二章节计算机控制系统论基础

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1、下一页上一页计算机控制技术课件1第二章 计算机控制系统的理论基础2.1.1拉氏变换定义2.1连续线性系统的扼要回顾0()()stf t edtsj()()F sL f t1()2jstjF s e dsj1()()f tLF s下一页上一页计算机控制技术课件22.1.2几个常用函数的拉氏变换()f t()F s()t1()t1sat21s212!t31sate1ssin()t22scos()t22ss脉冲函数阶跃函数斜坡函数加速度函数指数函数正弦函数余弦函数1下一页上一页计算机控制技术课件32.1.常用的拉氏变换法则1)线性性质设：F(s)=Lf(t)，F1(s)=Lf1(t)，F2(s)=L

2、f2(t)121212()()()()()L aftbf taL f tbL f taF sbF s2)微分定理()()(0)df tLsF sfdt222()()(0)(0)d f tLs F ssffdt式中：f(0)是函数f(t)在t=0时的值，f(0)是函数f(t)的微分在t=0时的值。当f(0)=f(0)=0时()()df tLsF sdt222()()d f tLs F sdt下一页上一页计算机控制技术课件42.1.常用的拉氏变换法则3)积分定理(1)11()()(0)Lf t dtF sfss2(1)(2)22111()()(0)(0)Lf t dtF sffsss式中：，分别为

3、 的一、二次重积分在t=0时的值。当时1()()Lf t dtF ss221()()Lf t dtF ss4)时滞定理(实位移定理)()()sTL f tTeF s5)复位移定理()()atL f t eF sa22sin()()atLt eas例(1)(0)f(2)(0)f()f t(1)(2)(0)(0)0ff下一页上一页计算机控制技术课件52.1.3常用的拉氏变换法则6)初值定理0lim()lim()tsf tsF s7)终值定理若原函数f(t)和函数sF(s)在t和s0时各有极限存在，则0lim()lim()tsf tsF s例：222()2F ss原函数为：sin(2)t当t时极限不

4、存在，不能用终值定理。设，并且 和 各有极限存在，则 的初值为lim()ssF s0lim()tf t()f t()()F sL f t下一页上一页计算机控制技术课件62.1.4拉氏反变换用部分分式法求拉氏反变换基本思想基本思想：即将F(s)分解成若干有理分式之和的形式，然后利用拉氏变 换对照表查出对应的原函数f(t)。F(s)的一般形式为：10111011()()()mmmmnnnnB sb sbsbsbF sA sa sa sasa1212()()()()()()mnK szszszspspsp式中：-z1,-z2,-zm为F(s)的零点；-p1,-p2,-pn为F(s)的极点；nm。A(

5、s)的三种情况：1）A(s)=0均为单根2）A(s)=0有共轭复根3）A(s)=0有重根下一页上一页计算机控制技术课件71）A(s)=0均为单根12112()nniiniAAAAF sspspspsp式中：Ai为常数，可由下式求得 lim()()iiispAsp F s()()iiispAF s sp或1111()()innp tiiiiiAf tLF sLAesp下一页上一页计算机控制技术课件8例2-1 求 的拉氏反变换。22()43sF sss解：将F(s)分解成部分分式，则1222()43(1)(3)sAAF ssssslim()()iiispAsp F s1121lim(1)(1)(3

6、)2ssAsss2321lim(3)(1)(3)2ssAsss将A1、A2代入原式得：221111()432(1)2(3)sF sssss其拉氏反变换为：1111221111()()432(1)2(3)sf tLF sLLLssss31122ttee下一页上一页计算机控制技术课件9例2-2 求 的拉氏反变换。2255()43ssF sss解：因为F(s)的分母和分子阶数相同，对其进行分解得：2222255(43)(2)(2)()1434343ssssssF sssssss 所以原函数为：311()()22ttf ttee下一页上一页计算机控制技术课件102）A(s)=0有共轭复根求出A1，A2

7、后，对F(s)进行适当变形，再求原函数。当A(s)=0含有一对共轭复根时，F(s)可展开为1212()()()AsAF sspsp式中：A1、A2为常数，p1、p2为一对共轭复极点，p1、p2可由下式求得 111212()()()()spspF s spspAsA当A(s)=0含有一对共轭复极点时，F(s)的原函数中含有正弦或余弦函数。下一页上一页计算机控制技术课件11例2-3 求 的拉氏反变换。21()(1)sF ss ss 解：对F(s)分解得0122()1AAsAF ssss F(s)有一个实极点和一对共轭复极点，分别求其待定系数：00211(1)ssAss ss 20.50.86612

8、0.50.86621(1)(1)sjsjsssAsAs ss 代入极点并整理得12120.50.8660.5()0.866()jAAjAA 令两边的实部和虚部分别相等，解得：121,0AA 21()1sF ssss 下一页上一页计算机控制技术课件1221()1sF ssss 为求原函数，对F(s)进行适当变形，得222110.50.5()1(0.5)0.866ssF ssssss 222210.50.5(0.5)0.866(0.5)0.866ssss222210.50.5/0.5770.577(0.5)0.866(0.5)0.866ssss所以F(s)的原函数为：0.50.5()1cos(0.

