高等数学A：第五章习题课1

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1、习习 题题 课课 一一、选选择择题题 1 1若函数若函数),(yxf在点在点),(yx处不连续，则处不连续，则()（A A）),(limyxfyyxx必不存在；必不存在；（B B）),(yxf必不存在；必不存在；（C C）),(yxf在点在点),(yx必不可微；必不可微；（D D）),(yxfx、),(yxfy必不存在。必不存在。C2考虑二元函数考虑二元函数),(yxf的下面的下面 4 4 条性质：条性质：函数函数),(yxf在点在点),(yx处连续；处连续；函数函数),(yxf在点在点),(yx处两个偏导数连续；处两个偏导数连续；函数函数),(yxf在点在点),(yx处可微；处可微；函数函数

2、),(yxf在点在点),(yx处两个偏导数存在。处两个偏导数存在。则下面结论正确的是（则下面结论正确的是（）（A）；（；（B）；（C）；（；（D）。A3 3设设 0 ,0 0 ,),(2222242yxyxyxyxyxf，则则在在)0 ,0(点点处处（）（A）连连续续，偏偏导导数数存存在在；（B）连连续续，偏偏导导数数不不存存在在；（C）不不连连续续，偏偏导导数数存存在在；（D）不不连连续续，偏偏导导数数不不存存在在。解解：取取2xy，,0)0,0(21lim),(lim4440002 fxxxyxfxxyx )0,0(f在在)0 ,0(点处不连续，点处不连续，而而0)0,0()0,0(yxf

3、f，故应选（故应选（C）。C4设设zyxu，则，则 )2,2,3(yu（）（A）3ln4；（B）3ln8；（C）3ln324；（D）3ln162。C5 5若函数若函数),(yxf在区域在区域 D 内具有二阶偏导数：内具有二阶偏导数：22xf ，22yf ，yxf 2，xyf 2，则则（）（A）必有必有xyfyxf 22；（B）),(yxf在在 D 内必连续；内必连续；（C）),(yxf在在 D 内必可微；内必可微；（D）以上结论都不对）以上结论都不对。DC C 一一、填填空空题题 1)()(1yxyxyfxz ，f、具具有有二二阶阶偏偏导导数数，则则 yxz2 。)()()(yxyyxxyf

4、y 2 2设设),sin(22yxyefzx ，其中，其中f具有二阶连续具有二阶连续偏导数，偏导数，则则 yxz2 。221211214)cossin(2cossincosxyffyxyyeyfyeyfexxx 3 3设设函函数数),(yxzz 由由方方程程0)2 ,(22 yezxz确确定定，其其中中具具有有 连连续续偏偏导导数数，则则 xz ，yz .21122 zezx21222 zez4设设32),(zxyzyxf，其中，其中),(yxzz 是由是由 方程方程03222 xyzzyx所确定的隐函数，所确定的隐函数，则则)1 ,1 ,1(xf 。25 5若函数若函数),(yxfz 可微，

5、且可微，且1),(2 xxf，xxxfx),(2，则则当当0 x时时，),(2xxfy .21 6 6函函数数222)(2)()(zyxzyxu 在在点点)2 ,2 ,1(M 处处方方向向导导数数的的最最大大值值为为 .62三、解答题三、解答题1 1 设设),(yxf具有连续的偏导数，且具有连续的偏导数，且1)1,1(f，,)1,1(afx bfy)1,1(。令。令),(,(,()(xxfxfxfx ，求求)1(，)1(。解解：1)1,1()1,1(,1()1,1(,1(,1()1(ffffff，),(,(,()(1xxfxfxfx ),(,(),(,(,(12xxfxfxxfxfxf),()

6、,()(,(,(212xxfxxfxxfxf .)1()()1(32bbbabababa 2 2设设函函数数),(zyxfu 具具有有连连续续偏偏导导数数，且且),(yxzz 由由方方程程zyxzeyexe 所所确确定定，求求 du。解法解法 1 1：设：设zyxzeyexezyxF ),(，则，则 xxexF)1(，yyeyF)1(，zzezF)1(，故故zxzxezxFFxz 11；zyzyezyFFyz 11。而而zxzxzxezxffxzffxu 11；zyzyzyezyffyzffyu 11，dyyudxxudu .)11()11(dyezyffdxezxffzyzyzxzx 解法解

