高中数学教精选正态分布2

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1、正正 态态 分分 布布主页主页引入引入 正态分布在统计学中是很重要的分布。我们知正态分布在统计学中是很重要的分布。我们知道，离散型随机变量最多取可列个不同值，它等于道，离散型随机变量最多取可列个不同值，它等于某一特定实数的概率可能大于某一特定实数的概率可能大于0，人们感兴趣的是，人们感兴趣的是它取某些特定值的概率，即感兴趣的是其分布列；它取某些特定值的概率，即感兴趣的是其分布列；连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，它等连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，它等于任何一个实数的概率都为于任何一个实数的概率都为0，所以通常感兴趣的，所以通常感兴趣的是它落在某个区间的概率。是它落在某个区间的概

2、率。离散型随机变量的概率离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用密度函数（曲线）描述。分布规律用密度函数（曲线）描述。主页主页 这个试验是英国科学家这个试验是英国科学家高尔顿设计的高尔顿设计的,具体如下具体如下:在一在一块木板上块木板上,订上订上n+1层钉子层钉子,第第1层层2个钉子个钉子,第第2层层3个钉子个钉子,第第n+1层层n+2个钉子个钉子,这些钉子这些钉子所构成的图形跟杨辉三角形所构成的图形跟杨辉三角形差不多差不多.自上端放入一小球自上端放入一小球,任任其自由下落其自由下落,在下落过程中小在下落过程中小球碰

3、到钉子时球碰到钉子时,从左边落下的从左边落下的概率是概率是p,从右边落下的概率是从右边落下的概率是1-p,碰到下一排也是如此碰到下一排也是如此.最最后落入底板中的某个格后落入底板中的某个格.下面下面我们来试验一下我们来试验一下:主页主页主页主页25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.39 25.4225.47 25.35 25.41 25.43 25.44 25.48 25.45 25.4325.46 25.40 25.51 25.45 25.40 25.39 25.41 25.3625.38 25.31 25.43 25.40 25.38 25.37 2

4、5.4425.33 25.46 25.40 25.49 25.34 25.42 25.50 25.3725.35 25.32 25.45 25.40 25.43 25.54 25.3925.45 25.43 25.40 25.43 25.44 25.41 25.53 25.3725.38 25.24 25.44 25.40 25.36 25.42 25.39 25.4625.38 25.35 25.31 25.34 25.40 25.36 25.41 25.3225.38 25.42 25.40 25.33 25.37 25.41 25.49 25.3525.47 25.34 25.30 25

5、.39 25.36 25.46 25.29 25.4025.37 25.33 25.40 25.35 25.41 25.37 25.47 25.3925.42 25.47 25.38 25.39 某钢铁加工厂生产内径为某钢铁加工厂生产内径为25.40mm的钢管的钢管,为了检验产品为了检验产品的质量的质量,从一批产品中任取从一批产品中任取100件检测件检测,测得它们的实际尺寸测得它们的实际尺寸如下如下:主页主页分组分组频数频数频率频率累积频率累积频率频率频率/组距组距25.23525.26510.010.010.000925.26525.29520.020.030.001825.29525.32

6、550.050.080.004525.32525.355120.120.200.010925.35525.385180.180.380.016425.38525.415250.250.630.022725.41525.445160.160.790.014525.44525.475130.130.920.011825.47525.50540.040.960.003625.50525.53520.020.980.001825.53525.56520.021.000.0018合计合计1001.00列出频率分布表列出频率分布表主页主页100件产品尺寸的频率分布直方图25.23525.29525.355

7、25.41525.47525.535产品内径尺寸产品内径尺寸/mm频率频率组距组距25.26525.32525.38525.44525.50525.565o2468频率分布直方图频率分布直方图主页主页200件产品尺寸的频率分布直方图25.23525.29525.35525.41525.47525.535产品内径尺寸产品内径尺寸/mm频率频率组距组距25.26525.32525.38525.44525.505o2468主页主页产品内径尺寸产品内径尺寸/mm频率频率组距组距o2468样本容量增大时样本容量增大时频率分布直方图频率分布直方图总体密度曲线 可以看出可以看出,当样本容量无限大当样本容量无

