0高等数学考研辅导串讲

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1、东南大学东南大学 贺传富贺传富高等数学串讲高等数学串讲东南大学东南大学 贺传富贺传富串讲分成一下几个部分：串讲分成一下几个部分：第一部分：高等数学部分考查重点第一部分：高等数学部分考查重点第二部分：典型例子第二部分：典型例子第三部分：必须要会的定理证明第三部分：必须要会的定理证明东南大学东南大学 贺传富贺传富第一部分：第一部分：历年考研数学真题高等数学部分考查重点历年考研数学真题高等数学部分考查重点东南大学东南大学 贺传富贺传富一、函数、极限与连续一、函数、极限与连续1.求函数表达式，分段函数的复合函数;2.求极限或已知极限确定原式中的常数;3.讨论函数的连续性，判断间断点的类型;4.无穷小阶

2、的比较;东南大学东南大学 贺传富贺传富或确定方程在给定区间上有无实根。5.讨论连续函数在给定区间上零点的个数，二、一元函数微分学二、一元函数微分学1.求给定函数的导数与微分(包括高阶导数)，特别是分段函数和带有绝对值的函数可导性的讨论;隐函数和由参数方程所确定的函数求导，东南大学东南大学 贺传富贺传富2.利用洛比达法则求不定式极限;3.讨论函数极值，方程的根，证明函数不等式;柯西中值定理和泰勒中值定理证明有关命题，4.利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、东南大学东南大学 贺传富贺传富6.利用导数研究函数性态，求曲线渐近线。5.几何、物理、经济等方面的最大值、主要是确定目标函数和约束条件，最小值应用

3、问题，解这类问题，判定所讨论区间;东南大学东南大学 贺传富贺传富3.有关积分中值定理和积分性质的证明题;三、一元函数积分学三、一元函数积分学1.计算题：计算不定积分、定积分及广义积分;2.关于变上限积分的题：如求导、求极限等;5.综合性试题。旋转面面积，压力，引力，变力作功等;4.定积分应用题：计算面积，旋转体体积，平面曲线弧长，东南大学东南大学 贺传富贺传富5.与多元函数微分学在几何上的应用四、向量代数和空间解析几何四、向量代数和空间解析几何(基础基础)1.求向量的数量积，向量积及混合积;2.求直线方程，平面方程;3.判定平面与直线间平行、垂直的关系，求夹角;4.建立旋转面的方程;东南大学东

4、南大学 贺传富贺传富五、多元函数的微分学五、多元函数的微分学是否存在、是否可微，偏导数是否连续;2.求多元函数(特别是含有抽象函数)的一阶、3.求二元、三元函数的方向导数和梯度;二阶偏导数，求隐函数的一阶、二阶偏导数;1.判定一个二元函数在一点是否连续，偏导数东南大学东南大学 贺传富贺传富该类型题是多元函数的微分学与前面向量代数与4.求曲面的切平面和法线，求空间曲线的切线与法平面，空间解析几何的综合题，应结合起来复习;5.多元函数的极值或条件极值在几何、物理与经济上的应用题;求一个二元连续函数在一个有界平面区域上的最大值和最小值。东南大学东南大学 贺传富贺传富六、多元函数的积分学六、多元函数的

5、积分学1.二重、三重积分在各种坐标下的计算，2.第一型曲线积分、曲面积分计算;斯托克斯公式及其应用;4.第二型(对坐标)曲面积分的计算，高斯公式及其应用;累次积分交换次序;3.第二型(对坐标)曲线积分的计算，格林公式，东南大学东南大学 贺传富贺传富数学一考生对这部分内容和题型要引起足够的重视。5.梯度、散度、旋度的综合计算;6.重积分，线面积分应用;求面积，体积，重量，重心，引力，变力作功等。东南大学东南大学 贺传富贺传富七、无穷级数七、无穷级数1.判定数项级数的收敛、发散、绝对收敛、条件收敛;2.求幂级数的收敛半径，收敛域;3.求幂级数的和函数或求数项级数的和;4.将函数展开为幂级数(包括写

