1机械振动(川大聂娅老师物理)

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1、机械振动本章内容Contentschapter 11简谐振动的描述简谐振动的描述description of simple harmonic motion 简谐振动的能量简谐振动的能量energy of simple harmonic motion superposition of simple harmonic motion 简谐振动的合成简谐振动的合成*damped vibration forced vibration and resonance *阻尼振动阻尼振动 受迫振动和共振受迫振动和共振 1.1.掌握掌握简谐运动的特点和振动函数中各物理量简谐运动的特点和振动函数中各物理量(特别是特

2、别是相位相位 )的意义；的意义；2.2.掌握掌握用用相量图法相量图法来分析、解决有关问题；来分析、解决有关问题；3.3.掌握掌握简谐简谐运动过程中的运动过程中的能量变化能量变化；4.4.理解理解同方向、同方向、同同频率频率振动合成振动合成的规律；的规律；5.5.了解了解同方向、同方向、不同不同频率频率振动合成振动合成的规律。的规律。outlineschapter 1simple harmonic motion 11.1例如：电路中的电流、电压或电场中的电场强度和磁场例如：电路中的电流、电压或电场中的电场强度和磁场中的磁感应强度随时间作周期性变化中的磁感应强度随时间作周期性变化 电磁振动电磁振动

3、或或电磁振荡等。电磁振荡等。广义振动广义振动：任一物理量：任一物理量(如位移、电流等如位移、电流等)在某在某一数值附近随时间作周期性变化。一数值附近随时间作周期性变化。掌握机械振动的基本规律是研究其它形式振动的基础。掌握机械振动的基本规律是研究其它形式振动的基础。简谐振动简谐振动（simple harmonic motion)亦称简谐运动简谐运动是最简单、最基本的振动理想模型。是最简单、最基本的振动理想模型。它是研究各种复杂振动的重要基础。这里主要讨论简谐振动 SHM。机械振动机械振动 vibration or oscillation 物体在它的物体在它的平衡平衡位置位置附近所作的往复运动。附

4、近所作的往复运动。以物体受力为零的平衡位置为坐标原点水平光滑面，弹簧劲度水平光滑面，弹簧劲度 质量可忽略，物体质量质量可忽略，物体质量物体在任一位物体在任一位置受的弹性力置受的弹性力以铅垂方向以铅垂方向 为摆角参考轴线为摆角参考轴线单摆在任一角位置 所受的重力矩为则则取摆幅很小取摆幅很小X正正X向向反反X向向或或质点在恢复力或恢复力矩的作用下的运动即为简质点在恢复力或恢复力矩的作用下的运动即为简谐振动谐振动简谐振动的动力学定义简谐振动的动力学定义X对于给定的弹簧振子 为常量，其比值亦为常量。令则即恢复力恢复力恢复力矩恢复力矩简谐振动动力学方程简谐振动动力学方程得简谐振动的速度简谐振动的速度A简

5、谐振动的加速度简谐振动的加速度A应用转动定律，同理也可求得单摆的振动函数振动函数A为微分方程求解时的积分常量，由系统的初始条件系统的初始条件决定。A该微分方程的解通常表成余弦函数简谐振动函数简谐振动函数X对于给定的弹簧振子 为常量，其比值亦为常量。令简谐振动动力学方程简谐振动动力学方程单摆：只要满足方程只要满足方程22d0dxKxt不管不管 x 是什么物理量，它的变化就一定是简谐振是什么物理量，它的变化就一定是简谐振动的形式，其动的形式，其角频率角频率就等于就等于 x 的的系数的平方根系数的平方根。K 注注 意意思考思考：地球，：地球，M、R 已知，中间开一遂道；小球已知，中间开一遂道；小球

6、m，从地表附近掉入隧道，问，小球是否作简谐振动？从地表附近掉入隧道，问，小球是否作简谐振动？2xmMFGx 334433xMMxR 3mMFGxR 是简谐振动是简谐振动xFx 试证明，若选取受力平衡点作为位置坐标原点，垂直弹簧振子与水平弹簧振子的动力学方程和运动函数相同。平衡点在受力平衡点小球受弹性力大小选取选取受力平衡点受力平衡点作为位置坐标原点作为位置坐标原点小球在为置坐标 处所受弹性力合外力合外力运动函数运动函数A动力学方程微分方程的解：均与均与水平水平弹簧振子结果相同弹簧振子结果相同XAAAA运动状态要由位置运动状态要由位置 和速度和速度 同时描述，而同时描述，而 和和 的正负取决于的

