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1、二次函数y=ax2的图象与性质【教学目标】知识与技能 1、使学生会用描点法画函数y=ax2的图象； 2、使学生掌握y=ax2的图象特征和性质即能确定图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值和开口大小。过程与方法培养学生用数形结合的思想研究二次函数y=ax2的图象、性质，提高学生观察、分析、比较、概括等能力。情感态度与价值观渗透由特殊到一般的辨证唯物主义认识论的教育。【教学重点】二次函数y=ax2的图象和性质【教学难点】描点法画二次函数y=ax2的图象的方法【教学方法】采用引导式教学法，借助多媒体，讲练结合，着力引导学生运用观察、比较、抽象、概括等方法完成这部分内容的学习。【教具手段】多媒
2、体一、复习 1.有关概念:2. 平面内点的坐标:3. 坐标平面内的点与有序实数对是: 一一对应.坐标平面内的任意一点M,都有唯一一对有序实数(x,y)与它对应;任意一对有序实数(x,y),在坐标平面内都有唯一的点M与它对应.4. 点的位置及其坐标特征: .各象限内的点: .各坐标轴上的点: .各象限角平分线上的点: .对称于坐标轴的两点: .对称于原点的两点:二新课讲授我们知道正比例函数、一次函数的图象是一条直线，反比例函数图象是双曲线，那么二次函数的图象是什么形状呢？我们知道二次函数中，是最简单的形式，我们先研究它的图象。（一） 二次函数y=ax2的图象在研究一个新的函数的图象时，要用描点法
3、画图，先列出函数的对应值表。在列表时怎样选取自变量x的值呢？开始时只能试着来。因自变量x可以取一切实数，通常以0为中心，均匀选取一些便于计算的x值，看看画出来的图形的大致形状。如果有问题，再加以修正或补充。在开始画一个函数的未知图象时，选值列表带有一定的试探成分。例1：画出函数y=x2的图象解：列表 x-1.5-1-0.500.511.5y=x22.2510.2500.2512.25xy0注意：列表时自变量取值要均匀和对称。用光滑曲线连结时要自左向右顺次连结.请同学们观察这一图象有什么特点？1、图象分布在第一，二象限2、图象过原点3、图象关于y轴对称4、在y轴左侧图象呈下降趋势，在y轴右侧图象
4、呈上升趋势。事实上，函数y=x2的定义域是一切实数，当x=0时，y=0，当x0时，y0。所以它的图象通过原点而且分布在第一，二象限；又由于当x取互为相反数的值时，所得的y值都相同，所以函数y=x2的图象关于y轴成轴对称。可见，函数的图象是由函数自身的特点决定的。像这样的曲线通常叫做抛物线，它有一条对称轴，抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点。例2在同一坐标系中画出函数y= - x2的图象。思考：该图象会有什么特点？解：列表x-1.5-1-0.500.511.5y= -x2-2.25-1-0.250-0.25-1-2.25xy0观察并比较函数y= - x2与函数y = x2的图象，你发现有什
5、么共同点和区别？又有什么联系？共同点：1、图象都是抛物线；2、图象都关于y轴对称；3、图象都过原点；4、图象不闭合。区别：函数y=-x2的图象在第三、四象限，开口向下；函数y=x2的图象在第一、二象限，开口向上。（为什么会出现开口方向的不同？）联系：可以看到，对自变量的同一个值，函数y = - x2 和y=x2的对应值总互为相反数，所以函数y=-x2 和y=x2的图象关于x轴成轴对称。课堂练习：画出下列函数图象（1）y=x2 （2）y=2 x2 (3)y= - x2（二）函数y = ax2 的性质 观察并比较这几个函数的图象，你能发现什么？将所画的几个函数的图象作比较，你又能发现什么？（让学生
6、讨论）共同点：（1）都关于y轴对称，（2）图象与y轴都只有一个交点，即原点。不同点：（1）a0，抛物线y=ax2开口向上；a0，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升。图象有最低点。 a0时，抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外），它的开口向上，并且 向上无限伸展； 当a0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大。当x=0时函数y的值最小。当a0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x增大而减小，当x=0时，函数y的值最大。三练一练1、已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。 （1）求此抛物线的函数
7、解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。 （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。2、根据已画好的函数图象填空：（1）抛物线y=2x2的顶点坐标是 对称轴是 ，在 侧，y随着x的增大而增大；在 侧，y随着x的增大而减小，当x= 时，函数y的值最小，最小值是 ,抛物线y=2x2在x轴的 方（除顶点外）。（2）抛物线 y= - x2在x轴的 方（除顶点外），在对称轴的左侧，y随着x的 ；在对称轴的右侧，y随着x的 ，当x=0时，函数y的值最大，最大值是 ，当x 0时，y0.四课堂练习1、函数y=-3x2的图象的顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口向 ，当x= 时，函数y有最 值，是
8、 ，当x0时，y随x增大而 ，当x0时，y随x增大而 。2、函数的图象开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，对于图象上位于右半平面的两点（x1，y1）与（x2，y2），如果x1x2，则y1 y2。3、已知二次函数 y = - x2，y =15x2， y = - 4x2，y = 4x2。（1）开口向上的有 ，（2）开口向下且开口最大的是 ，（3）当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后逐渐变小的有 。4、函数的图象是开口向下的抛物线，求m的值。xy0xy05、已知a0，b0，函数y=ax+b与y=ax2在同一坐标系中成立的是（ ）（B）（A）（C）（D）xy0xy06、在同一坐标系中画出下列函数的图象。y=3x2, y=-3x2, y=x2四课堂小结1、函数y=ax2的图象是抛物线。抛物线y=ax2的开口方向由a决定，开口大小由|a|决定。2、画函数y=ax2图象时要充分运用性质，特别是对称性。3、研究函数常用数形结合的思想。五布置作业六板书设计二次函数y=ax2的图象一、二次函数y=ax2的图象 二、二次函数y=ax2的性质例1.画出函数y=x2的图象 例2.画出函数y=-x2的图象(画图) 例3.画出函数y=2x2, y=-2x2的图象
二次函数YAX2的图象与性质
