高中数学复习提问式学习法

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1、高考数学复习提问式学习法第一章 集合与简易逻辑 第二章 函数第三章 数列第四章 三角函数 第五章 平面向量第六章 不等式第七章 直线与圆的方程第八章 圆锥曲线第九章 立体几何第十章 排列、组合、概率 第十一章 统计与导数 第一章 集合与简易逻辑1为什么集合中的元素必须是确定的?答：“集合中的元素必须是确定的”，意思是说，“对于一个给定的集合，它的元素的意义是明确的”例如由所有直角三角形组成的集合，这个集合中的元素的意义是明确的如果说“由高个子组成的集合”，那么这个“集合”中的元素的意义是不明确的，因为“高个子”是一个没有严格的数量标准的、相对模糊的概念，所以这个“高个子集合”是无法组成的2为什

2、么集合中的元素必须是互异的?答：“集合中的元素必须是互异的”，这句话通常称为集合中元素的相异性就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的因此，如果把两个集合1，2，3，4，3，4，5，6，7的元素合并在一起构成一个新集合，那么新集合只有1，2，3，4，5，6，7这七个元素4.“事实上，设是集合A的任意一个元素，因为，所以，又因为，所以，从而”这段话是什么意思?答：这是“对于集合，如果，那么”这一命题的数学证明这种证明方法在集合论中常常用到要证明关系式成立，我们的方法就是从关系式左边的集合中任取一个元素，证明也属于关系式右边的集合，即从推证5集合之间的关系图是一种什么性质的图形，使用

3、时要注意些什么?答：这种图在数学上也称为文（，1834年1923年，英国逻辑学家）氏图它仅仅起着说明各集合之间关系的示意图的作用（就像交通示意图只说明各车站之间的位置关系那样），因此边界用曲线还是直线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有关元素或子集统统包在里边就行决不能理解成圈内的每一点都是这个集合的元素（事实上，这个集合可能与“点”毫无关系）；至于边界上的点是否属于这个集合，也都不必考虑6.怎样正确理解逻辑联结词 “ 或 ” 的意义？ 答： “ 或 ” 这个逻辑联结词的用法，一般有两种解释：一是 “ 不可兼有 ” ，即 “ 或 ” 是指，中的某一个，但不是两者日常生活中有时采用这一解释

4、例如 “ 你去或我去 ” ，人们在理解上不会认为有你我都去这种可能另一是 “ 可兼有 ” ，即 “ 或 ” 是指，中的任何一个或两者例如 “ 或 ” ，是指可能属于但不属于（ “ 但 ” 在这里实际上等价于另一逻辑联结词 “ 且 ” ），也可能不属于但属于，还可能既属于又属于（即 ）又如在 “ 真或真 ” 中，可能只有真，也可能只有真，还可能，都为真数学书籍中一般采用后一种解释，运用数学语言和解数学选择题时，都要遵守这一点，还要注意 “ 可兼有 ” 并不意味 “ 一定兼有 ” 7.“ 或 ”“ 且 ”“ 非 ” 这三个复合命题概念后，怎样进行真假概括？ 答：（ 1 ）对于复合命题 “ 或 ”

5、，当且仅当，中至少有一个为真（包括两个同时为真）时，它是真命题；当且仅当，都为假时，它是假命题 （ 2 ）对于复合命题 “ 且 ” ，当且仅当，都为真时，它是真命题；当且仅当，中至少有一个为假（包括两个同时为假）时，它是假命题 （ 3 ）对于复合命题 “ 非 ” ，当且仅当为真时，它是假命题；当且仅当为假时，它是真命题 以上也可以利用真值表示进行概括 可以看出，要使学生正确理解上述概念，还要让他们熟练掌握并会灵活运用 “ 至少 ”“ 最多 ”“ 同时 ” ，以及 “ 至少有一个是（不是） ”“ 最多有一个是（不是） ”“ 都是（不是） ”“ 不都是 ” 这些词语这也是学习数学的难点之一，需要长

6、期不懈地进行训练，才能达到要求 8怎样用推出符号对 “ 充分且不必要条件 ”“ 必要且不充分条件 ” 和 “ 充要条件 ” 进行概括？ 答：（ 1 ）若 ，且 ，则是的充分且不必要条件，是的必要且不充分条件；（ 2 ）若 ，且 ，则是的必要且不充分条件，是的充分且不必要条件； （ 3 ）若 ，且 ，则是的充要条件（此时也是的充要条件）； （ 4 ）若 ，且 ，则是的充要条件（此时也是的充要条件） 9.怎样让正确判断 “ 充分且不必要条件 ”“ 必要且不充分条件 ”“ 充要条件 ” 以及 “ 不充分且不必要条件 ” ？ 答：这四种情况反映了条件和结论之间的因果关系，所以在判断时应该让学生： （