7、正负取决于 弹簧振子单 摆一定的一定的相相 一定的运动一定的运动状态状态0,2,或或A振幅振幅 ：的最大绝对值A周期周期：完成一次全振动所需要的时间频率：角频率：相位相位：是界定振子在时刻 的运动状态的物理量由 和 求给定振子的振幅AAAA消去 得初相 由 和 求给定振子的AAA消去 得 但由于 在 0 2)范围内，同一正切值对应有两个 值，因此，还必须再根据 和 的正负进行判断。，不是指振动开始，而是指计时零点计时零点。所谓初相初相 ：是时，振子的相位。时质点的运动状态运动状态AA位置速度初始条件初始条件即为 x0 0 0 0v0 0 0 0ox0、v0 x0 AA-A-A v0简谐运动的简

8、谐运动的 x0、v0 曲线曲线j jT02 32 2（第一象限）（第二象限）（第三象限）（第四象限）简谐振动的加速度简谐振动的加速度AA简谐振动的运动函数简谐振动的运动函数简谐振动的速度简谐振动的速度AAA最大最大最大AAA振动振动曲线曲线v is ahead of x /2 and a is ahead of x .AAXXOjM(0)Aj初相M(t )ttM(t )tM(t )tM(t )M(t )tM(t )tM(T)T周期 TM(t )tM(t )tXOjM(0)j初相初相M(t )tA矢量端点矢量端点在在X X 轴上轴上的投影对的投影对应振子的应振子的位置坐标位置坐标t 时刻的振动相

9、位(tj j)旋转矢量旋转矢量A以匀角速逆时针逆时针转动循环往复x=A cos(tj j)简谐振动函数简谐振动函数0cosxAj j Uniform Circular Motion(Rotating Vector)methodx0振子的运动速度速度（与 X 轴同向为正）其 速率 A Aj jt 旋转矢量端点旋转矢量端点 MM 作匀速圆周运动作匀速圆周运动AXAAXO j jt O 旋转矢量端点旋转矢量端点 MM 的加速度的加速度为法向加速度，其大小为为法向加速度，其大小为 A振子的运动加速加速度（与 X 轴同向为正）Aj jt 借助于匀速率圆周运动来研究简谐振动借助于匀速率圆周运动来研究简谐振

10、动矢径矢径 A 振幅矢量振幅矢量 (旋转矢量旋转矢量 )OjA x参考圆参考圆The projection of circular motion onto a straight line is SHM.radius-amplitudeangular speed-angular frequencyinitial angular displacement initial phasenaOjA xt=0tvm0tjj(1),0,nxAaa v结论：结论：相为零相为零表示质点在正的极大位移处且速度为零，表示质点在正的极大位移处且速度为零，加速度为负的极大值。加速度为负的极大值。xAOF弹簧振子弹簧振子

11、-Amncos()sin()cos()xAttaatjjj vv,0,nxAaa vtjj(2)xF弹簧振子弹簧振子-AOAOjA xt=0tvmna结论：结论：相为相为 表示质点在负的极大位移处且速度为零，表示质点在负的极大位移处且速度为零，加速度为正的极大值。加速度为正的极大值。2t jj0,0mxa vv(3)弹簧振子弹簧振子0Fx-AOAvOjA xt=0tvmna结论：结论：相为相为 ，表示质点在正越过平衡点，并以最，表示质点在正越过平衡点，并以最大速度向大速度向 x 轴的负向运动，加速度为零。轴的负向运动，加速度为零。/2 32t jj(4)0,0mxavv弹簧振子弹簧振子0Fx-

12、AOAvOjA xt=0tvmna结论：结论：相为相为 ，表示质点在正越过平衡点，并以，表示质点在正越过平衡点，并以最大速度向最大速度向 x 轴的正向运动，加速度为零。轴的正向运动，加速度为零。3/2 xO1.若物体处于若物体处于正的极大位移处正的极大位移处，则在相量图中，则在相量图中，振幅矢量与振幅矢量与x轴的夹角为零，即轴的夹角为零，即与与x轴正向重合轴正向重合。2.若物体处于若物体处于负的极大位移负的极大位移处，则在相量图中，处，则在相量图中，振幅矢量与振幅矢量与x轴的夹角为轴的夹角为 ，即，即与与x轴负向重合轴负向重合。3.若物体处于若物体处于平衡位置平衡位置，则在相量图中，振幅矢，则