8、限大,分组的组距分组的组距无限缩小时无限缩小时,这个频率直方图上面的折线就会无这个频率直方图上面的折线就会无限接近于一条光滑曲线限接近于一条光滑曲线-总体密度曲线总体密度曲线.主页主页一、一、正态曲线及性质正态曲线及性质1.正态曲线的定义正态曲线的定义主页主页2.正态曲线的性质：正态曲线的性质：上方上方x x 1 1 越小越小越大越大主页主页cdab平均数XY 若用若用X表示落下的小球第表示落下的小球第1次与高尔顿板底部接触时次与高尔顿板底部接触时的坐标的坐标,则则X是一个随机变量是一个随机变量.X落在区间落在区间(a,b的概率为的概率为:badxxbXaP)()(,主页主页二、二、正态分布正

9、态分布 2(,)XN 2(,)N 主页主页正态分布是应用最广泛的一种连续型分布正态分布是应用最广泛的一种连续型分布.正态分布正态分布在十九世纪前在十九世纪前叶由高斯加以叶由高斯加以推广，所以通推广，所以通常称为高斯分常称为高斯分布布.德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式式,这一公式被认为是这一公式被认为是正态分布的首次露面正态分布的首次露面.主页主页 在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布：从正态分布：在生产中在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标；在正常生产条件下各种产品的质量指标；在测量中在测量中，

10、测量结果；测量结果；在生物学中在生物学中，同一群体的某一特征；同一群体的某一特征；在气象中在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度某地每年七月份的平均气温、平均湿度 以及降雨量等，水文中的水位；以及降雨量等，水文中的水位；总之，正态分布广泛存在于自然界、生总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中。产及科学技术的许多领域中。正态分布在概率和统计中占有重要地位。正态分布在概率和统计中占有重要地位。主页主页总体的总体的期望期望标准差标准差主页主页方差相等、均数不等的正态分布图示方差相等、均数不等的正态分布图示312=0.5=-1=0=1若若 固定固定,随随 值值的变化而的变化而

11、沿沿x轴平轴平移移,故故 称为位置称为位置参数；参数；主页主页均数相等、方差不等的正态分布图示均数相等、方差不等的正态分布图示=0.5=1=2=0若若 固定固定,大时大时,曲线矮而胖；曲线矮而胖；小时小时,曲线瘦而曲线瘦而高高,故称故称 为形状参数。为形状参数。主页主页正态总体正态总体的函数表示式的函数表示式当=0，=1时222)(21)(xexf),(x2221)(xexf标准正态总体标准正态总体的函数表示式的函数表示式),(x012-1-2xy-33=0=1标准正态曲线主页主页正态曲线下的面积规律正态曲线下的面积规律X轴与正态曲线所夹面积恒等于轴与正态曲线所夹面积恒等于1。对称区域面积相等

12、。对称区域面积相等。S(-,-X)S(X,)S(-,-X)主页主页正态曲线下的面积规律正态曲线下的面积规律 对称区域面积相等。对称区域面积相等。S(-x1,-x2)-x1 -x2 x2 x1S(x1,x2)=S(-x2,-x1)主页主页主页主页特殊区间的概率特殊区间的概率:-a+ax=若若XN ,则对于任何实数则对于任何实数a0,概率概率 为如图中的阴影部分的面积，对于固定的为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和和 而言，该面而言，该面积随着积随着 的减少而变大。这说明的减少而变大。这说明 越小越小,落在区间落在区间 的概率越大，即的概率越大，即X集中在集中在 周围概率越大。周围概率越大。2

