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1、目录 上页 下页 返回 结束 第三节一、函数项级数的概念一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算三、幂级数的运算 幂级数 第十章 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、函数项级数的概念函数项级数的概念设121)()()()(nnnxuxuxuxu为定义在区间 I 上的函数项级数.对,0Ix 若常数项级数10)(nnxu敛点敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域;若常数项级数10)(nnxu为定义在区间 I 上的函数,称收敛,发散,所有0 x称为其收 0 x称为其发散点,),2,1()(nxun发散点的全体称为其发散域.目录 上页 下页 返回 结束,)(xS为
2、级数的和函数,并写成)()(1xuxSnn若用)(xSn)()(1xuxSnkkn令余项)()()(xSxSxrnn则在收敛域上有,)()(limxSxSnn0)(limxrnn表示函数项级数前 n 项的和,即在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数 称它目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,等比级数等比级数它的收敛域是,)1,1(,11,(），及nnnxxxx201xxnn110它的发散域是或写作.1x又如又如,级数级数,)0(02xnxxnnn,)(limxunn级数发散;所以级数的收敛域仅为.1x,)1,1(时当x有和函数,1时收敛当x,10时但当 x目录 上页 下页 返回 结束 二、
3、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性 形如00)(nnnxxa202010)()(xxaxxaa的函数项级数称为幂级数,其中数列),1,0(nan下面着重讨论00 x0nnnxannxaxaxaa2210例如,幂级数1,110 xxxnn为幂级数的系数.即是此种情形.的情形,即nnxxa)(0称 目录 上页 下页 返回 结束 收敛 发散定理定理 1.(Abel定理定理)若幂级数0nnnxa,0点收敛在xx 则对满足不等式0 xx 的一切 x 幂级数都绝对收敛.反之,若当0 xx 0 xx 的一切 x,该幂级数也发散.时该幂级数发散,则对满足不等式Ox发 散发 散收 敛阿贝尔 目录 上页 下页
4、返回 结束 幂级数在(,+)收敛;由Abel 定理可以看出,0nnnxa中心的区间.用R 表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为那么R=0 时,幂级数仅在 x=0 收敛;R=+时,0 R幂级数在(R,R)收敛;(R,R)加上收敛的端点称为收敛域.R 称为收敛半径，在R,R 可能收敛也可能发散.Rx外发散;在(R,R)称为收敛区间.Ox发 散发 散收 敛收敛 发散目录 上页 下页 返回 结束 xaaxaxannnnnnnn111limlim定理定理2.假设假设0nnnxa的系数满足,lim1nnnaa;1R;R.0R证证:1)假设 0,则根据比值审敛法可知:当,1x原级数收敛;当,1x
5、原级数发散.x即1x时,1)当 0 时,2)当 0 时,3)当+时,即时,那么 1x目录 上页 下页 返回 结束 2)假设,0则根据比值审敛法可知,;R绝对收敛,3)假设,则对除 x=0 以外的一切 x 原级数发.0R对任意 x 原级数因而散,因而 0nnnxa的收敛半径为说明说明:据此定理据此定理1limnnnaaR因此级数的收敛半径.1R目录 上页 下页 返回 结束 对端点 x=1,1limnnnaaRnxxxxnn 132)1(32的收敛半径及收敛域.解解:11nn11对端点 x=1,1)1(11nnn收敛;级数为,11nn发散.1,1(故收敛域为例例1.1.求幂级数求幂级数 limn
6、级数为交错级数目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求下列幂级数的收敛域求下列幂级数的收敛域:.!)2(;!1)1(00nnnnxnxn解解:(1)limlim1nnnnaaR!1n)1(limnn所以收敛域为.),(2)limlim1nnnnaaR!n!)1(n11limnn0所以级数仅在 x=0 处收敛.规定:0!=1!)1(1n目录 上页 下页 返回 结束 例例3.nnxnn202)!(!)2(求幂级数的收敛半径.解解:级数缺少奇次幂项级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径.lim)()(lim1nnnnxuxu2!)1(!)1(2nn2!2nn22)