7、1 ）确定条件是什么，结论是什么； （ 2 ）尝试从条件推导结论，从结论推导条件； （ 3 ）确定条件是结论的什么条件 要证明命题的条件是充要的，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立证明原命题成立即证明条件的充分性，证明逆命题成立即证明条件的必要性 第二章 函数 1怎样理解函数和映射的概念？函数与映射有什么相似点与区别?答：函数的定义为：1传统定义(运动学观点下的定义)：设在某变化过程中有两个变量，如果对于自变量在某一范围内的每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应，那么就称是的函数，叫做自变量.自变量取值的集合叫做函数的定义域，和自变量对应的的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域

8、.2.现代定义（集合观点下的定义）：设、是两个非空数的集合，如果按某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数与它相对应，那么就称为集合到集合的一个函数，记作，其中叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，与对应的的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.3.两个定义在本质上是一致的，只是叙述的出发点不同.映射是定义是：设、是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一的一个元素和它对应，这样的对应（包括集合、以及到的对应法则）叫做集合到集合的映射，记作：.根据映射的定义，可以发现：映射强调的是一种对应关系，它是一种特殊的对应，其特点是：

9、（1）映射中集合、可以是数集，也可以是点集或其他集合，同时两个集合必须必须有先后次序，从集合到集合的映射与从集合到集合的映射是不同的.（2）映射包括集合、以及到的对应法则，三者缺一不可.（3）对于一个从到的映射而言，中每一个元素必有唯一的象，但中的每一个元素却不一定有原象，若有也不一定只有一个.根据集合和映射的定义可以看出：函数是一种特殊的映射，是非空数集之间的对应；映射不止包含函数一种对应，还有其他的对应.2符号的含义是什么？与的区别与联系？答：是“是的函数”的数学表示形式，是表示函数的数学符号，是自变量的函数，不是“等于与的积”；在一般情况下是个变量，它一般通过关于的解析式体现出来，但的含

10、义中也不一定是解析式，因为有些函数的对应法则无法用解析式来表示.与的含义不同，表示自变量时所得的函数值，它是一个常量.3怎样理解函数的单调性与单调区间？答：如果函数在某个区间是增函数或减函数，就说在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做的单调区间.对函数的单调性与单调区间的理解要注意几点：（1）函数的单调性是对于函数定义域内的某个子区间而言的.有的函数在整个定义域内是单调的；有的函数在定义域的某个区间内是单调的；还有的函数在定义域内不是单调函数.（2）函数的单调性具有可逆性.也就是说，若在区间上单调递增，则当且时，有；若在区间上单调递减，则当且时，有； （3）函数单调性定义中的两数具有三个

11、特性：一是任意性，即两个数是任意选取的，没有特殊性；二是有大小，通常我们取；三是必在同一个单调区间.（4）在函数单调区间的书写上，由于函数在定义域内某点的函数值是确定的，因此讨论函数在某点处的单调性没有意义，所以在书写函数的单调区间时，区间的端点是开是闭没有严格的规定.若函数在这点有意义，可以写成闭区间或开区间；但若函数在这点没有意义，则只能写成开区间.（5）若函数在其定义域内的两个区间上都是增（减）函数，一般不能简单认为在上是增（减）函数.4怎样理解反函数的概念？原函数与反函数是关系如何？答：在函数中，是自变量，是的函数.设它的定义域为，值域为，我们根据函数中的关系，用把表示出来，得到，如果

12、对于在中的任何一个值，通过，在中都有唯一的值和它对应，那么就表示是自变量，是自变量的函数，这样的函数叫做函数的反函数，记做：.注意：（1）习惯上我们都用表示自变量，表示函数，因此我们可以对换，的位置，将函数的反函数表示为.（2）函数的反函数本身也是一个函数，原函数与它的反函数互称反函数.（3）反函数的定义域和值域刚好是原函数的值域和定义域，否则不行.（4）从映射的角度看，函数是定义域集合到值域集合的映射，它的反函数是原函数值域集合到原函数定义域集合的映射.（5）不是所有的函数都存在反函数.只有当定义域集合中的与值域集合中的是一一对应关系时，才有反函数. 第三章 数列1数列知识在高中数学中的地位

13、如何？答:数列是高中数学重要内容之一，重要性如下： （1）数列具有广泛的实际应用，如堆放物品总数的计算，产品规格设计的某些问题，储蓄、分期付款等都要用到数列知识。 （2）数列起到承前启后的作用。由于数列这部分知识与以前所学知识具有较强的联系，特别与函数等知识有密切联系，新教材安排数列在函数之后教学，有利于用函数的观点来认识数列本质，也有利于加深巩固对函数概念的理解。同时学习数列又为进一步学习极限等内容作好了准备，是学习高等数学的基础。 （3）数列是培养学生逻辑思维、抽象思维、归纳思维等能力的良好题材，学习数列要经常观察，分析、归纳、猜想，还要综合应用前面知识解决数列中一些问题，有助于数学能力的