13、(,),()()aaPaax dx (,aa()0.6826,(22)0.9544,(33)0.9974.PXPXPX特别地有特别地有主页主页 我们从上图看到，正态总体在我们从上图看到，正态总体在 以外取值的概率只有以外取值的概率只有4.6，在，在 以外以外取值的概率只有取值的概率只有0.3。2,23,3 由于这些概率值很小（一般不超过由于这些概率值很小（一般不超过5 ），），通常称这些情况发生为通常称这些情况发生为小概率事件小概率事件。()0.6826,(22)0.9544,(33)0.9974.PXPXPX主页主页0.6826 0.9544 0.9974 三、三、.正态分布的正态分布的3原

14、则原则主页主页2.3原则原则正态总体几乎总取值于区间正态总体几乎总取值于区间 之内而在此区间以外取值的概率只有之内而在此区间以外取值的概率只有0.26,通通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.(3,3)在实际应用中在实际应用中，通常认为服从于正态分布通常认为服从于正态分布N(,2)的随机变量只取的随机变量只取 之间的之间的值，并称为值，并称为3原则原则 2 2 3 3 (3,3)主页主页主页主页 要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式,关键是求解析式中的两个参数关键是求解析式中的两个参数,的值的值,其中其中

15、决定曲决定曲线的对称轴的位置线的对称轴的位置,则与曲线的形状和最大值有则与曲线的形状和最大值有关关主页主页 主页主页 解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响的影响主页主页 某地区数学考试的成绩某地区数学考试的成绩 X 服从正态分布，其密度曲线如图服从正态分布，其密度曲线如图所示所示 (1)求总体随机变量的期望和方差；求总体随机变量的期望和方差；(2)求成绩求成绩X位于区间位于区间(52,68的概率的概率(2)成绩成绩X位于区间位于区间(52,6

16、8的概率为的概率为 P(2X2)0.954 4.解解:(1)从给出的密度曲线图可知，从给出的密度曲线图可知，主页主页 主页主页 主页主页 求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率率,只需借助于正态曲线的性质，把所求问题转化为只需借助于正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上已知概率的三个区间上主页主页由正态分布的特征易得由正态分布的特征易得0.1主页主页0.0026主页主页主页主页 解决此类问题，首先要确定解决此类问题，首先要确定与与的值，然后把所求的值，然后把所求问题转化到已知概率的区间上来，在求概率时，要注意关问题转化到已知概率的区

17、间上来，在求概率时，要注意关于直线于直线x对称的区间上概率相等这一性质的应用对称的区间上概率相等这一性质的应用 主页主页 2(209)72,1()e,(,)6 2xxx 主页主页主页主页(10分分)若若XN(5,1),求求P(6X7).利用正态曲线的对称性求概率利用正态曲线的对称性求概率主页主页解解:因为因为XN(5,1),5,1.又因为正态密度曲线关于直线又因为正态密度曲线关于直线 x=5 对称对称,1(57)(37)2PxPx 10.95440.4772,2 1(56)(46)2PxPx 10.68260.3413,2 (67)(57)(56)PxPxPx 0.47720.34130.13

18、59.1(5 2 15 2 1)2Px (10分分)若若XN(5,1),求求P(6X7).利用正态曲线的对称性求概率利用正态曲线的对称性求概率主页主页 (1)本题考查正态分布问题，重点考查根据正本题考查正态分布问题，重点考查根据正态曲线的对称性求概率态曲线的对称性求概率 (2)本题易错原因是，找不到本题易错原因是，找不到(3,4)与与(6,7)的的对称关系，无法求解有些考生计算错误对称关系，无法求解有些考生计算错误(10分分)若若XN(5,1),求求P(6X7).主页主页方法与技巧方法与技巧主页主页失误与防范失误与防范主页主页练习、解答题练习、解答题主页主页1(4,)9N 11(4,),4,.