7、法 2 2：在：在0 zyxzeyexe两边全微分，得两边全微分，得 dzzedzedyyedyedxxedxezzyyxx ，故故zyxezdyeydxexdz)1()1()1(。由由),(zyxfu，得得dzfdyfdxfduzyx ，故故dyezyffdxezxffduzyzyzxzx)11()11(。3设变换设变换 ayxvyxu2，可把方程，可把方程0622222 yzyxzxz 化简为化简为02 vuz(其中其中 z 有二阶连续偏导数有二阶连续偏导数)，求常数，求常数a。解解：设设),(),(yxvyxufz，则则 vzuzxz ，vzauzyz 2，,22222222vzvuzu

8、zxz ,)2(2222222vzavuzauzyxz 从从而而 ,4422222222vzavuzauzyz 222222222)6()510(6vzaavuzayzyxzxz ，变变换换将将0622222 yzyxzxz化化简简为为02 vuz，有有 306 05102aaaa。4设设函函数数)(xuu 由由方方程程组组 0),(0),(),(zxhzyxgyxfu确确定定，其其中中hgf,可可微微，且且0,0 ygzh，求求dxdu。解解法法 1：后后两两个个方方程程对对求求导导 x，得得 (2)0(1)0dxdzhhdxdzgdxdyggzxzyx，由由(2)得得zxhhdxdz ，代

9、代入入(1)得得yzzxzxghhgghdxdy ，故故yzzxzxyxyxghhgghffdxdyffdxdu 。解解法法 2：dyfdxfduyx ，对对hg ,微微分分，得得 0 0dzhdxhdzgdygdxgzxzyx，dxhdzhdxgdzgdygxzxzy ，dxhghgghhgghdxhgdxgdyzyzxzxzzyzxzx)(0 ，10,10225.(,)(),0,1,zz x yf txy tdtfCzx yx设求)xy(fyx,dt)t(fydt)t(fyxdt)t(fxydt)t(tfdt)t(tfdt)t(fxydt)xyt)(t(fdt)txy)(t(fxyxyxy

10、xyxyxyxyxy222101100102zz(z C习习 题题 课课 C二、填空题二、填空题1 1曲曲面面32 xyezz点点)0 ,2 ,1(处处的的切切平平面面方方程程 为为 。042 yx解：设解：设32),(xyezzyxFz，yzyxFx2),(，xzyxFy2),(，zzezyxF 1),(，4)0,2,1(xF，2)0,2,1(yF，0)0,2,1(zF，切切平平面面方方程程为为0)0(0)2(2)1(4 zyx，即即042 yx。2 2曲曲线线 2222223932:yxzzyxC在在点点)2,1,1(P处处的的 切线方程为切线方程为 ，法平面方程为法平面方程为 。7210

11、181 zyx0127108 zyx解：两曲面在点解：两曲面在点)2,1,1(P的切平面的法向量为的切平面的法向量为 2,3,224,6,42 ,6 ,41 Pzyxn，2,1,324,2,62 ,2 ,62 Pzyxn，切线的方向向量切线的方向向量7 ,10,821323221 kjinna，切切线线方方程程为为7210181 zyx,法法平平面面方方程程为为0)2(7)1(10)1(8 zyx，即即0127108 zyx。3设设32zxyu，则则在在 u点点)1 ,1,2(A沿方向沿方向 增加最快；增加最快；在在 u点点)1 ,1,2(A 沿沿2,1 ,2 l的方向导数为的方向导数为 。6

12、 ,4,1)(Agardz314 解：解：32zyxu ，32xyzyu ，223zxyzu ，1 Axu，4 Ayu，6 Azu，6 ,4,1)(Agardz。32cos ，31cos ，32cos ，三、解答题三、解答题1 1求曲线求曲线 0453203222zyxxzyx在点在点)1,1,1(P的切线方程。的切线方程。解：曲面解：曲面03222 xzyx在点在点)1,1,1(P的法向量为的法向量为 2 ,2 ,12z ,2 ,32)1 ,1 ,1(1 yxn，平平面面04532 zyx的的法法向向量量为为5 ,3,22 n，所所求求切切线线的的方方向向向向量量为为 1,9 ,165 ,3

