有限元法基础讲义

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1、南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966有限元法基础讲义有限元法基础讲义南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966有限元法基础讲义有限元法基础讲义.前言前言.绪论绪论.弹性力学基本概念与方法弹性力学基本概念与方法.平面问题的有限元法平面问题的有限元法.轴对称问题的有限元法轴对称问题的有限元法.有限元方程的解法有限元方程的解法.有限元法的程序设计有限元法的程序设计.等参数单元等参数

2、单元南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966前言前言.课程简介课程简介.学习课程的基本要求学习课程的基本要求.选用教材，参考书选用教材，参考书南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966课程简介课程简介 有限元法基础这门课主要讲授有限原法的基础概念有限元法基础这门课主要讲授有限原法的基础概念与原理，基本方法与程序（有限元）的基本使用方法，与原理，基本方法与程序（有限元）的基本使用方

3、法，同时补充部分弹性力学的基本概念。课题讲授中心平面同时补充部分弹性力学的基本概念。课题讲授中心平面问题为主，重点讲授三角形单元，等参数单元求解平面问题为主，重点讲授三角形单元，等参数单元求解平面问题的基本理论与方法，同时介绍有限元方程组的解法问题的基本理论与方法，同时介绍有限元方程组的解法，以，以ANSYSANSYS程序为例讲解有限元程序的使用方法，并通程序为例讲解有限元程序的使用方法，并通过上机操作熟悉该软件。过上机操作熟悉该软件。南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966 通过介绍

4、有限元法的基本概念，理论，方法与程序，通过介绍有限元法的基本概念，理论，方法与程序，使学生能够掌握其求解力学问题的特点，解题过程，熟悉使学生能够掌握其求解力学问题的特点，解题过程，熟悉一种有限元程序，初步具备使用有限元方法解决工程设计一种有限元程序，初步具备使用有限元方法解决工程设计分析问题的能力。分析问题的能力。本课程讲授的目的本课程讲授的目的南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966本课程的要求本课程的要求1.做好笔记，及时复习与总结做好笔记，及时复习与总结2.阅读参考书籍独立上机操

5、作阅读参考书籍独立上机操作3.独立上机操作独立上机操作南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966选用教材及参考书选用教材及参考书 机械工程中的有限元基础机械工程中的有限元基础 高德平主编高德平主编 西北工业大学出版社西北工业大学出版社 参考书：参考书：有限元法有限元法 李景涌编李景涌编 北京邮电大学出版社北京邮电大学出版社 有限单元发基本原理和数值方法有限单元发基本原理和数值方法 王冒城编王冒城编 清华出版社清华出版社弹性力学简明教程弹性力学简明教程 徐芝纶徐芝纶 高等教育出版社高等教育

6、出版社 南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966.有限元法的一般概念有限元法的一般概念.有限元法与其他课程之间的关系有限元法与其他课程之间的关系绪论绪论南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966有限元法是求解数理方程的一种数值计算方法，是解决工程有限元法是求解数理方程的一种数值计算方法，是解决工程实际问题的一种有力的数值计算工具，最初这种方法被用来研究实际问题的一种有力的数值计算

7、工具，最初这种方法被用来研究复杂的飞机结构中的应力，是将弹性理论，计算数学和计算机软复杂的飞机结构中的应力，是将弹性理论，计算数学和计算机软件有机的结合在一起的一种数值分析技术。由于这一方法的灵活，件有机的结合在一起的一种数值分析技术。由于这一方法的灵活，快速和有效性，是齐迅速发展成为求解各领域的数理方程快速和有效性，是齐迅速发展成为求解各领域的数理方程 的一的一种通用的近似计算方法，目前已在许多学科领域种通用的近似计算方法，目前已在许多学科领域 和工程问题中和工程问题中得到广泛的应用。得到广泛的应用。常用数值分析方法：差分法，有限元法，有限体积法，边界元法常用数值分析方法：差分法，有限元法，

8、有限体积法，边界元法 有限元法的一般概念有限元法的一般概念南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966有限元法的基本思想有限元法的基本思想将一个连续的求解域（连续体）离散化即分割成彼此用节点（离将一个连续的求解域（连续体）离散化即分割成彼此用节点（离散点）互相联系的有限个单元，在单元体内假设近似解的模式，用有散点）互相联系的有限个单元，在单元体内假设近似解的模式，用有限个结点上的未知参数表征单元的特性，然后用适当的方法，将各个限个结点上的未知参数表征单元的特性，然后用适当的方法，将各个单元

