傅里叶变换和拉普拉斯变换

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1、傅里叶变换的实质是将一个信号分离为无穷多多正弦/复指数信号的加成，也就是说，把信 号变成正弦信号相加的形式既然是无穷多个信号相加，那对于非周期信号来说，每个信 号的加权应该都是零但有密度上的差别，你可以对比概率论中的概率密度来思考一下 落到每一个点的概率都是无限小，但这些无限小是有差别的所以，傅里叶变换之后，横坐标即为分离出的正弦信号的频率，纵坐标对应的是加权密 度对于周期信号来说，因为确实可以提取出某些频率的正弦波成分，所以其加权不为零 在幅度谱上，表现为无限大但这些无限大显然是有区别的，所以我们用冲激函数表示已经说过，傅里叶变换是把各种形式的信号用正弦信号表示，因此非正弦信号进行傅里 叶变

2、换，会得到与原信号频率不同的成分都是原信号频率的整数倍。这些高频信号是用 来修饰频率与原信号相同的正弦信号，使之趋近于原信号的。所以说，频谱上频率最低的一 个峰（往往是幅度上最高的），就是原信号频率。傅里叶变换把信号由时域转为频域，因此把不同频率的信号在时域上拼接起来进行傅里 叶变换是没有意义的实际情况下，我们隔一段时间采集一次信号进行变换，才能体现出 信号在频域上随时间的变化。我的语言可能比较晦涩，但我已尽我所能向你讲述我的一点理解真心希望能对你有 用。我已经很久没在知道上回答过问题了，之所以回答这个问题，是因为我本人在学习傅里 叶变换及拉普拉斯变换的过程中着实受益匪浅它们几乎改变了我对世界

3、的认识。傅里叶 变换值得你用心去理解哪怕苦苦思索几个月也是值得的我当初也想过：只要会算题 就行。但浙大校训“求是”时时刻刻鞭策着我追求对理论的理解最终经过很痛苦的一番思 索才恍然大悟。建议你看一下我们信号与系统课程的教材：化学工业出版社的信号与系统， 会有所帮助。傅里叶变换和拉普拉斯变换的意义傅里叶变换（Transform配de Fourier ）在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计 学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理 中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和

4、/或余弦函数）或者 它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续 傅里叶变换和离散傅里叶变换。傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。理解的关键是： 一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来 的信号，将信号这么分解后有助于处理。我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信 号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。 傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是 一个时间域上覆盖整个区间的信号

5、，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就 能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值（或频率值），我们就可以画出其对应 的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话 ，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式；逆傅里叶变换恰 好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好。对一个信号做傅立叶变换，可以得到其频域特性，包括幅度和相位两个方面。幅度是表 示这个频率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意义？频域的相位与时域的

6、相位有关系 吗？信号前一段的相位（频域）与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。傅立叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波（或者余弦波）信号。也就是说，用 无数的正弦波，可以合成任何你所需要的信号。想一想这个问题：给你很多正弦信号，你怎样才能合成你需要的信号呢？答案是要两个 条件，一个是每个正弦波的幅度，另一个就是每个正弦波之间的相位差。所以现在应该明白 了吧，频域上的相位，就是每个正弦波之间的相位。傅立叶变换用于信号的频率域分析，一般我们把电信号描述成时间域的数学模型，而数 字信号处理对信号的频率特性更感兴趣，而通过傅立叶变换很容易得到信号的频率域特性傅里叶变换简单通俗理解就是把看

7、似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的 基本正弦（余弦）信号组合而成，傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦（余弦）信号中 振幅较大（能量较高）信号对应的频率，从而找出杂乱无章的信号中的主要振动频率特点。 如减速机故障时，通过傅里叶变换做频谱分析，根据各级齿轮转速、齿数与杂音频谱中振幅 大的对比，可以快速判断哪级齿轮损伤。拉普拉斯变换（Laplace Transform），是工程数学中常用的一种积分变换。它是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函 数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数 域中的相应结果，往往比直接

