固体物理基础答案解析吴代鸣

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1、1.试证理想六方密堆结构中c/a=1.633.证明：如下图，六方密堆结构的两个晶格常数为a和c。右边为底面的俯视图。而三个正三角形构成 的立体结构，其高度为2假设晶胞基矢a,b,c互相垂直，试求晶面族hki的面间距。 解：f*/ a,b, c 互相垂直，可令a 二 ai,b = bj, c 二 ck晶胞体积 v = a - (b x c) = abc倒格子基矢：2兀2兀72兀b(b xc)=(bj x ck)=i1vabca2兀2兀2兀b(c xa)=(ck x ai)=j2vabcb2兀2兀2兀b(a xb)=(ai x bj)=k3vabccG = hb1而与hkl晶面族垂直的倒格矢h k

2、 l f+ kb + lb = 2 兀(-i + k j + -k)23 abc_!/ 、/k、/l、G = 2兀屮(一)2 + (：)2 + ()2V a bc故hkl晶面族的面间距d=还G2兀2兀：(-)2 + (k )2 + (- )2 abc1J( - )2 + ( k )2 + (- )2abc3假设在体心立方晶胞的每个面中心处加一个同类原子，试说明这种晶体的原胞应如 何选择？每个原胞含有几个原子？答：通过分析我们知道，原胞可选为简单立方，每个原胞中含有5 个原子。 体心，八个顶点中取一个，对面面心各取一个原子即三个作为基元。布拉菲晶格是简单立 方格子。4试求面心立方结构的111和1

3、10面的原子面密度。解：111面11平均每个111面有3x + 3x = 2个原子。62、1 k ( I k、忑、近 灵3111面面积一、,“：2a(、：2a)2 (a)2= a a = a 22所以原子面密度b =(iii) 3a222 2 2 v2 2=41； 3a 2110面11平均每个110面有4x + 2x = 2个原子。42110面面积 a 、；2a =7 2a 2所以110面原子面密度b(110)2 = V2v2a 2a 25设二维矩形格子的基矢为a = ai,a = 2aj，试画出第一、二、三、布里渊区。12解：b=1竺(a x a )=v23倒格子基矢：-2ai x = -

4、i (a = xk) a 2 a xa 3b2 =丝(a3 x 气)=f axj = p =尸 j = 2|bjj所以倒格子也是二维矩形格子。 b 方向短一半。一 一 2最近邻 b ,b ;丄 一 2 一 一次近邻 b ,b ,2b ,2b ;1 一 1 一 2 一 2 一 一 一 一 再次近邻 b b , b + b , b b，b b ;1 2 2 12 2 2 1 2 1 再再次近邻3b ,3b ;22 做所有这些点与原点间连线的垂直平分线，围成布里渊区。再按各布里渊区的判断原那么进行 判断，得：第一布里渊区是一个扁长方形；第二布里渊区是2 块梯形和 2 块三角形组成； 第三布里渊区是2

5、 对对角三角和 4 个小三角以及 2 个等腰梯形组成。6六方密堆结构的原胞基矢为：1 丁 v3 匚ai +aj2 21 了 弋3匚ai + aj2 2a ck3试求倒格子基矢并画出第一布里渊区。解：原胞为简单六方结构。原胞体积：v a - (a x a )123+ a(i + f 3 j) - 2 a(_i +j) x ck 2 a(i + f 3 j) - 2 ac( j + 岳)-丄 a 2 c(i +4v3 j)-(內 + j)2倒格子基矢：2兀 f 2兀12兀 (a x a ) a(_i + 3 j) x ck (i + 3 j)v 23323aa 2 c22兀 2兀12兀 (a x

6、a ) ck x a(i + 3 j) (_i + 3 j)v 3132aa 2 c22兀、2兀 (a x a )kv 12 c由此看到，倒格子同原胞一样，只是长度不同，因此倒格子仍是简单六方结构。注意：倒格 子是简单六方，而不是六方密堆选六边形面心处格点为原点，那么最近邻为六个角顶点，各自倒格矢的垂直平分面构成一个 六面柱体。次近邻为上下底面中心，其垂直平分面为上下平行平面。再次近邻是上下面六个顶角，其垂直平分面不截上面由最近邻和次近邻垂直平分面构成的六 角柱体。所以第一布里渊区是一个六角柱体。比倒格子六方要小。7略8、证明一维NaCI晶体的马德隆常数为Q二21n2 证明：任选一参考离子i,

7、则左右两侧对称分布,令r二a a；这里a为晶格常数（正负离子最近距离） ij j那么,有：j其中,1土 - a异号为+;同号为-利用展开式：ln（1 + x） = x -x2x3x4- +4j4x 二1 得：n2 二1 - 2+9、假设离子间的排斥势用九e“P来表示，只考虑最近邻离子间的排斥作用，试导出离子晶体结合能 的表达式，并讨论参数入和p应如何决定。解：设最近邻离子间距离为r,贝此 ije24兀 r0 ije24兀 r0u(r )= ij九 e rij/pa r （以i离子为原点）j（最近邻，r = r）ij最近邻以外）ij总相互作用能为：e24兀 r0- ae24兀 r0工土j&i)工

