteration:20 Objective value:664.0000 Varia

24、ble Value Reduced Cost X(W1,V1)0.000000 5.000000 X(W1,V2)19.00000 0.000000 X(W6,V7)3.000000 0.000000 X(W6,V8)0.000000 3.0000002020次迭代后得到全局最优解次迭代后得到全局最优解总费用最少为总费用最少为664664最优运输方案如下最优运输方案如下最优解行数太多，略最优解行数太多，略运运量量 销销地地 产产地地 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 合合计计 W1 0 19 0 0 41 0 0 0 60 W2 1 0 0 32 0 0 0 0 33 W3 0

25、11 0 0 0 0 40 0 51 W4 0 0 0 0 0 5 0 38 43 W5 34 7 0 0 0 0 0 0 41 W6 0 0 22 0 0 27 3 0 52 合合计计 35 37 22 32 41 32 43 38 LINGO有有9种类型的函数：种类型的函数：一、基本运算符：包括算术运算符、逻辑运算符和关系运算符一、基本运算符：包括算术运算符、逻辑运算符和关系运算符二、数学函数：包括三角函数和常规的数学函数二、数学函数：包括三角函数和常规的数学函数三、金融函数：三、金融函数：LINGO提供的两种金融函数提供的两种金融函数四、概率函数：四、概率函数：LINGO提供了大量概率相

26、关的函数提供了大量概率相关的函数五、变量界定函数：这类函数用来定义变量的取值范围五、变量界定函数：这类函数用来定义变量的取值范围六、集操作函数：这类函数为对集的操作提供帮助六、集操作函数：这类函数为对集的操作提供帮助七、循环函数：遍历集的元素，执行一定的操作的函数七、循环函数：遍历集的元素，执行一定的操作的函数八、数据输入输出函数：这类函数允许模型和外部数据源相联系，八、数据输入输出函数：这类函数允许模型和外部数据源相联系，进行数据的输入输出进行数据的输入输出九、辅助函数：各种杂类函数九、辅助函数：各种杂类函数一、基本运算符：包括算术运算符、逻辑运算符和关系运算符一、基本运算符：包括算术运算符

27、、逻辑运算符和关系运算符1.算术运算符算术运算符（对数值进行操作）（对数值进行操作）一元算术运算符：一元算术运算符：取反函数取反函数二元运算符（二元运算符（5种）：种）：乘方乘方乘乘除除加加减减2.逻辑运算符（在逻辑运算符（在集循环函数集循环函数的条件表达式中，以控制在函数中的条件表达式中，以控制在函数中哪些集成员被包含、或被排斥。在哪些集成员被包含、或被排斥。在创建稀疏集创建稀疏集时，用于成员资时，用于成员资格过滤器中格过滤器中）逻辑运算符（种）逻辑运算符（种）：#not#否定该操作数的逻辑值，否定该操作数的逻辑值，not是一个一元运算符是一个一元运算符#eq#若两个运算数相等，则为若两个运

28、算数相等，则为true；否则为；否则为flase#ne#若两个运算符不相等，则为若两个运算符不相等，则为true；否则为；否则为flase#gt#若左边的运算符严格大于右边的运算符，则为若左边的运算符严格大于右边的运算符，则为true；否则为；否则为flase#ge#若左边的运算符大于或等于右边的运算符，则为若左边的运算符大于或等于右边的运算符，则为true；否则为；否则为flase#lt#若左边的运算符严格小于右边的运算符，则为若左边的运算符严格小于右边的运算符，则为true；否则为；否则为flase#le#若左边的运算符小于或等于右边的运算符，则为若左边的运算符小于或等于右边的运算符，则为

29、true；否则为；否则为flase#and#仅当两个参数都为仅当两个参数都为true时，结果为时，结果为true；否则为；否则为flase#or#仅当两个参数都为仅当两个参数都为false时，结果为时，结果为false；否则为；否则为true 3.关系运算符（关系运算符（指定一个表达式的左边是否等于、小于等于、或指定一个表达式的左边是否等于、小于等于、或者大于等于右边，形成模型的一个约束条件者大于等于右边，形成模型的一个约束条件）关系运算符（关系运算符（3种）种）：二、数学函数：包括三角函数和常规的数学函数二、数学函数：包括三角函数和常规的数学函数abs(x)返回返回x的绝对值的绝对值sin(

30、x)返回返回x的正弦值，的正弦值，x采用弧度制采用弧度制cos(x)返回返回x的余弦值的余弦值tan(x)返回返回x的正切值的正切值exp(x)返回常数返回常数e的的x次方次方log(x)返回返回x的自然对数的自然对数lgm(x)返回返回x的的gamma函数的自然对数函数的自然对数sign(x)如果如果x=0时，返回不超过时，返回不超过x的最大整数；的最大整数；当当x0时，返回不低于时，返回不低于x的最大整数。的最大整数。smax(x1,x2,xn)返回返回x1，x2，xn中的最大值中的最大值smin(x1,x2,xn)返回返回x1，x2，xn中的最小值中的最小值三、金融函数：三、金融函数：L