8、在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换 的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程 来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普 拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。 这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性（见信号流程图、动态结构图）、 分析控制系统的运动过程（见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法），以及综合控制系统的校正装置 （见控制系统校正方法）提供了可能性。拉普拉斯变换在工程学上的应用：应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将

9、微 分方程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一 个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应 用。一傅里叶变换在应用上的局限性在第三章中，已经介绍了一个时间函数f ）满足狄里赫利条件并且绝对可积时，即存F(j )=曲 8 f (t2-jtdt（正变换）(5.1)在一对傅里叶变换。即-8f C)=丄 Js F(jLjd2兀-s(反变换)(5.2)但工程实际中常有一些信号并不满足绝对可积的条件，例如阶跃信号UC),斜变信号 tu (t )，单边正弦信号sin tu )等，从而对这些信号就难以从傅里叶变换式求得它们的傅 里叶

10、变换。还有一些信号，例如单边增长的指数信号eau (t )(a )等，则根本就不存在傅里叶变 换。另外，在求傅里叶反变换时，需要求从-s到s区间的广义积分。求这个积分往往是十 分困难的，甚至是不可能的，有时则需要引入一些特殊函数。利用傅里叶变换法只能求系统的零状态响应，而不能求系统的零输入响应。在需要求零输入响应时，还得利用别的方法，例如时域经典法。由于上述几个原因，从而使傅里叶变换在工程应用上受到了一定的限制。所以，当今在研究 线性系统问题时，拉普拉斯变换仍是主要工具之一。实际上，信号f )总是在某一确定的时刻接入系统的。若把信号f )接入系统的时刻 作为1 = 的时刻(称为起始时刻)，那么

11、，在tv的时间内即有f (t)=。我们把具有起始时 刻的信号称为因果信号。这样，式(5-1)即可改写为(5-3)F (j)=Jsf (t - jdt-式(5-3)中的积分下限取为-,是考虑到在t = 的时刻/ W中有可能包含有冲激函数o() W。但要注意，式；5-2)中积分的上下限仍然不变(因积分变量是 )，不过此时要在公式后 面标以t,意即只有在t时f ()才有定义，即款 F (j)jdt (5-4a)或用单位阶跃函数U 加以限制而写成下式，即fC)=丄js F(jljd UC)-2兀-s(5_4b)二、从傅里叶变换到拉普拉斯变换当函数f (t)不满足绝对可积条件时，可采取给f 0乘以因子e

12、 V( G为任意实常数)的办法，这样即得到一个新的时间函数f(t丄y。今若能根据函数f()的具体性质，恰当地选取的值，从而使当t时，函数f C )e Y0，即满足条件则函数Ze-t即满足绝对可积条件了，因而它的傅里叶变换一定存在。可见因子 起着使函数f )收敛的作用，故称e -ct为收敛因子。设函数f()9满足狄里赫利条件且绝对可积(这可通过恰当地选取。的值来达到)，则根据 式(5-3)有在上式中，沖是以G + 丿(的形式出现的。令s+，s为一复数变量，称为复频1率。c的单位为s，的单位为rad/s。这样，上式即变为由于上式中的积分变量为t,故积分结果必为复变量s的函数，故应将F(j(改写为F

13、C(,即F(S 匚 丁(t 丄(5-5) 复变量函数F(S(称为时间函数f(t(的单边拉普拉斯变换F(S(称为f(t(的像函数,(为2的原函数。一般记为 符号l- 】为一算子，表示对括号内的时间函数f )进行拉普拉斯变换。(利用式(5-4)可推导出求 心反变换的公式，即 对上式等号两边同乘以，并考虑到不是的函数而可置于积分号内。于是得f C)=F(s)etejtd =Is F(s(eG+j(td =Is F(s)estd(5-6)2兀-s-s-s由于式(5-6)中被积函数是2，而积分变量却是实变量。所以欲进行积分，必须进行变量代换。因故ds = dG +)= jd (因为任意实常数)故且当3=