8、 Xe r / P最近邻+ ZXe -r / p ；(1)其中Z为最近邻离子数 由平衡条件:兽r = r0=0;得:pae24兀 r 200得: UZXe - ro /p(2)N ae 22 4兀 r 00 结合能E二-U (r )c0P-1 r0(3)对于N aCl等离子晶体:1 心 2U )9Nr ( Qr201丿r - r0一 2ae 2118r0将(2)代入(5)得：2ae2r30Z九+ e -P2ae2(5).P18r04ks r300ae2r04ks r200(6)由得:九二2ae2 + 72兀w r 4K00pae2 ero/ p4兀w r2Z00(7)(8)10、如果NaCI结

9、构晶体中离子的电荷增加一倍，假定排斥势不变，试估计晶体的结合能及离子间的 平衡距离将产生多大变化。解：(1)N总相互作用能=-rn丿乱dr、Nae2nB、丿2.4兀w r2rn+1 丿=01n-1r= r0(2)(4兀w nB、: 0J OB2 丿ae2B 二rn-14兀w n 00代入得：U(r )二-Nae20得: r0由(2)得：f 1 - 1 8兀w r I n丿 00当电荷由e变为2e时，由(2)和可知：(2)(3)(4)r (2e) 丄0= 41-nr(e)0U(2e)外亠U(e)11、在一维单原子晶格中，假设考虑每一院子于其余所有原子都有作用，在简谐近似下求格波的色 散关系。解：

10、在简谐近似下：U 二 工 (xo u2ij iji幻第n个原子的运动方程: au1aunad 2um ndt2a4 aun14 auin inn i(n)(工 B (u4 aui(工 n)二-(工 B (u2in ni&n)=y B (u -in ii(丰 n)=Y B (u + up n+p n pp右边二(工izjB u 2 )ij ij(YB u2 + YB u2 )nj nj j&n) + Y B (unj j j(工 n)in nuiu)n u )2iunj j nj&n)2u )n设u = Ae-i(t na Q代入上式得:nmW2Aei (wt naq)整理，得：2 vW 2 =

11、 _ YmpBpp u )2)n)=Y 卩(Aei(wt (n+p)aq) + Aei(wt (np)aq) pp(1 cos paq )12、设有一维双原子晶格，两种院子的质量相等，最近邻原子间的力常数交错地等于 B 和 B12 求格波的色散关系。解： d 2u m n_dt2=Bu1 n 1 d 2u m ndt2=B u2n二卩(u一 u ) + B (u1 n 1n 2 n+Bu2n=B (u2n+ B u1 n +1 (B + B )u1u ) +n (B +12nB(u1 n + 1卩)2n，试试探解： unAe -i(naq -ot ); UBe - i (naqot )代入方程

12、，得-mo2A = B Beiaq + B B12一 mo2B = B Ae-iaq + B A - (B + B)B2 1 2(B eiaq + B ) 2 mo2 - (B + B ) 2-(卩+卩)A121(B + B ) mo 2 12BB e -iaq2经计算，1得：邓 2 + B 2 + 2BB cos aq1 2 12m13、一维单原子晶格的格波色散关系为o2(q)二坐(1 一 cos qa)M试求：(1)格波的模密度g( o );(2)低温下晶格热容与温度的比例关系。f dq8(o - o(q) 2兀-Mo1 o 2;2B ;o2 J+ P2解：一维时，模密度g(o)=由色散关

13、系，得：cos aq2odo型 sin aqdqMdqg(o)odoF M2o 2 一 o 44卩2丿 2中 o(q)do(q)&o-o(q)0Ba (MT 卩Ba ( M矿斤l2兀1/2O2(q)-常)1/2o 4(q)丿M2o 2 o 44 B 2丿晶格热容：C =二U略去o4项，(因为低温，o 1)1/2Y mg(o )doQI0exp( ho / k T ) - 1B岛J aT 0兀0aTd:Me kBT 1(因为低温，频率低的占主要，所以上限可以近似为无穷大)lyekBT 1x 2e xM k2T rb jdx0 九(e x 1)2o经计算，上面积分=3C =兀 严 Tu3a力 ” 014、将Debye模型用于一维晶格，求低温下晶格热容与温度的关系，并和上题的结果进行比拟，讨 论 Debye 模型的合理性。解：对于德拜模型，有色散关系： = cqd 二 cdql +r.g() = j dq - 8( (q)2兀rl 1 r=j d 8( (q)兀c0r d - g(3)恥ax 2e xdx(ex 1)2ekBT 1兀c 方0上面积分二匸3l兀k2C = 比-1 u3c力与上题结果比较，都与T成正比，说明德拜模型有其合理性，尤其是低温的情况下。