9、的关系式组合成包含这些未知参数的代数方程，得出个结点的未单元的关系式组合成包含这些未知参数的代数方程，得出个结点的未知参数，再利用插值函数求出近似解。是一种有限的单元离散某连续知参数，再利用插值函数求出近似解。是一种有限的单元离散某连续体然后进行求解得一种数值计算的近似方法。体然后进行求解得一种数值计算的近似方法。由于单元可以被分割各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好由于单元可以被分割各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好的适应复杂的几何形状，复杂的材料特性和复杂的边界条件，再加上的适应复杂的几何形状，复杂的材料特性和复杂的边界条件，再加上它有成熟的大型软件系统支持，使它已成为一种非常受欢迎

10、的，应用它有成熟的大型软件系统支持，使它已成为一种非常受欢迎的，应用极广的数值计算方法。极广的数值计算方法。南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966有限元法的基本求解步骤有限元法的基本求解步骤位移型有限元法求解静力问题的一般步骤：位移型有限元法求解静力问题的一般步骤：）划分单元；）划分单元；）计算单元刚度矩阵；）计算单元刚度矩阵；）进行载荷移置；）进行载荷移置；）引入约束，解方程组求得位移；）引入约束，解方程组求得位移；）计算应力和应变。）计算应力和应变。注：若以节点力为未知参数，先求

11、出节点处的节点力，后求位移与应注：若以节点力为未知参数，先求出节点处的节点力，后求位移与应力的方法，称为力型有限元法。力的方法，称为力型有限元法。南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966有限元法的基本概念有限元法的基本概念结构离散化：结构离散化：1）划分网格；）划分网格；2）载荷移置；）载荷移置；3）简化约束。）简化约束。单元刚度矩阵与刚度系数：单元刚度矩阵与刚度系数：1）单元刚度矩阵物理意义为单元抵抗变形的能力；）单元刚度矩阵物理意义为单元抵抗变形的能力；2）刚度系数的物理意义是产生

12、单位位移时需要的力的大小。）刚度系数的物理意义是产生单位位移时需要的力的大小。南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966有限元法与其他课程的关系有限元法与其他课程的关系力学的分类力学的分类南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966各学科的任务与特点各学科的任务与特点材料力学：研究杆状构件在拉压，剪切，弯曲，扭转作用材料力学：研究杆状构件在拉压，剪切，弯曲，扭转作用 下的应力和位移。

13、下的应力和位移。结构力学：在材料力学基础上研究杆状构件所组成的结构结构力学：在材料力学基础上研究杆状构件所组成的结构 例如，行架，刚架等，这些都是所谓的杆件系统。例如，行架，刚架等，这些都是所谓的杆件系统。弹性力学：非杆状结构，例如板和水坝，地基等实体结构以弹性力学：非杆状结构，例如板和水坝，地基等实体结构以及对杆状构件作进一步，较精确的分析。它与材及对杆状构件作进一步，较精确的分析。它与材 料力学的研究方法不同，主要是在材力中引入了料力学的研究方法不同，主要是在材力中引入了构件形变状态或应力分布的假设构件形变状态或应力分布的假设 ，使数学推导大，使数学推导大大简化，其解是理论解（近似的），而

14、弹性力学大简化，其解是理论解（近似的），而弹性力学南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966则更精确一些。则更精确一些。计算力学：是应用结构力学，弹性力学，计算数学，计算机学计算力学：是应用结构力学，弹性力学，计算数学，计算机学的一个结合，提供近似的数值计算方法，解决问题，的一个结合，提供近似的数值计算方法，解决问题，而有限元法是其中的一种方法。而有限元法是其中的一种方法。上述各种方法最终目标是确立研究对象的应力，形变和位移，上述各种方法最终目标是确立研究对象的应力，形变和位移，用以校核

15、其是否有所需要的强度和刚度。用以校核其是否有所需要的强度和刚度。各学科的任务与特点各学科的任务与特点南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966弹性力学中的基本概念与方法弹性力学中的基本概念与方法.弹性力学弹性力学.弹性力学中的基本假定弹性力学中的基本假定.弹性力学中的基本概念弹性力学中的基本概念南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966弹性力学弹性力学即弹性体力学，有称弹性理论，是

16、固体力学的一个即弹性体力学，有称弹性理论，是固体力学的一个分支，主要研究弹性体由于受外力作用或温度改变以及分支，主要研究弹性体由于受外力作用或温度改变以及边界条件变化等原因发生的应力，形变和位移。边界条件变化等原因发生的应力，形变和位移。南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966（1 1）假定物体是连续的）假定物体是连续的 假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙，这样物体内的应力，形变，位移等才可能是连续的，因