14、提高。 2.求一个数列的通项公式时，有哪些基本方法？ 答：有以下四种基本方法： （ 1 ）直接法就是由已知数列的项直接写出，或通过对已知数列的项进行代数运算写出 （ 2 ）观察分析法根据数列构成的规律，观察数列的各项与它所对应的项数之间的内在联系，经过适当变形，进而写出第项 的表达式即通项公式 （ 3 ）待定系数法求通项公式的问题，就是当 1 ， 2 ， 时求（），使（）依次等于 1 ， 2 ， 的问题因此我们可以先设出第项 关于变数的表达式，再分别令 1 ， 2 ， ，并取 分别等于 1 ， 2 ， ，然后通过解方程组确定待定系数的值，从而得出符合条件的通项公式 （ 4 ）递推归纳法根据已知

15、数列的初始条件及递推公式，归纳出通项公式3等差数列有哪些基本性质？ 答：（ 1 ）当 0 时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当 0 时，等差数列中的数随项数的减小而减小；当 0 时，等差数列中的数等于一个常数注意：不能说等差数列或它的通项公式是一次函数，等差数列只是某个一次函数的一系列孤立的函数值；一次函数是有严格定义的，它的定义域是实数集，图象是（连续的）一条直线这是目前教学中普遍出错的地方 ! （ 2 ）在有穷的等差数列中，与首末两项等距离的两项的和都相等，且等于首末两项的和 （ 3 ）如果（，都是正整数，那么 ）。 （ 4 ）如果等差数列的各项都加上一个相同的数，那么所得的数列仍是等

16、差数列，且公差不变 （ 5 ）两个等差数列各对应项的和组成的数列仍是等差数列，且公差等于这两个数列的公差的和 4.等比数列有哪些基本性质？ 答：（ 1 ）当 1 时，如果存在一项 0 （或 0 ），那么等比数列中的数随项数的增大而增大（或减小）；当 0 1 时，如果存在一项 0 （或 0 ），那么等比数列中的数随项数的增大而减小（或增大）；当 1 时，等比数列中的数等于同一个常数；当 0 时，等比数列中的数不具有单调性 （ 2 ）在有穷的等比数列中，与首末两项等距离的两项的积都相等，且等于首末两项的积 （ 3 ）如果（，都是正整数），那么 （ 4 ）如果数列 是等比数列，那么它所有的项都不等于

17、 0 ，且所有的 n 2 0 （ 5 ）如果数列 是等比数列，那么数列 （为常数）， 1 ， 也都是等比数列，且其中 的公比不变， 1 的公比等于原公比的倒数， 的公比等于原公比的绝对值 （ 6 ）两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列，且公比等于这两个数列的公比的积5.求一个数列的通项公式时，有哪些基本方法？ 答：有以下四种基本方法： （1）直接法就是由已知数列的项直接写出，或通过对已知数列的项进行代数运算写出 （2）观察分析法根据数列构成的规律，观察数列的各项与它所对应的项数之间的内在联系，经过适当变形，进而写出第项的表达式即通项公式 （3）待定系数法求通项公式的问题，就是当1，2

18、，时求（），使（）依次等于1，2，的问题因此我们可以先设出第项关于变数的表达式，再分别令1，2，并取分别等于1，2，然后通过解方程组确定待定系数的值，从而得出符合条件的通项公式 （4）递推归纳法根据已知数列的初始条件及递推公式，归纳出通项公式6.数列与函数有哪些区别？ 答：（1）数列并不只是一个或一些函数值，而是有序排列好的函数值的“队” （2）定义域为正整数集*或它的有限子集1，2，中的1，2，“不可省略如果只留下*的有限子集”几个字，例如3，6，7，1，9等，那么按这样的子集的顺序排列的函数值，并不是以为自变量的函数 （3）不能认为只有定义在*或它的有限子集1，2，上的函数，将其函数值排列

19、好才能形成数列，实际上，对于任意一个函数（），随便取几个自变量值，一一列出对应的函数值（这已经有序了）后，也形成了一个数列例如对于定义在实数集上的函数（），函数值列 （0），（），（），（），就是一个数列，它与数列（1），（2），（），是不同的这说明：数列可以看成一类特殊函数的有序排列好的函数值，但不是这样的特殊函数，其函数值也能有序排列好，从而形成数列第四章 三角函数1三角函数的定义和在各象限内的符号是怎样的？答：（1）三角函数的定义设是角终边上的任意一点，且，则有：；.（2）三角函数的符号如下表： 象限函数 符号+2同角三角函数的基本关系式有哪些？答：（1）平方关系：；（2）商数关系：；（