6、出收敛域);东南大学东南大学 贺传富贺传富5.将函数展开为傅立叶级数，或已给出傅立叶级数，6.综合证明题。要确定其在某点的和(通常要用狄里克雷定理);东南大学东南大学 贺传富贺传富八、微分方程八、微分方程1.求典型类型的一阶微分方程的通解或特解：2.求解可降阶方程;3.求线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解;东南大学东南大学 贺传富贺传富4.根据实际问题或给定的条件建立微分方程并求解;5.综合题，常见的是以下内容的综合：变上限定积分，变积分域的重积分，线积分与路径无关，全微分的充要条件，偏导数等。东南大学东南大学 贺传富贺传富第二部分：典型例子第二部分：典型例子东南大学东南大学 贺传富贺传富

7、一、函数、极限与连续一、函数、极限与连续1.求函数表达式，分段函数的复合函数;2.求极限或已知极限确定原式中的常数;3.讨论函数的连续性，判断间断点的类型;4.无穷小阶的比较;东南大学东南大学 贺传富贺传富或确定方程在给定区间上有无实根。5.讨论连续函数在给定区间上零点的个数，二、一元函数微分学二、一元函数微分学1.求给定函数的导数与微分(包括高阶导数)，特别是分段函数和带有绝对值的函数可导性的讨论;隐函数和由参数方程所确定的函数求导，东南大学东南大学 贺传富贺传富2.利用洛比达法则求不定式极限;3.讨论函数极值，方程的根，证明函数不等式;柯西中值定理和泰勒中值定理证明有关命题，4.利用罗尔定

8、理、拉格朗日中值定理、东南大学东南大学 贺传富贺传富6.利用导数研究函数性态，求曲线渐近线。5.几何、物理、经济等方面的最大值、主要是确定目标函数和约束条件，最小值应用问题，解这类问题，判定所讨论区间;东南大学东南大学 贺传富贺传富 211113.0 sin1limlimnnnnnnxnnnxxxx nxxx设满足，（，2，）（1）证明存在，并求次极限（2）求（）12.limxxxex求（1+）-）21001.d2d,2f xx-xf xxf xxf x已知（）=（）（）求（）东南大学东南大学 贺传富贺传富b05.arcsin0bLagrangelimbf xx设 为（）在，上应用中值定理的“

9、中值”求（）2114.lim1nniinn求东南大学东南大学 贺传富贺传富东南大学东南大学 贺传富贺传富东南大学东南大学 贺传富贺传富东南大学东南大学 贺传富贺传富东南大学东南大学 贺传富贺传富东南大学东南大学 贺传富贺传富东南大学东南大学 贺传富贺传富东南大学东南大学 贺传富贺传富东南大学东南大学 贺传富贺传富000000.()()L0 xyesinx xxx 求求曲曲线线（）与与 轴轴围围成成的的图图形形绕绕 轴轴旋旋转转而而成成的的的的体体积积。22220V5(1)kxxkkesinxdxe 东南大学东南大学 贺传富贺传富2223 （）2233.A2A2xyxyxx 设设平平面面图图形形

10、 由由及及围围成成，求求 绕绕旋旋转转而而成成的的旋旋转转体体的的体体积积。034.xysinx x 求求曲曲线线d d 的的全全长长。东南大学东南大学 贺传富贺传富22235.=M1M.xyxxyxss xdddsds 设设（）是是上上任任一一点点（，）（）处处的的曲曲率率半半径径，（）是是该该抛抛物物线线上上介介于于点点（1 1，1 1）与与之之间间的的弧弧长长。计计算算3 3（）.（9 9）东南大学东南大学 贺传富贺传富 0200.2g22xxf xF xf t dtF xFxf xf xxf t dtxf t dt36设为连续函数，（1）用定义证明可导，且（2）是以 为周期的函数，证明

11、也是以 为周期的函数.积分部分证明题：这些证明题主要还是与前面单调性，中值定理，泰勒公式等有关，是前面等式与不等式的证明在积分部分的具体应用东南大学东南大学 贺传富贺传富 211300.C 01100.f xfxff t dtft dt37设在，上可导，且0求证 1.C 01.01f xf xf x dxf 38设在，上连续，且0证明：，使得东南大学东南大学 贺传富贺传富 150.0116fxxf xdxf39设0，证明：东南大学东南大学 贺传富贺传富四、多元函数的微分学四、多元函数的微分学是否存在、是否可微，偏导数是否连续，以及他们之间的关系2.求多元函数(特别是含有抽象函数)的一阶、3.求