13、在相量图中，振幅矢量量与与x轴垂直轴垂直。0 v0 vsummaryvmvm2 322or oxx4.一般情况下，物体处于任一位置处，在相量图中，一般情况下，物体处于任一位置处，在相量图中，振幅矢量均对应两个位置。振幅矢量均对应两个位置。振幅矢量位于振幅矢量位于x轴上方；轴上方；0 v振幅矢量位于振幅矢量位于x轴下方。轴下方。0 vox AoA-AtxT-AxToAt-AxToAtA/2/2A322orj j0j j 3 j j 难点难点如何根据振动曲线判断振动的如何根据振动曲线判断振动的初相初相？0.040.0412简谐振动的曲线完成下述简谐运动函数A=0.04(m)T=2(s)=2 /T

14、T =(rad/s)0.04 2A=/2 t=0v0 从 t=0 作反时针旋转时A矢端的投影从x=0向X轴的负方运动即 ，与 已知 X t 曲线一致v0SI(1)(1)对对同一同一简谐振动，相差简谐振动，相差(不同时刻不同时刻)可以给出两振动可以给出两振动状态间变化所需的最短时间。状态间变化所需的最短时间。tt21()()j j j j j j 相差相差 phase differenceAAx2Atoab11()cos()x tAtjj22()cos()x tAtjjxAA0 3 j j 3126tTT atj2Abttj j 21()ttt 111222cos()cos()xAtxAtjjj

15、j同频率同频率的简谐振动的简谐振动2121()()ttjjjjjjjjjj与时间与时间 t 无关无关(2)(2)对于对于两个两个同同频率频率的简谐振动，相差表示它们之间的简谐振动，相差表示它们之间步调步调上的上的差异差异。（解决振动合成问题）（解决振动合成问题）Phase difference of two SHM with same frequency相位差等于初相差相位差等于初相差分析：分析：步调相同步调相同同相同相(1)若若 ，即，即2,(0,1,)kkjj 212kjjjj11122121cos()cos(2)cos()xAtxAtkAtjjjjjjO1jA1 xA2txoA1-A1A

16、2-A2x1x2T同相同相two oscillators have same phase(in phase).O1jA1 xA22j(2)若若 ，(21),(0,1,)kkjj 11122121cos()cos(21)cos()xAtxAtkAtjjjjjjtwo oscillators have opposite phase(out of phase).x2TxoA1-A1A2-A2x1t反相反相步调相反步调相反反相反相x2TxoA1-A1A2-A2x1t超前和落后超前和落后(3)当当 为其他值时，二者为其他值时，二者不同相不同相。j j 若若 ,则则 x2 比比 x1 较早达到同方向的较早

17、达到同方向的极大值，称极大值，称 x2 比比 x1 超前超前 (或或 x1 比比 x2 落后落后)。210jjjjjj210/2j jjj Oxx2 比比 x1 超前超前2 注意：注意：领先、落后以领先、落后以 的相位角来判断的相位角来判断Oscillation2 is ahead of oscillation1Oscillation1 is behind of oscillation2 质量为质量为 10g 的物体沿的物体沿 x 轴作简谐振动，振幅轴作简谐振动，振幅 A=10cm，周期，周期 T=4.0s，t=0 时位移时位移 x0=5.0cm，且物，且物体朝体朝 x 方向运动，求方向运动，

18、求(1)t=1.0s 时物体的位移；时物体的位移；(2)t=0 之后何时物体第一次到达之后何时物体第一次到达 x=5.0cm 处；处；(3)第二次和第一次经过第二次和第一次经过 x=5.0cm 处的时间间隔。处的时间间隔。O 10 x分析：分析：据已知可画出据已知可画出 t=0 时振幅矢量图时振幅矢量图 23jj 210.0cos()cm23xt 4.0sT A=10cmt=0 时时 x0=5.0cm ；且朝且朝 x 方向运动方向运动2A j jt=0-5.0 T2rad/s2(1)t=1.0 s 时物体的位移时物体的位移x210.0cos(1.0)8.66cm23 (2)画出相量图画出相量图