20、3）倒数关系：；3诱导公式有哪些，有何记忆规律？答：诱导公式是指角的三角函数与诸如，等同角三角函数的关系，其内容相似，极易混淆，其记忆规律是：“奇变偶不变，符号看象限”，其中奇变偶不变中的奇、偶分别是指的奇数倍和偶数倍.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是：任意角的三角函数0到2p的三角函数正角的三角函数 锐角三角函数4三角恒等化简和证明的常用方法是什么？答：（1）异名化同名，即不同名称的化为相同名称的函数，如常用的是切割化弦；（2）异角化同角，即把不同的角化为相同的角，常把倍角利用二倍角公式化为单角；（3）高次化低次，即通过降次公式把高次降成低次来处理；（4）利用一些

21、已知的三角恒等式实现化简和证明.5两角和与差的三角函数有哪些基本公式？答：（1）两角和差公式；（2）倍角公式；（3）降次公式；6三角函数的性质有哪些？答：如下表所示函数定义域RR值域R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性2kp-,2kp+2kp+,2kp+2kp,2kp+p2kp-p,2kp（kp-,kp+）7如何用变换作图法作出？答：（1）振幅变换：，将上的各点的纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变）；（2）相位变换：，将图象上的所有点向左或向右平移个单位；（3）周期变换：，将图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）.（4）由的图象变换到的图象，一般先作相位变换，后作周期变换，即.第五章

22、平面向量1哪些向量与起点有关？哪些向量与起点无关？答：在实际问题中，像力这样的向量，既有大小、方向、又有作用点，因此它是与起点有关的.但像位移这样的向量，就只有大小与方向，它与起点无关.由于一切向量的共性是它们都有大小与方向，所以在数学上我们只研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由量（简称向量），即只考虑向量的大小与方向，而不管它的起点在何处.当遇到与起点有关的向量（例如谈到某一质点的运动速度时，这一速度就是与所考虑的质点的位置有关的向量），可以在一般原则下作特别处理.顺便指出，有向线段通常包含起点、方向、长度这三个要素.向量就是有向线段.如上所述，我们在数学上只研究与起点无关的向量，那么向

23、量的大小实质上指向量的长度（即模）的大小.向量只能从长度上比较它们的大小，有的书上也把向量的长度称为向量的绝对值.2如何画出模（长度）为积的向量？答：我们在初中学过作一条线段，使成为三条已知线段的第四比例项，即a:bc:x由此例基本性质，可得 所以，我们取a为复平面内一个单位长度的线段，b为r1，c为r2，于是可以画出线段xr1r2的向量.3学习定比分点公式时要注意什么问题？(1)定比分点、中点坐标公式是解析几何重要的概念，在求点的坐标、直线方程及动点轨迹方面有重要的应用；尤其是中点坐标在有关对称问题中有特殊的应用(2)定比分点公式的变形使用注意灵活选择分点和确定分比，当取不同的点为分点时，便

24、得到不同的值，如果分点选得适当，则可简化解题过程(3)要明确是有向线段的数量的比，而不是有向线段的长度的比；在中，分子是起点到分点的有向线段的数量，分母是分点到终点的有向线段的数量，这个比不可颠倒（4）在运用定比分点公式时，特别要注意这是里的是有向线段起点的坐标，而是有向线段终点的坐标，坐标位置不能搞错，否则求得的坐标不合要求4在有向线段、定比分点中用解析法能解决什么问题？(1)运用解析法，利用两点间的距离公式和线段的定比分点公式证明一些几何问题，特别是两点间的距离公式在第二章圆锥曲线中经常用到(2)解析法体现了数形结合的思想，对于有些几何问题的论证，如选用恰当的直角坐标系，可使论证变得容易(

25、3)中点坐标公式在以后处理对称问题，特别是中心对称问题时经常用到5解斜三角形时要注意什么？三角形的形状和大小，决定于它的六个组成元素：三个角和三条边，这六个元素不是彼此独立、孤立存在的，而是互相联系、互相制约、互相依存的.一个元素的变化必然牵动其元素的相应变化.根据初中平面几何的知识（主要是作三角形的条件），我们知道一旦知道了六个元素中的三个元素（至少有一边）或元素间的关系，且这些已知量或已知关系又符合平面几何作三角形的条件,就可以根据已知条件求出所有的元素,因而确定这三角形的形状和大小.这样的从已知量求出未知量,从而确定三角形的过程我们称之为解三角形.在三角形中，从角与角之间的关系来看，主要

26、有三角形的内角和定理、外角定理及直角三角形两锐角互余关系；从边与边之间的关系来看，主要有任意两边之和大于第三边（或任意两边之差小于第三边）以及直角三角形中的勾股定理；从边与角之间的关系来看，主要有直角三角形中锐角三角函数的定义，正弦定理、余弦定理以及射影定理等. 如果已知量的三个独立条件不完全是三角形的边和角，要解这类三角形时，就不能直接运用解三角形的基本方法，而必须运用三角形的边角关系.从题型而言，主要有两类：一类是证明三角形中的边角等式；另一类是根据题设条件，确定三角形的形状.第六章 不等式1.不等关系的性质，与相等关系的性质相比，有哪些异同?答：（1）相等关系的第一条性质是“自反性”：任