19、93X 解解：不属于区间不属于区间(3,5 的概率为的概率为主页主页主页主页主页主页(1)非负性非负性:曲线曲线 在轴的上方在轴的上方,与与x轴不相交轴不相交.(2)定值性定值性:曲线曲线 与与x轴围成的面积为轴围成的面积为1,()x,()x(3)对称性对称性:正态曲线正态曲线关于直线关于直线 x=对称对称,曲线成曲线成“钟形钟形”(4)单调性单调性:在在直线直线 x=的左边的左边,曲线是上升的曲线是上升的;在在直线直线 x=的右边的右边,曲线是下降的曲线是下降的.1.1.正态曲线的性质正态曲线的性质(5)最值性最值性:当当 x=时时,取得最大值取得最大值 .,()x 12 (6)几何性几何性

20、:参数参数和和的统计意义的统计意义:E(x)=,曲线的位置由曲线的位置由决定决定;D(x)=2,曲线的形状由曲线的形状由决定决定.主页主页(1)利用利用3原则原则,将随机变量的取值转化到三个特殊区间中将随机变量的取值转化到三个特殊区间中.熟记熟记 P(X)P(2X2),P(3X3)的值；的值；(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为轴之间面积为1.正态曲线关于直线正态曲线关于直线x对称，从而在关于对称，从而在关于x对对 称的区间上概率相等称的区间上概率相等 P(Xa)1P(xa)，P(X a)P(Xa)2正态分布中的概率计算的常用方法正态分布中的概率

21、计算的常用方法 若随机变量若随机变量X服从正态分布，则服从正态分布，则X在一点上的取值概率为在一点上的取值概率为0,即即P(Xa)0，而，而Xa并不是不可能事件，所以概率为并不是不可能事件，所以概率为0的事件不一定是不可能事件，从而的事件不一定是不可能事件，从而P(Xa)(Xa)是成立的，是成立的，这与离散型随机变量不同这与离散型随机变量不同3服从正态分布的随机变量服从正态分布的随机变量X X的概率特点的概率特点忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点主页主页主页主页主页主页主页主页A A主页主页A A主页主页 【2】某校高三男生共】某校高三男生共1000人人,他们的身高他们的身高X(cm)近

22、似服从正态分布近似服从正态分布 ,则身高则身高在在180cm以上的男生人数大约是以上的男生人数大约是()A.683 B.159 C.46 D.317(176,16)N xyoB B主页主页C C主页主页B B主页主页主页主页xyo主页主页主页主页 这说明成绩在这说明成绩在90分以上分以上(含含90分分)的学生人数约占的学生人数约占全体参赛人数的全体参赛人数的2.28,解解:设参赛学生的分数为设参赛学生的分数为,【4】(2006湖北湖北)在某校举行的数学竞赛中在某校举行的数学竞赛中,全体参赛全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布学生的竞赛成绩近似服从正态分布N(70,100).已知成绩已知成绩在

23、在90分以上分以上(含含90分分)的学生有的学生有12名名.试问此次参赛的学试问此次参赛的学生总数约为多少人？生总数约为多少人？1(5090)2P1(|70|20)2PX1 0.954420.0228.12526.0.0228P(90)1P(4)()A0.1588 B0.1587 C0.1586 D0.1585B主页主页 解题是一种实践性技能解题是一种实践性技能,就象游泳、就象游泳、滑雪、弹钢琴一样，只能通过模仿和实滑雪、弹钢琴一样，只能通过模仿和实践来学到它！践来学到它！波利亚波利亚主页主页卡尔卡尔弗里德里希弗里德里希高斯高斯 高斯高斯(Johann Carl Friedrich Gauss

24、)(1777年年4月月30日日1855年年2月月23日日)，生于不伦瑞克，卒，生于不伦瑞克，卒于哥廷根，德国著名数学家、物理学家、天文于哥廷根，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。高斯被认为是最重要的学家、大地测量学家。高斯被认为是最重要的数学家，并有数学王子的美誉。数学家，并有数学王子的美誉。1792年，年，15岁德高斯进入岁德高斯进入Braunschweig学院。学院。在那里，高斯开始对高等数学作研究。独立发现在那里，高斯开始对高等数学作研究。独立发现了二项式定理的一般形式、数论上的了二项式定理的一般形式、数论上的“二次互反律二次互反律”(Law of Quadratic R

