带电粒子在匀强磁场中的运动临界极值多解问题

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1、XXXX0 乂XXXX带电粒子在匀强磁场中的运动 临界、极值、多解问题考点一带电粒子在磁场运动的临界与极值问题【考点解读】解决此类问题的关键是：找准临界点.找临界点的方法是：以题目中的“恰好”“最大” “最高”“至少”等词语为突破口，借助半径 R和速度v(或磁场 B)之间的约束关系进行动态运动轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点，然后利用数学方 法求解极值，常用结论如下：(1) 刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切.(2) 当速度v 一定时，弧长(或弦长)越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长.(3) 当速率v变化时，圆周角越大，运动时间越长.【

2、典例剖析】1.磁感应强度的极值问题例1如图所示，一带正电的质子以速度V。从0点垂直射入，两个板间存在垂直纸面向里的匀强磁场.已知两板之间距离为d，板长为d, 0点是板的正中间，为使质子能从两板间射出，试求磁感应强度应满足的条 件(已知质子的带电荷量为 e,质量为m).xOy平面射入第一象限内， 射入时的速度方向不同，但大小均为vo.现在某一区域内加一方向向外且垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，若这些电子穿过磁场后都能垂直地射到与y轴平行的荧光屏MN上，求：(1) 电子从y轴穿过的范围；(2) 荧光屏上光斑的长度；(3) 所加磁场范围的最小面积.考点二带电粒子在磁场中运动的多解问题

3、带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解，多解形成 原因一般包含下述几个方面.1.带电粒子电性不确定受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，当粒子具有相同速度时，正、负粒子 在磁场中运动轨迹不同，导致多解.如图5所示，带电粒子以速率 v垂直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为a，若带负电，其轨迹为b.2.偏角的极值问题例2在真空中，半径r = 3X 10_2 m的圆形区域内有匀强磁场，方向如图所示，磁感应强度 B = 0.2 T, 一个带正电的粒子以初速度Vo= 1X 106 m/s从磁场边界上直径 ab的一端a射入磁场，已知该粒子的比荷q = 1X

4、108mC/kg，不计粒子重力.(1) 求粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径；(2) 若要使粒子飞离磁场时有最大偏转角，求入射时vo与ab的夹角B及粒子的最大偏转角.2 .磁场方向不确定形成多解磁感应强度是矢量，如果题述条件只给出磁感应强度大小，而未说明磁感应强度方向，则应考虑 因磁场方向不确定而导致的多解.如图6所示，带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，若 B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂3 .临界状态不惟一形成多解带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去 了，也可能转过180从入射面边界反向飞出，如图7所示，于是形成了多解.3. 时间的极值问题例

5、3如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的各种数值.静止的带电粒子带电荷量为+q，质量为m(不计重力)，从点P经电场加速后，从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，CD为磁场边界上的一绝缘板，它与N板的夹角为 =45孔Q到板的下端C的距离为L，当M、 N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在(1) 两板间电压的最大值 Um；(2) CD板上可能被粒子打中的区域的长度(3) 粒子在磁场中运动的最长时间t4. 面积的极值问题CD板上，求:x；m例4如图所示，质量为 m，电荷量为4 .运动的往复性形成多解带电粒子在部分是

6、电场，部分是磁场的空间运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解.如图8所示.【典例剖析1 .带电粒子性质的不确定形成多解例5如图9所示，直线边界 MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场区域足够大.今有一质量为 m，带电荷量为q的带电粒子，从边界 MN上某点垂直磁场方向射入，射入时 的速度大小为v，方向与边界 MN的夹角为0,求带电粒子在磁场中的运动时间.1 / 4-Ne的电子从坐标原点X X X X X X X nX X X2.磁场方向不确定形成多解图9例6某电子以固定的正点电荷为圆心在匀强磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，磁场方向垂直于它的运动平面，电子所受正点电荷的电场力是

7、洛伦兹力的 磁感应强度为B,不计重力，则电子运动的角速度可能是3倍.若电子电荷量为（ ）e、质量为m.A.4BemB.3Bec.2BeD.Bem3.运动方向不确定形成多解例7如图10所示，绝缘摆线长为L,摆球带正电（电荷量为q,质量为m）悬于 0点，当它在磁感应强度为 B的匀强磁场中来回摆动经过最低点 C时速率为v,则 摆线的拉力为多大？0X彳小*K图104.运动的往复性形成多解例8如图11所示，在NOQ范围内有垂直于纸面向里的匀强磁场I,在MOQ范围内有垂直于纸面向外的匀强磁场n,M、0、N在一条直线上，/ M0Q = 60这两个区域磁场的磁感应强度大小均为B.离子源中的离子带电荷量为+ q