19、第一次到达第一次到达jjtt12s/2j j 5.0 t1t2j j x t=05.010(3)由相量图可知由相量图可知ttt212/34s/23j j 23jj xtttt12210410.0cos()52,s2333 另，解析法：另，解析法：x5.0 t=0t1t25.010j j 弹簧振子x0=0t=0 时v0=0.4 ms-1m=510-3 kgk=210-4 Nm-1 完成下述简谐振动函数v0mk0.2 (rads1)x0v02(m)x0=0已知 相应的旋转矢量图为20.2(SI)v0（以 x =0 0处为零势点）系统的系统的 动能动能A系统的系统的 势能势能A系统的系统的 机械能机

20、械能AA振子运动速度振子运动速度AA简谐振动函数简谐振动函数振动系统：弹簧劲度振子质量振动角频率如 水平弹簧振子均随时间而变且能量相互转换均随时间而变且能量相互转换变到最大时变为零系统的机械能机械能守恒。A变为零变到最大时时时 间间能 量 势能A则振动相位或当时一水平弹簧振子弹簧劲度振子质量振幅 A沿 X X 轴振动 当振动系统的以平衡点为原点位置坐标 x 相等时 动能值与势能值 振子的A代入中，解得能量位置位置动能A该摆动系统的机械能守恒数学表达式该摆的运动学微分方程及摆动周期匀质细直悬棒质量 m、长 L在铅直面内摆动在铅直面内摆动摆幅很小摆幅很小转动惯量转动惯量动能动能 刚体（直棒）转动动

21、能 势能势能 系统的重力势能以垂态直棒中心点以垂态直棒中心点 C 为重力零势点为重力零势点physical pendulum该摆动系统的机械能守恒数学表达式该摆的运动学微分方程及摆动周期匀质细直悬棒质量 m、长 L在铅直面内摆动在铅直面内摆动摆幅很小摆幅很小转动惯量转动惯量机械能机械能机械能守恒，即 为恒量，即令该摆的振动周期该摆的振动周期简谐角振动微分方程简谐角振动微分方程如图，已知一振动系统的如图，已知一振动系统的 ；求：；求：(1)m 在在 处掉到处掉到上，上，(2)m 在在 处掉到处掉到上，上，弹簧振子的弹簧振子的0,MAkmxA 0mx max,?AE vmM思思 考考随堂小议（1

22、1）E E1 1/4/4；（2 2）E E1 1/2/2；（3 3）2 2E E1 1；（4 4）4 4E E1 1。结束选择结束选择请在选择你认为是对的答案请在选择你认为是对的答案 一弹簧振子作简谐振动，总能量为一弹簧振子作简谐振动，总能量为 E E1 1，如果谐振，如果谐振动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的4 4倍，则其总能量将变为倍，则其总能量将变为小议链接1（1 1）E E1 1/4/4；（2 2）E E1 1/2/2；（3 3）2 2E E1 1；（4 4）4 4E E1 1。结束选择结束选择请选择你认为是对的答案请选择你

23、认为是对的答案 一弹簧振子作简谐振动，总能量为一弹簧振子作简谐振动，总能量为 E E1 1，如果谐振，如果谐振动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的4 4倍，则其总能量将变为倍，则其总能量将变为小议链接2（1 1）E E1 1/4/4；（2 2）E E1 1/2/2；（3 3）2 2E E1 1；（4 4）4 4E E1 1。结束选择结束选择请选择你认为是对的答案请选择你认为是对的答案 一弹簧振子作简谐振动，总能量为一弹簧振子作简谐振动，总能量为 E E1 1，如果谐振，如果谐振动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的动的振幅增

24、加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的4 4倍，则其总能量将变为倍，则其总能量将变为小议链接3（1 1）E E1 1/4/4；（2 2）E E1 1/2/2；（3 3）2 2E E1 1；（4 4）4 4E E1 1。结束选择结束选择请选择你认为是对的答案请选择你认为是对的答案 一弹簧振子作简谐振动，总能量为一弹簧振子作简谐振动，总能量为 E E1 1，如果谐振，如果谐振动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的4 4倍，则其总能量将变为倍，则其总能量将变为小议链接4（1 1）E E1 1/4/4；（2 2）E E1 1/2/2；（3 3）

