拉普拉斯变换及应用附录A

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1、附录A拉普拉斯变换及应用拉普拉斯变换(The Laplace Transfrom)(简称拉氏变换)是一种函数的变换，经变换后， 可将微分方程式变换成代数方程式，并且在变换的同时将初始条件引人，避免了经典解法中 求积分常数的麻烦，因此这种方法可以使微分方程求解的过程大为简化。在经典控制理论中，自动控制系统的数学模型是建立在传递函数基础之上的，而传递函 数的概念又是建立在拉氏变换的基础上的，因此，拉氏变换是经典控制理论的数学基础。 一、 拉普拉斯变换定义若将实变量t的函数f (t)，乘以指数函数e -st (其中s = G + j，是一个复变量)，对其在0 g区间进行积分，就得到一个新函数F (s

2、)，即F(s) = L f (t) = J g f (t)e-stdt(Al)0拉普拉斯变换定义成立条件是等号右边的积分存在(收敛)。符号Lf (t)表示对函数f (t)进行拉普拉斯变换。拉普拉斯变换的结果F(s)是复变量s的函数。可见，拉普拉斯变换是将实变量函数f (t)转变为复变量函数F(s)。拉普拉斯变换是一种单值变换，即f (t)和F(s)之间具有一对应的关系。通常称f (t)为原函数，F(s)为象函数。由拉普拉斯变换的定义式，可以从已知的原函数求取对应的象函数。例2-1求单位阶跃函数l(t)的象函数.解：单位阶跃函数是在t = 0时刻，幅值从0跳变为1的函数。数学表达式为0, t 0

3、根据式(A-1)有. 1 . 1F(s) = L1(t) = J g1(t)e-stdt = e-st |g =0s 0 s例2-2求单位冲激函数5 (t)的象函数。=1t=0解：L5 (t) = 8 5 (t )e - stdt = e-st0 -例2-3求指数函数f (t) = et的象函数，其中a是常数。 解：F(S)= Le-at = J eat est dt =8 e( s+a)t dt00令 s = s + a1则与求单位阶跃函数同理，就可求得F (s) = Le - at =s 1=1s+a例 2-4 求单位斜坡函数的象函数.解： 单位斜坡函数的定义式为r(t)由式(A-l)有s

4、2F (s) = Lt = J 8 te-stdt = e-st0s实用上，常把原函数和象函数之间的对应关系列成对照表的形式。通过查表，十分方便。常用函数的拉普拉斯变换对照表见表A-1。表 A-1 常用函数拉普拉斯变换对照表序号原函数f (t)象函数F (s)15(t)121(t)13e a ts + a4tnn!sn+15te - a t(s + a)26t ne - a tn!(s + a) n+17sin ts 2 +rn 28cos tss 2 +rn 291(e a t - e 0)p _a1(s + a)(s + P)101P(0 e a t - a e 0 0p as(s + a

5、)(s + P)111(1 - e- a t) a1s (s +a)1211 1c 1 +c (0 e a t - a e 0 t)apa _ p1s (s + a)(s + P)13e- a t sin t(s + a )2 +0 214e- a t cos ts + a(s + a )2 +0 2151(e a t + a t - 1) a 21s2(s +a )16i ne_翎 sinw Jl-g2t1 弋 2n0 2”卞 n(0g1)s 2 + 2go s + 0 2nn17_ 1 :,e_純 sing Ql-g2t -q)迪仗2nJl-g 2T = arctg 匕gs(0g1)s 2

6、 + 2go s + 0 2nn181 11 .e-gn sing Jl -g21 +q)Jl 仗 2nJl - g 2T = arctg 匕gO 2- (OgDs(s2 + 2go s + 02) nn二、 拉普拉斯变换的主要运算定理常用函数的拉普拉斯变换可从对照表 A-1 查到，但两个函数代数和的拉氏变换，或一个函数导数的拉氏变换，就无法直接查表得到。根据定义式(A-1)求，不够方便。而根据这 里介绍的主要运算定理，结合查表，就可方便地求得。主要运算定理共有9个，此处给出本课程最常用的4 个定理。这些运算定理均可通过拉 氏变换定义式加以证明。本书略去了证明过程。(一) 叠加定理 两个函数代

7、数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换的代数和。即Lf (t) 土 f (t)二 Lf (t) 土 Lf (t)1 2 1 2 上述结论可推广到多函数代数和的情况。(二) 比例定理函数的K倍的拉氏变换等于该函数的拉氏变换的K倍，其中K为常数。即LKf (t)二 KLf (t)(三) 微分定理设 F(s)二 Lf (t)，则有L畔=sF (s) - f (0)dtLdf) = s 2 F (s) - sf (0) - f (0)dt2Ldnf (t) = snF(s) - sn-1 f (0) - sn-2f (0)f (n-1) (0)dtn式中(0)，f(0)，f (n T)(0)为函数f (t

8、)及其各阶导数在t = 0时的值。当 f (0) = f (0)=二 f (n-1)(0)二 0 时，有L攀=sF (s)dtL = snF (s)dtn(四) 积分定理设 F(s) Lf (t)，则有LJf (t )dt =1F (s) +1 f(-1)(0)ssLJ f (t )dt 2 =丄 F (s) + 丄 f(-i)(0) +1 f( -2)(0)s2s2sLJJ. J f (t )dtn =丄 F (s) + f (-1) (0) + + - f (- n) (0) snsns式中，f(-1) (0), f(-2) (0),f(-n) (0)为f (t)的各重积分在t二0时的值。

