第2章优化设计1

《第2章优化设计1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第2章优化设计1（93页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、 第第2章章 优化设计优化设计是现代设计方法的重要内容之一。它以是现代设计方法的重要内容之一。它以为为理论基础，以理论基础，以为工具，在充分考虑多种设计约束的前提为工具，在充分考虑多种设计约束的前提下，寻求满足某项预定目标的下，寻求满足某项预定目标的最佳设计方案最佳设计方案的一种设计方法。的一种设计方法。主要介绍了主要介绍了：内容简介内容简介 优化设计的基本概念及数学模型的建立优化设计的基本概念及数学模型的建立 常用的一维优化方法常用的一维优化方法 多维无约束优化方法多维无约束优化方法 约束优化方法约束优化方法 多目标优化方法多目标优化方法 机械优化设计的一般步骤及设计应用实例机械优化设计的一

2、般步骤及设计应用实例2.1 概述概述2.1.1 优化设计基本概念优化设计基本概念（）是是20世纪世纪60年代发展起来的一种年代发展起来的一种现代设计方法。它是将现代设计方法。它是将和和应用于设计领域，应用于设计领域，为为工程设计提供一种重要的科学设计方法。工程设计提供一种重要的科学设计方法。利用这一设计方法，设计者就可利用这一设计方法，设计者就可从从众多的设计方案众多的设计方案中寻找出中寻找出，从而大大提高设计效率和质量，因此，从而大大提高设计效率和质量，因此是现代是现代设计理论和方法的一个重要领域，它已广泛应用于各个工业设计领设计理论和方法的一个重要领域，它已广泛应用于各个工业设计领域和各种

3、产品设计中。域和各种产品设计中。所谓所谓优化设计优化设计，就是在规定的设计限制条件下，运用就是在规定的设计限制条件下，运用和和将实际将实际转化为转化为，然后以，然后以为为工具进行工具进行寻优计算寻优计算，在全部可行设计方案中，寻求满足预定设计目，在全部可行设计方案中，寻求满足预定设计目标的标的。进行进行时：时：必须将必须将实际问题加以数学描述实际问题加以数学描述，形成一组由，形成一组由数学表达式数学表达式组成组成的的；选择一种选择一种最优化数值计算方法最优化数值计算方法和和计算机程序计算机程序，在，在计算机计算机上进上进行行寻优运算求解寻优运算求解，得到，得到。就是就是。与传统设计方法不同，与

4、传统设计方法不同，优化设计过程优化设计过程一般分为一般分为如下四步如下四步：设计课题分析设计课题分析 建立数学模型建立数学模型 选择优化设计方法选择优化设计方法 上机电算求解上机电算求解 获得最优解获得最优解（）（）建立数学模型建立数学模型：将将工程优化设计问题工程优化设计问题用用的形式予以全面地、准确地描的形式予以全面地、准确地描述，即建立述，即建立。（）（）设计课题分析设计课题分析：通过对通过对设计课题的分析设计课题的分析，提出，提出，它可以是单项设计指标，它可以是单项设计指标，也可以是多项设计指标的组合。也可以是多项设计指标的组合。从技术经济的观点出发，对机械设计而言，机器的运动学和动力

5、从技术经济的观点出发，对机械设计而言，机器的运动学和动力学性能、体积、重量、效率、成本、可靠性等都可以作为学性能、体积、重量、效率、成本、可靠性等都可以作为。然后分析设计应满足的要求，主要的有：某些参数的取值范围；然后分析设计应满足的要求，主要的有：某些参数的取值范围；某种设计性能或指标按设计规范推导出的技术性能；还有工艺条件对某种设计性能或指标按设计规范推导出的技术性能；还有工艺条件对设计参数的限制等。设计参数的限制等。（）（）选择优化设计方法选择优化设计方法：根据所建立的根据所建立的数学方程式的性质数学方程式的性质、设计精度的要求设计精度的要求等选用合适等选用合适的的，并做出相应的，并做出

6、相应的。（）（）上机电算求解上机电算求解：将所编程序及有关数据将所编程序及有关数据，自动得出，自动得出。然后对计。然后对计算结果做出分析和判断，则得出算结果做出分析和判断，则得出最优设计方案最优设计方案。上述上述的四步的四步其核心是进行如下其核心是进行如下：分析设计任务，将实际问题转化为一个最优化问题，即分析设计任务，将实际问题转化为一个最优化问题，即；选用适用的优化方法在计算机上求解数学模型，选用适用的优化方法在计算机上求解数学模型，。例例2-1 如如图图2-1所示，有所示，有一圆形等截面的销轴，一端一圆形等截面的销轴，一端固定，一端作用着集中固定，一端作用着集中载荷载荷F =1000N和转

7、矩和转矩T=100Nm。由于结构需要，轴的长度由于结构需要，轴的长度l 不不得小于得小于8cm，已知销轴材料的，已知销轴材料的许用弯曲应力许用弯曲应力W120MPa，许用扭转切应力，许用扭转切应力=80MPa，允许挠度，允许挠度f=0.01cm，密度，密度=7.8t/m3，弹弹性模量性模量E=2105 80MPa。下面通过下面通过优化设计实例优化设计实例，说明，说明的一般形的一般形式及其有关概念。式及其有关概念。图图2-1 圆形等截面的销轴圆形等截面的销轴2.1.2 优化设计的数学模型优化设计的数学模型在满足使用要求在满足使用要求的条件下，的条件下，一个用料最省（销轴质一个用料最省（销轴质量最

8、轻）的方案。量最轻）的方案。解：解：根据上述问题，该销轴的根据上述问题，该销轴的是一个悬臂梁。设销轴是一个悬臂梁。设销轴直径为直径为d，长度为，体积为，长度为，体积为V，则该问题的，则该问题的如下：如下：l21min4Vd lll可见可见取决于其直径取决于其直径 d 和长度。这是一个和长度。这是一个 d 和和而使体积而使体积V 最小的最小的。(2)满足的条件满足的条件：wdFl3max1.0 32.0 dT fdEFlEJFlf4333643弯曲强度弯曲强度扭转强度式扭转强度式挠度表达式挠度表达式(1)销轴用料最省销轴用料最省（即体积最小即体积最小）：结构尺寸边界条件：结构尺寸边界条件：min