25、2 2E E1 1；（4 4）4 4E E1 1。结束选择结束选择请选择你认为是对的答案请选择你认为是对的答案 一弹簧振子作简谐振动，总能量为一弹簧振子作简谐振动，总能量为 E E1 1，如果谐振，如果谐振动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的4 4倍，则其总能量将变为倍，则其总能量将变为11.1.2Superposition of simple harmonic motion 且 相同同在 x 轴用旋转矢量法求合振动的函数与计时起始时刻有关合成初相分振动初相差与计时起始时刻无关，但它对合成振幅属相长还是相消合成起决定作用1.Super

26、position of two SHM in same direction with same frequencies（两个同方向、同频率简谐振动的合成）两个同方向、同频率简谐振动的合成）合振动合振动续上合振动分振动；其中，合振幅若则为合振幅可能达到的最大值最大值若则若为其它值，则 处于与之间若则为合振幅可能达到的最小值最小值若则xxtoo21jjjjjj12()cos()xAAt A12AAAj1A2AT两个分振动两个分振动同相同相合振幅达最大值合振幅达最大值11cos()xAt 22cos()xAt 例如例如例如例如xxtoo1221AAAAA2jjjj T2A2j1AA两个分振动两个分振

27、动反相反相合振幅达到最小值合振幅达到最小值21()cos()xAAt11cosxAt 22cos()xAt 由相量图可知由相量图可知22120.054arccos3751272.22rad2AAA jj 0.05cos(22.22)xt AA1A2x一物体同时参与两个同方向的简谐振动：一物体同时参与两个同方向的简谐振动：1120.04cos(2)xt 20.03cos(2)xt 求此物体的振动函数。求此物体的振动函数。讨论题讨论题求求 三个简谐振动的合振动。三个简谐振动的合振动。12310cos(135)5cos(8)5cos(82)xtxtxt 提示：提示：4cos370.85 2cos(1

28、35)xt A3A2A1135xA8cos(45)xt 将完整的弹簧视为两段弹簧串联而成，将完整的弹簧视为两段弹簧串联而成，根据弹簧串联的性质：根据弹簧串联的性质：121212111FFFlllkkkkkk 又：又：1212lnlln l 1122Fklkl12nkk 一长度为一长度为 l、劲度系数为、劲度系数为 k 的均匀轻弹簧分割成的均匀轻弹簧分割成长度分别为长度分别为 l1和和 l2的两部分，且的两部分，且 l1=n l2，n为整数为整数。求。求相应的劲度系数相应的劲度系数 k1 和和 k2。2111(1)(1)nknkknkn1(1)k nkn 2(1)kk nk k 讨论：讨论：当当

29、 l1=l2 时，时，122kkkThe above results shows us that phase difference of two SHM plays an important role to resultant oscillation!In similar way,we may get the results for the superposition of multi-oscillations（多振动的合成（多振动的合成）.summaryxxxxx123n123cos()cos()cos(2)cos(1)nxatxatxatxatn CRRa2a3annAMO a1Pxj11

30、1022200cos()cos()cos()nnnxAtxAtxAtjjjjjj12nAAAAA 1A 2A nA Oxj j1A 2A nA A 1A 2A nA 直线直线max12nAAAA封闭多封闭多边形边形min0A 123cos()cos()cos(2)cos(1)nxatxatxatxatn 采用采用相量图相量图，以避免复杂的三角函数运算。，以避免复杂的三角函数运算。123cos()cos()cos(2)cos(1)nxxxxxatatatatnCRRa2a3anAjMOa1Pxsin(/2)sin(/2)nAa 12njj cos()sin(/2)1cos()sin(/2)2xA

31、tnnatjj 利用几何知识利用几何知识n(1)若若各分振动同相各分振动同相，即，即2,0,1,2,kk 0sin(/2)limsin(/2)nAana (2)若若各分振动的初相差各分振动的初相差 ，k 为不等为不等于于 nk 的整数。的整数。2/kn sin()0sin(/)kAakn 注意：注意：2nk 形成形成闭合的正多边形闭合的正多边形讨讨 论论sin(/2)1cos()sin(/2)2nnxat 振动合成二为了突出重点，设两分振动的振幅相等且初相均为零。为了突出重点，设两分振动的振幅相等且初相均为零。合振动频率为 的简谐运动频率为 的简谐运动The resultant oscilla