14、时，s；当 =8时，s =Q+js。将以上这些关系代入式(5-6 )即得丄严+妙F (s stds(5-7a)写成.俨何F(sIds U2兀 j bjgC)(5-7b)2 兀 j G jg式(5-7b)称为拉普拉斯反变换，可从已知的像函数卩)求与之对应的原函数f O 般记为f C)= l-1 f C)符号L-1 口也为一算子，表示对括号内的像函数f c)进行拉普拉斯反变换。式(5-5)与式(5-7)构成了拉普拉斯变换对，一般记为f C)o F(s)或 F(s)o f (/)若f )不是因果信号，贝y拉普拉斯变换式(5-5)的积分下限应改写为(g)，即F(s)=fg fCl st dtg(5-8

15、)式(5-8)称为双边拉普拉斯变换。因为一般常用信号均为因果信号(即有始信号)，故本书主要f Qo F (j)讨论和应用单边拉普拉斯变换。以后提到拉普拉斯变换，均指单边拉普拉斯变换而言。即f (t)o FC)由以上所述可见，傅里叶变换是建立了信号的时域与频域之间的关系，即 而拉普拉斯变换贝是建立了信号的时域与复频域之间的关系，三、复频率平面以复频率s =+j3的实部和虚部何为相互垂直的坐标轴而构成的平面，称为复频率平面，简称s平面，如图5-1所示。复频率平面（即s平面）上有三个区域：j轴以左的区 域为左半开平面；妙轴以右的区域为右半开平面；妙轴本身也是一个区域，它是左半开 平面与右半开平面的分

16、界轴。将s平面划分为这样三个区域，对以后研究问题将有很大方便。 四、拉普拉斯变换存在的条件与收敛域上面已经指出，当函数f ）乘以收敛因子e七后,所得新的时间函数f 丄便有可能 满足绝对可积条件。但是否一定满足，则还要视f ）的性质与值的相对关系而定。下面就来说明这个问题。因 0由此式可见，欲使F C）存在，则必须使f C）e -t满足条件S收敛坐标o左半开 平面5-1图右半开平面式（5-9）中的0值指出了函数 W七的收敛条件。0的值由函数N的性质确定。根据0的值，可将s平面（复频率平面）分为两个区域，如图5-2所示。通过0点的垂直于轴的直线是两个区域的分界线，称为收敛轴， 0称为收敛坐标。收敛

17、轴以右的区域（不包括收敛轴在内）即为收敛域，收敛轴以左的区域（包括收敛轴在内）则为非收敛域。可见f 或F）的收敛域就是在s平面上能使式（5-9）满足的的取值范围，意即只有在收敛域内取值，f ）A ）的拉普拉斯变换 F s 才能存在，且一定存在。五、拉普拉斯变换的基本性质由于拉普拉斯变换是傅里叶变换在复频域（即 s 域）中的推广，因而也具有与傅里叶变换 的性质相应的一些性质。这些性质揭示了信号的时域特性与复频域特性之间的关系，利用这 些性质可使求取拉普拉斯正、反变换来得简便。关于拉普拉斯变换的基本性质在表5-1 中列出。对于这些性质，由于读者在工程数学课 中已学习过了，所以不再进行证明，读者可复

18、习有关的工程数学书籍。表 5-1 拉普拉斯变换的基本性质序号性质名称1唯一性2齐次性3叠加性4线性5尺度性f ），a 06时移性f C -1 UCt ），t o0 0 07时域微分8复频微积分9复频移性10时域积分11复频域积分12时域卷积13复频域卷积14初值定理15终值定理16调制定理利用式(5-5)和拉普拉斯变换的性质，可以求出和导出一些常用时间常数f)的拉表 5-2 拉普拉斯变换表普拉斯变换式，如表5-2中所列。利用此表可以方便地查出待求的像函数F 或原函数151617181920 U(t - nT) - U(t - nT t )Ttn=09七、拉普拉斯反变换从已知的像函数F(S)求与

