中北大学现代光学基础复习

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1、1. 傅里叶变换F f (x, y) =f (x, y )e -i 2 兀(fxx+f/dxdys=F (f , f ) = F (f , f ) e外(fx，fy)x yx y式中f和f称为空间频率，F(f , f )称为xyx yf (x, y)的傅里叶谱或空间频谱,If(f , f )和x y0(f ,f )分别称为函数f (x,y)的振幅谱和相位x y谱，If(f , f)|2称为f (x, y)的功率谱。x y2. 逆傅里叶变换gf (x, y) = F(f , f )ei2兀(fxx-fyy)df dfx yx y-g=F-iF(f ,f )xy3. 函数f (x, y)存在傅里叶

2、变换的充分条件 f (x, y)必须在xy平面上的每一个有限区域 内局部连续，即仅存在有限个丕连续点。 f (x, y)在xy平面内绝对可积，即口 g(x,y)dxdy 0v=0v 0-8(v2j-v0)8 (v + v )0其中(v - v )2 0-2c 2(v + v )202c 21exp式中2exp (-同嶋exp1v 22c 2为高斯概率密度函数。61. 什么是干涉现象？两列或几列光波在空间 相遇时相互迭加，在某些区域始终加强，在另 一些区域则始终削弱，形成稳定的强弱分布的 现象。62. 产生干涉的条件：两列光波的频率相同， 位相差恒定，振动方向一致的相干光源，才能 产生光的干涉。

3、由两个普通独立光源发出的光 不可能具有相同的频率，更不可能存在固定的 相差，因此，不能产生干涉现象。63. 对于线性系统，任何时候都可以取复信号 的实部来还原相应的实信号。64. 稳态光场:指在光学场中,场矢量是时间的 函数,变化非常快,但对任何宏观时间间隔取平 均而不是着眼于瞬时值时,可发现场的性质与 取平均时刻无关,只与所取平均时间的间隔长 短有关.65. 光学处理的方法依照光源的相干性可分为 相干处理和非相干处理(白光处理)。处理内 容包括，加减，识别、滤波、图像修饰、编码 等等。66. 由于系统的像差、目标和底片相对运动、 大气扰动等因素造成图像模糊像。模糊的原因 可归结为系统的传递函

4、数缺陷。在光学图像处 理中，在频谱面上对系统传递函数作适当补偿 可以恢复清晰图像。即消模糊。67. 相干光处理与非相干光处理系统的基本区 别在于,前者满足复振幅相干叠加,后者满足强 度叠加原则。68. 相干光学处理也有几个固有缺点. (1) 相 干噪声和散斑噪声问题 (2) 输入和输出上存 在的问题。69. 以几何光学为基础的非相干处理系统有两 个明显的限制:由于照明的非相干性质，系统 传递和处理的物理量只能是非负的强度分布, 给处理双极性信号和综合双极性脉冲响应造成 困难。在所有分析过程中均忽略了衍射效应70. 光波传递信息，构成物体的像这一过程被 分为两步：波前记录与波前再现，这正是全息

5、术的基本思想。71. 干涉法是将空间相位调制转换为空间强度 调制的标准方法。第五章1. 0,v 3gq = B .；2兀 v ,Q为常数。，求 ur(t)0 0的希尔伯特变换。解 对高斯函数1Fexp(-P 2t 2)=exp =-所以ur(t) = exp(-p2t2)丄 expj(2兀v t +Q)+ exp - j(2兀v t + Q)2 0 0 的频谱为 ur (v) = - exp (jQ)2因为U i (v) = j sgn(v)U r(v )1=2exp( j).、：贏 exp02 2(v + v02 2j exp (- j )exp22兀Q的圆斑。对于非相干系统而言，像面上的光

6、场 是所有脉冲响应对应的强度迭加.所以系统的光学传递函数为H (g，耳)x F j circ(4f v;x2 + y21exp巧 2exp( j吝可得(v - v)2 02 2-2 exP (-j)需exp(v + v)2 02q 2=F 卜rc (Lfr)=L- - J (2k 絆 P)4f P 14fH(g,q)=1H (g ,q)c12cos(2 k ag)解：占:-=旳ui(t)= exp(卩 2t2)j exp j(2Kv0t + 6+ exp j(2Kv0t +6U =- exp (- 卩 2t2 )sin 2兀 v t0例6.4.1横向抖动2a形成重像，设计逆滤波 器消除重像。解