17、任何空隙，这样物体内的应力，形变，位移等才可能是连续的，因而用坐标的连续函数来表示它们的变化规律。只要组成物体的微观而用坐标的连续函数来表示它们的变化规律。只要组成物体的微观尺寸及相林微粒之间的距离都比物体的尺寸小很多，那麽假定引起尺寸及相林微粒之间的距离都比物体的尺寸小很多，那麽假定引起的误差就不大。的误差就不大。（2 2）假定物体是完全弹性的）假定物体是完全弹性的 完全弹性提出是物体能完全恢复原形而没有剩余形变。这样物完全弹性提出是物体能完全恢复原形而没有剩余形变。这样物体在任一瞬时的形变就完全决定于它在这一瞬时所受的外力，而与体在任一瞬时的形变就完全决定于它在这一瞬时所受的外力，而与它的

18、过去受力状况无关，完全弹性体服从虎克定律；，也就是形变它的过去受力状况无关，完全弹性体服从虎克定律；，也就是形变与引起该形变的应力呈正比（线形弹性），弹性常数不随应力或形与引起该形变的应力呈正比（线形弹性），弹性常数不随应力或形变而变。变而变。弹性力学中的基本假定弹性力学中的基本假定南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966（3）假定物体是均匀的）假定物体是均匀的也就是，整个物体由同一材料组成，各部分具有相同的弹也就是，整个物体由同一材料组成，各部分具有相同的弹性。性。（4）假定物体是各

19、向同性的）假定物体是各向同性的即物体的弹性在各个方向都相同，这样，物体的弹性常数即物体的弹性在各个方向都相同，这样，物体的弹性常数才不随访向而变。由于钢材作成的构件，虽然包含有各向异性才不随访向而变。由于钢材作成的构件，虽然包含有各向异性的晶体，但晶体很微小，且随机排列，所以起弹性大致是相同的晶体，但晶体很微小，且随机排列，所以起弹性大致是相同的。的。符合以上四个假定的物体，就称为理想弹性体。符合以上四个假定的物体，就称为理想弹性体。弹性力学中的基本假定弹性力学中的基本假定南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fa

20、x:(025)4895966弹性力学中的基本假定弹性力学中的基本假定（5）假定位移和形变是微小的）假定位移和形变是微小的即假定物体受力后，整个物体所有各点的位移都远远小于物体即假定物体受力后，整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966弹性力学中的基本概念弹性力学中的基本概念（1）外力）外力 分为体积力和表面力，简称为体力和面力。分为体积力和表面力，简称为体力和面力。体力：是分布在物

21、体体积内的力。如重力和惯性力体力：是分布在物体体积内的力。如重力和惯性力 (N/m3)(N/m2)FVQVlim0FSQS0lim南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966面力：是分布在物体表面上的力。如流体压力和接触力面力：是分布在物体表面上的力。如流体压力和接触力 F F 在在x x，y y，z z轴上的投影轴上的投影X X，Y Y，Z Z称为该物体在称为该物体在P P点的体力分量，点的体力分量，以沿坐标轴正向为正，沿坐标轴负向为负。以沿坐标轴正向为正，沿坐标轴负向为负。F F在在x

22、 x，y y，z z轴上的投影轴上的投影 ，称为在称为在P P点的面力分量，以沿坐点的面力分量，以沿坐标轴正向为正，沿坐标轴负向为负。标轴正向为正，沿坐标轴负向为负。（2 2）应力：研究物体在某一点）应力：研究物体在某一点P P的内力。的内力。研究物体在其某一点研究物体在其某一点P的内力的内力弹性力学中的基本概念弹性力学中的基本概念X YZsAQA0lim南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966这个极限矢量这个极限矢量S就是物体在截面就是物体在截面 mn上的，在上的，在P点的应力，应力

23、点的应力，应力的的S方向就是方向就是 Q 的极限方向。对于应力，处了推导公式外，通常的极限方向。对于应力，处了推导公式外，通常不用它在坐标轴方向的分量不用它在坐标轴方向的分量,，因为这些分量与物体的形变或材料强，因为这些分量与物体的形变或材料强度都没有直接的关系。与物体的形变或材料强度直接相关的，是应度都没有直接的关系。与物体的形变或材料强度直接相关的，是应力在其作用截面的法线方向的分量，也就是正应力力在其作用截面的法线方向的分量，也就是正应力 及剪应力及剪应力 。因。因次次（N/m*2 ）显然可见，在物体内的一点显然可见，在物体内的一点P，不同街面上的应力是不同的，为，不同街面上的应力是不同

24、的，为了分析这一点的应力状态，即各街面上的应力的大小和方向。了分析这一点的应力状态，即各街面上的应力的大小和方向。弹性力学中的基本概念弹性力学中的基本概念南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966弹性力学中的基本概念弹性力学中的基本概念 PA=x PB=y y PC=z z南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966弹性力学中的基本概念弹性力学中的基本概念例如：例如：x是作用在垂直于