27、何一个数量都等于它自身，即不等关系“”“”没有自反性，但“非严格的”不等关系“”“”具有自反性（2）相等关系的第二条性质是“对称性”：的充要条件是不等关系“”“”没有对称性（例如的充要条件不是），但有“反对称性”（例如的充要条件是）；不等关系“”具有对称性，“”“”具有反对称性（3）相等关系的第三条性质是“传递性”：如果，且，那么不等关系“”“”与非严格的不等关系“”“”也有传递性，但不等关系“”没有传递性（例如23，且32，但22）2.不等式的其他性质各有什么名称?答：性质“”可称为不等式的加法保序性；（2）性质“，且0”可称为不等式的乘正数保序性，性质“，且”可称为不等式的乘负数反序性；（

28、3）性质“0（）可称为不等式对正数次方根的保序性（4）“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理”（即“0，且0（）2”）也可称为均值不等式（大纲不要求扩展到三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理）3.解不等式时，常用的等价转化有哪些情况 ? 答：设 1 和 2 都是的函数，那么下列各不等式等价： （ 1 ） 1 2 （ 2 0 ） 2 1 2 ， 1 2 （ 2 0 ） 1 2 或 1 2 ； （ 2 ） 1 （ 0 ） 1 2 2 ， 1 （ 0 ） 1 2 2 ； （ 3 ） 1 2 0 1 0 且 2 0 ，或 1 0 且 2 0 ， 1 2 0 1 0 且 2 0 ，

29、或 1 0 且 2 0 ； （ 4 ） 1 2 0 （ 2 0 ） 1 2 0 ， 1 2 0 （ 2 0 ） 1 2 0 4.证明不等式可以运用哪些常用的数学方法 ? 答：（ 1 ）分析法从要证明的不等式出发，寻找使这个不等式成立的某一充分条件，如此逐步往前追溯（执果索因），一直追溯到已知条件或一些真命题为止例如要证 2 ，我们通过分析知道， 2 的某一充分条件是 2 0 ，即（） 0 ，因此只要证明（） 0 就行了由于（） 0 是真命题，所以 2 成立分析法的证明过程表现为一连串的 “ 要证 只要证 ” ，最后推至已知条件或真命题 （ 2 ）综合法从已知（已经成立）的不等式或定理出发，逐步

30、推出（由因导果）所证的不等式成立例如要证 2 ，我们从（） 0 ，得 2 0 ，移项得 2 综合法的证明过程表现为一连串的 “ 因为 所以 ” ，可用一连串的 “ ” 来代替 综合法的证明过程是分析法的思考过程的逆推，而分析法的证明过程恰恰是综合法的思考过程当我们不易找到作为出发点的不等式来证明结论时，通常改用分析法来证明 （ 3 ）比较法根据与 0 等价，所以要证甲式大于乙式，只要证明甲式减去乙式所得的差式在两式中的字母的可取值范围内取正值就可以了这就是比差法还有一种比较法是比商法，例如已知甲式、乙式在其中字母的可取值范围内均取正值，那么要证甲式大于乙式，只要证明甲式除以乙式所得的商式在这一

31、字母取值范围内均取大于 1 的值就可以了比商法较为复杂，使用时务必注意字母的取值范围 （ 4 ）逆证法这是分析法的一种特殊情况，即从要证明的等式出发，寻找使这个不等式成立的充要条件，如此逐步往前追溯，一直追溯到已知条件或一些真命题为止逆证法的证明过程表现为一连串的 “ 即 ” ，可用一连串的 “” 来代替，最后推至已知条件或真命题 （ 5 ）放缩法这也是分析法的一种特殊情况，它的根据是不等式关系的传递性 ， ，则 ，所以要证 ，只要证明 “ 大于或等于 ” 的 就行了 （ 6 ）反证法先假定要证的不等式的反面成立，然后推出与已知条件（或已知的真命题）相矛盾的结论，从而断定反证假定是错误的因而要

32、证的不等式一定成立 （ 7 ）穷举法对要证的不等式按已知条件分成各种情况一一加以证明（防止重复或遗漏某一可能情况） 要注意：在证明不等式时，应灵活运用上述方法，并通过运用多种方法来提高他们的思维能力第七章 直线与圆的方程 1.直线方程的五种形式是什么？其适用范围是什么？答：如图：名称方程适用范围一般式平面直角坐标系中的直线都适用.斜截式不含垂直于轴的直线点斜式不含直线两点式不含直线和直线但没有约束条件.截距式不含垂直于坐标轴的直线和过原点的直线（注：截距不是距离，有正负之分）注：有时为了避免对斜率的讨论，我们可以把过点且不平行于的直线设为.2.线性规划的一般步骤是什么？线性规划有什么典型应用？