12、二元、三元函数的方向导数和梯度;二阶偏导数，求隐函数的一阶、二阶偏导数;1.判定一个二元函数在一点是否连续，偏导数东南大学东南大学 贺传富贺传富该类型题是多元函数的微分学与前面向量代数与4.求曲面的切平面和法线，求空间曲线的切线与法平面，空间解析几何的综合题，应结合起来复习;5.多元函数的极值或条件极值在几何、物理与经济上的应用题;求一个二元连续函数在一个有界平面区域上的最大值和最小值。东南大学东南大学 贺传富贺传富00.()()zf x,yx,y 4 40 0 函函数数在在处处可可微微的的充充分分条条件件是是（）00()()f x,yx,y（1 1）在在处处连连续续0000()()xyfx,

13、yfx,y（2 2），存存在在0000()()0 xyzfx,yxfx,yy （3 3）000022()()0 xyzfx,yxfx,yyxy （4 4）（）（）东南大学东南大学 贺传富贺传富东南大学东南大学 贺传富贺传富东南大学东南大学 贺传富贺传富.zexyyzxzzf xy 4242 由由确确定定的的隐隐函函数数（，）存存在在的的充充分分条条件件是是（）东南大学东南大学 贺传富贺传富wv （=0 0）东南大学东南大学 贺传富贺传富2222245.236P,1,168Pnxyzxyzn 是是在在点点（1 1）处处指指向向外外侧侧的的法法向向量量，求求u=u=在在点点 处处沿沿方方向向 的的

14、方方向向导导数数 117（）东南大学东南大学 贺传富贺传富22222446.2P,1,2xyzxyx 求求曲曲线线在在点点（1 1）处处的的切切线线方方程程241xyzy （切切线线112012xyz 或或）东南大学东南大学 贺传富贺传富东南大学东南大学 贺传富贺传富东南大学东南大学 贺传富贺传富东南大学东南大学 贺传富贺传富五、多元函数的积分学五、多元函数的积分学1.二重、三重积分在各种坐标下的计算，2.第一型曲线积分、曲面积分计算;（对称性问题）格林公式及其应用;4.第二型(对坐标)曲面积分的计算，高斯公式及其应用;累次积分交换次序;（对称性问题）3.第二型(对坐标)曲线积分的计算，格林公

15、式，东南大学东南大学 贺传富贺传富数学一考生对这部分内容和题型要引起足够的重视。5.梯度、散度、旋度的综合计算;6.重积分，线面积分应用;求面积，体积，质量，重心，引力，变力作功等。东南大学东南大学 贺传富贺传富sin1 203东南大学东南大学 贺传富贺传富3.Dxd 计计算算二二重重积积分分xyxyxD22:2222 ，其中其中 2cosr2r0 xy222yxxyx222，2r 2cosr）（2 东南大学东南大学 贺传富贺传富4.Dxy d 计计算算二二重重积积分分。，其中其中001:22 yxyxD）（1232东南大学东南大学 贺传富贺传富5.东南大学东南大学 贺传富贺传富东南大学东南大

16、学 贺传富贺传富曲曲线线 022xzy绕绕 z 轴轴旋旋转转一一周周所所成成曲曲面面与与平平面面 2 z，8 z所围成的区域。所围成的区域。xyzO82)(zD.336东南大学东南大学 贺传富贺传富228.(234),Lxyxy ds 求求29.(),Lxxyz ds 求求22:1,43xyLLa 其其中中的的周周长长为为。2222:0 xyzaLxyz 其其中中东南大学东南大学 贺传富贺传富:解10.(),xyz dA 2,dAdx dy 22:5,25yzxy 。()xyz dA 2225(5)2xyxdx dy 2225052xydx dy 1252 东南大学东南大学 贺传富贺传富222

