地下水动力学第二章课件

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1、第二章 地下水流基本微分方程及定解条件教学目标：教学目标：w准确理解渗流连续性概念准确理解渗流连续性概念w掌握达西定律和质量守恒原理的应用掌握达西定律和质量守恒原理的应用w掌握建立地下水基本微分方程的思想方掌握建立地下水基本微分方程的思想方法法w几种典型的地下水流方程的推导几种典型的地下水流方程的推导 潜水剖面二维流、平面二维流潜水剖面二维流、平面二维流 承压水二维流承压水二维流 三维流三维流w边界条件概化，初始条件确定方法与原边界条件概化，初始条件确定方法与原则则w能够用数学模型描述实际问题能够用数学模型描述实际问题第二章 地下水流基本微分方程及定解条件主要内容：主要内容：w建立连续性方程建

2、立连续性方程w分析含水层与岩石、流体压缩性关系分析含水层与岩石、流体压缩性关系w建立不同含水层地下水流微分方程建立不同含水层地下水流微分方程w讨论边界条件及初始条件讨论边界条件及初始条件 w用数学模型描述实际问题用数学模型描述实际问题 2.1 2.1 渗流的连续性方程渗流的连续性方程2.1.12.1.1 引言引言因为流体是连续介质，所以流体在运动过程中是连续充因为流体是连续介质，所以流体在运动过程中是连续充满着它所据的空间。流体运动时的这种连续性，若用数学方满着它所据的空间。流体运动时的这种连续性，若用数学方程式来表示，那就是连续性方程。连续性方程是质量守恒定程式来表示，那就是连续性方程。连续

3、性方程是质量守恒定律应用于流体运动的具体表现形式律应用于流体运动的具体表现形式。在渗流场中，各点的渗流速度的大小、方向都可能不相在渗流场中，各点的渗流速度的大小、方向都可能不相同。为了反映流体运动中的质量守恒，就需要建立以微分方同。为了反映流体运动中的质量守恒，就需要建立以微分方程表达的连续性方程。程表达的连续性方程。2.1.22.1.2 建立方程的假定条件建立方程的假定条件 水是可压缩的；水是可压缩的；忽略多孔介质固体颗粒的压缩性；忽略多孔介质固体颗粒的压缩性；多孔介质骨架在垂直方向上是可压缩的，但多孔介质骨架在垂直方向上是可压缩的，但水平方向不可变形；水平方向不可变形；为了方便，取直角坐标

4、系的为了方便，取直角坐标系的x、y，z轴分别轴分别平行于各向异性岩层渗透系数的主方向。平行于各向异性岩层渗透系数的主方向。2.1.3 渗流连续性方程水均衡的基本思想：对某一研究对象，流入 流出V研究对象可以是大区域的，也可以是微分单元体大区域的水均衡计算经常用于区域的水资源评价本课程基于微分单元体做水均衡，推导渗流连续性方程。连续性方程就是质量守恒方程，也称为水均衡方程为反映含水层地下水运动的普遍规律，我们选定在各向异性多孔介质中建立地下三维不稳定流动连续性方程。tzyvtzyvtzyxxxtzyxx),(),(|)(|)(X方向流入tvVmtvtQVX方向流出X方向流入流出差tzyvtzyv

5、tzyxxxtzyxx),(),(|)(|)(图2-1-1多孔介质单元水均衡要素图假设：水是可压缩的，多孔介质骨架在垂直方向可压缩，但在水平方向不可变形。均衡的含义：在t时段内从x,y,z三个方向共6个单元界面上流入流出水的净总质量等于单元体内储存量的变化。),(|)(tzyxxv),(|)(tzyxxxv渗流连续性方程推导X方向流入流出差tzyvtzyvtzyxxxtzyxx),(),(|)(|)(y方向流入流出差z方向流入流出差tzxvtzxvtzyyxytzyxy),(),(|)(|)(tyxvtyxvtzzyxztzyxz),(),(|)(|)(单元体内地下水质量变化量yxznznmt

