平面几何与立体几何中的相似比

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1、平面几何与立体几何中的相似比高二何洁小组组长：何洁 组员：沈剑、金玉香、徐蔚蓝指导老师：杨岳明1、课题的决定当我们步入几何学的殿堂，相似比一直是一种重要的解题方略，在高中阶段，我们又学习了立体几何。在学习中，我们发现相似比的应用在平面几合和立体几何中有一定的关系。于是，我们对此进行了探讨。2、小组的计划由小组组成立以来，我们组的学员都非常的认真，细致。决心创造一篇成功的研究论文。以下是我们的分工：1）何洁担任打字工作2）沈剑担任课题的编排工作3）金玉香担任课题的寻找4）徐蔚蓝担任课题的解释，提要。第一周：完成选择课题。第二周：初步确定课题。第五周：编排。第七周：出稿。研究内容：CBEDA例1、

2、如图，已知：DE/BC, AD=15,AB=40,AC=28 求：AE分析：看到这一个题目,我们就想到了三角形中平行线成比例的问题. 此外我们还可以引申到相似三角形的相似比。解： DE/BC DB=AB AD,AB=40,AD=15，DB=25；又 CE=AC一AE，AC=28CE=28一CE，； AE=10.5。解题要点：解决这一类题目的要领,最主要的还是掌握被平行线拦断的关系,不要把不同的线段混杂。例2、如图，已知DE/BC,AF是BC边上的高,求证：SADE：SABC=AE2：AC2分析：解决这一类问题,我们首先会想到S=ah这个公式,运用上题中的平行线关系,掌握线段的比例。FBCEHD

3、A证明：DE/BC AF是BC边上的高,DE/BC，AH是DE边上高 ADEABC 又=解题要点：证明三角形面积比等于边长比的平方把握 ,再代入公式便易得结果。初识几何学我们就学了平面几何中的相似比如例1中的“线段成比例”和例2中的“面积成比例”等应用，到了高中我们从平面跳到了空间，虽然变了很多，但万变不离其中。例3、已知直线l/平面，点B, C, Dl, 且 A, 直线AB, AC, AD, 分别交平面于点E,F,G。若BD=a, AC=b, CF=c, 求：EG长分析：随着我们对接受信息能力的不断加强,为此,我们已不再仅限于平面,在空间上解决问题也是一门技术.。解：直线l/平面，点B, C

4、, Dl, Al平面ABCD。平面ABCD直线=直线EFG直线BCD/直线EFG, AEGABD() 当平面在点A和直线l之间（如图所示） B C D l即ACCF时 E F G BD=a, AC=b, AF=b一c EG= AFGEACDB() 当直线l在点A和平面之间（如图）即ACAF时=EG=解题要点：例3的解法运用了分类讨论,把图形位置的不确定的问题化归为确定的问题,粗看,似乎无法着手解答,为此,分成”a在点A和L之间”L在点A和a之间”点A在L和a之间”三类,再逐类求解.并运用上相似比的性质.问题既迎刃而解。例4、已知：棱锥P一ABCDE中，平面/平面AC, 且截得多边形A1B1C1

5、D1E1，PH平面AC，PH平面AC=H，PH平面a=H1，（如图所示）求证： =分析：随着我们对接受信息能力的不断加强,为此,我们已不再仅限于平面,在空间上解决问题也是一门技术证明：截面a/平面AC A1B1/AB， B1C1/BC， E1A1/EA A1B1C1=ABC，B1C1D1=BCD， E1A1B1=EABP1A1B1PAB P=E1C= AB=C截面A1B1C1D1E1F1底面ABCDEF BED=解题要点：相似比不仅在平面几何中能运用自如,在空间上也能随机应变,那么在立体几何分析中是否也能适用呢?那就让我们来探讨一下。例5、斜平行六面体ABCD一A1B1C1D1中E、F、G分别