7、：造成缺陷的点扩散函数(x, y) =8 (x + a) + 8 (x a)其傅里叶变换即为传递函数H (g，耳)=Fh (x,y) = F(x + a)+(8 a)cI=exp( j 2 兀 ag) + exp(j 2 兀 ag)=2cos(2 兀 ag)因而逆滤波器H(x,h)的透过率函数第七章 1. 要设计一个“散焦”的(非相干)空间滤波 系统,使得它的传递函数的第一零点落在g。周 /cm的频率上，假定要进行滤波的数据放在一 个直径为L的圆透镜前面2f距离处.问所要求 的“误聚焦 距离” A为多少？(用f,L和g。 表示)，对于g。=10周/mm,和L=2cm, A的数 值是多少？LA散

8、焦系统的点扩散函数在几何光学近似下(没 有考虑衍射)是由于离焦而产生的均匀照相明J是一阶第一类贝塞尔函数。按题意g。是第 一个零点，所以有J (2k L-g ) = 014f 0因为山的第一个根约为1. 22k,所以有k Lg = 1.22kA = 2.44f = 1.22cm2f 0L02. 图题7.1 为一投影式非相干光卷积运算装 置,由光源S和散射板D产生均匀的非相干光 照明,m(x,y)和0(x,y)是两张透明片，在平面P 上可以探测到m(x,y)0(x,y)卷积。(1) 写出此装置的系统点扩散函数.(2) 写出P平面上光强分布的表达式。若m(x,y)的空间宽度为L1,0(x,y)的空

9、是 宽度为 L2, 求卷积的空间宽度.1)坐标为(x, y)点的单位强度点源，投射到 O(x,y)上而在P平面上造成的分布即为系统的 点扩散函数，其中心位置在(云,丁)dd利用几何关系仃=d =-A d A d以(云,丁)为中心的函数0的形式为ddO (x x , y y ) = O (x + A x, y + A y)再考虑d d d dd d d d到投影面积每边长的放大倍数于是系统的点扩散函数为共轭光波的数学表达式为原光波复振幅的共轭 复数。h(x , y ; x, y) = KOddd A d(x + x),-d+A d d d+A(y +dy)dd已知a=l0卩=| 7=0于是I (

10、 x , y ) = K Jf m( x, y)O P d d（2） P平面上点（x,y）所接收到的强度响d d 应为物函数m（x,y）与以（x , y ）为中心的点扩 dd 散函数乘积的积分，即+ A x)(y + A y) dxdyd d + A d dU (x, z) = A exp jk (x sin 0 + z cos0)U (x, z) = A exp jk(x sin0 + z cos0) =A exp jk (x sin(0 + 兀)+ z cos(0 + 兀)g“ li + 2 / d12 2丿,Ay2d（2）在z=0的平面上有卷积的空间宽度为U (x) = A exp jk

11、x sin 0 B = 2l +12U (x) = A expjk(x sin(0 + 兀)=A exp jk (x sin(0)第八章例题 1：设一列单色平面波的传播方向平行于xz平面并与z轴成0角，如图（a）所示（1）写出原始光波和共轭光波的表达式；上式表明，若从在z=0的 平面上造成的效果看，可 将共轭波理解为沿（ -0） 方向传播的平面波。如图（ C） 所示。（2）写出原始光波和共轭光波在 z=0 的平面 上的表达式，再讨论它们的传播方向。解（1）单色平面波和其共轭波的复数表达式为AU (x, y, z； t) = A exp j(w t k -AU (x, y, z； t) = A