6、zyxttzyx|)(|)(),(),(zyxnVm),(|)(tzyxxv),(|)(tzyxxxv渗流连续性方程推导X方向流入流出差0 )(|)(|)(),(),(xtzyxxvtzyxxvvxtzyxxxtzyxxy方向流入流出差z方向流入流出差0 )(|)(|)(),(),(ytzyxyvtzyxyvvytzyyxytzyxy单元体内地下水质量变化量0 )(|)(|)(),(),(ttyxtzntyxtznzntzyxttzyx0 )(ztzyxzvz地下水连续性方程yxtznzyxzvyvxvzyx)()()()(2.1.42.1.4 小结小结连续性方程是研究地下水运动的基本方程。连

7、续性方程是研究地下水运动的基本方程。各种研究地下水运动的微分方程都是根据连续各种研究地下水运动的微分方程都是根据连续性方程为基础建立起来的。性方程为基础建立起来的。即使有时不直接采用式即使有时不直接采用式2-1-12-1-1，但建立有关关系，但建立有关关系式时，也必须应用能反映质量守恒原理的另一种式时，也必须应用能反映质量守恒原理的另一种形式的连续性方程来代替。形式的连续性方程来代替。测压水头图2-2-1 饱和含水介质中受力情况2.2 水和多孔介质的压缩性sphp地下水弹性储存概念地下水弹性储存概念p取一典型处于平衡状态的饱和地层柱体来研究，这里只考虑垂直一维压密，忽略侧面上粒间力(包括内聚力

8、和摩擦力)的作用。含水层上覆岩土体、地表建筑物和大气压力等荷载形成的总压应力总压应力 由粒间应力的垂向分量垂向分量 s s和孔隙水应力孔隙水应力p p两者来平衡.pmms)1(m为单位水平面积中颗粒间接触面积的水平投影.由于m1，令（K.Terzaghi)ppmms)1(测压水头图2-2-1 饱和含水介质中受力情况Terzaghi有效应力公式phppp多孔介质总应力有效应力孔隙水应力pppmms)1(有效应力公式分析wp减少地下水体积膨胀，从而释放出部分地下水；wp减少地下水对上覆岩土体浮力降低，为维持平衡，这部分力将转嫁到多孔介质固体骨架上，增大有效应力，压缩多孔介质，结果使含水层介质厚度变

9、薄和空隙率n变小，同时从孔隙中释放地下水；wp减少多孔介质固体颗粒也会膨胀,而有效应力增大又会影响固体颗粒的变形。综合起来，这种现象比较复杂。考虑到固体颗粒的压缩性比多孔介质要小得多，因此通常忽略多孔介质固体颗粒的压缩性。水压p减少，将引起以下作用:地下水弹性储存物理意义：w弹性储存与重力储存不同；给水机制不同w弹性储存更宜理解为“变形储存”；w弹性储存这种性质不仅承压含水层具备，层间弱透水层也有弹性储存弹性储存：当地下水水头（水压）降低弹性储存：当地下水水头（水压）降低(或升高）时，或升高）时，含水层、弱透水层释放（或储存）地下水的性质含水层、弱透水层释放（或储存）地下水的性质水的压缩方程0

10、)(00000)(1VVeVVInppdVVdpppVVppdpdVVVdVdp11假定水近似地符合弹性变形，依虎克定律，有 p 为水压；V 为水的体积；为水的体积弹性压缩(或膨胀)系数E为体积弹性模量。V随p增大而减小，即dV/dp它表示在达西流条件下，单位体积、单位它表示在达西流条件下，单位体积、单位时间的水均衡关系时间的水均衡关系单位时间内流入和流单位时间内流入和流出单位体积含水层的水量差值等于同一时间出单位体积含水层的水量差值等于同一时间内单位体积含水层弹性释放内单位体积含水层弹性释放(或弹性储存或弹性储存)的的水量。水量。w 通过应用达西定律反映了地下水运动中通过应用达西定律反映了地

11、下水运动中的能量守恒与转化关系。由此可见，基本微的能量守恒与转化关系。由此可见，基本微分方程式用数学的形式表达了渗流区中任何分方程式用数学的形式表达了渗流区中任何一个一个“局部局部”都必须满足质量守恒和能量守都必须满足质量守恒和能量守恒这两条基本定律。恒这两条基本定律。单位弹性给水度或单位储水系数 的物理意义 nns)(sHnV因此，n表示单位空隙介质体积中，当水头下降一个单位时(H=1)，由于水的膨胀而释放出来的水量（体积）。n )1(由(2-2-5)有pVV当取V为1个单位孔隙介质中水的体积时，V=1npH 令HnV1单位弹性给水度或单位储水系数 的物理意义 nns)(s)1()1(111

