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1、2.8 2.8 导数在研究函数性态上的应用导数在研究函数性态上的应用2 2.8 8.1.1 函数的单调区间函数的单调区间 设函数)(xfy 在),(ba内可导。若函数)(xfy 在),(ba内单调增加(减少)，则其图形是一条沿轴 x正向上升(下降)的曲线。这时曲线上各点处的切线斜率是非负（非正）的，即0)(xf(0)(xf)。由此可见，函数的单调性与导数的符号有着密切的关系。yxo)(xfy abyxo ab)(xfy 曲线 上升时)(xfy.0)(xf曲线 下降时)(xfy.0)(xf1 1定理定理 1 1 设函数)(xf在区间可导 I，则（1）)(xf在I 区间单调增加(减少)Ix，有0)
2、(xf(0)(xf)；（2）若在I 区间0)(xf(0)(xf)，则)(xf 在I 区间严格单调增加(严格单调减少)。证明证明：（1）仅证单调增加情况。必要性必要性)(.Ix，取)0(xIxx(若是 x区间的 I端点，则只讨论0 x或0 x.)(xf在I 区间单调增加，0)()(xxfxxf，已知函数)(xf在I 区间可导，0)()(lim)(0 xxfxxfxfx.充分性充分性)(.Ixx21 ,，且 21xx，),()(,)(2121xxDxf xxCxf则，已知0)(f，012 xx，0)()(12xfxf，或)()(21xfxf，故)(xf在I 区间单调增加。（2）证明类似于（1）的充
3、分性，同学们自己完成。由 Lagrange定理可得：),()()()(211212xxxxfxfxf例如：函数3)(xxf，),(x，03)(2xxf，而使03)(2xxf的点 是孤立点0 x，故3)(xxf在),(内严格单调增加。注注：结论（2）只是函数严格单调的充分条件不是必要 条件。可以证明：Ix，0)(xf(0)(xf)，而在 I 区间的任意子区间0)(xf)(xf在I 区间严格单 调增加(严格单调减少)。,325)1(32)(31 3231 xxxxxxf.)52 ,0(,),52()0 ,()(内单调减少在内单调增加和在即xf解：函数)(xf的定义域为),(，令0)(xf，得52x
4、，0 x为)(xf的不可导的点。x0),(0)52 ,0(52),52(，+)(xf 不存在0)(xf例 1求函数32)1()(xxxf的单调区间。2 2.确定函数的单调性的一般步骤确定函数的单调性的一般步骤（1）确定函数)(xf的定义域),(ba；（2）求0)(xf和)(xf 不存在的点，把这些点按 从小到大的顺序排列为 nCCC,21，确定在 ),(1Ca，),(21CC，),(bCn内)(xf 的符号；（3）在某区间上，若0)(xf，则)(xf在这区间内严格单调增加；若0)(xf，则)(xf在这区间内严格单调减少。3 3、利用函数的单调性证明不等式、利用函数的单调性证明不等式 设)(xf
5、在,ba上连续，在),(ba内可导，要证0)(xf。若能证得在),(ba内0)(xf，且0)(af，则有0)()(afxf，即证得结论。)(01ln)(axxaxaaxf，例 2设eab，证明：abba。证明：要证abba，只须证baablnln。设xaaxxflnln)(，则),)(aCxf，),()(aDxf，且0)(af。由eab，得1lnlnab。)(xf在),a上严格单调增加，当ab 时，有0)()(afbf，即baablnln，从而abba。例 3求证：当 x0时，有xx2sin。证明证明：只须证12sinxx，（x0）22)2tan2(2cos2sin2cos2)(xxxxxxx
6、xxf，当 x0时，02cosx，22tanxx，设12sin)(xxxf，则)(xf在,0(上连续，在),0(内可导，且0)(f。0)(xf，从而)(xf在 ,0(内严格单调减少，0)()(fxf（x0），即12sinxx，从而xx2sin（x0）。例 4证明：当)1 ,0(x时，xxex112。设xexxfx1)1()(2，证证：要证)1 ,0(x时，xxex112，即要证)1 ,0(x时，1)1(2xexx。1)21()(2xexfx，)1 ,0)(Cxf，)1 ,0()(Dxf，且0)0(f。04)(2 xxexf，)1 ,0(x。0)(xf，故xexx1)1(2，即)1 ,0(x时，
7、xxex112。在)1 ,0内)(xf 严格单调减少，从而0)0()(fxf，在)1 ,0内)(xf严格单调减少，从而0)0()(fxf，例 5证明方程1sinxax)10(a在),(内有且仅有一个实根。,0)(Cxf，且01)0(f，,01)(f 即在),0(内方程0)(xf至少有一个实根。又0cos1)(xaxf，)(xf在),(内严格单调增加。故方程0)(xf，即方程1sinxax（10 a）在),(内有且仅有一个实根。证明证明：设1sin)(xaxxf，则),()(Cxf，至少存在一点),0(，使得0)(f，证明证明：,)()()(2xxfxf xxg)0()()()()(fxfxf xxfxf x)()()0)()(fxfxxfxf x)0(x 而)(xf 严格单增，故0)()(fxf)0(x。当0 x时，0)()(fxfx，从而0)(xg，故当0 x时，xxfxg)()(严格单增。分母02x，故考察分子)()(xfxf x的符号。例6已知0)0(f，)(xf严格单增，证明：当0 x时，xxfxg)()(严格单增。作作业业习习 题题 2.42.4（）2(2)(4)(6)(2)(4)(6)；3(2)(5)3(2)(5)P138
高等数学A教学课件：2_8_1导数的应用