9、866)0.577sin(0.866)ttf tetet A(s)=0含有一对共轭复根时，原函数中有正弦和余弦函数。含有一对共轭复根时，原函数中有正弦和余弦函数。下一页上一页计算机控制技术课件133）A(s)=0有重根设-p0为r阶重根，-pr+1，-pr+2，-pn为单根，则F(s)可展开成如下形式：11100011()()()rrrrnrnrAAAF sspspAAspspsp式中：00lim()()rrspAspF s001()()limrrspd spF sAds001()()lim!jrrjjspdspF sAjds010111()()lim(1)!rrrspdspF sArds下一

10、页上一页计算机控制技术课件14求出待定系数后代入F(s)，再求拉氏反变换111110001()()()rrrnrrnrAAAAAf tLspspspspsp012111(1)!(2)!inp tp trrrrii rAAttA eAerr 下一页上一页计算机控制技术课件15例2-4 求 的拉氏反变换。解：对F(s)进行分解23()(2)(1)sF sss213223()(2)(1)(2)2(1)sAAAF ssssss计算各项待定系数22223lim(2)1(2)(1)ssAsss 22123(2)(2)(1)lim2ssd sssAds 3213lim(1)2(2)(1)ssAsss代入F(

11、s)得223122()(2)(1)(2)2(1)sF ssssss原函数为222()22(2)2tttttf tteeetee 下一页上一页计算机控制技术课件162.1.5 传递函数1）传递函数的性质(4)传递函数的拉氏反变换，就是系统的脉冲响。(1)传递函数只表示了系统输出量和输入量之间的关系，而不反映系统物理结构(不同物理性质的系统可以有相同的传递函数)。(2)传递函数只与系统结构及参数有关，而与输入信号无关。(3)传递函数分子多项式的阶次总是低于或最多等于分母多项式的阶次，即nm(这是由于系统总具有惯性及受到能源限制而决定的)。下一页上一页计算机控制技术课件172.1.5 传递函数2)典

12、型环节的传递函数(1)比例环节(T为惯性时间常数)(2)惯性环节(3)积分环节(4)微分环节(T为积分时间常数)(T为微分时间常数)(5)振荡环节(6)延迟环节(n为自然振荡角频率，为阻尼比)(为延迟时间)()G sK1()1G sTs1()G sTs()G sTs222()2nnnG sss()sG se下一页上一页计算机控制技术课件182.2 线性离散系统的数学描述2.2.1 信号变换图图2-1 计算机控制系统信号变换示意图计算机控制系统信号变换示意图下一页上一页计算机控制技术课件191)模拟量到数字量的转换采样定理(也称香农定理)设连续信号为f(t)，经采样后转换成离散的模拟信号f*(t

13、),再对其进行量化，即A/D转换，变成离散的数字量。*00()()()()()KKftf KTtKTf ttKT（K为正整数）2)信号的恢复(1)零阶保持器恢复信号零阶保持器恢复信号的基本思想是：将某一采样时刻的信号原封不动地保持(外推)到下一采样时刻。下一页上一页计算机控制技术课件20图2-3 零阶保持器恢复信号示意图零阶保持器的传递函数为1()sTeG ss下一页上一页计算机控制技术课件21(2)一阶保持器恢复信号一阶保持器恢复信号的基本思想是：以前两个采样时刻的值为基础进行外推，直至下一个采样时刻。图2-4 一阶保持器恢复信号示意图21()(1)()sTeG sTTssT一阶保持器的传递

14、函数为高阶保持器下一页上一页计算机控制技术课件222.2.2 z变换1)z变换设有一连续函数f(t)，经采样后其离散函数为f*(t)*00()()()()()KKftf KTtKTf ttKT其拉氏变换为*0()()KTsKFsf KT e令sTze则*0()()KKFsf KT z称其为f*(t)的z变换。即*0()()()KKF zFsf KT zF(s):连续函数的拉氏变换F(z):离散函数的z变换下一页上一页计算机控制技术课件232)几个常用的z变换()f t()F z()t1()tt212!tate1zz 脉冲函数阶跃函数斜坡函数加速度函数指数函数12(1)Tzz 23(1)2(1)