12、1)1()1(00000emmemmVeeennmnmV )2(以边长为1个单位的立方体来研究（底面积1）设该立方体的初始高度和孔隙率分别为m0和n0 当水头H发生变化时，空隙介质受压缩使高度和空隙率分别变小为m和n(忽略侧向变形)，由于空隙介质的压缩所释放的水量为 ememtem11100变化，不随由于mmV0单位弹性给水度或单位储水系数 的物理意义nns)(sHV当水头下降一个单位时，由于空隙介质受压缩（厚度变薄，空隙率变小），从单位体积空隙介质中所释放的水量。s表示：当水头下降一个单位时，从单位体积空隙介质中释放的水量（体积）)2(mmV0又由于pmmpmm0001 HHmpmpmmV0

13、000)1(均质含水层，忽略含水介质在压缩过程所引起介质渗透性的变化：tHzHKyHKxHKszzyyxx222222tHzHKrHrrHKHzrfHKtHzHKyHxHKKKKszzrrrrszzrrrryyxx22222222221,上式改为采用柱坐标系无关与而轴对称流动问题，即表示水平方向渗透系数性介质。可写为为“铁饼”状的各向异二度各向异性时，即各种形式w对于等厚承压含水层，且属于平面二维流对于等厚承压含水层，且属于平面二维流tHyHKxHKsyyxx2222 Txx和Tyy为主方向的含水层导水系数(L2/T)；M为承压含水层厚度(L)；e为承压含水层的储水系数或弹性给水度。其物理意义

14、是：单位水平面积承压含水层柱体，当水头下降一个单位时所释放的水量(无量纲)。tHyHTxHTeyyxx2222则可写成和若,MMKTMKTseyyyyxxxx极坐标下均质、等厚、各向同性承压含水层轴对称流极坐标下均质、等厚、各向同性承压含水层轴对称流(径向流径向流)。数数或含水层压力传导系称为含水层水头扩散系则若)/(1,122222TLatHrHrrHaKTatHrHrrHTseev稳定流条件0tH010)()()(22rHrrHzHKzyHKyxHKxzzyyxx当存在源汇项时tHWrHrrHTtHWyHTxHTtHyHKxHKtHzHKrHrrHKsrreyyxxsyyxxszzrr11

15、22222222222222的基本微分方程层轴对称流（径向流）厚、各向同性承压含水极坐标系下的均质、等或流的基本微分方程厚、各向异性平面二维直角坐标下的均质、等称流基本微分方程与垂向各向异性、轴对柱坐标系下均质、水平 和和W分别为三维流和平面二维流的分别为三维流和平面二维流的源汇。分别定义为单位体积含水层源汇。分别定义为单位体积含水层和单位水平面积含水层柱体中，单和单位水平面积含水层柱体中，单位时间内产生（为正值）或消耗位时间内产生（为正值）或消耗（为负值）的水量。（为负值）的水量。总结各种形式，当存在源汇项时左端加上w原形w均质w二度各向异性w轴对称问题w各向同性介质w 稳定流条件tHzHK

16、zyHKyxHKxszzyyxx)()()(tHzHKyHKxHKszzyyxx222222tHzHKyHxHKszzrr222222)(tHzHKrHrrHKszzrr2222)1(tHzHyHxHKs)(2222220)()()(zHKzyHKyxHKxzzyyxx2.4 2.4 潜水流动的布西涅斯克微分潜水流动的布西涅斯克微分方程方程xHKvxHKtgtgKshKvxHzssinsin 渗流的垂直分流速度vz远远小于水平分流速度vx和vy,可忽略vz,既假定等水头面是铅垂面。一、裘布依假定(Dupuit Assumption):等水头线HH)(zH潜水面图2-4-1 潜水流中的水头分布图

17、裘布依微分方程微分方程。该方程通常称为裘布依处，则将基准面取在隔水底板隔水底板水平时，是隔水底板的高程。当其中dxdhKhqxHHKHvqxxx)(1)(w对于剖面二维流，其中H仅仅随x而变，与z无关，即H=H(x,t)。对于单宽流量qx,有裘布依微分方程应用w裘布依假定的应用:1.使剖面二维流问题(x,z)降阶为水平一维问题近似处理2.使三维问题(x,y,z)降阶为水平二维(x,z)问题处理3.使潜水面边界处理的简单化,直接近似地在微分方程中处理w裘布依假定的局限性:当潜水面存在垂向补给、排泄或潜水呈不稳定流时，即使潜水面坡度很小，能否引出裘布依假定而将等水头面视为铅垂面则要视条件具体分析二