13、,22 ,2 ,121 nna，故故切切线线的的点点向向式式方方程程为为1191161 zyx。2 2求求曲曲面面22yxz 的的与与直直线线 2212zyzx垂垂直直的的切切平平面面方方程程。解：设切点为解：设切点为),(zyxP，则曲面在点，则曲面在点P的法向量为的法向量为 1 ,2 ,21 ,2 ,2),(yxyxnzyx，又直线的方向向量为又直线的方向向量为1 ,2 ,22,1,02,0,1 a，切切平平面面与与已已知知直直线线垂垂直直，112222 yx，解得解得1 x，1 y，222 yxz。所求切平面的方程为所求切平面的方程为0)2(1)1(2)1(2 zyx，即即222 zyx

14、。解：（解：（1 1）球面在点）球面在点),(zyxP处的外侧法向量为处的外侧法向量为 2,2,2zyxn，2444222 zyxn，.,zyxnnn 又又1 PPPzuyuxu，1,1,1)(Pgradu，故故 PnuzyxnPgradu )(.（2）当当n的方向与的方向与)(Pgradu的方向一致时，的方向一致时，方向导数取最大值方向导数取最大值3)(Pgradu，111zyx ，且且1222 zyx，5.()yzxfx证明曲 面上任何一点处的切平面 通过一定点。习习 题题 课课 1函函数数223333yxyxz 的的极极小小值值点点是是（）（A A）（0 0，0 0）；（B B）（2 2

15、，2 2）；（C C）（0 0，2 2）；（D D）（2 2，0 0）。BA118872492222 yxyx，二、解答题二、解答题1 1过曲线过曲线724922 yx在第一象限部分中哪一点作在第一象限部分中哪一点作 的切线与原曲线及坐标轴之间所围成的图形面积最小？的切线与原曲线及坐标轴之间所围成的图形面积最小？解解：设设切切点点为为)0,0)(,(baba，这这 是是 长长 半半 轴轴 为为18，短短 半半 轴轴 为为8的的 椭椭 圆圆。切线方程为切线方程为1188 byax，化为截距式：，化为截距式：1188 bayx，188),(baoxy设设切切线线与与原原曲曲线线及及坐坐标标轴轴所所

16、围围成成的的面面积积为为 S，则则 8184118821 baS，即即)0,0(372 baabS。求求条条件件极极值值问问题题：07249 :372 :min22batsabS，令令)7249(372),(22 baabbaF，)3(,07249)2(,0872)1(,018722222baFbabFabaFba2294ba ，代入，代入(3)，得，得 2 ,3 ,92 abb，得唯一驻点，得唯一驻点)3 ,2(，函函数数 S 必必有有最最小小值值，且且在在定定义义域域0,0),(baba 内内只只有有唯唯一一驻驻点点)3 ,2(，在在点点)3 ,2(处处面面积积 S 有有最最小小值值。2

17、2.求求中中心心在在原原点点的的椭椭圆圆184522 yxyx的的长长半半轴轴 与与短短半半轴轴的的长长度度。解解：设设),(yxM为为椭椭圆圆上上的的任任一一点点，点点 M 到到原原点点的的距距离离 22yxd ，d 的的最最大大值值即即为为长长半半轴轴 a，d 的的最最小小值值即即 为为短短半半轴轴 b。设设)1845(),(222 yxyxdyxf)1845(2222 yxyxyx，令令 01845 01642 0410222yxyxfyxyfyxxfyx (3)01845(2)0)82(1)0)25(22yxyxyxyyxx由由(1)(1)得得yxx25 ，代入，代入(2)(2)化简得

18、化简得023222 xxyy，0)2)(2(xyxy，xyxy21 2 或或.把把013285(3)2222 xxxxy得得代代入入，即即1452 x，4512 x，4542 y，9122 yx，31 d.把把01225(3)21222 xxxxy得得代代入入，即即152 x，512 x，2012 y，4122 yx，21 d.由由于于最最值值必必存存在在，故故长长半半轴轴21 a，短短半半轴轴31 b。3求椭球面求椭球面142222 zyx与平面与平面0522 zyx之间之间 最短距离。最短距离。解解:设设),(zyxM为为椭球面椭球面上的任一点，上的任一点，则点则点 M 到平面的距离为到平