19、之对应的原函数f )，称为拉普拉斯反变换。通常有两种方1部分分式法()由于工程实际中系统响应的像函数通常都是复变量s的两个有理多项式之比，亦即是s的一个有理分式，即f ) Ns)b Sm + b Sm1 +A + bs + bFS 丿=mml1 0D(s) sn + a sn1 +A+ as+an1(5-10) 像函数F (s)展开成部分分式，再辅以查拉普拉斯变换表即可求得对应的原函数f ()。式中，0, ai,an-1 A 和 b 1, bb,m等均为实系数；m和n均为正整数。故可将欲将F ()展开成部分分式，首先应将式(5-10)化成真分式。即当m n n时，应先用除N 0(s )法将F(

20、S)表示成一个s的多项式与一个余式D(s)之和，即fS 4)二 B sm - n +A+ Bs + B +沽D(s丿m-n1 0 D(s丿，这样余式D(s丿已为一真分式。对应于多项式Q(sL Bm-nSm_n +A + B1S + B0各项的时间函数是冲激函数的各阶导数与冲激F(s)=函数本身。所以，在下面的分析中，均按DVs)已是真分式的情况讨论。分两种情况研究：分母多项式D(S)= Sn +仃严1 +人+叮+ ao二0的根为n个单根 Pi P 2 A PiA Pn。由于 DC)= 0 时即有卩 C La，故称 DC)= 0 的根 pi (i=l,2,n)为 F(s)的极点。此时可将D(s)

21、进行因式分解，而将式(5-10)写成如下的形式，并展开成部分分 式。即()N (s)b sm + biK+ns - pn(S)=亦=(s - P )C-n)A(s - p )A (s - p )=12KKKi +2 +A +i +As- ps- ps- p12i(5-11)式中，Ki (i=1,2,n)为待定常数。可见，只要将待定常数Ki求出，则F(s)的原函数f(t)即可通过查表5-2中序号6的公式而f C)= K ePt + K epj + A + K ep + A + K epj =2 K e PitU (t )求得为12inii=1待定常数Ki按下式求得，即(5-12)现对式(5-12

22、)推导如下：给式(5-11)等号两端同乘以(s-Pi)，即有 由于此式为恒等式，故可取s二Pi代入之，并考虑到P1丰P2 P2丰Pi A Pn鼻Pi，故得:于是得 证毕。*2 留数法(Residue Method)f C)二丄严何 F (s htds根据式(5-7)知，拉普拉斯反变换式为兀j t 0这是一个复变函数的线积分，其积分路径是s平面内平行于j轴的二Ci o的直线AB(亦即直 线AB必须在收敛轴以右)，如图5-4所示。直接求这个积分是很困难的，但从复变函数论()知，可将求此线积分的问题，转化为求的全部极点在一个闭合回线内部的全部留数的 代数和。这种方法称为留数法，也称围线积分法。闭合回

23、线确定的原则是：必须把F )的 全部极点都包围在此闭合回线的内部。因此，从普遍性考虑，此闭合回线应是由直线AB与 直线AB左侧半径R = g的圆cr所组成，如图54所示。这样，求拉普拉斯反变换的运算, 就转化为求被积函数F(S)est在F(S)的全部极点上留数的代数和，即J F (s )e stds = f 0=卜冋 F (s 2 stds式中 ABa-js= 1,2,A)为F()的极点，亦即D(s)= 0的根；Resb为极点pi的留数。以下分两种 情况介绍留数的具体求法。(1)若 为D(s)= 0的单根即为F()的一阶极点,则其留数为(5-23)Re sp = F(s)est (s 一 p )iis=pi(2)若 为D(s)= 0的m阶重根即为F()的m阶极点,则其留数为1d m-1i(m -1) ds m-1s=pi(5-24)将式(5-23)，式(5-24)分别与式(5-12),式(5-19)相比较，可看出部分分式的系数与留数的差别, 部分分式法与留数法的差别。它们在形式上有差别，但在本质上是一致的。与部分分式相比，留数法的优点是:不仅能处理有理函数，也能处理无理函数;若卩C）有重阶极点，此时用留数法求拉普拉斯反变换要略为简便些（见例 5-10）。图 5-4