17、11.PS1xyzyz设设 为为椭椭球球面面：SPxoy上上的的动动点点，若若 在在 点点处处的的切切平平面面与与C面面垂垂直直，求求点点P P的的轨轨迹迹 的的方方程程，22(3)2I44xyzdSyzyz 并并计计算算曲曲面面积积分分=22222201C31204zyxyzyzxyzy （：，I 积积分分=2=2）东南大学东南大学 贺传富贺传富 222212.xoyDS()()Dz f x,yffrrdrdrrxy 设设光光滑滑曲曲面面=()=()在在面面上上的的投投影影为为有有界界区区域域，试试证证：此此曲曲面面面面积积为为=其其中中（，）为为，的的极极坐坐标标。东南大学东南大学 贺传富

18、贺传富2222min:(,)3,22220.f x y zxyzas txyzaxayaza 求求条条件件极极值值的的最最小小值值东南大学东南大学 贺传富贺传富轮换对称性问题：轮换对称性问题：（轮换对称性适用于有抽象函数的积分的证明题）（轮换对称性适用于有抽象函数的积分的证明题）22D.D0,0()DId dyxxyf xaf xbf yx yf xf y 1414 设设：4(),4(),是是 上上的的正正值值连连续续函函数数。求求（）（）积积分分=（）（）东南大学东南大学 贺传富贺传富 22D.()D=:d dd2baf xabaxbxyaxbbayf yx yf xx 1515 设设在在，

19、上上连连续续，且且单单调调增增加加,，求求证证：（）（）东南大学东南大学 贺传富贺传富22216.()()(),Lx y dxxydyxyz dz 求求2222211:1xyzLzxyz 其其中中的的交交线线，其其方方向向与与 轴轴正正向向成成右右手手系系-（）东南大学东南大学 贺传富贺传富oyx0),(aA 0),(aBCo时时当当)0,0(),(yx，222xya 东南大学东南大学 贺传富贺传富2218.,4Lydxxdyxy 求求:1,Lxy 其其 中中顺顺 时时 针针。东南大学东南大学 贺传富贺传富2.sinxz dydzxdxdy 1 19 9 求求2 1 2yzxo 1128.15

20、（）东南大学东南大学 贺传富贺传富六、无穷级数六、无穷级数1.判定数项级数的收敛、发散、绝对收敛、条件收敛;2.求幂级数的收敛半径，收敛域;3.求幂级数的和函数或求数项级数的和;4.将函数展开为幂级数(包括写出收敛域);东南大学东南大学 贺传富贺传富5.将函数展开为傅立叶级数，或已给出傅立叶级数，6.综合证明题。要确定其在某点的和(通常要用狄里克雷定理);东南大学东南大学 贺传富贺传富),0(1)1(lim.11 puennnpn设设.1的的敛敛散散性性讨讨论论nnu 东南大学东南大学 贺传富贺传富东南大学东南大学 贺传富贺传富3.东南大学东南大学 贺传富贺传富东南大学东南大学 贺传富贺传富东

21、南大学东南大学 贺传富贺传富 .7 7 选选择择题题：01).2,1若若在在处处收收敛敛 则则在在处处nnna xxx 条条件件收收敛敛).(C绝绝对对收收敛敛).(B敛敛散散性性无无法法确确定定).(D发发散散).(A东南大学东南大学 贺传富贺传富02).2,3若若在在处处收收敛敛 则则在在处处nnna xxx 发发散散).(A绝绝对对收收敛敛).(B条条件件收收敛敛).(C敛敛散散性性无无法法确确定定).(D东南大学东南大学 贺传富贺传富2).(B2).(C 03).2,若若在在处处条条件件收收敛敛则则收收敛敛半半径径nnna xxR 2).(A无无法法确确定定).(D东南大学东南大学 贺