33、答：线性规划的一般步骤是：（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）此时要依据“直线定界，原点地域“的原则.（2）设，画出直线.（3）观察、分析、平移直线，从而找到最优解.（4）最后求得目标函数的最大值及最小值.应用线性规划除了解决我们实际生活问题外还可以解决以下两类题型：（1）二元不等式组的充要条件问题.如命题甲：是命题乙：的必要非充分条件.（画图即可得到）（2）解决直线与线段相交问题.如（2002年高考北京文科卷）若直线与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是.略解：直线l需与第一象限的线段相交，即两点在直线l的异侧，则有，故可求解倾斜角的范围

34、.3.常见的曲线（直线）系有哪些？应用它们的好处是什么？答：我们常见的曲线（直线）系有：（1）与直线平行的直线系为；（2）与直线垂直的直线系为；（3）过两条曲线和 交点的曲线系方程为（） .应用曲线系解题的好处是简化计算.如（2005高考湖北卷第二问）设是椭圆（）上的两点，交其于两点，线段的垂直平分线交其于两点.试判断是否存在这样的，使得四点在同一个圆上？并说明理由.略解：设过的曲线系方程为（），根据圆的方程的特点我们可以解得：时为圆.4.如何判断直线与圆的位置关系？直线与圆的位置怎样？答：判断直线与圆的位置关系的常见的方法有两种：（1）根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断.（2

35、）根据圆心到直线的距离与圆的半径的关系来判断，当时，该直线与圆相交；时，直线与圆相切；时，直线与圆相离.根据上述原理不难判断：点在圆上时，直线与圆相切；点在圆内时，直线与圆相离；点在圆外时，直线与圆相交，若此时过点作圆的两条切线切点分别是，则的直线方程为.第八章圆锥曲线1学习椭圆的标准方程时，要注意些什么？（1）把椭圆的位置特征与标准方程的形式统一起来，椭圆的位置由其中心的位置和焦点的位置确定，即“如果椭圆的中心在原点，焦点在x轴上.那么这个位置是标准位置，此时由于长轴也在x轴上，半长轴的平方是方程中含项的分母，所以方程为；如果椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，那么这个位置也是标准位置，此时由于

36、长轴在x轴上，半长轴的平方是方程中含项的分母，所以方程为 .（2）要求椭圆的标准方程包括“定位”和“定量”两个方面.“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，在中心是原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式：“定量”则是指确定的具体数值，常用待定系数法.（3）理解椭圆的对称轴为坐标轴的原因.这是因为如果以曲线的对称轴为x（或y）轴，那么曲线的方程中不含y（或x）的一次项.取椭圆的对称轴为坐标轴，可以使椭圆方程只含x，y的二次项与常数项.由于x，y可以互换，所以标准方程出现了上述两种形式.2学习椭圆的准线时，要注意些什么？（1）弄清椭圆与它的两条准线的位置关系.两条准线垂直于椭圆的

37、长轴所在的直线.椭圆夹在两条准线之间，两条准线关于椭圆的短轴所在直线与椭圆的中心对称.（2）巧记准线方程.首先记住准线与椭圆中心的距离是 ，然后根据准线的位置（指垂直于x轴还是垂直于y轴）写出准线的方程.（3）掌握准线的性质.如教科书所述，椭圆上任何一点到焦点的距离与它到相应准线的距离之比等于离心率e，这里e是一个大于0且小于1的常数.（4）知道焦点到相应准线的距离叫做焦准距，记作p，易知 3双曲线与椭圆有哪些不同？（1）定义不同，图形不同.我们可以提前阅看教科书上的图表.在学习本章时，这份图表要经常翻阅.（2）有两类特殊的双曲线，它们有一些特殊的性质.一类是等轴双曲线.其主要性质有：，离心率

38、，两条渐近线互相垂直，等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项等.另一类是共轭双曲线，其主要性质有：它们有共同的渐近线，它们的四个焦点共圆，它们的离心率的倒数的平方和等于1.等轴双曲线是一个方程所对应的几何图形.有两支曲线：而互为共轭双曲线则是两个方程所对应的几何图形，每个方程各对应两支曲线.等轴双曲线也有它的共轭双曲线.请同学们结合教科书上的图对上述各点仔细体会（看着此图，心里可想着等轴双曲线进行对比）.4抛物线和椭圆、双曲线比起来有什么不同？抛物线的几何性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大，它的离心率等于1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有中心.