32、tion isnt SHM.（合振动合振动不是不是简谐振简谐振动动）一般比较复杂，只介绍一种特殊的现象。一般比较复杂，只介绍一种特殊的现象。2.Superposition of two SHM in same direction with different frequencies(同方向不同频率两简同方向不同频率两简谐谐运动合成运动合成)续上若与相差不大，且都较大可看作呈周期性可看作呈周期性慢变的振幅慢变的振幅合振动频率相对较高频率相对较高的简谐运动的简谐运动例如：例如：1 秒秒9 Hz8 Hz两分振动的频率两分振动的频率合振动频率合振动频率8.5 Hz结论：结论：合振动可看作合振动可看作振

33、幅振幅随时间随时间缓变缓变的的近似近似简谐振动简谐振动。合振动的合振动的振幅振幅时时而加而加强时强时而减而减弱弱的现象叫的现象叫拍拍(beat)385 Hz383 Hz听到的音频384 Hz强度节拍性变化2 Hz1 秒秒9 Hz8 Hz两分振动的频率两分振动的频率合振动频率合振动频率8.5 Hz合振动振幅（包络线）变化的频率称为“拍频拍频(beat frequency)”1 Hz振动合成三消去 得轨迹方程：该方程为椭圆的普遍方程，若或得直线或得直线若介绍几种特殊特殊情况：若得正椭圆3.Superposition of two SHM in perpendicular direction wit

34、h same frequencies(相互垂直、同频率相互垂直、同频率)或振动合成四其合运动一般较复杂，且轨迹不稳定。但当 为两个简单的整数之比时可以得到稳定轨迹图形，称为李萨如图形李萨如图形例如4.Superposition of two SHM in perpendicular direction with different frequencies(相互垂直、不同频率相互垂直、不同频率)随堂小议结束选择结束选择请选择你认为是对的答案请选择你认为是对的答案（1 1）0（2 2）4 cm（4 4）8 cm 两个同方向同频率的谐振动，振动方程为两个同方向同频率的谐振动，振动方程为x1=610-

35、2 cos(5t+),x2=210-2 sin(5 t )2 则其合振动的振幅为则其合振动的振幅为（3 3）4 cm小议链接1（1 1）0；（2 2）4 cm（4 4）8 cm。结束选择结束选择请选择你认为是对的答案请选择你认为是对的答案 两个同方向同频率的谐振动，振动方程为两个同方向同频率的谐振动，振动方程为x1=610-2 cos(5t+),x2=210-2 sin(5 t )2 则其合振动的振幅为谐振动则其合振动的振幅为谐振动（3 3）4 cm小议链接2（1 1）0（2 2）4 cm（4 4）8 cm结束选择结束选择请选择你认为是对的答案请选择你认为是对的答案 两个同方向同频率的谐振动，

36、振动方程为两个同方向同频率的谐振动，振动方程为x1=610-2 cos(5t+),x2=210-2 sin(5 t )2 则其合振动的振幅为谐振动则其合振动的振幅为谐振动（3 3）4 cm小议链接3（1 1）0（2 2）4 cm（4 4）8 cm结束选择结束选择请选择你认为是对的答案请选择你认为是对的答案 两个同方向同频率的谐振动，振动方程为两个同方向同频率的谐振动，振动方程为x1=610-2 cos(5t+),x2=210-2 sin(5 t )2 则其合振动的振幅为谐振动则其合振动的振幅为谐振动（3 3）4 cm小议链接4（1 1）0（2 2）4 cm（4 4）8 cm结束选择结束选择请选

37、择你认为是对的答案请选择你认为是对的答案 两个同方向同频率的谐振动，振动方程为两个同方向同频率的谐振动，振动方程为x1=610-2 cos(5t+),x2=210-2 sin(5 t )2 则其合振动的振幅为谐振动则其合振动的振幅为谐振动（3 3）4 cm第6、7节 阻尼振动 受迫振动1 1.2&11.3damped vibration forced vibration and resonance称为阻尼振动阻尼振动或减幅振动减幅振动振幅逐渐衰减的振动形成阻尼振动的原因：形成阻尼振动的原因：振动系统受摩擦、粘滞等阻力作用，造成热损耗振动系统受摩擦、粘滞等阻力作用，造成热损耗续上以液体中的水平弹