18、、布西涅斯克(Boussinesq)微分方程假定:1.研究的潜水流满足裘布依假定2.水和骨架不可压缩（含义：无弹性储存）=const,s=03.潜水层隔水底板水平4.潜水面上存在水量的交换WvW0，入渗vW0，蒸发W定义为潜水面处单位水平面积、单位时间的入渗量定义为潜水面处单位水平面积、单位时间的入渗量布西涅斯克方程推导布西涅斯克方程推导),(txxh),(txxq),(txq),(txhtthth图2-4-2 潜水剖面二维流均衡要素图 x研究剖面二维流（x-z)均衡单元体：长度为x，宽度为1个单位的含水层柱体均衡 V=流入流出均衡时段 ttqtqtQV1txWtqtqVtxxtx,x方向流入

19、流出差tqtqtxxtx,z方向流入 上边界潜水面边界txWtxWtWV1下边界隔水边界 V=0dtxttxxhhV1,x,z方向流入流出差单元体内水体积的增量表现为水位在该时段内的上升或下降dtxttxtxxtxxhhVtxWtqtqV1,),(txxh),(txxq),(txq),(txhtthth图2-4-2 潜水剖面二维流均衡要素图 xxhKhqthWxqtxxd0,0水均衡方程:dtxttxtxxtxdtxttxtxxtxthhWxqqxhhtxWqq,thWxhKhxd布西涅斯克方程推导布西涅斯克方程推导thWxhKhxd注意:1.d为重力给水度，是在重力作用下单位水平面积的潜水含

20、水层柱体在其潜水面下降或上升单位水头时释放或储存的水量。2.上述推导运用了裘布依假定，忽略垂向分流速，因此可近似用x代替s.3.布西涅斯克方程将刻画潜水面边界问题简单化为用W直接表示。布西涅斯克微分方程布西涅斯克微分方程线性化布西涅斯克方程tWhxKxhhtWhxKxhhhthWxhKxhhhdmmddmm即端的再以平均值代替方程左，有并令方程两端均乘方法代替并视为常量用平均值中的将方程左端第一项括号方法,21,:)2(,:)1(2tWyKyhxKxhthWyhKyhxhKxhtHWyhKhyxhKhxdmmdmmd:,性化后的方程分别为相应第一种和第二种线所得布西涅斯克方程为推广到三维流问题

21、线性化布西涅斯克方程22222222222222,(/)(/),11mdmdmdKhxytTTKhaTLTLTaxytKhrrrtrrrt对于均质含水层，且无垂向补排时，可得引入和 分别为潜水含水层的导水系数和水力传播系数对于轴对称潜水流问题 采用极坐标系和线性化布西涅斯克方程2.5 地下水流动定解条件及数学模型w地下水流动控制微分方程潜水二维不稳定流动控制方程承压水二维不稳定流动控制方程w定解条件边界条件初始条件tHyHZHKyxHZHKxdyyxx)()(tHyHMKyxHMKxeyyxx)()(一、定解条件w第一类边界 w第二类边界w初始条件边界条件DyxyxHHnHTrQnHTByxt

22、yxqnHTByxtyxHtBwBBBw),(),(|02),(),(),(),(|0021221一、定解条件一、定解条件w潜水面边界 tHWzHKxHKztzyxHpdzzxx2)(),(0tHWzHKyHKxHKdzzyyxx22)()(三维条件下w解析方法w数值方法w物理模拟方法渗流槽试验水电比拟法电网络模拟法二、数学模型及其解法小结小结2.6.1 2.6.1 学习要求学习要求(1)(1)理解渗流方程的建立过程；理解渗流方程的建立过程；(2)(2)了解水及多孔介质的压缩性；了解水及多孔介质的压缩性；(3)(3)理解承压水运动的基本微分方程的建立过程及其物理意义；理解承压水运动的基本微分方