39、通常称抛物线为无心圆锥曲线，而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线.第九章 立体几何1.怎样将“斜线在平面内的射影”的概念进行推广?答：我们将“斜线在平面内的射影”这个概念也推广到以下三种情况：（1）平面的斜线在这个平面内的射影，定义为“从斜线上斜足以外的任意一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线”；（2）平面的垂线在这个平面内的射影，定义为“这条垂线与平面的交点”；（3）平面的平行线（或在平面内的直线）在这个平面内的射影，定义为“这条直线上任意两点在这个平面内的射影的连线”归纳这三种情况，“斜线在平面内的射影”就被推广成“直线在平面内的射影”相应地，“斜线段在平面内的射影”也可以推广成“线段在平面内的

40、射影”其中，线段的长度可以不是0，也可以是0；射影的长度可能不是0，也可能是02.设、是平面外的任意两条线段，、相等能否推出它们在内的射影相等?反过来呢?答：设长度为的线段所在直线与平面所成的角为，其射影的长度为，那么因此，决定射影的长度的因素除了线段的长度外，还有直线和平面所成的角当，但、与平面所成的角、不相等时，、在平面内的射影、不一定相等反过来，当、在平面内的射影、相等，但、与平面所成的角、不相等时，、也不一定相等3.怎样区分清楚三垂线定理及其逆定理?答：我们可以把三垂线定理简化成“垂影则垂线”，记住它是“先内后外”；而把它的逆定理简化成“垂线则垂影”，记住它是“先外后内”4.怎样理解二

41、面角的概念?答：我们可以让学生把二面角的概念与角的概念进行比较：角是由从同一点出发的两条射线组成的图形，即线点线，表示为；二面角是由从同一直线出发的两个半平面组成的图形，即面线面，表示为二面角（或二面角）因为一个二面角的平面角的值是惟一确定的（即有且只有一个值），所以二面角可以用它的平面角的大小来度量像这样，让学生把立体几何、平面几何中的相应概念联系起来，把它们的含义逐项进行对照，便可以加深理解旧概念，牢固树立新概念，从而提高学习效果 5.怎样通过“折叠问题”来提高学生的空间想象能力和巩固他们相关的立体几何知识?答：一般地说，这里的问题常常是把一个已知的平面图形折叠成一个立体图形（相反的问题是

42、“展平问题”，即把一个已知的立体图形展平成一个平面图形）这就要求学生认清平面图形中各已知条件的相互关系及其本质，并且在把这一平面图形折叠成立体图形以后，能分清已知条件中有哪些发生了变化，哪些未发生变化这些未变化的已知条件都是学生分析问题和解决问题的依据6.三个平面的位置关系如何分类?答：可以列表如下：三个平面的位置关系两两相交有三条交线三线交于一点，三线相互平行；有一条交线三平面交于一线不两两相交有交点（线）三平面互相平行，有两条（平行交线） 一平面与两平行平面相交其中“两两相交，且有三条交线”应分为“三线交于一点”和“三线互相平行”两种情况7.如何将棱柱进行分类?分出的各类分别有什么特点?答

43、：棱柱可以根据底面多边形的边数而分为三棱柱、四棱柱，棱柱常用的另一种分类方法是根据其侧棱与底面是否垂直，结果如下：棱柱斜棱柱；直棱柱底面不是正多边形的直棱柱，正棱柱它们的特点如下表所示：棱柱类型底面侧面斜棱柱多边形平行四边形直棱柱多边形矩形正棱柱正多边形各侧面是全等矩形注意：（1）斜棱柱的底面可以是正多边形，此时由于侧棱不垂直于底面，所以它不是直棱柱（2）直棱柱的底面可以是正多边形，所以正棱柱是直棱柱的特例（3）在斜棱柱的侧面中，有的可以是矩形；如果棱柱有两个相邻的侧面都是矩形，那么它们的公共侧棱垂直于底面，此棱柱必为直棱柱8.如何将四棱柱进行分类?如何将其中平行六面体的性质与平行四边形的性质

44、进行比较?答：四棱柱可以分类如下（这里把平行六面体的侧棱和底面多边形的各边统称为这个平行六面体的棱）：四棱柱底面不是平行四边形的四棱柱平行六面体斜平行六面体直平行六面体底面不是矩形的直平行六面体；长方体棱长不都相等的长方体；正方体平行六面体的性质与平行四边形的性质可以比较如下：平行四边形平行六面体（1）对边平行且相等；（2）对角线交于一点，且在这一点互相平分；（3）矩形一条对角线的平方，等于其两条邻边的平方和；（4）4条边的平方和，等于2条对角线的平方和（1）相对的面平行且相等；（2）对角线交于一点，且在这一点互相平分；（3）长方体一条对角线的平方，等于同一个顶点上三条棱的平方和；（4）12条

45、棱的平方和，等于4条对角线的平方和9.有一个面是多边形，其他面都是三角形的几何体，是否一定为棱锥?为什么?答：不一定例如，将两个底面全等的三棱锥的底面重合在一起，使顶点分别在底面的两侧，这样组成的几何体的所有面都是三角形，但它不是棱锥第十章 排列、组合、概率1分类计数原理和分步计数原理及其区别是什么？答：（1）分类计数原理：完成一件事可以有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.（2）分步计数原理：完成一件事需要分成个步骤，做第一步有种不同的方法，第二步有种不同的方法，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共