22、传富贺传富东南大学东南大学 贺传富贺传富0010.(1),已已知知求求幂幂级级数数的的收收敛敛域域与与和和函函数数。xnnnnnnena xa x1,0()1 ,0 xexS xxx东南大学东南大学 贺传富贺传富1111.sin,讨讨论论（）的的敛敛散散性性并并求求其其和和函函数数。nnxn东南大学东南大学 贺传富贺传富12.将将函函数数在在指指定定点点处处展展开开成成幂幂级级数数1 21()cot12（）展展开开成成 的的幂幂级级数数xf xarcxx22()2（）展展开开成成 的的幂幂级级数数xf xxxx0()ln,21（3 3）xf xxx东南大学东南大学 贺传富贺传富0()(),11

23、（4 4）xdeef xxdxx东南大学东南大学 贺传富贺传富011.()()cos,()Fourier21 13 3 设设 在在，上上二二阶阶连连续续可可导导，是是的的系系数数，求求证证收收敛敛。nnnnnf xaf xanx af xa东南大学东南大学 贺传富贺传富七、微分方程、微分方程1.求典型类型的一阶微分方程的通解或特解：2.求解可降阶方程;3.求线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解;东南大学东南大学 贺传富贺传富4.根据实际问题或给定的条件建立微分方程并求解;5.综合题，常见的是以下内容的综合：变上限定积分，变积分域的重积分，线积分与路径无关，全微分的充要条件，偏导数等。东南大学

24、东南大学 贺传富贺传富1求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解 d(1)(lnln)dyxyyxx32)()d2 d0yxxx y（.sintan0 xy dyydx（3 3）4.dyydxxy（4 4）东南大学东南大学 贺传富贺传富2.()(1)(1)1y xyyyy（6 6）求求满满足足初初始始条条件件的的特特解解(5)()ysinx2 ydx=xdy 3221:()33y xx答案东南大学东南大学 贺传富贺传富2.0yyy（7）求满足1(0)1,(0)2yy初始条件的特解东南大学东南大学 贺传富贺传富32122113212211321221132211)1()()1()()()()(y

25、CCyCyCDyCCyCyCCyCCyCyCByyCyCA1232.,()()()yyyyp x yq x yf x若为方程的三个线性无关的解，则该方程的通解为东南大学东南大学 贺传富贺传富33.(1)xxxyex eyaybyce若若为为方方程程的的解解，则则该该方方程程的的通通解解为为xxxxxexCeCyBxeeCeCyA)1()()(231321xxxxxeeCeCyDexeCyC323131)()1()(东南大学东南大学 贺传富贺传富2124.,()()()xxxxyxeeyxeeyp x yq x yf x若=为方程的两个特解求此方程东南大学东南大学 贺传富贺传富xexyyy265

26、 求方程的通解.因此特解为.)1(*221xexxy所求通解为xxeCeCy3221.)(2221xexx 5.东南大学东南大学 贺传富贺传富cosyyxx求方程的通解6.12:cossin(2sin)2xyCxCxx答案东南大学东南大学 贺传富贺传富6.求一连续可导函数)(xf使其满足下列方程:ttxfxxfxd)(sin)(07.设F(x)f(x)g(x),其中函数 f(x),g(x)在(,+)内满足条件:,0)0(),()(),()(fxfxgxgxf且(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;(2)求出F(x)的表达式.2)()(xexgxf东南大学东南大学 贺传富贺传富109.()1()

27、()1(0),()2f xf xt dtf xxf x已知连续函数满足求东南大学东南大学 贺传富贺传富10.2f(x),设是以为周期的二阶连续可导函数111()()993:fxf xsinxcosx,提示331213()1010 xxf xC eC esinxcosx1220f(x)f(x)CC 3f(x)f(x)sinx,f(x)且求东南大学东南大学 贺传富贺传富11.(),rr设曲线L的极坐标方程为0M()LM(2 0)Lr,为 上任意一点,为 上0MML,一定点.若极径OO与曲线 所围成0M M,的曲边扇形面积值等于L上两点间,L.弧长值的一半 求曲线 的方程1:Larccos3r答案

