01 第一节 常数项级数的概念与性质

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1、第七章 无穷级数正如有限中包含着无穷级数，而无限中呈现极 限一样；无限之灵魂居于细微之处，而最紧密地趋 近极限却并无止境. 区分无穷大之中的细节令人喜 悦！小中见大，多么伟大的神力.雅克. 伯努利 （1）无穷级数是数与函数的一种重要表达形式，也是微积分理论研究与实际应用中极其有力 的工具. 无穷级数在表达函数、研究函数的性质、计算函数值以及求解微分方程等方面都有 着重要的应用. 研究级数及其和，可以说是研究数列及其极限的另一种形式，但无论在研究 极限的存在性还是在计算这种极限的时候，这种形式都显示出很大的优越性. 本章先讨论数 项级数，介绍无穷级数的一些基本内容，然后讨论函数项级数，并着重讨论

2、如何将函数展开 成幂级数与三角级数的问题.第一节 常数项级数的概念和性质分布图示引言常数项级数的概念例 3例 6Koch 雪花例8例 11内容小结习题 7-1引例例 1例 2例 4例 5例 7收敛级数的基本性质例 9 例 10课堂练习内容要点:一、无穷级数区u与其部分和数列s 具有同样的敛散性，区u二lims ；n n n n nT8n=1n=1二、收敛级数的性质：（1）级数满足线性运算；（2）在级数中改变、去掉或增加前面有限项，不会改变级数的收敛性.（3）在一个收敛级数中，任意添加括号所得到的新级数仍收敛于原来的和.（4）级数收敛的必要条件：若级数区u收敛，则limu = 0 nn nT8n

3、 =1三、柯西审敛原理简介.例题选讲：利用级数的部分和数列讨论级数的敛散性：例 1 写出级数丄+丄+-+22 - 42 - 4 - 62 - 4 - 6 - 8的一般项.解 分母是偶数的连乘积,而且第一项为偶数 ,第二项是两个偶数之积 ,第三项是三个偶 数之积，,第n项是n个偶数之积，故可写成(2n)!,而分子为奇数，故第n项为2n -1.于是 该级数的一般项为u = 2n-1.n(2n)!例2已知级数乞u的前n项的部分和, 求这个级数.n=1解 因为=u + u + un-1+u=sn-1+u, 所以=s-sn-1从而=s81 -17x80=1,=s-s82 1-1 =s-s7x8183 -

4、17x82=s-sn -17x8n-18 n-1 一 17x8n-2n-1故求级数为1+n -1例3 (E01)讨论级数+n(n + 1)+ 的收敛性.1 1 1仁1 (11)(1 1 )s + . + . +n 1 - 22 - 3n(n +1)1 2 J123 J(n n +1 丿un(n + 1)n+1nn=1-n+1=1,即题设级数收敛,其和为 1.所以 lim snnT8例4 (E02)证明级数1 + 2 + 3 + n +是发散的.证 级数的部分和为s = 1 + 2 + 3 + n = n(n+1),显然，lim s f 故题设级数发散.nnnT8例5 (E03)讨论等比级数(又

5、称为几何级数) aqn = a + aq + aq2 + aqn + (a 丰 0)n=0的收敛性.当q丰1,有sn=a + aq + aq 2 +. + aqn-1a(1 一 qn)1 - q若 |q| 1,有 lim qn = g, 则 lim s n = g.nT8nT8若 q = 1,有 s = na, lim sn = g. nnTg若 q = -1, 则级数变为s = a - a + a - a +. + (-1)n-1 a =a1 - (-1)n,n 、 2n个易见lim sn不存在.综上所述，当q 1时，等比级数收敛，且a + aq + aq2 +. + aqn +.nTg注：

6、几何级数是收敛级数中最著名的一个级数阿贝尔曾经指出“除了几何级数之外， 数学中不存在任何一种它的和已被严格确定的无穷级数”几何级数在判断无穷级数的收敛 性、求无穷级数的求和以及将一个函数展开为无穷级数等方面都有广泛而重要的应用.几何级数的增长速度令人震惊. 有一个关于古波斯国王的传说，他对一种新近发明的象 棋游戏留下深刻印象，以至于他要召见那个发明人而且以皇宫的财富相赠. 当这个发明人 一个贫困但却十分精通数学的农民被国王召见时，他只要求在棋盘的第一个方格里放 一粒麦粒，第二个方格里放两粒麦粒，第三个方格里放四里麦粒，如此继续下去，直到整个 棋盘都被覆盖上为止. 国王被这种朴素的要求所震惊，他