9、8 cmll12,xdxl12 TTXd lxx222121211min()0.78544f XVd lx xx x将题意的有关已知数值代入，按将题意的有关已知数值代入，按的规范形式，可归纳为的规范形式，可归纳为如下如下：设设：33121()8.338.330 ()g Xldxx弯曲强度条件3321343432142()6.256.250 ()()0.340.340 ()()880 ()gXdxgXldxxgXlx 扭转强度条件刚度条件长度的边界条件，这是一个具有，这是一个具有4个约束条件的二维非线性的个约束条件的二维非线性的。例例2-2 现用薄钢板制造一体积为现用薄钢板制造一体积为5，长度不

10、小于，长度不小于4m的无上盖的无上盖的的。要求该货箱的钢板耗费量最少，试确定货箱的长、。要求该货箱的钢板耗费量最少，试确定货箱的长、宽和高的尺寸。宽和高的尺寸。3m解：解：分析可知，分析可知，与货箱的表面积成正比。与货箱的表面积成正比。设货箱的长、宽、高分别为，货箱的设货箱的长、宽、高分别为，货箱的，则，则该问题的该问题的为：为：123,x x x1213232()minSx xx xx x2x3x(1)货箱的货箱的钢板耗费量钢板耗费量（即货箱的表面积用料即货箱的表面积用料）最少最少：可见可见取决于货箱的长度、宽度和高度取决于货箱的长度、宽度和高度 。1x1234;0;0 xxx(2)满足的条

11、件满足的条件：按按的规范形式，可归纳为如下的规范形式，可归纳为如下：123 TXxxx121323min()2()f XSx xx xx x11()40g Xx2233123()0()0()50gXxgXxh Xx x x 由由可知，三个设计变量中只有两个是可知，三个设计变量中只有两个是，即，即。所以，该问题的。所以，该问题的应写为：应写为：3125xx x12 TXxx121323122111min ()2()10()f Xx xx xx xx xxx11()40g Xx22123()0()50gXxh Xx x x 这样，使这样，使的的更为准确、精炼。更为准确、精炼。某车间生产甲、乙两种产

12、品。生产甲种产品每件需使用材某车间生产甲、乙两种产品。生产甲种产品每件需使用材料料9kg、3个工时、个工时、4kw电，可获利润电，可获利润60元。生产乙种产品每件需用材元。生产乙种产品每件需用材料料4kg、10个工时、个工时、5kw电，可获利电，可获利120元。若每天能供应材料元。若每天能供应材料360kg，有有300个工时，能供个工时，能供200kw电。试确定两种产品每天的产量，以使每天电。试确定两种产品每天的产量，以使每天可能获得的利润最大。可能获得的利润最大。12,x x12(,)f x x1212(,)60120maxf x xxx112()94360gXxx212()310300gX

13、xx312()45200gXxx每天实际消耗的材料、工时和电力可分别用以下每天实际消耗的材料、工时和电力可分别用以下表示：表示：这是一个这是一个，可归结为既满足各项生产条件，又，可归结为既满足各项生产条件，又使每天所能获得的利润达到最大的使每天所能获得的利润达到最大的。设每天生产的设每天生产的分别为分别为 件，件，可可用用 表示，即表示，即12 TXxx1212min ()(,)60120f Xf x xxx 于是于是上述生产计划问题上述生产计划问题的的应写为：应写为：112()94360g Xxx212()310300gXxx312()45200gXxx41()0gXx（工时约束）（工时约束

14、）（电力约束）（电力约束）（材料约束）（材料约束）52()0gXx 由于由于和所有和所有均为均为的的，故此优，故此优化问题属化问题属。12,TnXx xx12()(,)nf Xf x xx()0 (1,2,)ugXum()0 (1,2,)vh Xvpn()0ugX()0vh X 从以上从以上可以看出，可以看出，需要用需要用、和和等基本概念才能予以完整的描述，可以写成等基本概念才能予以完整的描述，可以写成：(2-1)(2-2)其中，称为其中，称为，称为，称为。若用若用表示表示，表示向量表示向量X 属于属于n 维实欧氏空间；维实欧氏空间；用用、表示极小化和极大化，表示极小化和极大化，（subjec

15、ted to的英文缩写）表示的英文缩写）表示 ，分别表示分别表示和和的的。12,TnXx xxnXR min ().()0 (1,2,)()0 (1,2,)nuvf XXRst gXumh Xvpn(2-3)min ()nf XXR就是就是的的。这一优化数学模型，称为。这一优化数学模型，称为。(2-4)这一优化问题不受任何约束，称为这一优化问题不受任何约束，称为。式（。式（2-4）即）即为为无约束优化问题无约束优化问题的的。若上式所列若上式所列数学模型数学模型内内 m=p=0，则成为，则成为上述上述还还可以写成如下可以写成如下：min()f Xmax()f X()f X()0 ugX()0 v

16、h X 当涉及问题要当涉及问题要目标函数时，只要将式中目标函数时，只要将式中改写为改写为 f(X)即可。因为和具有相同的解。即可。因为和具有相同的解。同样，当同样，当不等式约束不等式约束为：为：“”时，只要将不等式两端同乘时，只要将不等式两端同乘以以“1”，即可得到，即可得到“”的一般形式。的一般形式。一个完整的规格化的一个完整的规格化的应包含有应包含有，即，即设计变量设计变量 X；目标函数目标函数；约束条件约束条件 和。和。它们又称为：它们又称为：。建立出的建立出的，在计算机上，在计算机上称为称为，它包括：，它包括：最优方案最优方案：最优目标函数值最优目标函数值：*12,TnXx xx*()

17、f X*()f X即即由由（或称（或称）和）和最优目标函最优目标函数值数值两部分组成。两部分组成。是是带入目标函数带入目标函数 所求得的所求得的，它是，它是评价设计方案优劣程度评价设计方案优劣程度的一个的一个。()f X*()f X下面就下面就的有关问题说明如下的有关问题说明如下:在在过程中需要调整和优选的参数，称为过程中需要调整和优选的参数，称为。可可表示为：表示为：12,.,TnnXx xxXR由于实际工程由于实际工程的不同，则选取的的不同，则选取的也就不同。也就不同。它可以是它可以是：如零件外形尺寸、截面尺寸、机构的运动：如零件外形尺寸、截面尺寸、机构的运动尺寸等；也可以是尺寸等；也可以