25、是作用在垂直于x轴的面上轴的面上 xy表示表示“x”垂直于垂直于x轴，表示轴，表示“y”沿着沿着y轴的方向轴的方向 正面正面截面上的外法线坐标轴的正向，沿正向为正截面上的外法线坐标轴的正向，沿正向为正 负面负面截面上的外法线坐标轴的负向，沿负向为正截面上的外法线坐标轴的负向，沿负向为正 剪应力与材料力学的不同剪应力与材料力学的不同 南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966 六个剪应力之间有一定的互等关系。例如，以六个剪应力之间有一定的互等关系。例如，以ab为矩轴，可得：为矩轴，可得：同

26、理：同理：zx=xz xy=yx 可以证明：在物体的任意一点，如果已知可以证明：在物体的任意一点，如果已知 x、y、z、yz、zx、xy就可求得经过该点的任意截面上的正应力和剪应力。因此，就可求得经过该点的任意截面上的正应力和剪应力。因此，六个分量可以完全确定该点的应力状态。六个分量可以完全确定该点的应力状态。（3）形变：就是形状的改变，可以归结为长度和角度的改变。）形变：就是形状的改变，可以归结为长度和角度的改变。为了分析物体在某一点的形态状态，在这一点沿着坐标轴为了分析物体在某一点的形态状态，在这一点沿着坐标轴 x,y ,z的正方向取三个微小的线段的正方向取三个微小的线段PA，PB，PC。

27、物体变形后，三个线。物体变形后，三个线段的长度及它们之间的角度都将改变。段的长度及它们之间的角度都将改变。zyyzzyyzzxyyxz02222弹性力学中的基本概念弹性力学中的基本概念南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966各线段的每个单位长度的伸缩，即单位伸缩或相对伸缩称为正应各线段的每个单位长度的伸缩，即单位伸缩或相对伸缩称为正应变，各线段之间直角的改变，用弧度表示，称为剪应变，分别用变，各线段之间直角的改变，用弧度表示，称为剪应变，分别用 x ,xz表示。表示。正应变以伸长时为正

28、，缩短是为正。正应变以伸长时为正，缩短是为正。剪应变以直角变小时为正，变大时为负。剪应变以直角变小时为正，变大时为负。可以证明，物体任意一点，如果已知了六个应变分量可以证明，物体任意一点，如果已知了六个应变分量 x ,y ,z,yz,zx,xy 就可以求得经过该点的任意线段的正应变，也可以求得经就可以求得经过该点的任意线段的正应变，也可以求得经过该点的任意两个线段之间角度的改变。因此，这六个应变，称为该过该点的任意两个线段之间角度的改变。因此，这六个应变，称为该点的形变分量，可以完全确定该点的形态状态。点的形变分量，可以完全确定该点的形态状态。弹性力学中的基本概念弹性力学中的基本概念南京航空航

29、天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966 （4）位移：就是位置的移动，物体内任意一点的位移，用它在）位移：就是位置的移动，物体内任意一点的位移，用它在x，y，z三轴上的投影三轴上的投影u，v，w来表示，它们沿坐标轴的正向为正，负向来表示，它们沿坐标轴的正向为正，负向为负。这三个投影称为该点的位移分量，因次是长度。为负。这三个投影称为该点的位移分量，因次是长度。一般而言，弹性体内任意一点的体力分量，面力分量，应力分量，一般而言，弹性体内任意一点的体力分量，面力分量，应力分量，形变分量和位移分量，都

30、是随着该点的位置而变的，因而都是位置坐形变分量和位移分量，都是随着该点的位置而变的，因而都是位置坐标的函数。标的函数。在弹性力学的问题里，通常已知物体的形状和大小，（即已知物在弹性力学的问题里，通常已知物体的形状和大小，（即已知物体的边界），物体的弹性常数，物体所受的力，物体边界上的约束情体的边界），物体的弹性常数，物体所受的力，物体边界上的约束情况或面力，而应力分量，形变分量和位移分量则是需求解的。况或面力，而应力分量，形变分量和位移分量则是需求解的。弹性力学中的基本概念弹性力学中的基本概念南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)48922

31、02-2504 Fax:(025)4895966弹性力学中的基本概念弹性力学中的基本概念 为了由弹性力学中的已知量求出未知量，必须建立这些已知为了由弹性力学中的已知量求出未知量，必须建立这些已知量与未知量之间的关系，以及个未知量之间的关系，从而倒出一量与未知量之间的关系，以及个未知量之间的关系，从而倒出一套求解的方程。套求解的方程。在倒出方程时，可以从三个方面来分析：在倒出方程时，可以从三个方面来分析：1 静力学方面，建立应力，体力，面力之间的关系静力学方面，建立应力，体力，面力之间的关系 2 几何学方面，建立位移，形变，边界位移之间的关系几何学方面，建立位移，形变，边界位移之间的关系 3 物