46、有种不同的方法.（3）分类与分步的区别：关键是看事件能否完成，事件完成了就是分类；必须要若干步才能完成的则是分步，分类要用分类计数原理将种数相加；分步要用分步计数原理将种数相乘.2解决排列组合问题的方法有哪些？答：（1）特殊元素法；（2）特殊位置法；（3）去杂法；（4）插空法；（5）捆绑法；（6）先选后排法；（7）隔板法等.在解决排列组合问题时总的方针是：分类用加、分步用乘、有序排列、无序组合.3二项式定理的内容和性质是什么？答：（1）二项式定理内容，展开式的第项（通项）.其中叫二项式系数.（2）在二项式定理中，二项式系数的性质有：在二项式定理中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等；如

47、果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数相等并且最大，如果二项式幂指数是奇数，中间两项的系数相等且最大；二项式系数之和等于，即；二项展开式中，偶数项系数和等于奇数项的系数和，即4随机事件的概率定义及内容是什么？答：（1）概率的统计定义：一般地，在大量重复进行同一个试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，在其附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作.由概率的定义知，；必然事件的概率是1；不可能事件的概率是0.5等可能事件的定义和公式是什么？答：（1）等可能事件的定义：如果一次试验中可能出现的结果有有限个，且所有的结果出现的可能性都相等，这样的事件及其结果叫做等可能事件.（2）等可

48、能事件的概率：一般地，如果一次试验中共有种等可能的结果，那么每一个基本事件的概率都是.如果某个事件A包含有个基本事件，那么事件A的概率.6互斥事件的定义及互斥事件有一个发生的概率公式是什么？答：（1）不可能同时发生的两个事件，叫互斥事件.（2）对于事件A和B，用A+B表示事件A、B中有一个发生.如果A、B互斥事件A+B发生的概率等于事件A、B分别发生的概率的和，即：.这个公式还可以推广到个彼此互斥事件的情况.（3）对立事件的定义：其中必有一个发生的两个互斥事件，叫做对立事件.事件A的对立事件记作.（4）根据对立事件的定义可知：为必然事件，于是有如下重要结论：，我们常用对立事件的概率来简化事件A

49、的概率计算.7相互独立事件的定义及概率公式是什么？答：（1）如果事件A（或B）是否发生对事件B（或A）是否发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件.（2）对于相互独立的事件A、B，用表示事件A、B同时发生的概率，有：，此公式也可推广到个彼此独立的事件同时发生的情况.（3）做次试验，如果它们是完全同样的一个事件的重复且它们相互独立，那么这样的试验叫做独立重复试验.（4）次独立重复试验中，某事件恰好发生次的概率，记作，则有：.第十一章 统计与导数1：抽样的基本方法有几种？其适用范围及相互关系是什么？答：抽样的基本方法有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种，这三种简单的抽样都是等概率抽样，

50、各方法的适用范围及相互关系如下表：类 别共同点各 自 特 点相 互 联 系适 用 范 围简单随机抽样抽样过程中每个个体被抽到的概率都相同，都为从总体中逐个抽取（一般有抽签法和随机数表法两种）总体中的个体较少系统抽样（等距抽样）将总体分成几部分，按确定的规则（抽取必须是等距抽取）在各部分抽取在起始部分抽样时采用简单随机抽样总体中的个数较多分 层抽 样将总体分成几层，分层进行抽取（每层中抽取的比例数为）各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成注：系统抽样文科不做要求.2：导数的几何意义是什么？有哪些基本应用？答：导数的几何意义是表示曲线在的切线的斜率.应用导数我们可以解决以下

51、三个问题：（1）曲线在某一点的切线的问题.此时注意“在”点的切线与“过”点的切线概念的不同.（2）函数的单调性问题.此时注意时，是函数在区间上单调递增的充分非必要条件，如函数在上单调递增，但.（3）函数的极值和最值问题.此时注意是为函数的极值点的必要非充分条件，如函数中满足但原点不是该函数的极值点；求闭区间上函数的最值时一定要注意区间端点的函数值与极值大小的比较.一般原则是极小值不会是最大值，极大值不会是最小值.（理）3：导数是否可以应用在其他方面？答：导数的应用远远不只求函数的单调性，极值和最值，它还可以应用在以下几个方面：（1） 应用导数可以解决不等式中的比较大小、解不等式、证明不等式等问题.如：已知是大于且互不相等的三个实数，试比较的大小关系.我们可设，此时只要用导数判断函数在上的单调性即可比较的大小.（2） 应用导数可以求某些特殊数列的和.如求和：.我们设，则，即：（3）应用导数可以解决解析几何中的最值问题.如：已知不在抛物线上的一点，为抛物线上一动点，则的最小值在垂直于抛物线在点的切线时取得.证明：，令，则，若最小，则为的根，即.又因，点的切线的斜率为，切线的方向向量所以，故.故命题成立.