12、exp j(w t + k - r cL例题 2:如图已知参考光和物光均为平行光，对称入射到记录介质上S上，即0 =00r面，两者之间的夹角为0= 200（1）求出全息图上干涉条纹的形状和条纹间 距公式。（ 2）当采用 He-Ne 激光记录时，试计算夹角 0 = 1。和60。时条纹间距分别是多少？某感光胶 片厂生产的全息记录干板，其分辨率为 3000 条/mm，试问当0 = 60。时此干板能否记录下其 干涉条纹？（3）当采用的再现光波C=R时，试分析0, 1 级衍射的出射波方向，并作图表示。C-Rzu解：设物光和参考光波分别为由上式可看出，共轭光波的传播方向和原光波 方向相反，这是共轭光波的原

13、本定义。对于单 色光波，因子e-jw总是相同，可以只写复振幅，所以U (x, y, z) = Aejk 孑=A exp jk (x cosa + y cos P + z cos y)U (x, y, z) = Ae-j了 = U* (x, y, z) cO = O exp (jky sin 0 )00R=r exp(jkysin0 )0r全息干板上的光场为U(y) = R + O = r exp (jky sin0 )0r全息干板上的光强分布为U = tR = (t + Pb+pfr 2O exp00ro 2) r exp( jky sin 0 ) + Pr 2O exp00r00L-jky(

14、sin0 - 2sin0 )J0r= U +U +U0+ 1- 1Ljky(sin0 )0I(y) = |r + O |2 = r 2 + o 2 + r o expjky (sin 0 - sin 0 ) 0000匚0r-jky (sin 0 - sin 0 )0rky (sin 0 - sin 0 )+r o exp00=r 2 + o 2 + 2r o cos0 0 0 0U = tR = C + Po 2) r exp( jky sin0 ) + Pr 2O exp Ljky(sin0 )b 00r000+Pr 2O expL-jky(sin0 - 2sin0 )000r= U +U

15、+U0+ 1- 1显然基元全息图结构可看作是余弦振幅光栅，两束光夹角越大sin 0 - sin 0干涉条纹越密，条纹的峰值由sin0 - sin02兀y 0r = 2m兀决定光栅频率为g =0其中零级衍射U =C + Po 2)r exp(jkysin0 )0 b 00r是照明光波直接前进的透射平面波，当然，振 幅有所下降。U = Pr 2O exp Ljky(sin0 )是物光波的再现波 +10 0 0但振幅有所变化它是一组与y轴垂直的平行直线，条纹间距 A y =-若物光和参考光对称入射sin0 -sin00r0 = -00rX = X2sin 00o 2sin 22)0 = 1。和60。

16、Ay0=1。=厶=_0632! = 36.26卩 m U沁5。2Ay0=60=佥=监=0.632 “m2全息干板的最小分辨距离d为1d = 一 mm = 0.33卩m这说明当物光与参考光 3000的夹角为 60 度时，所提供的全息干板可以记录其干涉条纹。(3)全息干板经显影、定影等线性处理后， 负片的复振幅透过率与曝光光强成线性关系，即t = t +Po 2 + pzr O exp jky(sin 0 - sin 0 )b 00 00r+PrO exp -jky(sin0 - sin0 )J0 00r若再现波C = R = r exp (jky sin 0 )于是透射场0rU = P r 2O

17、 exp-jky(3sm0 )-10 0 0-0 T=P r 2O exp -jky3sin 是方向进一步向下偏转的物光波的共轭波，其偏转角度00 = arc (3sin )-i200U =C + Po 2)r exp(jkysin0 )0 b 00rU = Pr2O expLjky(sin0 )+10 00U = Pr2O exp-jky(3sin0 )-10 00=Pr2O exp -jky3sin 00例题 3：用正入射的平面参考波记录轴外物点O (0,y,z)发出的球面波，用轴上同波长点源 C (0,0：z)发出的球面波照射全息图以再现 物光波前。试求：(1)两个像点的位置及横向放大率

18、 M；( 2)若 y = 5cm, z = 50cm, z = 100cm ，像点0 0 p的位置和械向放大率以及像的虚实。xiyii X九z 010九z2- y九z 0100z y0,p 0( z 一 z 0p0z y0, + ( z + z0p、z y0 0z 一 z 0p、 z y0 0z + z 0p3)=b|g1-4.证明实函数f (x, y)的自相关函数为实偶函 数，ef (x. y)二 ef (-x, - y)zz横向放大率M =- M =1 z 一 z 2 z + z0p0p2)将有关数据代入上式得0z y0, p 0 ( z 一 z 0p、z y0 0z 一 z 0p二 1(