18、是：如零部件的重量、体积、力与力矩、：如零部件的重量、体积、力与力矩、惯性矩等；还可以是惯性矩等；还可以是：如应力、变形等。：如应力、变形等。总之，总之，必须对该项设计性能指标必须对该项设计性能指标有有。是一组相互独立的基本参数。一般用向量是一组相互独立的基本参数。一般用向量 X 来表示。来表示。设计变量的每一个分量都是相互独立的。设计变量的每一个分量都是相互独立的。以以n 个设计变量为坐标轴所构成的实数空间称为个设计变量为坐标轴所构成的实数空间称为，或，或称称 n 维实欧式空间，用维实欧式空间，用 表示。表示。1.设计变量设计变量 当当 n=2 时，时，X=x1,x2T 是是二维设计向量二维

19、设计向量；当当 n=3 时，时，X=x1,x2,x3T 为为三维设计向量三维设计向量，设计变量，设计变量x1,x2,x3组组成一个成一个三维空间三维空间；当当 n3 时，设计空间是一个想象的超越空间，称时，设计空间是一个想象的超越空间，称n维实属空间。维实属空间。其中二维和三维设计空间如其中二维和三维设计空间如图图2-2所示。所示。图图2-2设计空间设计空间(a)(b)在工程设计中，当有些设计变量的取值要求是离散型量，则称在工程设计中，当有些设计变量的取值要求是离散型量，则称，如齿轮的齿数、模数，钢管的直径、钢板的厚度等。，如齿轮的齿数、模数，钢管的直径、钢板的厚度等。对于对于，在优化设计过程

20、中常是先把它视为连续量，在优化设计过程中常是先把它视为连续量，再求得连续量的优化结果后再进行圆整或标准化，以求得一个实用再求得连续量的优化结果后再进行圆整或标准化，以求得一个实用的最优设计方案。的最优设计方案。设计变量设计变量的的，称为，称为（），它决定了优化问题的，它决定了优化问题的，当：，当：n210 为小型优化问题为小型优化问题；n1050 为中型优化问题；为中型优化问题；n 50 为大型优化问题为大型优化问题可分为可分为和和。2.目标函数目标函数 是用来评价设计方案优劣的标准，又称是用来评价设计方案优劣的标准，又称。它。它是是设计变量的函数，常记为设计变量的函数，常记为 12()(,)

21、nf xf x xx，是优化设计中最重要的决策之一。因为这不仅直，是优化设计中最重要的决策之一。因为这不仅直接影响优化方案的质量，而且还影响到接影响优化方案的质量，而且还影响到。可以根据工程问题的要求从可以根据工程问题的要求从不同角度不同角度来建立，例如：来建立，例如：机机械零件设计械零件设计中的重量、体积、效率、可靠性、中的重量、体积、效率、可靠性、几何尺寸、几何尺寸、承载能力；承载能力；机械设计机械设计中的运动误差、中的运动误差、功率、应力、功率、应力、动力特性；动力特性；产品设计产品设计中的成本、中的成本、寿命等。寿命等。就是要寻求一个就是要寻求一个，即，即，从而使，从而使达到达到。在优

22、化设计中，一般取最优值为。在优化设计中，一般取最优值为目标函数目标函数的最小值的最小值。*()f X一个优化问题，可以用一个优化问题，可以用一个一个目标函数来衡量，称之为目标函数来衡量，称之为；也可以用；也可以用多个多个目标函数来衡量目标函数来衡量，称之为，称之为。目标函数可以通过目标函数可以通过（）在设计空间中表现出来。在设计空间中表现出来。现以现以为例，来说明为例，来说明目标函数的等值线目标函数的等值线(面面)的几何意义。的几何意义。图图2-3二维目标函数的等值线二维目标函数的等值线由于每一条曲线上的各点都具有由于每一条曲线上的各点都具有，所以，所以这些曲线这些曲线称为称为。如如图图2-3

23、所示，当目标函数所示，当目标函数 f(x)等等于某一值于某一值ci(i=1,2,)时，就可得到时，就可得到，它是在设计平面上由，它是在设计平面上由 f(x)Ci 的的 所连成，当所连成，当 f(x)为不等的函数值为不等的函数值c1，c2，时，可以得到时，可以得到一族等值线。一族等值线。所谓所谓（），），就是当就是当依次等于一依次等于一系列系列常数常数 (i=1,2,)时，时，设计变量设计变量X 取得一系列值的集合。取得一系列值的集合。ic对于对于来说，它可以有来说，它可以有的的。可以说。可以说等值线充满了设计空间。等值线充满了设计空间。由图可见，由图可见，反映了目标函数值的变化规律，等值线越反

24、映了目标函数值的变化规律，等值线越向里面，目标函数值越小。向里面，目标函数值越小。对于对于来说，等值线族的来说，等值线族的就是目标函数就是目标函数的的 。故从几何意义上来说，求目标函数无约束。故从几何意义上来说，求目标函数无约束极极小点小点也就是求其等值线族的也就是求其等值线族的。*X有以下有以下：(1)不同值的等值线不相交；不同值的等值线不相交；(2)除极值点外，在设计空间内，等值线不会中断；除极值点外，在设计空间内，等值线不会中断；(3)等值线充满整个设计空间；等值线充满整个设计空间；(4)等值线分布的疏或密，反应出函数值变化的慢或快等值线分布的疏或密，反应出函数值变化的慢或快；(5)一般

25、来说，在极值点附近，等值线近似是同心椭圆族，极值一般来说，在极值点附近，等值线近似是同心椭圆族，极值点就是椭圆的中心点。点就是椭圆的中心点。在设计空间内，在设计空间内，：对于对于二维优化问题二维优化问题，构成了，构成了等值线等值线；对于对于三维优化问题三维优化问题，构成了，构成了等值面等值面；对于对于四维以上的优化问题四维以上的优化问题，则构成了，则构成了等值超曲面等值超曲面。3.约束条件约束条件 是设计变量选取的限制条件，或称是设计变量选取的限制条件，或称设计约束设计约束。按照约束条件的形式不同，约束有不等式和等式约束两类，按照约束条件的形式不同，约束有不等式和等式约束两类，一般表达式为一般