6、为相邻三棱B1A1、B1B、B1C1、中点，求三棱锥B1一EFG和斜平行六面体的体积比。分析：本题要求三棱锥与六面体的体积比,而求体积比一般就运用高的比,此题中高之比很容易求.再运用体积公式,此题便迎刃而解。解：设F到上底面距离为h1，B到上底面距离为h2 A1 D1AFCDBABCD一A1B1C1D1是平行六面体，F是BB1中点 E B1 G C1=VB1一EFG =SEGB1h1VABCD一A1B1C1D1=SA1B1C1D1h2。解题要点：本题主要在于体积比与线段比。例6、如图，在三棱台ABC一A1B1C1中，A1A底面ABC，A1A=A1B=B1C1=a，B1BBC，且B1B与底面AB

7、C成45角，求此棱台的体积。分析：提起体积比很容易会想到棱锥和棱台,其中暗含着无穷奥秘.特别是棱台中的内容,特容易混浊。解：将三棱台还原成三棱锥P一ABC过B1作B1DAB交AB于D，则B1D/A1ABD1平面ABC PB1BD = 45是B1B与底面所成的角 C1PBA = 45 B1 A1PB1A1 = 45 C PA1 = A1B1 = B1C1=a又PB1C1 = B1BC = 90 B D AA1B1B1C1VP一A1B1C1 =PA1 SA1B1C1=aaa=a3 VP一ABC = 8 VP一A1B1C1 = 8a3 = a3V台 = VP一ABC一VP一A1B1C1 = a3一a

8、3 =a3解题要点：从例6中可以看出,棱台中的定理与棱锥相仿,要学会棱台必得从棱锥学起。从以上的例题中，我们不难发现“线段成比例”在立体几何中，我们也能运用自如。例4中所求的面积比是利用“面积比等于相似比的平方”把比较难解决的问题简化了。在例5例6中，求体积、相似比无疑也是一个得力助手。参考资料：高中数学能力训练与提高 上海教育出版社数学高中二年级第一学期 华东师大出版社中学数理化公式定理大全 广西师范大学出版社 研究体会：经历了一个学期的讨论，研究。我们的研究性课程已经初步的完成。当我们的研究成果已经要完成的时，我们决定对于我们的研究成果进行进一步的小结。我们所选择的是题目的是在平面几何与立

9、体几何中的相似比的关系，在进行研究论文的过程中，我们小组的同学都发扬了不屈不挠的精神，尤其当我们遇到问题时，更是体现了我们小组的同学团结的精神。 何洁在分配任务的时候，同学们都表现出非常积极的样子。所以，总体来说，我们小组的配合是非常成功的，各位同学都表现得非常良好。在数学解题方面中，运用相似比是非常重要得。不管在立体几何或平面几何中，相似比总是解题基础。此外，作为数学的解题方法还有许多种，比如说建立数学模型运用参量等，都是我们的解题重要思路。 沈剑经过一学期的学习和研究，我们得到了很多，我们提起相似比很容易想起体积比，那么立体几何中的棱锥和棱柱都可以用相似比解决。总而言之，这次数学研究型课程

10、让我收益非浅，它使我认识数学也是一门高深的艺术，通过这次活动，使我们掌握了一些新的解题思路。 金玉香在这次研究探讨中，我们不仅学到了更多的知识，而且也拓宽了我们的思路，首先，我们现分配了一下工作，我们先从最简单开始，从初中的平面几何拓展到了高中的立体几何。对它的定义进行了分析。在这次活动中，我们发扬了不怕苦不怕累的精神，刚开始我们都不太擅长于这种类型的探讨，但是后来我们渐渐的融入了这种研究中。 徐蔚蓝数学是一门高深的学科，在这数学的海洋中，我们要抓住它的要点，理解它的基本的解题思路，在这本研究课题中，我们着重研究了有关相似比的问题。此外，还有许多问题，如通过平行线的平移建立数学模型的方法等等，我们还需要进一步的讨论，如果在课题中有不足的地方，还请读者指出。200357