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1、定积分的应用 一一.定积分的微元法定积分的微元法 二二.定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用三三.定积分在经济分析上的应用定积分在经济分析上的应用定积分的微元法 第五章 定积分的微元法 1xix1ixxabyo1)大化小大化小.在区间 a,b 中任意插入 n 1 个分点bxxxxxann1210,1iiixx用直线ixx 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2)常代变常代变.在第i 个窄曲边梯形上任取作以,1iixx为底,)(if为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积,iA得)()(1iiiiiixxxxfA),2,1,nii机动 目录 上页 下页 返回 完毕 niiAA1
2、niiixf1)(4)取极限取极限.令,max1inix则曲边梯形面积niiAA10limniiixf10)(lim机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xabyo1xix1ixi表示为niiixfU10)(lim1)所求量 U 是与区间a,b上的某分布 f(x)有关的2)U 对区间 a,b 具有可加性,即可通过“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,取极限取极限”baxxfd)(niiixf10)(lim定积分定义一个整体量;微元法微元法第一步第一步 利用利用“化整为零化整为零,以常代变以常代变”求出局部量求出局部量的的微分表达式xxfUd)(d第二步第二步 利用利用“积零为整积零为整,无
3、限累加无限累加”求出整体量求出整体量的的积分表达式Uxxfbad)(这种分析方法成为微元法(或元素分析法)元素的几何形状常取为:条,带,段,环,扇,片,壳 等近似值精确值5.2.25.2.2、已知平行截面面积函数的立体体积、已知平行截面面积函数的立体体积5.2.15.2.1、平面面积的计算平面面积的计算定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 第五章(1)设曲线)0()(xfy与直线)(,babxax及 x 轴所围曲那么xxfAd)(dxbaoy)(xfy xxxdxxfAbad)(边梯形面积为 A,假设假设 y=f(x)在在 a,b 上不都是非负的，则所围成上不都是非负的，则所围成图形的面积
4、为图形的面积为xxfSbad|)(|（2）所围成的图形的面积所围成的图形的面积及直线及直线由连续曲线由连续曲线)(,babxax )，(),(xgyxfy )(xf)(xg.d)()(xxgxfSba)(xfy xyoba)(xgy dxxxxxgxfSd)()(dSd面积微元面积微元（3）(4)如所示图形面积为如所示图形面积为 xxfxfAbad)()(21yobxa)(2xfy)(1xfy xxxdxysinoxy23230,0sinxyxxy及与直线所围图形的面积所围图形的面积.解解:xdxS230sin0sin xdx23sindxx322,xyxy在第一象限所围所围图形的面积.xxy
5、 2oy2xy xxxd解解:由由xy 22xy 得交点)1,1(,)0,0()1,1(1xxxAdd22332x01331x3110Axyodc)(yx)(yxydyy面积微元面积微元yyySd)()(d平面图形的面积平面图形的面积yxxSSdcdcd)()(d类似地类似地xxy22oy4 xyxy22与直线的面积.解解:由由xy224 xy得交点)4,8(,)2,2()4,8(yyyAd)4(d221184 xy所围图形)2,2(221yy442361y为简便计算,选取 y 作积分变量,则有yyyd42Aabxoyx12222byax解解:利用对称性利用对称性,xyAdd所围图形的面积.有
6、axyA0d4其中22xaaby因而aA04xdxxd22xaabaab04xd22xa 由定积分的计算，得xxaad02224a所以Aab设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),)(baxA在则对应于小区间d,xxx的体积元素为xxAVd)(d因此所求立体体积为xxAVbad)(xabxxxd)(xA上连续,xyoabxyoab)(xfy 2)(xf轴旋转一周围成的立体体积时,有轴绕xbxaxfy)()(xdbaV当考虑连续曲线段)()(dycyx绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有2)(yyddcVxxoy)(yxcdyayxb12222byax所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体
7、的体积.解解:利用直角坐标方程利用直角坐标方程)(22axaxaaby那么xxaabad)(220222(利用对称性)3222312xxaab0a234aboaV02xy d2x解解:如图，建立直角坐标方程如图，建立直角坐标方程)(rxrxrhy则直线方程为机动 目录 上页 下页 返回 完毕 yxorhyyyd任取截面，则体积元素为,dd2yxVhyxV02d所以hyyhr0222dhyhr03223.32hr1.平面图形的面积直角坐标方程baxxAVd)(2.已知平行截面面面积函数的立体体积旋转体的体积2)(yxA绕 x 轴:3.经济方面的应用P246 11),(2);(8)5;7；解解:作图，作图，),11()11(,-,2 ,22xyxy所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转而成的旋转体的体积。yxo22xy2xy 求交点。222,xyxy得交点：且有)2,0(则绕x轴旋转而成的旋转体的体积10422d)2(2xxxVx102)d44(2xx103)31(8xx.316则绕y轴旋转而成的旋转体的体积212102d)2(d)(yyyyVy212102)212()21(yyy.
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