26、表达式为：()01,2,ug xum ()01,2,vh xvp 按照按照的性质不同，约束又可分为的性质不同，约束又可分为：是根据设计性能或指标要求而确定的一种是根据设计性能或指标要求而确定的一种约束条件，例如零件的工作应力、变形的限制条件以及对运动学约束条件，例如零件的工作应力、变形的限制条件以及对运动学参数如位移、速度、加速度值的限制条件均属性能约束。参数如位移、速度、加速度值的限制条件均属性能约束。则是对设计变量取值范围的限制，例如对则是对设计变量取值范围的限制，例如对齿轮的模数、齿数的上、下限的限制以及对构件长度尺寸的限制齿轮的模数、齿数的上、下限的限制以及对构件长度尺寸的限制都是边界

27、约束。都是边界约束。任何一个任何一个不等式约束方程不等式约束方程的图形将的图形将划分为划分为两部分两部分：满足约束，满足约束，即即 gj(X)0 0；则不满足约束，即则不满足约束，即 gj(X)0 0。故将故将该分界线该分界线或分界面称为或分界面称为（或约束面）。（或约束面）。本身也是约束边界，不过此时只有约束边界上的点满足本身也是约束边界，不过此时只有约束边界上的点满足约束，而边界两边的所有部分都不满足约束。约束，而边界两边的所有部分都不满足约束。以以为例，如为例，如图图2-4所示，其中所示，其中表示不满足约表示不满足约束的区域。束的区域。图图2-4约束边界约束边界uvD=X|g(X)0,h

28、(X)=0 (u=1,2,m;v=1,2,pn)(2-5)图图2-5二维问题的可行域二维问题的可行域不满足约束条件的设计点构成该优化问题的不满足约束条件的设计点构成该优化问题的。也可看做也可看做满足所有约束条件的设计点满足所有约束条件的设计点的的，因此，可用，因此，可用表示如下：表示如下：约束的几何意义约束的几何意义是它将是它将一分一分为二，形成了为二，形成了和和。每一个不等式约每一个不等式约束或等式约束都将设束或等式约束都将设计空间分为两部分，计空间分为两部分，满足所有约束的部分满足所有约束的部分形成一个形成一个集集，称为此约束问题的称为此约束问题的，记做，记做，见，见图图2-5。综上所述，

29、综上所述，是对实际问题的是对实际问题的数学描述数学描述和概括，是和概括，是进行进行优化设计优化设计的基础。因此，根据的基础。因此，根据设计问题的具体要求设计问题的具体要求和条件建立和条件建立完备的完备的数学模型数学模型是关系是关系优化设计成败优化设计成败的关键。的关键。这是因为优化问题的这是因为优化问题的完全是围绕完全是围绕进行的。也进行的。也就是说，优化计算所得的就是说，优化计算所得的实际上只是实际上只是。此。此解是否满足实际问题的要求，是否就是实际问题的最优解，完全取解是否满足实际问题的要求，是否就是实际问题的最优解，完全取决于决于和和的符合程度。的符合程度。建立建立是一项重要而复杂的工作

30、：是一项重要而复杂的工作：一方面希望建立一个尽可能完善的一方面希望建立一个尽可能完善的，以求精确地表达实，以求精确地表达实际问题，得到满意的结果；际问题，得到满意的结果；另一方面又力求使所建立的另一方面又力求使所建立的尽可能简单，以方便于计算尽可能简单，以方便于计算与求解。与求解。工程设计的工程设计的，总的来说，它可以分为，总的来说，它可以分为：2.1.3 优化问题的分类优化问题的分类 总体方案优化总体方案优化 设计参数优化设计参数优化之间有着之间有着，但也存在着，但也存在着。是指总体布局、结构或系统的类型以及几何形是指总体布局、结构或系统的类型以及几何形式的优化设计；式的优化设计；是在总体方

31、案选定后，对具体设计参数（几何是在总体方案选定后，对具体设计参数（几何参数、性能参数等）的优化设计。参数、性能参数等）的优化设计。是一种创造性活动，必须依靠思考与推理，综合是一种创造性活动，必须依靠思考与推理，综合运用多学科的专门知识和丰富的实践经验，才能获得正确、合理的运用多学科的专门知识和丰富的实践经验，才能获得正确、合理的设计。因此，设计。因此，其大量工作是依据知识和经验进行其大量工作是依据知识和经验进行，可用人工智能方法（特别是专家系统技术）适宜于求解这，可用人工智能方法（特别是专家系统技术）适宜于求解这类问题。类问题。是择优确定具体的设计参数，属于数值计算型工是择优确定具体的设计参数

32、，属于数值计算型工作，比较容易总结出可供计算分析用的数学模型，因而一般采用数作，比较容易总结出可供计算分析用的数学模型，因而一般采用数学规划方法来求解。学规划方法来求解。主要介绍主要介绍。根据优化问题的根据优化问题的是否含有是否含有，可将工程优化，可将工程优化问题问题：中的绝大多数问题都是中的绝大多数问题都是。一维优化问题一维优化问题多维无约束优化问题多维无约束优化问题非线性规划问题非线性规划问题线性规划问题线性规划问题二次规划问题二次规划问题凸规划问题凸规划问题对于优化问题对于优化问题的求解，目前可采用的的求解，目前可采用的有三种：有三种：就是把优化对象用数学模型描述出来后，用就是把优化对象

33、用数学模型描述出来后，用（如微分、变分发等）来求出如微分、变分发等）来求出，如高等数学中求函数极，如高等数学中求函数极值或条件极值的方法。值或条件极值的方法。是优化设计的理论基础。但它仅限于是优化设计的理论基础。但它仅限于且易求且易求导的优化问题的求解。导的优化问题的求解。数学解析法数学解析法 图解法数图解法数 值迭代法值迭代法：就是直接用就是直接用来求解优化问题，通过画出目来求解优化问题，通过画出目标函数和约束函数的图形，求出最优解。标函数和约束函数的图形，求出最优解。是简单直观，但仅限于是简单直观，但仅限于n2的低维优化问题的求解。的低维优化问题的求解。2.1.4 优化设计的迭代算法优化设

34、计的迭代算法图图2-6 所示为采用所示为采用图图来求解如下来求解如下：min f(X)=x12+x224x1+4 s.t.g1(X)=x2x120 g2(X)=x12x2+10 g3(X)=x10 g4(X)=x20该问题的目标函数、约束函数的该问题的目标函数、约束函数的如如图图2-6(a)所示；所示；该问题的该问题的如如图图2-6(b)所示，阴影线部分即为所示，阴影线部分即为由所有约束边界围成的由所有约束边界围成的。该问题的该问题的为为，即，即 X*=x1*,x2*T =0.58,1.34 T为：为：的的最优解最优解的结果。的结果。f(X*)=0.38。(a)问题的立体图问题的立体图 (b)