38、簧振子为例：以液体中的水平弹簧振子为例：粘滞阻力弹性力振动速度不太大时受：阻力系数粘滞阻力与 反向负号：弹性力振子 受合外力即令称为振动系统的固有角频率得称为阻尼系数若阻尼较弱，且时，上述微分方程的解为续上和取决于初始状态。为振动角频率，为阻尼振动的振幅，随时间的增大而指数衰减。设设越大，振幅衰减越快，且振动周期 越长。周期续上 较大(heavy damping)，其振幅衰减较快，但只要满足，振子仍可作往复运动，此情况称为欠阻尼欠阻尼。若阻尼过大，以致，振子不能作往复运动，而是从开始的最大位置缓慢地回到平衡位置。此情况称为过阻过阻尼尼(overdamped)。若，振子从开始的最大位置最快地回到

39、平衡位置，并处于往复运动的临界状态。此情况称为临界阻尼临界阻尼。临界阻尼临界阻尼过阻尼过阻尼欠阻尼欠阻尼(underdamped)(critical damping)应用：应用：shock absorber in a car汽车减震器汽车减震器安装在建筑物上的大型阻尼器安装在建筑物上的大型阻尼器受迫振动 系统在周期性外力周期性外力的持续作用下所作的振动称为受迫振动。幅 值角频率周期性外力（驱动力）弹性力示意建立动力学方程即表成此微分方程的解为续上受迫振动进入稳定振动状态后，其振动角频率为驱动力的角频率 ，其振幅为 受迫振动与驱动力有一定的相位差，用初相 表示 和都与 阻尼系数固有角频率 的大小

40、有关。驱动力角频率 相对于系统的开始振动比较复杂经过一段时间后，受迫振动进入稳定振动状态。续上较小较大重点讨论受迫振动稳定状态时重点讨论受迫振动稳定状态时的振幅的振幅求得 极大时的 为令受迫振动的振幅出现最大值的现象称为受迫振动的振幅出现最大值的现象称为 共振共振。在弱阻尼弱阻尼即 的情况下，1818世纪中叶，一队士兵在指挥官的口令下，迈着威武雄世纪中叶，一队士兵在指挥官的口令下，迈着威武雄壮、整齐划一的步伐，通过法国昂热市一座大桥，快走壮、整齐划一的步伐，通过法国昂热市一座大桥，快走到桥中间时，桥梁突然发生强烈的颤动并且最终断裂坍到桥中间时，桥梁突然发生强烈的颤动并且最终断裂坍塌，造成许多官

41、兵和市民落入水中丧生。后经调查，造塌，造成许多官兵和市民落入水中丧生。后经调查，造成这次惨剧的罪魁祸首，正是共振！因为大队士兵齐步成这次惨剧的罪魁祸首，正是共振！因为大队士兵齐步走时，产生的一种频率正好与大桥的固有频率一致，使走时，产生的一种频率正好与大桥的固有频率一致，使桥的振动加强，当它的振幅达到最大限度直至超过桥梁桥的振动加强，当它的振幅达到最大限度直至超过桥梁的抗压力时，桥就断裂了。类似的事件还发生在俄国和的抗压力时，桥就断裂了。类似的事件还发生在俄国和美国等地。有鉴于此，所以后来许多国家的军队都有这美国等地。有鉴于此，所以后来许多国家的军队都有这么一条规定：大队人马过桥时，要改齐走为

42、便步走。么一条规定：大队人马过桥时，要改齐走为便步走。共振的危害共振的危害古希腊的学者古希腊的学者阿基米德阿基米德曾豪情万丈地宣称：曾豪情万丈地宣称：给我一给我一个支点，我能撬动地球个支点，我能撬动地球。而现代的美国发明家而现代的美国发明家特斯拉特斯拉更是更是“牛气牛气”，他说：，他说：用一件共振器，我就能把地球一裂为二！用一件共振器，我就能把地球一裂为二！一个小故事一个小故事：一天，特斯拉来到华尔街，爬上一座尚未竣工的钢骨结：一天，特斯拉来到华尔街，爬上一座尚未竣工的钢骨结构楼房，从大衣口袋里掏出一件小物品，把它夹在其中一根钢梁上，构楼房，从大衣口袋里掏出一件小物品，把它夹在其中一根钢梁上，