32、理学方面，建立形变，应力之间的关系物理学方面，建立形变，应力之间的关系南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966平面问题的基本理论平面问题的基本理论.平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题.平衡微分方程平衡微分方程.平面问题中的点的应力状态平面问题中的点的应力状态.几何方程与刚体位移几何方程与刚体位移.物理方程物理方程.边界条件与圣维南原理边界条件与圣维南原理.总结总结南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202

33、-2504 Fax:(025)4895966平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题 任何一个弹性体都是空间的物体，一般的外力都是空间力系。任何一个弹性体都是空间的物体，一般的外力都是空间力系。但如果所考察的弹性体具有某种特殊的形状，并承受特殊的外力，但如果所考察的弹性体具有某种特殊的形状，并承受特殊的外力，就可以向空间问题简化成近似的平面问题，这样处理分析和计算就可以向空间问题简化成近似的平面问题，这样处理分析和计算工作量将大为减少，而所的成果却仍然可以满足工程上的精确度工作量将大为减少，而所的成果却仍然可以满足工程上的精确度的要求。的要求。南京航空航天大学能源与动力学院机械振动

34、冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966（1）平面应力问题）平面应力问题设有很薄的等厚度板，受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力。设有很薄的等厚度板，受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力。如，平板坝的平板支墩如，平板坝的平板支墩平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题设板的厚度为设板的厚度为t，以薄板的中面为，以

35、薄板的中面为xy面，因为板面上面，因为板面上(z=t/2)不受力，所以有不受力，所以有(z)z=t/2=0,(zx)z=t/2=0,(zy)z=t/2=0 y=0,zx=0,zy=0 六个独立六个独立 x，y，xy=yx 3个且只是个且只是x，y的函数，不的函数，不随随z而变化而变化南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966（2）平面应变问题）平面应变问题 与上相反，设有很长的柱形体，受有平行于横截面而且不沿与上相反，设有很长的柱形体，受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力。长度变化的面

36、力。假设该物体为无限长，可以以任假设该物体为无限长，可以以任意横截面为意横截面为 x 轴，则所有的量都不沿轴，则所有的量都不沿 z 变化，而只是变化，而只是 x,y 的函数，只有的函数，只有 x,y 的位移而的位移而 z 向位移为向位移为 0，因为所有个，因为所有个点的位移矢都平行于点的位移矢都平行于 xy 面，称为平面面，称为平面位移问题，但习惯上称为平面应变问题。位移问题，但习惯上称为平面应变问题。00zyzx平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(0

37、25)4895966 由对称性由对称性 zx=0,zy=0 剪应力互等剪应力互等 xz=0,yz=0 但由于但由于 z 方向方向伸缩被阻止，伸缩被阻止，z 一般不等于零。一般不等于零。平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题 从静力学角度出发介绍应力分量与体力分量之间的关系式即从静力学角度出发介绍应力分量与体力分量之间的关系式即平衡微分方程平衡微分方程见图：见图：南京航空航天大学能

38、源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966 通过中心通过中心 C 并平行于并平行于 z 轴的直线为矩轴轴的直线为矩轴 以以 x 轴为投影轴轴为投影轴 以以 y 轴为投影轴轴为投影轴说明说明：（1）三个未知数）三个未知数 （2）平面应变问题中，）平面应变问题中，z 不影响方程的建立，同样适用不影响方程的建立，同样适用00YxyFxyyy00XyxFyxxxyxxycM0平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(02

39、5)4892202-2504 Fax:(025)4895966平面问题中的点的应力状态平面问题中的点的应力状态 继续考虑平面问题的静力学方面，假定已知任一点继续考虑平面问题的静力学方面，假定已知任一点 P P出的应出的应力分量力分量 x，y，xy=yx ，求出经过该点的平行于，求出经过该点的平行于 z z 轴而倾轴而倾斜斜 z z 于轴，于轴，y y 轴的任何斜面上的应力。轴的任何斜面上的应力。南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966平面问题中的点的应力状态平面问题中的点的应力状态取平

40、面，当取平面，当 平面平面上的应力就成为点斜面的上的应力就成为点斜面的应力代表斜面的外法线方向，其方向余弦为：应力代表斜面的外法线方向，其方向余弦为：cos(N,x)=l,coscos(N,x)=l,cos(N,y)=m(N,y)=m(1)(1)设斜面长度为设斜面长度为dsds，ldslds，mds mds ldslds mdsmds=PABPAB由由 FxFx=0=0 XN=l x+m xy FyFy=0=0 YN=m y+l xy(2)(2)正应力正应力 N，剪应力为，剪应力为 N投影关系可得：投影关系可得：N=l XN+m YN=l 2 z+m 2 y+2lm xy N=l YN m Y

