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1、北 师 大 版 数 学 课 件精 品 资 料 整 理 第一章第一章 特殊平行四边形特殊平行四边形1.3 1.3 正方形的性质与判定正方形的性质与判定第第3 3课时课时 正方形的性质与判定正方形的性质与判定 的综合应用的综合应用名师点金名师点金 正方形既是菱形，又是矩形，它具有菱形、正方形既是菱形，又是矩形，它具有菱形、矩形的所有性质，判定一个四边形是正方形，只矩形的所有性质，判定一个四边形是正方形，只需保证它既是菱形又是矩形即可需保证它既是菱形又是矩形即可1训练角度训练角度利用正方形的性质证明线段位置关系利用正方形的性质证明线段位置关系1.如图，在正方形如图，在正方形ABCD中，对角线中，对角
2、线AC，BD相交相交于点于点O，E，F分别在分别在OD，OC上，且上，且DECF，连接连接DF，AE，并延长，并延长AE，其延长线交，其延长线交DF于点于点M.求证：求证：AMDF.AC，BD是正方形是正方形ABCD的两条对角线，的两条对角线，ACBD，OAODOCOB.AOEDOF90.DECF，OEOF.AOE DOF.OAEODF.DOF90，DFOFDO90.DFOFAE90.AMF90，即，即AMDF.证明：证明：2训练角度训练角度利用正方形的性质解决线段和差倍分问题利用正方形的性质解决线段和差倍分问题2在正方形在正方形ABCD中，中，MAN45，MAN绕绕 点点A顺时针旋转，它的两
3、边分别交顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它或它 们的延长线们的延长线)于点于点M，N.(1)如图，当如图，当MAN绕点绕点A旋转到旋转到BMDN时，易时，易 证：证：BMDNMN.当当MAN绕点绕点A旋转到旋转到 BMDN时，如图，请问图中的结论是否还时，如图，请问图中的结论是否还 成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请 说明理由说明理由(2)当当MAN绕点绕点A旋转到如图所示的位置时，线旋转到如图所示的位置时，线 段段BM，DN和和MN之间有怎样的数量关系？请写出之间有怎样的数量关系？请写出 你的猜想，并说明理由你的猜想，并说明理由(1)
4、仍有仍有BMDNMN成立成立 证明如下：证明如下：过点过点A作作AEAN，交，交CB的延长线的延长线 于点于点E,易证易证ABE ADN，DNBE，AEAN.又又EAMNAM45，AMAM，EAM NAM.MEMN.MEBEBMDNBM，BMDNMN.解：解：(2)DNBMMN.理由如下：理由如下：如图，在如图，在DN上截取上截取DEBM，连接，连接AE.四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，ABMDBAD90，ABAD.又又BMDE，ABM ADE.AMAE，BAMDAE.DAB90，MAE90.MAN45，EAN45MAN.又又AMAE，ANAN，AMN AEN.MNEN.DNDEENB
5、MMN.DNBMMN.3训练角度训练角度利用正方形的判定和性质探究正方形的条件利用正方形的判定和性质探究正方形的条件3如图，在如图，在RtABC中，中，ACB90，过点，过点C 的直线的直线MNAB，D为为AB边上一点，过点边上一点，过点D作作 DEBC，交直线，交直线MN于于E，垂足为，垂足为F，连接，连接CD，BE.(1)求证：求证：CEAD.(2)当点当点D为为AB的中点时，四边形的中点时，四边形BECD是什么特是什么特 殊四边形？请说明理由殊四边形？请说明理由(3)若点若点D为为AB的中点，则当的中点，则当A的大小满足什么的大小满足什么 条件时，四边形条件时，四边形BECD是正方形？请
6、说明理由是正方形？请说明理由(1)DEBC，DFB90.ACB90，ACBDFB.ACDE.MNAB，即，即CEAD，四边形四边形ADEC是平行四边形是平行四边形 CEAD.证明：证明：(2)四边形四边形BECD是菱形是菱形 理由：理由：D为为AB的中点，的中点，ADBD.CEAD，BDCE.BDCE，四边形四边形BECD是平行四边形是平行四边形 ACB90，D为为AB的中点，的中点，CDBD.四边形四边形BECD是菱形是菱形解：解：(3)当当A45时，四边形时，四边形BECD是正方形，是正方形，理由：理由：ACB90，A45，ABCA45.ACBC.点点D为为AB的中点，的中点，CDAB.C
7、DB90.四边形四边形BECD是菱形，是菱形，菱形菱形BECD是正方形是正方形 即当即当A45时，四边形时，四边形BECD是正方形是正方形解：解：4训练角度训练角度正方形性质与判定的综合运用正方形性质与判定的综合运用4如图，如图，P，Q，R，S四个小球分别从正方形的四四个小球分别从正方形的四 个顶点个顶点A，B，C，D同时出发，以同样的速度分同时出发，以同样的速度分 别沿别沿AB，BC，CD，DA的方向滚动，其终点分的方向滚动，其终点分 别是别是B，C，D，A.(1)不管滚动多长时间，求证：连接四个小球所得的不管滚动多长时间，求证：连接四个小球所得的 四边形四边形PQRS总是正方形总是正方形(
8、2)四边形四边形PQRS在什么时候面积最大？在什么时候面积最大？(3)四边形四边形PQRS在什么时候面积为正方形在什么时候面积为正方形ABCD面积面积 的一半？并说明理由的一半？并说明理由(1)四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，ABCD90，ABBCCDDA.又又在任何运动时刻，在任何运动时刻，APBQCRDS，PBQCRDSA.ASP BPQ CQR DRS.PSQPRQSR，ASPBPQ.在任何运动时刻，四边形在任何运动时刻，四边形PQRS是菱形是菱形证明：证明：又又APSASP90，APSBPQ90.QPS180(APSBPQ)1809090.在任何运动时刻，四边形在任何运动时刻，
9、四边形PQRS总是正方形总是正方形(2)当当P，Q，R，S在出发时或在到达终点时面积在出发时或在到达终点时面积 最大，此时的面积就等于正方形最大，此时的面积就等于正方形ABCD的面积的面积解：解：解：解：(3)当当P，Q，R，S四个小球滚动到正方形四个小球滚动到正方形ABCD 四边中点时，四边形四边中点时，四边形PQRS的面积是正方形的面积是正方形 ABCD面积的一半面积的一半 理由：设正方形理由：设正方形ABCD的边长为的边长为a.当当PS2 a2时，时，在在RtAPS中，中，ASaSDaAP.由勾股定理，得由勾股定理，得AS2AP2PS2，即即(aAP)2AP2 a2，解得解得AP a.121212同理可得同理可得BQCRSD a.当当P，Q，R，S四个小球滚动到正方形四个小球滚动到正方形ABCD 各边中点时，四边形各边中点时，四边形PQRS的面积是正方形的面积是正方形 ABCD面积的一半面积的一半12
新编【北师大版】九年级上册数学ppt课件 1 .3.3正方形性质与判定的综合应用