35、设计空间关系图设计空间关系图图图2-6 二维优化问题的几何解二维优化问题的几何解完全是依赖于计算机的完全是依赖于计算机的而产生的，而产生的，它是具有一定逻辑结构并按一定格式反复迭代计算，逐步逼近优化问它是具有一定逻辑结构并按一定格式反复迭代计算，逐步逼近优化问题最优解的一种方法。采用题最优解的一种方法。采用可以求解各种优化问题可以求解各种优化问题。：搜索、迭代、逼近。：搜索、迭代、逼近。为了求得目标函数为了求得目标函数 的的极小点极小点 ，其，其迭代过程迭代过程如下：如下：在设计空间给出一在设计空间给出一初始迭代点初始迭代点 ；从从 出发，按照确定的搜索方向出发，按照确定的搜索方向 和迭代步长

36、和迭代步长 ，求，求得第一个得第一个改进设计点改进设计点 ，它应该满足：，它应该满足：；再以再以 为为新的初始点新的初始点，重复，重复上述步骤上述步骤，求得，求得 ，如此反复迭代，得到一个如此反复迭代，得到一个不断改进的点列不断改进的点列 及一相应的及一相应的递减函数值数列递减函数值数列 。(0)X(0)S(0)(1)X(1)(0)()()f Xf X(),0,1,2,kXk()(),1,2,kf Xk()f X*X(1)X(2)(3),XX(0)X(1)()()()(1)()(1)(0,1,2,)()()()0 (1,2,)kkKkkkkuXXSkf Xf XgXum式中：式中：X(k)前一

37、步已取得的设计方案（迭代点）；前一步已取得的设计方案（迭代点）；X(k+1)新的改进设计方案（新的迭代点）；新的改进设计方案（新的迭代点）；S(k)第第 k次迭代计算的搜索方向；次迭代计算的搜索方向；(k)第第 k次迭代计算的步长因子。次迭代计算的步长因子。（2-6）这样一步步地重复数值计算，不断用改进的这样一步步地重复数值计算，不断用改进的迭代迭代，逐步改进，逐步改进 值并使值并使设计点设计点最终逼近最终逼近 。()f X*X这一这一如如图图2-7所示。所示。这一这一用数学式子表达，得用数学式子表达，得的的为：为：图图2-7二维优化问题的迭代过程二维优化问题的迭代过程在优化算法中，关于在优化

38、算法中，关于迭代方法迭代方法有多种，有多种，它们之间的区别它们之间的区别就在于就在于确定确定(k)和和S(k)的方式不同。的方式不同。特别是特别是S(k)的确定，在各种方法中起着的确定，在各种方法中起着关键性的作用。关键性的作用。关于关于(k)和和S(k)的确定的确定，将在，将在后面各节后面各节中介绍。中介绍。由以上分析及由以上分析及图图2-7可知，要用可知，要用数值迭代法数值迭代法寻寻找找最优点最优点X*，这里关键要，这里关键要解决解决三个问题三个问题：一是如何确定一是如何确定二是怎样选定二是怎样选定三是如何判断是否三是如何判断是否找到了找到了，以终，以终止迭代。止迭代。2.迭代计算的终止准

39、则迭代计算的终止准则 目前，通常采用的目前，通常采用的有有以下以下几种几种：点距足够小准则点距足够小准则 函数下降量足够小准则函数下降量足够小准则 函数梯度充分小准则函数梯度充分小准则(1)()1kkXX相邻两迭代点之间的距离已达到充分小，即相邻两迭代点之间的距离已达到充分小，即（2-7）式中，式中，给定的计算精度，一般可取给定的计算精度，一般可取 。（）（）函数函数 相邻两迭代点的函数值下降量已达到充分小，即相邻两迭代点的函数值下降量已达到充分小，即(1)()2()()kkf Xf X（2-8）式中，式中，给定的计算精度，给定的计算精度，一般可取一般可取 。目标函数在目标函数在迭代点的梯度已

40、达到充分小，即迭代点的梯度已达到充分小，即(1)3()kf X（2-9）12351010351010上述上述都可以单独使用。只要其中一个得到满足，就可都可以单独使用。只要其中一个得到满足，就可以认为达到了以认为达到了，迭代计算到此结束。，迭代计算到此结束。对于约束优化问题，不同的优化方法有各自的终止准则，在此对于约束优化问题，不同的优化方法有各自的终止准则，在此不在介绍。不在介绍。这是由于这是由于的的是函数在这一点的梯度值的模是函数在这一点的梯度值的模为零。因此当迭代点的为零。因此当迭代点的已充分小时，则认为迭代可以已充分小时，则认为迭代可以终止。终止。3式中，式中，给定的计算精度，给定的计算

41、精度，一般可取一般可取。3102.2 优化方法的数学基础优化方法的数学基础(略略)(Xf在介绍有关在介绍有关时，常常要用到时，常常要用到和和的概念。这里简要介绍之。的概念。这里简要介绍之。1.多元函数的多元函数的梯度梯度()()()()12()()()(),Tkkkknf Xf Xf Xf Xxxx已知一已知一 n 元函数元函数，则，则在点处的在点处的可记为：可记为：（2-19）在优化设计中有着十分重要的作用。在优化设计中有着十分重要的作用。由于由于，而，而是函数具有最大变化率的方向。是函数具有最大变化率的方向。亦即亦即是指函数的最速上升方向，而是指函数的最速上升方向，而一则为函数的一则为函数

42、的。如如图图2-11所示所示。()kX图图2-11 梯度方向与等值线的关系梯度方向与等值线的关系 2.多元函数的海森矩阵多元函数的海森矩阵)(Xf()kX()()kH X2()2()2()211212()2()2()()2()221222()2()2()212()()()()()()()()()()()kkknkkkkknkkknnnf Xf Xf Xxx xx xf Xf Xf XH Xf Xx xxx xf Xf Xf Xxxxxx 已知一已知一 n 元函数，则该函数在点的所有二阶偏导数组成元函数，则该函数在点的所有二阶偏导数组成的矩阵，称为函数在点的的矩阵，称为函数在点的或或，经常记作，