9、如果 f -1 (0) = f (-2) (0)=二 f (- n) (0)，则有L J f (t )dt =1F (s)sLJJ f (t )dt 2=丄 F (s)s2lJJ.J f (t )dtn =丄 F (s)sn(五) 终值定理原函数在t X 时的值，可以通过将象函数乘以s 后,求S T 0的极限得到，条件是等 式两边的极限存在。lim f (t) = lim sF (s)t Ss T0终值定理在分析研究系统的稳态性能时经常用到。例2-5求函数f (t)二Kt的拉氏变换.解：已知t的象函数为1L(t)-s2根据比例定理， Kt 的拉氏变换为F (s)二 LKt二 KLt二s2例2-

10、6求函数f (t)二1(t) + e-at的拉氏变换.11解：已知1(t)和e-at的拉氏变换分别为-和，根据叠加定理，f (t)的拉氏变换可求得s s + a如下F (s) = L1(t) + Le - at = - + 丄=(2竺 s s + as (s + a)1例 2-7 已知 L& (t)二一，求 L5 (t)、L6 (t).s解：由(t)=，根据微分定理，有dtL5(t)二 LsL8(t)-8(t)|dtt=o.L8 (t)二 s-1 -(t)|t=0111例2-8求 、一、一的原函数。 s2 s3 s n根据积分定理，有1解：由 L8 (t)=,所以同理I t 8 (t)dt 二

11、 t8 (t),0Lt8 (t) = L I t-08= L8 (t)=-ss 2t8 (t )L-1三、118 (t) 1=L2L-1LI t t8(t)dt = 1 /8(t)=0ss3拉普拉斯反变换s3L-1tn-18 (n -1)!tn-1(n 1)!8 t2=习8 (t)(t)=丄sn拉普拉斯反变换的公式为sf (t) = L-i F (s)=12 njj c+j f(s)estdsc js式中 L1 表示拉普拉斯反变换的符号 通常用部分分式展开法将复杂函数展开成有理分式函数之和，然后由拉氏变换表一查出 对应的反变换函数，即得所求的原函数 f (t) .B(s)在自动控制理论中，常遇

12、到的象函数是 s 的有理分式，即r( )B(s)F (s)=A(s)(s s )(s s )(s s )1这种形式的原函数一般不能直接通过查表求得象函数。需要用部分分式展开法，将分子、分母多项式化成一些简单分式之和，F (s) = B(s)=A( s)CC1 + 2s sss12C+ nssn而这些分式的原函数可由查表得到。例2-9已知象函数F(s) =(2S + a)，求原函数f (t)。 s (s + a)解 首先用部分分式展开法，将所给象函数展开CCF (s ) = Ci + -C s s +a其中 C ， C 是待定系数，可用通分的方法求得。 12C CC(s+a)+C s1 + 1

13、= i2s s + as(s + a)将上式分子和已知象函数的分子比较，得C + C 212C 11从而可确定 C C 1. 即1211 F (s ) = - + s s+a通过查表可得=1(t) + e-atf (t) = L-i 1 + 丄s s + a四、 用拉普拉斯变换方法求常微分方程的解 通过例子说明方法。例 2-10 已知一阶系统的微分方程为T 学 + c (t) = r (t)dt式中r(t)为输入信号，c(t)为输出信号，T为时间常数，系统的初始条件为零。求系统在单位阶跃输入信号下的输出(称为单位阶跃响应)。解: 对微分方程两边进行拉氏变换，(用到微分定理、比例定理和叠加定理)

14、得TsC(s)+C(s)= R(s)1因为r(t) = 1(t)，故有R(s)=，代入上式有s 1(Ts + 1)C (s)=-s由上式解出C(s)，得1 C CC(s) = E = 丁+TT+1应用通分的方法可求得待定系数：Ci =】，C2 =-T ，代入上式有C (s)=-丄-s Ts +1对上式进行拉氏反变换，查表A-1得c(t) = 1 e-tT例 2-11 求下列二阶系统的单位阶跃响应。d 2dT 2c(t) + 2Tgc(t) + c(t) = r (t)dt 2dt式中0 1。1解： 对二阶系统微分方程两边求拉氏变换，并代入R (s)二，得 s1T2s2C(s) + 2Tg sC

15、(s) + C(s)二-s由上式解出C(s)，得1s(T 2 s 2 + 2T g s +1)3 2n s(s2 + 2g s + 32) nn因为满足0 g 1，上式的拉氏反变换等于表A-1中的第18项，即所给二阶系统的单位阶跃响应为c(t)二 1 -sin(n1 -g 21 + arctgJ1 7 2 n对上述例题进行总结，得到用拉普拉斯变换方法求常微分方程的解的步骤大致如下：1对微分方程两边求拉氏变换；2. 从所得结果，用代数方法解出所求变量的象函数，一般是s的有理分式。3. 对上述s的有理分式应用部分分式展开法，将分子、分母多项式化成一些简单分式之和，并求出待定系数。4. 查表得到微分方程的解。