28、的极坐标方程为东南大学东南大学 贺传富贺传富212.(,)(,)(,)()(,)uvxf u vfu vfu vuvy xef x x设具有连续偏导数，且满足求所满足的一阶微分方程，并求其通解。22xyy+x e=-2东南大学东南大学 贺传富贺传富2213.()0()0(1)0(1)1()xxyyf uzfxyzzfff u 设在，内具有二阶导数，且满足若，求()()0,()f uf uf uluu东南大学东南大学 贺传富贺传富22(2)22222214.()1,uufxyCuuuuxyxyxx设,且满足求22222(r,)d u=xyurdr东南大学东南大学 贺传富贺传富(2)215.()(

29、0)0(0)1()()()0()f xCffxy xyf x y dxfxx y dyf x设,，且为一阶全微分方程，求东南大学东南大学 贺传富贺传富5.与多元函数微分学在几何上的应用八、向量代数和空间解析几何八、向量代数和空间解析几何(基础基础)1.求向量的数量积，向量积及混合积;2.求直线方程，平面方程;3.判定平面与直线间平行、垂直的关系，求夹角;4.建立旋转面的方程;东南大学东南大学 贺传富贺传富东南大学东南大学 贺传富贺传富东南大学东南大学 贺传富贺传富解解:球球面面100)1()2()3(222 zyx 的的球球心心为为)1,2,3(C,球球半半径径10 R.过过点点 C 作作直直

30、线线垂垂直直于于平平面面0922 zyx,得得直直线线方方程程：112223 zyx，化化为为参数参数方方程程：122 23tztytx，代代入入平平面面方方程程0922 zyx，得得 东南大学东南大学 贺传富贺传富.2018909)1()22(2)23(2 ttttt).3 ,2 ,1(D所求圆心为所求圆心为球心到平面球心到平面0922 zyx的距离为的距离为 6318)1()2(2911)2(232222 d，.8610 2222 dRr所求圆的半径为所求圆的半径为dCDRr东南大学东南大学 贺传富贺传富东南大学东南大学 贺传富贺传富东南大学东南大学 贺传富贺传富1.1.介值定理的证明介值

31、定理的证明2.2.可导与可微等价可导与可微等价3.3.斜渐近线公式的推导斜渐近线公式的推导4.4.一元函数取得极值的必要条件是什么？给出证明一元函数取得极值的必要条件是什么？给出证明5.5.三个中值定理的证明三个中值定理的证明需要掌握的定理证明和一些公式的推导：需要掌握的定理证明和一些公式的推导：东南大学东南大学 贺传富贺传富0006.yf xfxfxx设设（）满满足足（）=0=0，（）0 0，证证明明 是是极极值值点点 00007.yf xfxfxxf x设设（）满满足足（）=0=0，（）0 0，证证明明，（）是是拐拐点点8.利利用用级级数数收收敛敛的的定定义义证证明明正正项项级级数数的的比

32、比较较法法9.叙叙述述并并证证明明正正项项级级数数收收敛敛的的比比值值法法东南大学东南大学 贺传富贺传富9.绝绝对对收收敛敛级级数数本本身身是是收收敛敛的的10.若若级级数数每每一一项项取取绝绝对对值值后后的的正正项项级级数数用用比比值值法法判判定定是是发发散散的的，证证明明原原级级数数发发散散11.二二阶阶欧欧拉拉微微分分方方程程化化为为常常系系数数微微分分方方程程的的推推导导过过程程东南大学东南大学 贺传富贺传富2212.yozLFF设设坐坐标标面面内内的的曲曲线线 的的方方程程为为（）=0=0，求求其其绕绕z z轴轴旋旋转转一一周周所所得得到到的的旋旋转转曲曲面面的的方方程程为为（+）=0=0y,zxy,z 东南大学东南大学 贺传富贺传富LPQ13.DyxPQyxPQdyD设设单单连连通通区区域域 内内，连连续续，且且满满足足，证证明明曲曲线线积积分分在在 内内与与路路径径无无关关dx 东南大学东南大学 贺传富贺传富 0014.(),()()()2()()=0 ()设设在在上上连连续续，证证明明，若若是是偶偶函函数数，若若是是偶偶函函数数aaaaf xa af x dxf xfxdxf x dxf xf x 东南大学东南大学 贺传富贺传富015.()T()()设设是是以以 为为周周期期的的连连续续函函数数，证证明明对对a TTaf xa,f x dxf x dx