43、经常记作 。该。该的组成形式如下：的组成形式如下：)(Xf()kX(2-21)由于由于的偏导数有的偏导数有nn个，而且偏导数的值与求导次序无个，而且偏导数的值与求导次序无关，所以函数的二阶偏导数矩阵是一个关，所以函数的二阶偏导数矩阵是一个nn阶的阶的。在判别在判别以及在以及在构构造牛顿搜索方向时都有重要用途。造牛顿搜索方向时都有重要用途。()()kH X2.3 一维优化方法一维优化方法 求解求解最优解的过程，称为最优解的过程，称为(或一维搜索或一维搜索)，所使用的方法称为所使用的方法称为。)(Xf一维优化方法，它不仅可用来解决一维目标函数的求优问题，且一维优化方法，它不仅可用来解决一维目标函数

44、的求优问题，且常用于多维优化问题在既定方向上寻求常用于多维优化问题在既定方向上寻求的一维搜索。的一维搜索。由前由前可知，求某目标函数的最优值时，可知，求某目标函数的最优值时，迭代过程迭代过程每一每一步的格式都是从步的格式都是从某一定点某一定点 出发，沿着某一使目标函数下降的规定出发，沿着某一使目标函数下降的规定方方向向 搜索，以找出此方向的搜索，以找出此方向的极小点极小点 。这一过程是各种最优化方。这一过程是各种最优化方法的一种法的一种。)(kX)(kS)1(kX)(kX)(kS)(k)(kX)(kS)(k在此过程中因在此过程中因 、已确定，要使目标函数值为最小，只需找已确定，要使目标函数值为

45、最小，只需找到到一个合适的步长一个合适的步长 就可以了。这也就是说，在任何一次迭代计算就可以了。这也就是说，在任何一次迭代计算过程中，当过程中，当起步点起步点 和和搜索方向搜索方向 确定之后，就把求多维目标函确定之后，就把求多维目标函数极小值这个多维问题，化解为求一个变量数极小值这个多维问题，化解为求一个变量（步长因子步长因子)的的最优值最优值 的一维问题。的一维问题。一维搜索方法一维搜索方法主要有主要有：)(kS一般一般：首先在首先在方向方向 上上确定确定一个包含函数极小点的一个包含函数极小点的初始区间初始区间，即，即确定确定函数的搜索区间，该区间必须是函数的搜索区间，该区间必须是单峰区间单

46、峰区间；然后采用缩小区间或插值逼近的方法然后采用缩小区间或插值逼近的方法得到得到最优步长最优步长，即求出，即求出该搜索区间内的该搜索区间内的最优步长最优步长和和一维极小点一维极小点。分数法分数法 二次插值二次插值 黄金分割法黄金分割法（0.618法法）三次插值法等三次插值法等本节本节介绍最常用的介绍最常用的和和。2.3.1 搜索区间的确定搜索区间的确定 根据函数的变化情况，可将根据函数的变化情况，可将分为分为单峰区间单峰区间和和多峰区间多峰区间。所谓所谓，就是在该区间内的函数变化只有一个峰值，即函，就是在该区间内的函数变化只有一个峰值，即函数的极小值，如数的极小值，如图图2-18所示。所示。即

47、在即在内的内的的的左侧左侧：函数呈：函数呈，而在而在极小值点极小值点X*的的右侧右侧：函数呈：函数呈上升趋势上升趋势。也就是说，也就是说，的函数值呈的函数值呈的变化特征。的变化特征。设设区间区间 1，3 为为单峰区间单峰区间，而而2为为该区间内该区间内的一点，的一点，若有若有1223成立，则必有成立，则必有 f(1)f(2)f(3)同时成立。同时成立。图图2-18单峰区间单峰区间目前，在一维优化搜索中，确定目前，在一维优化搜索中，确定单峰区间单峰区间常用的方法是常用的方法是进退试进退试算法算法。为：为：按照一定的规律给出按照一定的规律给出若干试算点若干试算点，依次比较各依次比较各试算点的函数值

48、试算点的函数值的大小，的大小，直到找到直到找到相邻三点相邻三点的函数值按的函数值按“高高-低低-高高”变化的变化的单峰区间单峰区间为止为止。进退试算法的进退试算法的如下：如下：图图2-19 求搜索区间求搜索区间(2)将将0及及0+h 代入目标函数代入目标函数 f(x)进行计算并比较它们的大小。进行计算并比较它们的大小。(1)给定给定初始点初始点0和和初始步长初始步长h，设搜索区间设搜索区间a,b，如，如图图2-19所示。所示。(3)若，则表明极小点在试算点的右侧，需做若，则表明极小点在试算点的右侧，需做前进前进试算试算。在做在做前进运算前进运算时，为加速计算，可将步长时，为加速计算，可将步长h

49、增加增加2倍，并取计算倍，并取计算新点为新点为0 0+h+2h=0 0+3h。若若 ，则所计算的相邻三点的函数值已具，则所计算的相邻三点的函数值已具“高高-低低-高高”特征，这时可确定特征，这时可确定搜索区间搜索区间为为00()()ffh00()(3)fhfh00,3abh否则，将步长再加倍，并重复上述运算。否则，将步长再加倍，并重复上述运算。00()()ffh00()()4hff00,4habh00/4h否则，将步长再加倍，继续后退，重复否则，将步长再加倍，继续后退，重复上述步骤上述步骤，直到满足，直到满足单峰区间单峰区间条件为止。条件为止。(4)若若 ，则表明极小点在试算点的左侧，需做，则

50、表明极小点在试算点的左侧，需做后退后退试算试算。在做后退运算时，应将。在做后退运算时，应将后退的步长后退的步长缩短为原步长缩短为原步长h的的1/4，则取，则取步长为步长为h/4，并从，并从点出发，得到后退点为点出发，得到后退点为 ，若若，则，则搜索区间搜索区间可取为可取为上述上述，如，如图图2-20所示。所示。图图2-20 进退法的程序框图进退法的程序框图 2.3.2 黄金分割法黄金分割法 是：是：通过比较通过比较单峰区间单峰区间内两个插点的函数值，不断舍弃内两个插点的函数值，不断舍弃单峰区间单峰区间的左的左端或右端一部分，使端或右端一部分，使区间区间按照按照固定区间缩短率固定区间缩短率（缩小

