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1、 第二章第四节第四节 隐函数及由参数方程所隐函数及由参数方程所确定的函数的导数确定的函数的导数 相关变化率相关变化率一、隐函数的导数一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数 三、相关变化率三、相关变化率 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 yf x隐函数的显化 隐函数求导法则隐函数求导法则:问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?()yf x表示的函数称为显函数.1.1.定义定义:如果变量如果变量 和和 满足一个方程满足一个方程 ，在，在一定条件下，当一定条件下，当 取区间内的任一值时，相应的总有满取区间内
2、的任一值时，相应的总有满足这一方程的唯一的足这一方程的唯一的 值存在，就说方程值存在，就说方程 在该区间内确定了一个隐函数。在该区间内确定了一个隐函数。xy,0F x y yx,0F x y,0F x y 方程两边分别对 x 求导;2ecos0yx yxy如一、隐函数的导数一、隐函数的导数 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例1 1 求由求由 所确定的隐函数所确定的隐函数 y y 的导数的导数 310 xy d.dyx解：两边对 x 求导，得 1d0dyx23y2d1d3yxy 解：两边对 x 求导，得 例例2 2 求由求由 所确定函数所确定函数 的导数的导数 和和 ee0yxy
3、ddyx0ddxyx0eyddyxyddyxx解得 ddeyyyxx 0d1dexyx 1yee0y0 x 时，e0yx 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 练习练习 求由求由 所确定隐函数的导数所确定隐函数的导数.arctanyxy解：y 21xy1y两边对 x 求导，得 21yxy 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 2.2.对数求导法对数求导法 先在方程两边取对数，然后利用隐函数的求导法求解适用范围适用范围:多个函数相乘和幂指函数多个函数相乘和幂指函数 的情形的情形 v xu x解:两边取对数得lnsinlnyxx两边对 x 求导 1yycoslnxxsinxxsin
4、sincoslnxxyxxxxsin0 xyxx例例3 3 求求 的导数.目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 3.3.求二阶导数求二阶导数 1eyyx 例例4 4 求求 由由 所确定的隐函数的二阶导数所确定的隐函数的二阶导数.解：两边对 x 求导，得 y e1eyyyxyeyxey 式两边继续求导，得 eyx23e31eyyyx23e2e1eyyyxxeyy22ee1eyyyyxyyxy eyy eyy2eyxyy整理得 21eyxyx 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 如 22xtyt2xt 222xyt24x12yx问题问题:消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消
5、参如何求导?消去参数 t()()xtyt若参数方程 确定 y 与 x 之间的函数关系，称此为由参数方程所确定的函数.二、由参数方程所确定的函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 1()yx 由复合函数及反函数的求导法则得 ddddddyytxtxd1dddyxtt tt()()xtyt在方程 中 xt 1tx设函数 具有单调连续的反函数 ,xtyt()0t再设函数 都可导，且 ddddytxt 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 解：ddddddyytxxtsin1 costtsincosataat2sind2d1 cos2tyx1(
6、sin)(1cos)xa ttyat2t例例6 6 求摆线求摆线 在在 处的切线方程处的切线方程.12yaxa22yxa即 12xa2t当 时，ya 所求切线 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 22ddddddyyxxx ddddtttxt2()()()()()()tttttt223d()()()()d()yttttxt ddxttyxt()()xtyt若函数 二阶可导，目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例7 7 求由求由 所确定函数的二阶导数所确定函数的二阶导数.3e2ettxy 解：ddyx34e9t1e3t 24e3t 1ddxtddddyxt22ddyx22e
7、3t 2et3etddddytxt 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 ,xx tyy t为两可导函数 yx,之间有联系 tytxdd,dd之间也有联系 称为相关变化率 相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式 对 t 求导 得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率 三、相关变化率三、相关变化率 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 加率是多少?500h解:设气球上升 t 分后其高度为h,仰角为,那么 tan500h两边对 t 求导2secddt1 d500 dht知d140m min,dht h=500m 时,tan1,2sec2ddt111402 5000.14ra
8、d/min例例9 9 一气球从离开观察员一气球从离开观察员500 m 500 m 处离地面铅直上升，速率处离地面铅直上升，速率 当气球高度为 500 m 时,观察员视线的仰角增140m min,目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 隐函数求导法则隐函数求导法则:直接对方程两边求导直接对方程两边求导;对数求导法对数求导法:对方程两边取对数对方程两边取对数,按隐函数的求导法则按隐函数的求导法则求导求导;参数方程求导参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则实质上是利用复合函数求导法则;相关变化率相关变化率:通过函数关系确定两个相互依赖的通过函数关系确定两个相互依赖的变化率变化率;小结：小结：
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