23、程的建立过程及其物理意义；(4)(4)理解潜水运动的基本微分方程的建立过程及其物理意义。理解潜水运动的基本微分方程的建立过程及其物理意义。2.6.2 2.6.2 思考题思考题-第二章课后思考题第二章课后思考题(1)(1)2.1(2.1()式后述：式后述：“当地下水为不稳定流时，当地下水为不稳定流时，m m0”0”。为何？。为何？(2)(2)深刻理解重力给水度深刻理解重力给水度u ud d和弹性给水度和弹性给水度u ue e的物理意义；的物理意义；u ue e和单位弹性给水和单位弹性给水度度u us s的区别和应用。的区别和应用。(3)(3)从理论上说，是否可从平面二维从理论上说，是否可从平面二

24、维(x(x，y)y)承压流微分方程承压流微分方程(式式2-3-16)2-3-16)推广推广获得三维流微分方程获得三维流微分方程tHzHTyHTxHTezzyyxx222222(4)(4)“已知平面二维已知平面二维(x(x，y)y)承压流微分方程承压流微分方程(式式2-3-16)2-3-16)此承压含水层中剖面流微分方程为此承压含水层中剖面流微分方程为 试对此作出评论。试对此作出评论。(5)(5)何谓裘布依假定？为何引出此假定？当潜水面存在垂向补何谓裘布依假定？为何引出此假定？当潜水面存在垂向补给、排泄或潜水面呈不稳定流时，给、排泄或潜水面呈不稳定流时，“潜水面坡度很小潜水面坡度很小”的条件的条

25、件下能否引出裘布依假定？下能否引出裘布依假定？tHyHTxHTeyyxx2222tHzHTxHTezzxx2222(6)(6)试着比较平面二维试着比较平面二维(x，y)承压流微分方程与降维后承压流微分方程与降维后的平面二维的平面二维(x，y)潜水流微分方程左右端各项，深刻潜水流微分方程左右端各项，深刻认识认识u ue e和和u ud d的区别与相似性。的区别与相似性。(7)(7)请说明方程请说明方程2-1-12-1-1和和2-3-72-3-7建立的条件及它们的物理建立的条件及它们的物理意义。意义。习题习题6-16-1图图h h1 1h h1 1h h2 2h h2 22.6.3 2.6.3 思

26、考题思考题-实验实习讲义实验实习讲义-习题六习题六 裘布依微分方程的应用裘布依微分方程的应用(1)(1)在均质、各向同性的岩层中，地下水为稳定的二维流动，且在均质、各向同性的岩层中，地下水为稳定的二维流动，且无入渗、无蒸发。试判断下列两图的水头线形状是否正确？并用无入渗、无蒸发。试判断下列两图的水头线形状是否正确？并用裘布依微分方程证明。裘布依微分方程证明。(2)(2)在图在图6-26-2中所示的含水层均为无入渗、无蒸发的二维稳定流动中所示的含水层均为无入渗、无蒸发的二维稳定流动。岩层为均质、各向同性。试根据裘布依微分方程和水流连续性。岩层为均质、各向同性。试根据裘布依微分方程和水流连续性原理

27、证明两钻孔间的水头线形状，并正确地绘在图上原理证明两钻孔间的水头线形状，并正确地绘在图上(表明是凹表明是凹形、凸形、直线形、凸形、直线)。a ab bh h1 1h h1 1h h2 2h h2 2i0，h1h2i i0 0，h h1 1=h=h2 21 12 21 12 2h h1 1h h1 1h h2 2h h2 2i0，h1h2i0，h1h2d dc c12 21 12 2习题习题6-26-2图图h h1 1h h2 2e e1 12 2i i0 0，h h1 1h h2 2(3)(3)如习题如习题6-36-3图图a a、b b所示为均质、各向同性的所示为均质、各向同性的承压含水层，厚度沿流向变化承压含水层，厚度沿流向变化(图图a a中中1 1、3 3、5 5段分别为等厚含水层，且段分别为等厚含水层，且1 1、5 5段的厚度相等段的厚度相等)，地下水为稳定的二维流动。试根据裘布依微，地下水为稳定的二维流动。试根据裘布依微分方程和水流连续性原理，正确地画出含水层分方程和水流连续性原理，正确地画出含水层的水头线，并表明形状的水头线，并表明形状(凹形、凸形、直线凹形、凸形、直线)。H H1 12 23 34 45 5a aH H2 21 1