41、N=lm(y x)+(l 2 m 2)xy 南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966 如果已知如果已知 点处的应力分量点处的应力分量 x，y，xy 就可以求出任意斜面就可以求出任意斜面上的正应力上的正应力 N，剪应力，剪应力 N。设经过设经过 P 点的某一斜面上的剪应力等于零，则该斜面上的正应点的某一斜面上的剪应力等于零，则该斜面上的正应力称为力称为 P 点上的一个主应力，而该斜面称为点上的一个主应力，而该斜面称为P 点的一应力主面，该点的一应力主面，该斜面的法线方向（即主应力的方向）

42、称为斜面的法线方向（即主应力的方向）称为 P 点的一个应力主向。点的一个应力主向。主应力经推导可得出：主应力经推导可得出：平面问题中的点的应力状态平面问题中的点的应力状态yxxyyxyx212221)2(2南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966 而而 1与与x轴的夹角为轴的夹角为 1，则，则 2与与x轴的夹角为轴的夹角为 2，1与与 2互相互相垂直垂直 同时两个主应力也就是最大最小的正应力。同时两个主应力也就是最大最小的正应力。最大最小的剪应力最大最小的剪应力 发生在发生在x轴与轴与

43、y轴成轴成45度的斜面上。度的斜面上。平面问题中的点的应力状态平面问题中的点的应力状态1111111cos)90cos(cossinlmtg)2()(121242llN南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966几何方程与刚体位移几何方程与刚体位移现从几何学方面考虑平面问题，介绍形变分量与位移分量之间现从几何学方面考虑平面问题，介绍形变分量与位移分量之间的关系式，的关系式，即几何方程。即几何方程。PA=dx PB=dyP,A,B,A,B 南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室

44、(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966几何方程与刚体位移几何方程与刚体位移PA的正应变不考虑的正应变不考虑y向位移向位移v引起的引起的PA伸缩。同理伸缩。同理PB的正应变的正应变PA与与PB间直角的改变，即剪应变：间直角的改变，即剪应变：xy由两部分组成由两部分组成 (1)由由y向位移向位移v引起的，即引起的，即x向向PA的转角的转角(2)由由x向位移向位移u引起的，即引起的，即y向向PB的转角的转角xudxuxuux)(xyyxdxdxx)(xu南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(02

45、5)4892202-2504 Fax:(025)4895966几何方程与刚体位移几何方程与刚体位移，减小为正减小为正剪应变剪应变则上式为几何方程：则上式为几何方程：平动，转动平动，转动000yuxxyyuxyxuxyyx000南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966 由上式可知：位移分量完全确定时，形变分量完全由上式可知：位移分量完全确定时，形变分量完全确定，反之则确定，反之则不成立。其原因是存在与形变无关的位移，因此必然是刚体位移。不成立。其原因是存在与形变无关的位移，因此必然是刚体

46、位移。既然物体在形变为零时可以有刚体位移，可见，当物体发生一既然物体在形变为零时可以有刚体位移，可见，当物体发生一定形变时，由约束条件的不同，它可能有不同的刚体位移，因而它的定形变时，由约束条件的不同，它可能有不同的刚体位移，因而它的位移并不是完全确定的。在平面问题中，存在两个刚体位移，一个转位移并不是完全确定的。在平面问题中，存在两个刚体位移，一个转动位移。因而为了完全确定位移，就必须有三个适当的约束条件来确动位移。因而为了完全确定位移，就必须有三个适当的约束条件来确定这三个常数。定这三个常数。几何方程与刚体位移几何方程与刚体位移南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:2

47、10016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966物理方程物理方程物理学方面，介绍形变分量与应力分量之间的关系式，即物理方程。物理学方面，介绍形变分量与应力分量之间的关系式，即物理方程。其中：其中：弹性模量（拉压）弹性模量（拉压）弹性模量（剪切）弹性模量（剪切）泊松常数（泊松比泊松常数（泊松比）xyxyxyxyyyxxEGEE)1(21)(1)(1南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966在应变问题中在应变问题中 如将如将 即可得相同方程即可得相同方

48、程)(0yxzz物理方程物理方程xyxyxyyyxxEEE)1(2)1(1)1(122112EE南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966以上我们介绍了以上我们介绍了 8 个方程，可当作平面问题中的基本方程。个方程，可当作平面问题中的基本方程。2 个平衡微分方程个平衡微分方程 3 个几何方程个几何方程 3 个物理方程个物理方程 集中包含集中包含 8 个未知数：个未知数：应力：应力：3 个个 形变：形变：3 个个 位移：位移：2 个个 因此在适当的边界条件下，从基本方程中求解未知函数是可能