7、1()22()12(limxnnnn24x142x当时级数收敛时级数发散 故收敛半径为.21R21x即142x当21x即)1(2nxnx2故直接由目录 上页 下页 返回 结束 例例4.12)1(nnnnx求幂级数的收敛域.解解:令令,1 xt级数变为nnntn121nnnnaaRlimlim1nn21)1(211nnnnnnn2)1(2lim12当 t=2 时,级数为,11nn此级数发散;当 t=2 时,级数为,)1(1nnn此级数条件收敛;因此级数的收敛域为,22t故原级数的收敛域为,212x即.31x目录 上页 下页 返回 结束 三、幂级数的运算三、幂级数的运算定理定理3.设幂级数设幂级数
8、nnnxa0nnnxb0及的收敛半径分别为,21RR令nnnxa0)(0为常数nnnxa1Rx,min21RRR nnnnnnxbxa00,)(0nnnnxbaRx,0nnnxcRx 则有:nnnnnnxbxa00其中knnkknbac0以上结论可用部分和的极限证明.目录 上页 下页 返回 结束 定理定理4 若幂级数若幂级数nnnxa0的收敛半径,0R)(xS数nnnxaxS0)(,11nnnxan),(RRxxxaxxSnxnnxdd)(000,110nnnxna),(RRx则其和函在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛半径相同:注注:逐项积分时逐项积分时,运算前
9、后端点处的敛散性不变运算前后端点处的敛散性不变.目录 上页 下页 返回 结束 例例6.1nnxn求幂级数的和函数解解:易求出幂级数的收敛半径为易求出幂级数的收敛半径为 1,x1 时级数发,)1,1(时故当x1)(nnxnxS1)(nnxxxxx12)1(xx.)(xS11nnxnx1nnxx散,目录 上页 下页 返回 结束 例例7.求级数求级数01nnnx的和函数.)(xS解解:易求出幂级数的收敛半径为易求出幂级数的收敛半径为 1,时级数且1x01)(nnnxxS xnnxxx00d1xxxx0d111)1ln(1xx)10(x1x及收敛,0111nnnxxxnnxxx00d1,)1,1中则在
10、 x=1 时级数发散,有时当,0 x目录 上页 下页 返回 结束)1,0()0,1x)(xS,)1ln(1xx因此由和函数的连续性得:)(xS而 x=0 时级数收敛于1,)1ln(1xx,10 x)10(x1x及,1)1(lnlim0 xxx目录 上页 下页 返回 结束 P208 1 (2),(4),(6)2(1),3作业第四节 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.求幂级数收敛域的方法1)对标准型幂级数先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法或根值法,2.幂级数的性质两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与)0(0nnn
11、naxa也可通过换元化为标准型再求.乘法运算.目录 上页 下页 返回 结束 2)在收敛区间内幂级数的和函数连续;3)幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.思考与练习思考与练习 1.知知nnnxa00 xx 在处条件收敛,问该级数收敛半径是多少?答答:根据Abel 定理可知,级数在0 xx 收敛,0 xx 时发散.故收敛半径为.0 xR 3.求和函数的常用方法 利用幂级数的性质 目录 上页 下页 返回 结束 阿贝尔阿贝尔(1802 1829)挪威数学家,近代数学发展的先驱者.他在22岁时就解决了用根式解5 次方程的不可能性问题,他还研究了更广的一 并称之为阿贝尔群.在级数研究中,他得 到了一些判敛准则及幂级数求和定理.论的奠基人之一,他的一系列工作为椭圆函数研究开拓了道路.数学家们工作150年.类代数方程,他是椭圆函数C.埃尔米特曾说:阿贝尔留下的思想可供 后人发现这是一类交换群,目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 求极求极限限,)(lim221nanaan其中.1a解解:令令nnanaaS221nkkak1作幂级数,1nnxn设其和为,)(xS易知其收敛半径为 1,那么1)(nnxnxS11nnxnx1nnxxxxx12)1(xxnnSlim)(1aS2)1(aa
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