43、然后按动上面的一个小钮。数分钟后，可以感觉到这根钢梁在颤抖。然后按动上面的一个小钮。数分钟后，可以感觉到这根钢梁在颤抖。慢慢地，颤抖的强度开始增加，延伸到整座楼房。最后，整个钢骨结慢慢地，颤抖的强度开始增加，延伸到整座楼房。最后，整个钢骨结构开始吱吱嘎嘎地发出响声，并且摇摆晃动起来。惊恐万状的钢架工构开始吱吱嘎嘎地发出响声，并且摇摆晃动起来。惊恐万状的钢架工人以为建筑出现了问题，甚至是闹地震了，于是纷纷慌忙地从高架上人以为建筑出现了问题，甚至是闹地震了，于是纷纷慌忙地从高架上逃到地面。眼见事情越闹越大，他觉得这个恶作剧该收场了，于是，逃到地面。眼见事情越闹越大，他觉得这个恶作剧该收场了，于是，

44、把那件小物品收了回来，然后从一个地下通道悄悄地溜开了，留下工把那件小物品收了回来，然后从一个地下通道悄悄地溜开了，留下工地上的那些惊魂甫定、莫名其妙的工人。地上的那些惊魂甫定、莫名其妙的工人。持续发出的某种频率的声音会使玻璃杯破碎。机器持续发出的某种频率的声音会使玻璃杯破碎。机器的运转可以因共振而损坏机座。高山上的一声大喊，的运转可以因共振而损坏机座。高山上的一声大喊，可引起山顶的积雪的共振，顷刻之间造成一场大雪可引起山顶的积雪的共振，顷刻之间造成一场大雪崩。行驶着的汽车，如果轮转周期正好与弹簧的固崩。行驶着的汽车，如果轮转周期正好与弹簧的固有节奏同步，所产生的共振就能导致汽车失去控制，有节奏

45、同步，所产生的共振就能导致汽车失去控制，从而造成车毁人亡从而造成车毁人亡 每年肆虐于沿海各地的热带风暴，也是借助于共振每年肆虐于沿海各地的热带风暴，也是借助于共振为虎作伥，才会使得房屋和农作物饱受摧残。为虎作伥，才会使得房屋和农作物饱受摧残。19401940年，美国的全长年，美国的全长860860米的塔柯姆大桥因大风引起米的塔柯姆大桥因大风引起的共振而塌毁。的共振而塌毁。共振的危害共振的危害1940 年年11月月7日美国日美国 Tocama 悬索桥因共振而坍塌悬索桥因共振而坍塌共振技术普遍应用于机械、化学、力学、电磁学、共振技术普遍应用于机械、化学、力学、电磁学、光学及分子、原子物理学、工程技

46、术等几乎所有的光学及分子、原子物理学、工程技术等几乎所有的科技领域。如：科技领域。如：1.1.音响设备中扬声器纸盆的振动，各种弦乐器中音响设备中扬声器纸盆的振动，各种弦乐器中音腔在共鸣箱中的振动等利用了音腔在共鸣箱中的振动等利用了“力学共振力学共振”；2.2.电磁波的接收和发射利用了电磁波的接收和发射利用了“电磁共振电磁共振”；3.3.激光的产生利用了激光的产生利用了“光学共振光学共振”；4.4.医疗技术中则有已经非常普及的医疗技术中则有已经非常普及的“核磁共振核磁共振”等。等。利用共振能带来福祉利用共振能带来福祉 oC*lsinMmglmgl 22ddmglJt )5(gm（点为质心）点为质心）C22d0dmgltJ mglJ mcos()tjj振动函数振动函数2JTmgl 振动周期振动周期介绍：复摆介绍：复摆h思考思考1 1：一一U形管装有密度为形管装有密度为 的液体，液柱总长度为的液体，液柱总长度为LxO2FgSx 22d2dxgSxLSt 22d20dxgxtL 2gL 思考思考2 2：弹性偶极子的振动频率弹性偶极子的振动频率ABxx对对B球：当其右移球：当其右移x时，弹簧的总形变量为时，弹簧的总形变量为2x，故，故22d2dxkxmt 22d20dxkxtm 2km