二重积分的概念与性质

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1、第九章 重积分第一节 二重积分的概念与性质 与定积分类似，二重积分的概念也是从实践中抽象出来的，它是定积分的推广，其中的数学思想与定积分一样，也是一种“和式的极限”. 所不同的是：定积分的被积函数是一元函数，积分范围是一个区间；而二重积分的被积函数是二元函数，积分范围是平面上的一个区域. 它们之间存在着密切的联系，二重积分可以通过定积分来计算.内容分布图示 曲顶柱体的体积 非均匀平面薄片的质量 二重积分的概念 二重积分的性质 二重积分的中值定理 例1 例2 例3 例4 例5 内容小结 课堂练习 习题9-1 返回内容要点： 一、二重积分的概念 引例1 求曲顶柱体的体积； 引例2 求非均匀平面薄片

2、的质量 二重积分的定义 二、二重积分的性质性质1性质6二重积分与定积分有类似的性质.性质1 性质2 如果闭区域D可被曲线分为两个没有公共内点的闭子区域和, 则这个性质表明二重积分对积分区域具有可加性.性质3 如果在闭区域D上, 为D的面积, 则这个性质的几何意义是: 以D为底、高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积.性质4 如果在闭区域D上, 有则特别地, 有 性质5 设分别是在闭区域D上的最大值和最小值, 为D的面积, 则这个不等式称为二重积分的估值不等式.例题选讲： 二重积分的性质 例1 不作计算，估计的值，其中是椭圆闭区域： .例2（讲义例1）估计二重积分的值, 其中积分区域为矩形闭区域.例3 判断 的符号.例4 积分有怎样的符号, 其中 例5（讲义例2）比较积分与的大小，其中区域D是三角形闭区域，三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0).课堂练习1.将二重积分定义与定积分定义进行比较, 找出它们的相同之处与不同之处.2.试用二重积分表示极限