49、的。因此在适当的边界条件下，从基本方程中求解未知函数是可能的。物理方程物理方程南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966边界条件与圣维南原理边界条件与圣维南原理 边界边界 位移边界：位移边界：应力边界：应力边界：混合边界：既有位移，又有应力混合边界：既有位移，又有应力 vvuuss,YlmXmlsxysysyxsx)()()()(南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966边界条件与

50、圣维南原理边界条件与圣维南原理 前提：前提：（1）求解弹力问题时，使应力分量，形变分量，位移分量完全）求解弹力问题时，使应力分量，形变分量，位移分量完全满足满足 基本方程并不困难，但使边界条件得到完全满足却有很大困基本方程并不困难，但使边界条件得到完全满足却有很大困难。难。（2）在实际问题中，在物体的一小部分边界上，仅知道面力的）在实际问题中，在物体的一小部分边界上，仅知道面力的合力，而面力分部方式不明确，无从考虑边界条件。合力，而面力分部方式不明确，无从考虑边界条件。因而，圣维南原理指出：如果把物体的一小部分边界上的面因而，圣维南原理指出：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换成为分布不同但

51、静力等效的面力（主矢量相同，对同一力，变换成为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对同一点的主矩也相同）那麽近处的应力分布将显著的改变，但远处所点的主矩也相同）那麽近处的应力分布将显著的改变，但远处所受的影响可以不计。受的影响可以不计。南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966边界条件与圣维南原理边界条件与圣维南原理南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966圣维南原理也可陈述成：

52、如果物体一小部分边界上的面力是圣维南原理也可陈述成：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢及主矩都等于零），那麽，这个面力就只会一个平衡力系（主矢及主矩都等于零），那麽，这个面力就只会使得近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。使得近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。边界条件与圣维南原理边界条件与圣维南原理南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966总总 结结（1）有限元的基本概念）有限元的基本概念（2）弹性力学的基本假定，基本概念与基本方程）弹性力学的基本假定，基本概念

53、与基本方程 南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966平面问题的有限元法平面问题的有限元法.引言引言.位移函数位移函数.位移函数的一般形式位移函数的一般形式.三节点三角形单元的位移函数三节点三角形单元的位移函数.位移函数及其性质位移函数及其性质.位移函数与解的收敛性位移函数与解的收敛性.单元刚度方程单元刚度方程.基本方法基本方法.三角形平面单元的单元刚度矩阵三角形平面单元的单元刚度矩阵.单元刚度矩阵的性质单元刚度矩阵的性质南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210

54、016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966平面问题的有限元法平面问题的有限元法.载荷移置与等效节点载荷载荷移置与等效节点载荷.非节点载荷的移置非节点载荷的移置.载荷移置的普遍公式载荷移置的普遍公式.载荷移置举例载荷移置举例.，.（自学）（自学）.结构刚度方程结构刚度方程.集合的基本原则集合的基本原则.结构刚度的建立结构刚度的建立.形成总刚的常用方法形成总刚的常用方法.总刚的性质及其应用总刚的性质及其应用南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966.

55、位移边界条件的处理位移边界条件的处理.总刚的奇异性总刚的奇异性.处理位移边界条件的常用方法处理位移边界条件的常用方法.应力计算应力计算.基本公式基本公式.变温应力的计算变温应力的计算.应力的表示方法应力的表示方法.主应力和主方向主应力和主方向.解题示例与公式推广解题示例与公式推广.解题示例解题示例南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966平面问题的有限元法平面问题的有限元法.位移型有限元法求解线弹性静力问题的普遍公式位移型有限元法求解线弹性静力问题的普遍公式.斜边界问题的处理斜边界问题的

56、处理.六节点三角形单元六节点三角形单元南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966引言引言一为什么先进行平面问题的有限元法：一为什么先进行平面问题的有限元法：.平面问题的有限元分析较简单，具有典型性平面问题的有限元分析较简单，具有典型性.在工程应用中有其实际意义，主要表现在在满足工程精度的要求在工程应用中有其实际意义，主要表现在在满足工程精度的要求下，降低问题的复杂性，提高分析问题的效率。下，降低问题的复杂性，提高分析问题的效率。.平面问题的有限元分析是今后进一步分析轴对称问题，三维问题平