31、INGO提供的两种金融函数提供的两种金融函数fpa(I,n)返回如下情形的净现值：单位时段利率为返回如下情形的净现值：单位时段利率为I，连续，连续n个时段支付，每个时段支付单位费用。个时段支付，每个时段支付单位费用。若每个时段支付若每个时段支付x单位的费用，则净现值可用单位的费用，则净现值可用x乘以乘以fpa(I,n)算得。算得。fpa(I,n)的计算公式为：的计算公式为：IIInnkk)1(1)1(11fpl(I,n)返回如下情形的净现值：单位时段利率为返回如下情形的净现值：单位时段利率为I，第，第n个时段支付单位费用。个时段支付单位费用。fpl(I,n)的计算公式为：的计算公式为：nI)1

32、(fpa(I,n)与与fpl(I,n)两两个函数间的关系：个函数间的关系：nkkIfplnIfpa1),(),(四、概率函数：四、概率函数：LINGO提供了大量概率相关的函数提供了大量概率相关的函数pbn(p,n,x)二项分布的累积分布函数。当二项分布的累积分布函数。当n、x不是整数时，用线性插值法进行计算。不是整数时，用线性插值法进行计算。pcx(n,x)自由度为自由度为n的的2分布的累积分布函数。分布的累积分布函数。peb(a,x)当到达负荷为当到达负荷为a，服务系统有，服务系统有x个服务器且允许无穷排队时的个服务器且允许无穷排队时的Erlang繁忙概率。繁忙概率。pel(a,x)当到达负

33、荷为当到达负荷为a，服务系统有，服务系统有x个服务器且不允许排队时的个服务器且不允许排队时的Erlang繁忙概率。繁忙概率。pfd(n,d,x)自由度为自由度为n和和d的的F分布的累积分布函数。分布的累积分布函数。pfs(a,x,c)当负荷上限为当负荷上限为a，顾客数为，顾客数为c，平行服务器数量为，平行服务器数量为x时，有限源的时，有限源的Poisson服务服务系统的等待或返修顾客数的期望值。当系统的等待或返修顾客数的期望值。当c、x不是整数时，采用线性插值进行计算。不是整数时，采用线性插值进行计算。phg(pop,g,n,x)超几何（超几何（Hypergeometric）分布的累积分布函数

34、。）分布的累积分布函数。pop表示产品总表示产品总数，数，g是正品数。是正品数。pop，g，n和和x都可以是非整数，这时采用线性插值进行计算。都可以是非整数，这时采用线性插值进行计算。ppl(a,x)Poisson分布的线性损失函数，即返回分布的线性损失函数，即返回max(0,z-x)的期望值，其中随机变量的期望值，其中随机变量z服从均值为服从均值为a的的Poisson分布。分布。pps(a,x)均值为均值为a的的Poisson分布的累积分布函数。当分布的累积分布函数。当x不是整数时，采用线性插值进行不是整数时，采用线性插值进行计算。计算。psl(x)单位正态线性损失函数，即返回单位正态线性损

35、失函数，即返回max(0,z-x)的期望值，其中随机变量的期望值，其中随机变量z服从标服从标准正态分布。准正态分布。psn(x)标准正态分布的累积分布函数。标准正态分布的累积分布函数。ptd(n,x)自由度为自由度为n的的t分布的累积分布函数。分布的累积分布函数。qrand(seed)产生服从产生服从(0,1)区间的拟随机数。区间的拟随机数。qrand只允许在模型的数据部分使用，它将只允许在模型的数据部分使用，它将用拟随机数填满集属性。通常，声明一个用拟随机数填满集属性。通常，声明一个mn的二维表，的二维表，m表示运行实验的次数，表示运行实验的次数，n表示每次实验所表示每次实验所需的随机数的个

36、数。在行内，随机数是独立分布的；在行间，随机数是非常均匀的。需的随机数的个数。在行内，随机数是独立分布的；在行间，随机数是非常均匀的。rand(seed)返回返回0和和1间的伪随机数，依赖给定种子。典型用法是间的伪随机数，依赖给定种子。典型用法是U(I+1)=rand(U(I)。注意如果。注意如果seed不变，那么产生的随机数也不变。不变，那么产生的随机数也不变。五、变量界定函数：这类函数用来定义变量的取值范围五、变量界定函数：这类函数用来定义变量的取值范围变量界定函数（变量界定函数（4种）实现对变量取值范围的附加限制：种）实现对变量取值范围的附加限制：bin(x)限制限制x为为0或或1bnd

37、(L,x,U)限制限制LxUfree(x)取消对变量取消对变量x的默认下界为的默认下界为0的限制，即的限制，即x可以取任意可以取任意实数实数gin(x)限制限制x为整数为整数在默认情况下，在默认情况下，LINGO规定变量是非负的，也就是说下界为规定变量是非负的，也就是说下界为0，上界为，上界为+。free取消了默认的下界为取消了默认的下界为0的限制，使变量也可以取负值。的限制，使变量也可以取负值。bnd用于设用于设定一个变量的上下界定一个变量的上下界,它也可以取消默认下界为它也可以取消默认下界为0的约束。的约束。集操作函数、循环函数、数据输入输出函数，以及辅助函数将集操作函数、循环函数、数据输入输出函数，以及辅助函数将在以后的讲座中继续为大家介绍在以后的讲座中继续为大家介绍