25、eciprocity)、质数分布定理、质数分布定理(prime numer theorem)、及算术几何平均、及算术几何平均(arithmetic-geometric mean)。1795年高斯进入哥廷根大学。年高斯进入哥廷根大学。1796年，年，17岁的高斯得到了一个岁的高斯得到了一个数学史上极重要的结果，就是数学史上极重要的结果，就是正十七边形尺规作图之理论与正十七边形尺规作图之理论与方法方法。1855年年2月月23日清晨，高斯于睡梦中去世。日清晨，高斯于睡梦中去世。主页主页 18岁的高斯发现了质数分布定理和岁的高斯发现了质数分布定理和最小二乘法最小二乘法。通过对足。通过对足够多的测量数据

26、的处理后，可以得到一个新的、概率性质的测够多的测量数据的处理后，可以得到一个新的、概率性质的测量结果。在这些基础之上，高斯随后专注于量结果。在这些基础之上，高斯随后专注于曲面曲面与与曲线曲线的计算，的计算，并成功得到高斯钟形曲线并成功得到高斯钟形曲线(正态分布曲线正态分布曲线)。其函数被命名为标。其函数被命名为标准正态分布（或高斯分布），并在准正态分布（或高斯分布），并在概率计算概率计算中大量使用。中大量使用。在高斯在高斯19岁时，仅用尺规便构造出了岁时，仅用尺规便构造出了17边形。并为流传了边形。并为流传了2000年的欧氏几何提供了自年的欧氏几何提供了自古希腊古希腊时代以来的第一次重要补充。

27、时代以来的第一次重要补充。高斯计算的高斯计算的谷神星谷神星轨迹，高斯总结了轨迹，高斯总结了复数复数的应用，并且严的应用，并且严格证明了每一个格证明了每一个n阶的阶的代数方程代数方程必有必有n个个实数实数或者复数解。在他或者复数解。在他的第一本著名的著作的第一本著名的著作数论数论中，作出了二次互反律的证明，中，作出了二次互反律的证明，成为数论继续发展的重要基础。在这部著作的第一章，导出了成为数论继续发展的重要基础。在这部著作的第一章，导出了三角形全等定理的概念。三角形全等定理的概念。卡尔卡尔弗里德里希弗里德里希高斯高斯 主页主页 高斯在他的建立在最小二乘法基础上的测量平差理论的帮助高斯在他的建立

28、在最小二乘法基础上的测量平差理论的帮助下，结算出下，结算出天体天体的运行轨迹。并用这种方法，发现了谷神星的运的运行轨迹。并用这种方法，发现了谷神星的运行轨迹。谷神星于行轨迹。谷神星于1801年由年由意大利意大利天文学家天文学家皮亚齐皮亚齐发现，但他因发现，但他因病耽误了观测，失去了这颗小病耽误了观测，失去了这颗小行星行星的轨迹。皮亚齐以的轨迹。皮亚齐以希腊神话希腊神话中中“丰收女神丰收女神”(Ceres)来命名它，即谷神星来命名它，即谷神星(Planetoiden Ceres)，并将以前观测的位置发表出来，希望全球的天文学家一起寻找。并将以前观测的位置发表出来，希望全球的天文学家一起寻找。高斯

29、通过以前的三次观测数据，计算出了谷神星的运行轨迹。高斯通过以前的三次观测数据，计算出了谷神星的运行轨迹。奥奥地利地利天文学家天文学家 Heinrich Olbers在高斯的计算出的轨道上成功发在高斯的计算出的轨道上成功发现了这颗小行星。从此高斯名扬天下。高斯将这种方法著述在著现了这颗小行星。从此高斯名扬天下。高斯将这种方法著述在著作作天体运动论天体运动论(Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium)中。中。高斯设计的高斯设计的汉诺威汉诺威大地测量的三角网为了获知任意一年中大地测量的三角网为了