8、,质量为m,通过小孔01进入两板间电压为 U的加速电场区域（可认为初速度为零），离子经电场加速后由小孔 沿纸面垂直于磁场边界 MN，不计离子的重力.02射出，再从O点进入磁场区域I,此时速度方向（1）若加速电场两板间电压 U = Uo,求离子进入磁场后做圆周运动的半径 在0Q上有一点P, P点到0点距离为L,若离子能通过 P 点，求加速电压 U和从0点到P点的运动时间.R0；MTA.T2 .如图13所示，半径为r = 0.1 m的圆形匀强磁场区域边界跟y轴相切于坐标原点0,磁感应强度 B = 0.332 T,方向垂直纸面向里.在O处有一放射源，可沿纸面向各个方向射出速率均为v= 3.2X 10

9、 m/s的久粒子.已知a粒子质量m= 6.64X 1027 19kg，电荷量q= 3.2 X 10C ,不计a粒子的重力.求 a粒子在磁场中运动的最长时间.6.5X 108 s3.垂直于纸面的匀强磁场区域宽度为d，一个电子以速度 v沿图14所示方向垂直磁场方向及磁场边界射入该区域，恰好不能飞过场区，采取如下哪些方法，可能使该电 子飞到场区右侧（）A .增大磁感应强度C.减小dB .改变v的方向 D .将磁场反向4.如图15所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从0点沿纸面以垂直于形内，经过时间t0刚好从e点射出磁场.现设法使该带电粒子从Bx xIX XBX

10、 XXXX思维突破 多解问题的审题正确解答多解问题的前提和关键是审题，只有细致、周密、准确的审题，才能体会出题目中条件 的不确定因素，从而把题目定性为多解问题而进行讨论分析.审题时应克服习惯性思维或先入为主的 思维模式，想当然地认为带电粒子就是带正电，粒子运动就是向一个方向运动，这样多解题就变成了 单解题，答案不全面或解答错误.本题型的四个例题，就是从形成多解的四个不确定条件出发，讨论 了形成多解的不同结果.1、如图示，边界 0A与0C之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边-，-界0A上有一粒子源S.某一时刻，从S平行于纸面向各个方向发射出大量带 “正电的同种粒子（不计粒子的重力及粒子间的相互作

11、用 ），所有粒子的初速度大.小相同，经过一段时间有大量粒子从边界 0C射出磁场.已知/ AOC = 60/x 八淇从边界0C射出的粒子在磁场中运动的最长时间等于 T/2（T为粒子在磁场中运动的周期），则从边界0C射出的粒子在磁场中运动的时间可能为（） /abed区域内，O点是ed边的中点. ed边的速度射入正方O点沿纸面以与成30的方向，以大小不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是 （）A .若该带电粒子从 ab边射出，它经历的时间可能为B .若该带电粒子从 be边射出，它经历的时间可能为5C.若该带电粒子从 ed边射出，它经历的时间为-t0D .若该带电粒子从ad边射出，它经历的时间

12、可能为t05弓0tp3一、选择题1. 一个质子和一个 a粒子沿垂直于磁感线方向从同一点射入一个匀强磁场中，若它们在磁场中的运动轨迹是重合的，如图1所示，则它们在磁场中（）A .运动的时间相等B .加速度的大小相等C.速度的大小相等 D .动能的大小相等2. 初速度为vo的电子，沿平行于通电长直导线的方向射出，直导线中电流方向与电子的初速度方向如图2所示，贝U（）A .电子将向右偏转，速率不变图12 / 4左 右B 电子将向左偏转，速率改变C .电子将向左偏转，速率不变D 电子将向右偏转，速率改变3. 如图3所示，在垂直纸面向里的匀强磁场的边界上，有两个电荷量绝对值相同、质量相同的正、负粒子（不

13、计重力），从A点以相同的速度先后射入磁场中，入射方向与边界成B角，则正、负粒子在磁场中 （A .运动时间相同B .运动轨迹的半径相同C 重新回到边界时速度大小和方向相同D 重新回到边界时与 A点的距离相等4. 如图4所示，一个质量为 m、电荷量为+ q的带电粒子，不计重 力，在a点以某一初速度水平向左射入磁场区域I,沿曲线abed运动，ab、be、cd都是半径为 R的圆弧.粒子在每段圆弧t.规定垂直纸面向外的磁感应强度方向为n、川三部分的磁感应强度上运动的时间都为 正，则磁场区域I、 关系可能是图中的（ ）B随x变化的dIU江11II-.aLV图41ffV(./2 IT Ml1111iiiiJ

14、XCL2亦h.边hA5. 如图5所示， 上方和L2下方都是垂直纸面向外的磁感应强度相同的匀强磁场，Li和L2为两条平行的虚线，LiA、B两点都在L1上.带电粒子从 A点以初速v斜向下与L1成45角射 出，经过偏转后正好过 B点，经过B点时速度方向也斜向下，且方 向与A点方向相同.不计重力影响，下列说法中正确的是A. 该粒子一定带正电B. 该粒子一定带负电C. 若将带电粒子在 A点时初速度变大（方向不变），它仍能经过B点 D .若将带电粒子在 A点时初速度变小（方向不变），它不能经过B点6. 一电子以垂直于匀强磁场的速度va，从A处进入长为d、宽为h的磁场区域如图6所示，发生偏移而从 B处离开磁