51、后的新区间与原缩小后的新区间与原区间长度之比区间长度之比）逐步缩短，直到逐步缩短，直到极小点极小点所在的区间缩短到给定的误差所在的区间缩短到给定的误差范围内，而得到范围内，而得到近似最优解近似最优解。黄金分割法黄金分割法，又称，又称0.618法法，它是一种，它是一种等比例缩短区间等比例缩短区间的直接搜索的直接搜索方法。方法。如如图图2-21所示，所示，为使为使ab 区间区间缩小，缩小，在在单峰区间单峰区间a,b内内插入插入两两个内分点个内分点 ，且满足且满足，并计算并计算它的函数值它的函数值 f(1 1),f(2 2)，比较它们的大小，可能发生以下情况：，比较它们的大小，可能发生以下情况：、1

52、ab (1)若若 f(1 1)f(2 2)，显然，显然，极小点极小点必位于必位于1，b内，因而可内，因而可去掉去掉区间区间a，1，得到，得到新区间新区间1，b，如，如图图2-21(b)所示；所示；图图2-21 黄金分割法的序列消去原理黄金分割法的序列消去原理(3)若若 f(1 1)=f(2 2)，极小点极小点应在区间应在区间1，2内，因而可去内，因而可去掉掉a，1 或或 2，b，甚至将此二段都，甚至将此二段都去掉去掉，如，如图图2-21(c)所示。所示。对于上述对于上述缩短后的新区间缩短后的新区间，可在其内再取一个，可在其内再取一个新点新点3，然后将，然后将此点和该区间内剩下的那一点进行函数值

53、大小的比较，以再次按照此点和该区间内剩下的那一点进行函数值大小的比较，以再次按照上述方法上述方法，进一步，进一步缩短区间缩短区间，这样不断进行下去，直到，这样不断进行下去，直到所保留的区所保留的区间间缩小到给定的误差范围内，而得到缩小到给定的误差范围内，而得到近似最优解近似最优解。黄金分割法的黄金分割法的是：是：每次每次区间缩短区间缩短都取都取。按照这一原则，。按照这一原则，其区间缩其区间缩短率短率都是取都是取=0.618，即该法是按区间全长的，即该法是按区间全长的0.618倍的关系来选取两倍的关系来选取两个对称内插点个对称内插点1,2的。的。图图2-22 0.618法新、旧区间的几何关系法新

54、、旧区间的几何关系 为缩短区间，为缩短区间，黄金分割黄金分割法法要求在区间要求在区间a，b上对称上对称地地取两个内分点取两个内分点1和和2，设，设两个对称内分点交错离两端两个对称内分点交错离两端点距离为，则点距离为，则 llL()Lll 如如图图2-22所示，所示，设原区间设原区间a，b长度为长度为L，区间缩短率为区间缩短率为。根据根据每次区间缩短率相等每次区间缩短率相等的原则，则有的原则，则有()lLlLl210llLL 210 2()0lL Ll由此得由此得即即 ，或，或，解此方程解此方程取其正根可得取其正根可得510.61803398870.6182这意味着，只要取这意味着，只要取=0.

55、618，就以满足，就以满足区间缩短率不变区间缩短率不变的要求。的要求。即每次缩小区间后，所得到的区间是原区间的即每次缩小区间后，所得到的区间是原区间的0.6180.618倍，舍弃的区倍，舍弃的区间是原区间的间是原区间的0.382倍。倍。12(1)()0.382()()0.618()abaabaabaaba根据以上结果，根据以上结果，黄金分割法黄金分割法的两个内插点的的两个内插点的取点规则取点规则为：为：（2-30）1112220.382(),()0.618(),()abaffabaff21(1)给定给定初始单峰区间初始单峰区间 a,b和收敛精度和收敛精度；(2)在在区间区间 a,b内内取两个内

56、插点取两个内插点并计算其函数值：并计算其函数值：若若 f1 f2，则取，则取a,为新区间，而为新区间，而 则作为新区间内的第一则作为新区间内的第一个试算点，即令个试算点，即令(3)比较函数值比较函数值 f1和和 f2 的大小：的大小：综上所述，综上所述，如下：如下：而而另一试算点另一试算点可按下式计算出来：可按下式计算出来：212220.618(),()abaff22121,bff而而另一试算点另一试算点可按下式计算出可按下式计算出1110.382(),()abaff若若 f1 f2，则取，则取 ，b为新区间，而为新区间，而 作为新区间内的第一个作为新区间内的第一个试算点，即令试算点，即令11

57、212,aff*,()2abxff x图图2-23 黄金分割法的计算框图黄金分割法的计算框图(4)迭代迭代终止条件终止条件判别判别若满足若满足b-a，则转则转下一步；下一步；否则返回步骤否则返回步骤(3)，进，进行下一次迭代计算，进一步行下一次迭代计算，进一步缩短区间。缩短区间。(5)输出输出最优解最优解，如如图图2-23所示。所示。2.3.3 二次插值法二次插值法 又称又称。是：是：在给定的在给定的单峰区间单峰区间中，利用目标函数上的中，利用目标函数上的三个点三个点来来构造构造一个一个二次二次插值函数插值函数，以近似地表达，以近似地表达原目标函数原目标函数，并求这个插值函数的，并求这个插值函

58、数的极小点极小点近似作为原目标函数的近似作为原目标函数的极小点极小点。该法该法是以目标函数的二次插值函数的极小点作为新的中间插入点，是以目标函数的二次插值函数的极小点作为新的中间插入点，进行进行的一维搜索方法。的一维搜索方法。()p X)(Xf)(Xf112233(),(),()ffffff2()pABC设一元函数设一元函数，在，在单峰区间单峰区间内取内取一点一点且且 ，这三点这三点对应的函数值分别为对应的函数值分别为于是通过于是通过的三个点和的三个点和 可以可以构成构成一个一个二次插值函数二次插值函数，如，如图图2-24所示。设该所示。设该二次插值函数二次插值函数为为123213,1122(