15、Tz zzaTzze下一页上一页计算机控制技术课件243)z变换的基本定理1122()(),()(),()()F zZ f tF zZ f tF zZ f t设(1)线性定理 1212()()()Z aftbf taF zbF z(2)滞后与超前定理(平移定理)()()KZ f tKTzF z()()KZ f tKTz F z(滞后定理)(超前定理)(3)复平移定理()()ataTZ ef tF ez(4)初值定理(5)终值定理0lim()lim()tzf tF z111lim()lim(1)()lim(1)()tzzf tzF zzF z下一页上一页计算机控制技术课件254)z反变换两种常用

16、的方法：长除法和部分分式法(1)长除法例2-5 设 ，求原函数f*(t)。11()10.5F zz解：用长除法求F(z)的原函数110.51z30.125z1110.5z10.5z120.50.25zz20.25z10.5z230.250.125zz30.125z20.25z123()10.50.250.125F zzzz 原函数为：f*(t)=(t)+0.5(t-T)+0.25(t-2T)+0.125(t-3T)+下一页上一页计算机控制技术课件26(2)部分分式法z反变换的部分分式法与拉氏反变换的部分分式法类似例2-6 求 的z反变换。解：将F(z)分解成部分分式之和的形式1120.5()1

17、 1.50.5zF zzz111211110.50.5()1 1.50.5(1)(10.5)110.5zzABF zzzzzzz式中待定系数A和B的求法与求拉氏反变换中待定系数求法类似，即111110.50.5lim(1)1(1)(10.5)10.5zzAzzz11110.50.51lim(10.5)11(1)(10.5)10.5zzBzzz 0.6931111()110.510.51TTzzzzF zzzzzzze原函数为0.693*()1()KTTftKTe下一页上一页计算机控制技术课件272.2.3 差分方程和脉冲传递函数1)差分方程的一般概念图图2-5 线性定常离散系统示意图线性定常离

18、散系统示意图()(0),(1),(2),u kuuu()(0),(1),(2),y kyyy无滞后系统y(k+n)与u(k+n)有关还与该时刻以前的输入输出信号有关y(k+n)：u(k+n)u(k+n-1)，u(k+n-2)y(k+n-1)，y(k+n-2)下一页上一页计算机控制技术课件28有滞后系统这就是这就是n阶线性差分方程阶线性差分方程滞后二个采样周期y(k+n)与u(k+n-2)及该时刻以前的输入输出信号有关y(k+n)：u(k+n-2)u(k+n-3)，u(k+n-4)y(k+n-1)，y(k+n-2)滞后一个采样周期y(k+n)与u(k+n-1)及该时刻以前的输入输出信号有关y(k

19、+n)：u(k+n-1)u(k+n-2)，u(k+n-3)y(k+n-1)，y(k+n-2)这种输出信号与输入信号及该时刻以前的输入和输出之间的关系可表示为12012()(1)(2)()()(1)(2)()nny kna y kna y kna y kb u knbu knb u knb u k或10()()()nnjjjjy kna y knjb u knj 下一页上一页计算机控制技术课件292)脉冲传递函数(1)脉冲传递函数的定义传递函数和脉冲传递函数设输入信号的z变换为U(z)，输出信号的z变换为Y(z)，则其脉冲传递函数为：()()()Y zG zU z(2)脉冲传递函数的求解由差分方

20、程求脉冲传递函数例2-7 设数字计算机实现的差分方程为 ，求脉冲传递函数H(z)。11kkkyyTe解：两边取z变换得整理得11()()()Y zz Y zTz E z11()(1)()Y zzTE z z脉冲传递函数为11()()()1Y zTzH zE zz下一页上一页计算机控制技术课件30由G(s)求脉冲传递函数例2-8 设 ，求脉冲传递函数H(z)。()()aG ss sa解：将G(s)分解成部分分式之和的形式12()()aAAG ss sassa求待定系数10lim1()saAss sa2lim()1()saaAsas sa11()G sssa查表得：(1)()1(1)()aTaTaTzzzeH zzzezze下一页上一页计算机控制技术课件312.2.4离散系统的稳定性（条件）和瞬态响应1)稳定条件下一页上一页计算机控制技术课件322.2.4离散系统的稳定性（条件）和瞬态响应2)瞬态响应(1)实轴上的单极点下一页上一页计算机控制技术课件332.2.4离散系统的稳定性（条件）和瞬态响应2)瞬态响应(2)共轭复极点下一页上一页计算机控制技术课件34