19、0,10,-100)实像1(I 0, +2zyp ”0z +z0pz y,0 0z + z 0p1-5.已知复函数g (x, y)的傅里叶变换为G(f , f )，证明下式： xy(D FFg(x,y)二 g(-x,-y)(2) Fg *(x,y) = G* (-f ,-f )xy F lx+幻 g (x,寸二 i - 2“ (f + f )G(f , f )x y x y1-6. 若Fg(x,y) = G(f ,f ),Fh(x,y) = H(f ,f )x yx y求证。(1)Fg(x,y)*h(x,y)=G(f + f )n*(f ,f )x y x yJf g (x, y)h* (x,

20、 y)dxdy =( 2) -8ffG( f , f )H*(f , f )df dfx yx y x y1-7. 利用卷积定理求下列傅氏变换。1) h( x) =a cos2(2兀 f x)o(2) g(x) = asin20(2兀f x) o解：(1)由题设知，参考光波、物光波和再现光波的位置坐标为(0,0, 8)0(0, y , z )00(0,0, z )pr .r i九九-1r i1)由 z =+ 2 + =+iz九z 九zzzp1 r1 0p0丿zz0_pz + z0p九zzcix +x二0九 z r z p1 rp，九zzy z 2+ y =九 z r z p z + z1 rp

21、0 p因此两个像点的坐标分别为1-1.已知连续函数f(x),且a, b0,求下列函 数。(1) h 二 f (x)6 (ax x )xo(x x (2) g(x) = f (x)comb oI b丿1-2用宽度为a的狭缝，对平面上强度分布为f (x)二2 + cos(2兀f x)扫描，在狭缝后用光电探 o测器记录,求输出强度分布。1-3.若f (x) * h(x) = g(x)，证明下列性质。(1) f (x - x ) * h(x)二 g (x - x )0o(2) f(x)*h(x) = h(x)*f(x)3)f (x)=1-8.对于一个线性不变系统，已知脉冲响应h(x) = 7sin(7

22、 x)，求下列输入。求像面像强分布。(3)若0=0 ，像面上出max 现条纹对应光栅的频率为多少？与 0 = 0相比 频率相差如何？1)f (x)二 cos(4兀 x)12)f2( x) =cos( x)rect 75 3)f (x) = 11 + cos(8兀 x) rect 寻4)f (x) = comb(x) * rect(2x)1-9.已知线性不变系统，输入为(f f (x) = comb(x)，系统的传递函数tri ，如I b丿果b取下列值，求系统输出。(1) b=05 (2)b=1.5 画出图形1-10若对函数f (x) = a sin c2(ax)抽样，求允许 最大抽样间隔。2-

23、1相干成像系统出瞳为2a的狭缝，它到 像面距离为d，物体的强度g (x) = a + P cos(2兀f九)，条纹方向与狭缝平行。o假设物体可以通过系统成像，忽略总体衰减，求像面强度分布(入射光波长为入)2-2.如果成像系统光阑为双缝，缝宽为a,中 心间距为d,照明光波长为入。求下列情况下 的脉冲响应和传递函数，画出示意图。(1)相干光照明；(2)非相干光照明；3. 一个非相干系统，出瞳为正方形孔，孔边长 为a=1cm，两孔中心间距b=3cm，若入射光波 长A =0.5um，出瞳到像面距离di=10cm。求 0TF,画出f , f的横截图。xy2-4. 一个系统振幅光栅，其振幅透过率f (x , y ) =+ 丄 cos(2兀 f x ) o 现用单色平面波o o 2 2 o o斜入射照明。入射角为0，传播方向为xoz平 面。设透镜焦距为f，孔径为入。求:(1)物体透射光场的频谱 (2)为使像面 产生干涉条纹，最大0 角取多大？当0 =0 时 max