19、面的距离为3522 zyxd.原问题等价于原问题等价于求条件极值求条件极值 .142 :,)522(9),(:min22222zyxs.tzyxdzyxf 设设)142()522(),(2222 zyxzyxzyxF，(4)0142)3(021)522(2)2(02)522(4)1(0)522(4222zyxFzzyxFyzyxFxzyxFzyxzyx 2代入代入(4)，得得1 x，21 y，1 z。驻点为驻点为)1,21,1(A，)1,21,1(B，距离距离3351121212 Ad，,3135)1(1)21(2)1(2 Bd故所求的最短故所求的最短距离为距离为31。4 4（1 1）求求zy

20、xzyxfln3lnln),(在在球球面面 )0(52222 rrzyx上上的的最最大大值值，（2 2）证证明明对对任任何何正正数数cba,，有有53)5(27cbaabc 。（1 1）解解：记记0 ,0 ,0 ,5),(2222 zyxrzyxzyxS,则则当当点点),(zyx趋趋于于 S 的的边界边界时时,趋于趋于),(zyxf，这这 说明说明),(zyxf的的最大最大值值不不可可能能在在边界边界上上取得取得，从而从而必必在在 S 内部内部取取得得。设设)5(ln3lnln),(2222rzyxzyxzyxF ，(4)05(3)0 23(2)021(1)0212222rzyxFzzFyyF

21、xxFzyxzyx31 ，代代入入(4 4)得得rzryx3 ,。根据实际问题知，根据实际问题知，)27ln(3ln3lnln)3,(5rrrrrrrf 是最大值。是最大值。622lnln3lnln),(zyxzyxzyxf 52225)5(27ln)27ln(zyxr ，即即5222622)5(27zyxzyx 。（2 2）证明：令）证明：令222,zcybxa ，得得53)5(27cbaabc 。000000000000000000(,)(,),(,)0(,)(,)(,)0,()(,)0,(,)0;()(,)0,(,)0;()(,)0,(,)0;()(,)0,(,)0.(20yxyxyxy

22、xyf x yx yx yxyf x yx yAfxyfxyBfxyfxyCfxyfxyDfxyfxy设与均为可微函数 且已知是在约束条件下的一个极值点 下列选项正确的是()若则若则若则若则06)年考研题D).(y,yx)y,x(Dyxyx)y,x(f年考研题年考研题和最小值和最小值上的最大值上的最大值在区域在区域求函数求函数2007042222222 maxmin8,0.ff 4)ziIm()4(2zi 2z)3(2iz)2(1z1z)1(z.1的集合，并作图：求下列各题中点 )3()()4)1()0(22yxyyxx)3(Ln)4(2i1)3(e)2(31.2i13i25）（）（计算函数值

23、及主值：;)12(3ln ;21);31(2e ;)1)(2k 5isin 1)(2k 5(cos3)412(325kieiik0i31e)2(09i)-(4-4iz-z1.3z2）（解方程：22()23 2(2923(0,1)2(1)2(ln(13)ln2(2)3kiiiiekiiiik 0z,zf(z)(2)0z,0z0z 0yx)i1(y)i1(x)z(f1.422233）（与解析性：讨论下列函数的可导性222233yxyiyxx)z(f)4(iy3x3f(z)(3)(1)20,0,0(30,22214000,().22 22()CRzzzxyyxi xyzzzf zxyz 满足条件，但

24、不可导，不解析；（）可导不可导不解析；）可导 处处不解析；（）不可导，可导，解析。为解析函数，试求设n,m,l)lxyx(iynxmy.52323)1,3(mnl.0)0(fivu)z(f),ysinyycosx(eu.6x并满足，求解析函数已知)ycosyysinx(ie)ysinyycosx(e)z(f(xx7.证明函数 在全平面（复平面）上是解析的，并证明 。2zezf 2zze2zf8.如f(z)=u+iv是z的解析函数,证明9.由下列各个条件求出解析函数 (要求用复变量z表示）（1）u(x,y)=,(2)u(x,y)+v(x,y)=22yxyx i1if 222zfzfyzfx y,xivy,xuzf)212ziz)z(f(22y2x2xy3yx3yx2233)iccz2z)z(f(3