30、获知任意一年中复复活节活节的日期，高斯推导了复活节日期的计算公式。的日期，高斯推导了复活节日期的计算公式。卡尔卡尔弗里德里希弗里德里希高斯高斯 主页主页在在1818年至年至1826年之间高斯主导了汉诺威公国的大地测量年之间高斯主导了汉诺威公国的大地测量工作。通过他发明的以最小二乘法为基础的测量平差的方法和工作。通过他发明的以最小二乘法为基础的测量平差的方法和求解求解线性方程组线性方程组的方法，显著的提高了测量的精度。出于对实的方法，显著的提高了测量的精度。出于对实际应用的兴趣，他发明了日光际应用的兴趣，他发明了日光反射反射仪，可以将仪，可以将光束光束反射至大约反射至大约450公里公里外的地方。

31、高斯后来不止一次地为原先的设计作出改进，外的地方。高斯后来不止一次地为原先的设计作出改进，试 制 成 功 被 广 泛 应 用 于 大 地 测 量 的 镜 式 六 分 仪。试 制 成 功 被 广 泛 应 用 于 大 地 测 量 的 镜 式 六 分 仪。高斯亲自参加野外测量工作。他高斯亲自参加野外测量工作。他白天白天观测，观测，夜晚夜晚计算。五计算。五六年间，经他亲自计算过的大地测量数据，超过六年间，经他亲自计算过的大地测量数据，超过100万次。当高万次。当高斯领导的三角测量外场观测已走上正轨后，高斯就把主要精力斯领导的三角测量外场观测已走上正轨后，高斯就把主要精力转移到处理观测成果的计算上来，并

32、写出了近转移到处理观测成果的计算上来，并写出了近20篇对现代大地篇对现代大地测量学具有重大意义的论文。在这些测量学具有重大意义的论文。在这些论文论文中，推导了由中，推导了由椭圆椭圆面面向圆球面投影时的公式，并作出了详细证明，这套理论在今天向圆球面投影时的公式，并作出了详细证明，这套理论在今天仍有应用价值。汉诺威公国的大地测量工作直到仍有应用价值。汉诺威公国的大地测量工作直到1848年才结束，年才结束，这项大地测量史上的巨大工程，如果没有高斯在理论上的仔细这项大地测量史上的巨大工程，如果没有高斯在理论上的仔细推敲，在观测上力图合理精确，在数据处理上尽量周密细致的推敲，在观测上力图合理精确，在数据

33、处理上尽量周密细致的出色表现，就不能完成。在当时条件下布设这样大规模的大地出色表现，就不能完成。在当时条件下布设这样大规模的大地控制网，精确地确定控制网，精确地确定2578个三角点的大地坐标，可以说是一项个三角点的大地坐标，可以说是一项了不起的成就。了不起的成就。主页主页日光反射仪由于要解决如何用椭圆在球面上的正形投影理论解日光反射仪由于要解决如何用椭圆在球面上的正形投影理论解决大地测量问题，高斯亦在这段时间从事曲面和投影的理论，这成决大地测量问题，高斯亦在这段时间从事曲面和投影的理论，这成了微分几何的重要基础。他独自提出不能证明欧氏几何的了微分几何的重要基础。他独自提出不能证明欧氏几何的平行

34、公设平行公设具有具有“物理的物理的”必然性，至少不能用必然性，至少不能用人类人类理智，也不能给予人类理智，也不能给予人类理理智智以这种证明。但他的非欧几何的理论并没有发表，也许是因为对以这种证明。但他的非欧几何的理论并没有发表，也许是因为对处于同时代的人不能理解对该理论的担忧。后来处于同时代的人不能理解对该理论的担忧。后来相对论相对论证明了证明了宇宙宇宙空间实际上是空间实际上是非欧几何非欧几何的空间，高斯的思想被近的空间，高斯的思想被近100年后的物理学接年后的物理学接受了。当时高斯试图在汉诺威公国的大地测量中通过测量受了。当时高斯试图在汉诺威公国的大地测量中通过测量Harz的的Brocken