7、立即命令拿来一袋小麦，他的仆人 们开始耐心地在棋盘上放置麦粒，令他们十分吃惊的是，他们很快就发现袋子里的麦粒甚至 整个王国的麦粒也不足以完成这项任务，因为级数1,2,22,23,24,的第64项是一个十分大的 一个数：263= 9223372036854775808. 如果我们设法把如此多的麦粒假设每个麦粒直径 仅一毫米放在一条在直线上，这条线将长约两光年.线性运算性质的应用：例6 (E04)把一个球从a米高下落到地平面上.球每次落下距离h碰到地平面再跳起 距离rh，其中r是小于1的正数.求这个球上下的总距离(图12-1-1).2ara(1 + r)解总距离是 s = a + 2ar + 2a

8、r2 + 2ar3 + = a + = .a(1 + r) 6(1 + 2/3)巾. 右a = 6,r = 2/3，则总距离是s = 30 (米).1 一 r 1 一 2/3例7 (E05)把循环小数5.232323表示成两个整数之比.232323解 5.232323 = 5 +10010021003=5 * 10023 (1+丄+丄+100 1002丿=5+兰丄=518100 0.9999例8 (E06)求级数兰n=1n(n +1)丿的和.解 根据等比级数的结论,知2nn=1而由前例，知区爲=1，所以n =1I 2n n(n +1), n =1王丄+力-丄=4.2nn(n +1)n =1n

9、=1例9设级数区un =1收敛,区v发散，证明：级数区(u + v )发散.nn nn =1n =1证用反证法，已知区un =1收敛，假定区(u + v )收敛，由v = (u + v ) - u与级数性质得nnn =1知区v收敛,这与题设矛盾，所以级数区(u + v )发散.nn nn =1n =1例10判别级数2+10+2+佥+2+佥+是否收敛.解将所给级数每相邻两项加括号得到新级数区(丄因为区丄收敛，而级数区丄=丄区丄发散，所以级数 (丄2n10nn =1n =1的推论 1，去括号后的级数111 111+ + + + + 210222 x 10210-10 nn=1+也发散.2“ + -

10、0-)发散，根据性质3n =1例11 (E07)证明调和级数1 + 1 +1 + - +是发散的.23-证 对题设级数按下列方式加括号仁1)(1 1)(1111)(111)+ + + + + . + +1 2丿13 4丿15678 丿(91016丿(111 )+.+、2 m + 12 m + 22 m+1丿设所得新级数为区V ,则易见其每一项均大于从而当m fg时，V不趋于零.m 2 mm =1由性质4知 v发散，再由性质3的推论1即知，调和级数 1发散证毕.mm =1- =1注：当 -越来越大时，调和级数的项变得越来越小，然而,慢慢地非常漫漫地 它的和将增大并超过任何有限值 . 调和级数的这

11、种特性使一代又一代的数学家困惑并为之 着迷. 它的发散性是由法国学者尼古拉. 奥雷姆(1323-1382)在极限概念被完全理解之前约 400 年首次证明的. 下面的数字将有助于我们更好地理解这个级数. 这个级数的前一千项相 加约为7.485；前一百万项相加约为14.357；前十亿项相加约为21 ；前一万亿项相加约为 28等等. 更有学者估计过，为了使调和级数的和等于 100，必须把1043 项加起来，如果我 们试图在一个很长的纸带上写下这个级数，直到它的和超过100，即使每个项只占1 毫米长 的纸带，也必须使用1043毫米长的纸带，这大约为1025光年. 但是宇宙的已知尺寸估计只有10 12光年. 调和级数的某些特性至今仍未得到解决.课堂练习1.判别级数 G；-+2 -2”齐 + 4-)的敛散性.-=12判别级数 |1 - 丫的敛散性.,I 2n 丿n=13.判断级数兰上里的敛散性. n=l*n + (T) n