15、场，若电荷量为 e,磁感应强度为B,圆弧AB的长为L,则A 电子在磁场中运动的时间为B 电子在磁场中运动的时间为irmdt=vAt =va图6C .洛伦兹力对电子做功是 BevA hD .电子在A、B两处的速度相同7.如图7所示，在x轴上方的空间存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.许多相同的离子，以相同的速率 v，由O点沿X X 牙*X XXxX X XX yx X XX 3： X Xxl X X X全厶X 甘NOJC纸面向各个方向（y0）射入磁场区域.不计离子所受重力，不计离子间的相互影响.图中曲线表示离子 运动的区域边界，其中边界与y轴交点为M，边界与x轴交点为N，且OM

16、 = ON = L.由此可判断（图7 A .这些离子是带负电的B .这些离子运动的轨道半径为LC.这些离子的比荷为 =/ D 当离子沿y轴正方向射入磁场时会经过m LB8. 如图8所示，直角三角形 ABC中存在一匀强磁场，比荷相同的两个粒 子沿AB方向自A点射入磁场，分别从 AC边上的P、Q两点射出，则（ A .从P射出的粒子速度大 B .从Q射出的粒子速度大C.从P射出的粒子，在磁场中运动的时间长 D .两粒子在磁场中运动的时间一样长 二、非选择题9. 不计重力的带正电粒子，质量为m,电荷量为q,以与y轴成30角 的速度vo从y轴上的a点射入图9中第一象限所在区域.为了使该带 电粒子能从x轴

17、上的b点以与x轴成60角的速度射出，可在适当的 地方加一个垂直于 xOy平面、磁感强度为 B的匀强磁场，若此磁场 分布在一个圆形区域内，试求这个圆形磁场区域的最小面积.10. 如图10甲所示，M、N为竖直放置且彼此平行的两块平板，两板中央各有一个小孔O、O且正对，在两板间有垂直于纸面方向板间距离为的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示.有一束正离子在t= 0时垂直于M板从小孔O射入磁场.已知正离子质量为m,带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周 期都为T0,不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响， 重力.求：（1）磁感应强度B0的大小；（2）要使正离子从 射出磁场

18、，正离子射入磁场时的速度V。的可能值.11. 如图11所示，一足够长的矩形区域abed不计离子所受O 孔垂直于N板M K X jad内充满方向垂直纸面向里的、 磁感应强度为 B的匀强磁场，在ad边中点0,垂直于磁场射入一速度方向跟 边夹角9= 30大小为vo的带正电粒子.已知粒子质量为m,电荷量为q, ad边长为L, ab边足够长，粒子重力不计，求：（1）粒子能从ab边上射出磁场的vo大小范围；（2）如果带电粒子不受上述 vo大小范围的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间.复习讲义课堂探究沁w B w沁 5de(1)5 x 10 (1吐丿2m_2mxo()Be八,mvo 2Be)(3)(；+ 1

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20、那 FUSKfS I ：；唸-亠 I jJUU.PE. 車勺 I J士寸 1丹八诃二-第現歸：J / n. h?.-jij fc+tr Z I- . J. -n - .4,丘 it-.解答:解：（门设检手在儘场中运动的半fiR,由牛顿幣二定律得：商屮=弗0TeB电于从y轴昇过的范围为，如=2尺二2竺&B2）如囲浙昴 初速度沿h轴正方向的电千沿弧皿运动到荧光屛幼上的PK 初速度沿朋正方向的电子沿 弧QC运动剽荧光屏HN丄的Q点：由几何却识可得：PQ=R=mvo7b（3）取与t轴正方向蔽H诩的方向肘入的电干为研究对鬟，其肘出镒场的点为E （x, y） *因其肘出后能垂直打封屏冊上，故有:x=-Rs

21、in 9y=R+Rcos B1 .2.3.4.5.6 “7.8.39 _9410.11.DABCDCCBDBDmvo 2n_qB）0猛盘（n= 1,2,3, 雰如瞬器IP： z+ （ y-Rl hr?叉因再皑子沿诸自正方向肘人时，肘出的边界点为A点；沿y轴正方向财入时，射出的边界点为C点，拉所加按小面現的嵐场的边界八以g R）为 回心、R力半径的回的一部片，如回中实钱回孤撕曲区域，撕以嵐场范医的堆小闻积曲】例5若粒子带正电，则运动时间为2m（ n若粒子带负电，则运动时间为qB2m0 qB例6AC例7见解析解析当摆球在最低点向右运动时，2摆球受到的洛伦兹力的方向竖直向上，2由牛顿第二定律得 Ftv Emg+ qvB = m*，贝S Ft= mg qvB +v mL当摆球在最低点向左运动时，摆球受到的洛伦兹力的方向竖直向下，由牛顿第二定律得Ft mg2 2qvB = m，贝y Ft= mg + qvB + m*.例81：2（2）见解析B r q设圆周运动的解析（2）离子进入磁场时的运动轨迹如图所示, 由几何关系可知 OP = P P = R要保证离子通过 P点，则L = nR 解得U = Bm常，其中n= 1,23, 离子在磁场中运动的周期 T = 2弩qB