59、,),(,)ff33(,)f(2-31)()20ddpBC*2pBC*p图图2-24 二次插值法的原理及区间缩小过程二次插值法的原理及区间缩小过程（2-32）为求得为求得 ，应设法求得，应设法求得式式(2-32)中的中的 B 和和C。解得解得此函数可以很容易地求得它的此函数可以很容易地求得它的极小点极小点 。令其一阶导数等于零，即。令其一阶导数等于零，即*p211112222223333p()ABCp()ABCp()ABCfff由于所构造的由于所构造的上的三个点上的三个点，因此将，因此将三个点三个点 及及 代人代人方程方程(2-31)可得可得解得解得系数系数（2-33）1122(,),(,)f

60、f33(,)f222222231312123122331231312123122331()()()()()()()()()()()()fffBfffC 222222*231312123231312123()()()122()()()pfffBCfff（2-34）将将B，C之值代入之值代入式式(2-32)，由上可知，在已知一个由上可知，在已知一个单峰搜索区间单峰搜索区间内的内的 三点值后，三点值后，便可通过便可通过求得求得极小点的近似值极小点的近似值 。由于在求。由于在求 时，是采用时，是采用原函数原函数的近似函数，因而求得的的近似函数，因而求得的 不一定与不一定与原函数原函数的的极极值点值点

61、重合，见重合，见图图2-24。*pX*p*p*p123,123,为了求得满足预定精度要求的为了求得满足预定精度要求的原函数的近似极小点原函数的近似极小点，一般要进，一般要进行多次迭代。为此，可根据前述的序列消去原理，在已有的四个点行多次迭代。为此，可根据前述的序列消去原理，在已有的四个点 及及 中中选择选择新的三个点新的三个点，得到一个缩小了的，得到一个缩小了的单峰区间单峰区间，并利用此并利用此单峰区间单峰区间的三个点，再一次进行插值。如此进行下去，直的三个点，再一次进行插值。如此进行下去，直至达到给定的精度为止。至达到给定的精度为止。*X132213223如下：如下：(1)给定给定初始搜索区

62、间初始搜索区间 和计算精度和计算精度；(2)在区间在区间 内取一内取一内点内点 ，有下面，有下面两种取法两种取法：13,13,（等距原则取点等距原则取点）（不等距原则取点不等距原则取点）2112233(),(),()ffffff()p计算计算三点的函数值三点的函数值 。(3)计算二次插值多项式计算二次插值多项式 的极小点的极小点 与极小值与极小值 ；*p)(*pf*p (4)进行进行收敛判断收敛判断：若满足，则转若满足，则转(6)，停止迭代，并将点，停止迭代，并将点 与与 中中函数值较小的点函数值较小的点作为作为极小点极小点输出，结束一维搜索；输出，结束一维搜索；否则，转下步否则，转下步(5)

63、；2*2p(5)缩小区间缩小区间：以得到以得到新的单峰区间新的单峰区间，然后转第，然后转第(3)步，继续迭代，直到步，继续迭代，直到满足满足精度要求精度要求为止。为止。(6)输出输出最优解最优解：，如，如图图2-25所示。所示。图图2-25 二次插值法程序框图二次插值法程序框图 2.4 多维无约束优化方法多维无约束优化方法 nnRXxxxfXf)()(min21，（2-35）求解这类问题的方法，称为求解这类问题的方法，称为。的的为：为：有很多种，但归纳可以分为有很多种，但归纳可以分为：解析法解析法 直接法直接法 解析法解析法 这类方法这类方法是需要利用函数的一阶偏导数甚至二阶偏导数是需要利用函

64、数的一阶偏导数甚至二阶偏导数构造搜构造搜索方向索方向，如梯度法、牛顿法和变尺度法等。，如梯度法、牛顿法和变尺度法等。由于需要计算偏导数，故这类方法计算量大，但收敛较快。由于需要计算偏导数，故这类方法计算量大，但收敛较快。直接法直接法 这类方法这类方法是仅利用迭代点的函数值来是仅利用迭代点的函数值来构造搜索方向构造搜索方向，如坐标轮换，如坐标轮换法、法、powell 共轭梯度法和单纯形法等。共轭梯度法和单纯形法等。由于只需要由于只需要计算函数值计算函数值，对于无法求导或求导困难的函数，则这，对于无法求导或求导困难的函数，则这类方法就有突出的优越性，但是其收敛速度较慢。类方法就有突出的优越性，但是

65、其收敛速度较慢。2.4.1 坐标轮换法坐标轮换法 是求解多维无约束优化问题的一种是求解多维无约束优化问题的一种直接法直接法，它不需求它不需求函数导数函数导数而直接搜索目标函数的最优解。而直接搜索目标函数的最优解。该法又称该法又称降维法降维法。该法将一个该法将一个多维无约束优化问题多维无约束优化问题转化为转化为一系列一系列一维优化问题一维优化问题来求解，来求解，即依次沿着即依次沿着坐标轴的方向坐标轴的方向进行进行一维搜索一维搜索，求得，求得极小点极小点。当对当对 n 个变量个变量 x1,x2 ,xn 依次进行过一次搜索之后，依次进行过一次搜索之后，即即完成一轮计算完成一轮计算。若未收敛到极小点，

66、若未收敛到极小点，则又从则又从前一轮的最末点前一轮的最末点开始，再作开始，再作下一轮搜索下一轮搜索，如此继续下去，直至收敛到如此继续下去，直至收敛到最优点最优点为止。为止。坐标轮换法坐标轮换法，就是由此而得名的。，就是由此而得名的。现以现以（图（图2-26）为例，说明为例，说明该法的搜索过程该法的搜索过程。图图2-26 坐标轮换法搜索过程坐标轮换法搜索过程 先以先以 为为初始点初始点，沿着沿着坐标轴坐标轴 方向方向进行一维搜索，求得进行一维搜索，求得极小点极小点 ，然后固定然后固定 不变，改沿着不变，改沿着坐标轴坐标轴 方向方向进行一维搜索，求得进行一维搜索，求得极小点极小点 ，至此完成了，至此完成了该二维问题该二维问题的的一轮计算一轮计算。由于未得到问题的最优点，需进行由于未得到问题的最优点，需进行第二论迭代第二论迭代，即从前一轮的最末点即从前一轮的最末点 出发，重复前面的过程求得出发，重复前面的过程求得 点。点。如此继续下去，直到找到问题的如此继续下去，直到找到问题的 。1X(0)X2X(1)1X(1)2X(2)(2)12XX、*12,TXXX(1)1X(1)2X现以现以二维优化问