35、Thuringer Wald的的Inselsberg哥廷根的哥廷根的Hohen Hagen三个三个山头山头所构成的所构成的三角形三角形的内角和，以验证非欧几何的正确的内角和，以验证非欧几何的正确性，但未成功。高斯的朋友性，但未成功。高斯的朋友鲍耶鲍耶的儿子雅诺斯在的儿子雅诺斯在1823年证明了非欧年证明了非欧几何的存在，高斯对他勇于探索的精神表示了赞扬。几何的存在，高斯对他勇于探索的精神表示了赞扬。1840年，年，罗巴罗巴切夫斯基切夫斯基又用又用德文德文写了写了平行线平行线理论的理论的几何几何研究研究一文。这篇论文一文。这篇论文发表后，引起了高斯的注意，他非常重视这一发表后，引起了高斯的注意，

36、他非常重视这一论证论证，积极建议哥廷，积极建议哥廷根大学聘请罗巴切夫斯基为通信院士。为了能直接阅读他的著作，根大学聘请罗巴切夫斯基为通信院士。为了能直接阅读他的著作，从这一年开始，从这一年开始，63岁的高斯开始学习俄语，并最终掌握了这门外语。岁的高斯开始学习俄语，并最终掌握了这门外语。最终高斯成为和最终高斯成为和微分几何微分几何的始祖（高斯，雅诺斯、罗巴切夫斯基）的始祖（高斯，雅诺斯、罗巴切夫斯基）中最重要的一人。中最重要的一人。主页主页 高斯和高斯和韦伯韦伯19世纪世纪的的30年代年代，高斯发明了，高斯发明了磁强磁强计计，辞去了天文台的工作，而转向，辞去了天文台的工作，而转向物理物理研究。他

37、与研究。他与韦伯韦伯(18041891)在在电磁学电磁学的领域共同工作。他比韦的领域共同工作。他比韦伯年长伯年长27岁，以亦师亦友的岁，以亦师亦友的身份身份进行合作。进行合作。1833年，年，通过受电磁影响的通过受电磁影响的罗盘罗盘指针，他向韦伯发送了指针，他向韦伯发送了电报电报。这不仅仅是从韦伯的这不仅仅是从韦伯的实验室实验室与天文台之间的第一个与天文台之间的第一个电话电话电报系统，也是电报系统，也是世界世界首创。尽管首创。尽管线路线路才才8千米长。千米长。1840年他和韦伯画出了世界第一张地球年他和韦伯画出了世界第一张地球磁场磁场图，而图，而且定出了且定出了地球地球磁磁南极南极和磁和磁北极

38、北极的位置，并于次年得的位置，并于次年得到到美国美国科学家的证实。科学家的证实。主页主页 高斯和韦伯共同设计的电报高斯研究数个领域，高斯和韦伯共同设计的电报高斯研究数个领域，但只将他思想中成熟的理论发表。他经常提醒他的但只将他思想中成熟的理论发表。他经常提醒他的同事，该同事的结论已经被自己很早的证明，只是同事，该同事的结论已经被自己很早的证明，只是因为基础理论的不完备性而没有发表。批评者说他因为基础理论的不完备性而没有发表。批评者说他这样是因为极爱出风头。实际上高斯只是一部疯狂这样是因为极爱出风头。实际上高斯只是一部疯狂的的打字机打字机，将他的结果都记录起来。在他死后，有，将他的结果都记录起来。在他死后，有20部这样的部这样的笔记笔记被发现，才证明高斯的宣称是事实。被发现，才证明高斯的宣称是事实。一般认为，即使这一般认为，即使这20部笔记，也不是高斯全部的笔部笔记，也不是高斯全部的笔记。下记。下萨克森州萨克森州和哥廷根大学和哥廷根大学图书馆图书馆已经将高斯的已经将高斯的全部著作全部著作数字化数字化并置于并置于互联网互联网上。上。高斯的高斯的肖像肖像已经被印在从已经被印在从1989年至年至2001年发行年发行了了10年的德国货币年的德国货币马克马克的纸币上。的纸币上。