57、面问题的有限元分析是今后进一步分析轴对称问题，三维问题及板壳问题的基础。从平面问题的有限元法分析入手，可有利于有及板壳问题的基础。从平面问题的有限元法分析入手，可有利于有限元基本概念、方法、理论的理解与掌握。限元基本概念、方法、理论的理解与掌握。南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966引言引言二选用的单元类型及特点二选用的单元类型及特点进行平面问题研究时，选用三角形单元较简单。三节点的三角进行平面问题研究时，选用三角形单元较简单。三节点的三角形单元又是最简单而又被广泛采用的一种单元类型

58、。形单元又是最简单而又被广泛采用的一种单元类型。由于在平面问题分析中，结构发生的是平面变形，三角形的三由于在平面问题分析中，结构发生的是平面变形，三角形的三个节点可以看作是平面铰，每个节点具有两个自由度，这样共有个节点可以看作是平面铰，每个节点具有两个自由度，这样共有个节点个自由度，如果节点位移或其中某一个分量为零时，可在个节点个自由度，如果节点位移或其中某一个分量为零时，可在该节点处设置一个平面铰支座或连杆支座，以限制其位移。由三角该节点处设置一个平面铰支座或连杆支座，以限制其位移。由三角单元离散的结构是由三角形单元的节点铰接而成的。单元离散的结构是由三角形单元的节点铰接而成的。南京航空航天

59、大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966引言引言三三角形单元的网格剖分原则三三角形单元的网格剖分原则.各节点必须相连。各节点必须相连。如图所示中（如图所示中（a）是正确的，而（）是正确的，而（b）是错误的。）是错误的。南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966引言引言.三角形单元不能奇异，也就是三角形单元中的三个边长不能相差三角形单元不能奇异，也就是三角形单元中的三个边长不能相差太大，或者有

60、过大的钝角或过小的锐角，如图示太大，或者有过大的钝角或过小的锐角，如图示南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966引言引言.单元的大小，数目取决于计算精度的要求和计算容量的限制单元的大小，数目取决于计算精度的要求和计算容量的限制分网时首先要满足计算精度的要求，同时可利用结构的对称性，分网时首先要满足计算精度的要求，同时可利用结构的对称性，循环对称性的特点，从厚结构中取出一部分进行分析，或者对有应循环对称性的特点，从厚结构中取出一部分进行分析，或者对有应力集中的构件，采用疏密不同的网格剖分

61、。也可以采用子结构法。力集中的构件，采用疏密不同的网格剖分。也可以采用子结构法。南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966引言引言.同一单元内的结构，几何特性与材料特性相同，也就是不要把厚同一单元内的结构，几何特性与材料特性相同，也就是不要把厚度不同或材料不同的区域划分在同一个单元里。度不同或材料不同的区域划分在同一个单元里。南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966引言引言四节点

62、编号的约定四节点编号的约定.节点编号分为局部节点编号和总体节点编号两种节点编号分为局部节点编号和总体节点编号两种如下图中的矩形，分为个节点，个单元，其中，如下图中的矩形，分为个节点，个单元，其中，为总体节点编号。而对于任一单元，为总体节点编号。而对于任一单元 中，为局中，为局部部节点编号，在公式推导中用节点编号，在公式推导中用i，j，m编号我们约定其为逆时针顺序。编号我们约定其为逆时针顺序。这主要是因为要保证用这主要是因为要保证用i，j，m节点计算的单元面积为正值，如下图：节点计算的单元面积为正值，如下图：南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(02

63、5)4892202-2504 Fax:(025)4895966引言引言.相邻节点号的差值要尽可能小。如图相邻节点号的差值要尽可能小。如图 最大差值为最大差值为5 最大差值为最大差值为4 南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966五三角形单元划分的示例五三角形单元划分的示例南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966位移函数位移函数结构离散化后，要对单元进行力学特性分析，也就是确定单元

64、结构离散化后，要对单元进行力学特性分析，也就是确定单元节点力与节点位移之间的关系，这时就需要把单元内的任一点的位节点力与节点位移之间的关系，这时就需要把单元内的任一点的位移分量表示成坐标的某种函数。这种函数就叫位移函数。移分量表示成坐标的某种函数。这种函数就叫位移函数。南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966位移函数位移函数位移函数的一般介绍位移函数的一般介绍.定义：把单元中任一点的位移分量与坐标的函数关系叫位移函数定义：把单元中任一点的位移分量与坐标的函数关系叫位移函数或叫位移模式。

65、或叫位移模式。南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966位移函数位移函数.选择位移函数的原因选择位移函数的原因（）决定了单元的力学特性。（意义）（）决定了单元的力学特性。（意义）（）反映了单元的位移形态。（物理意义）（）反映了单元的位移形态。（物理意义）（）它是利用位移法求解问题的开始。（基础）（）它是利用位移法求解问题的开始。（基础）南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966位移

66、函数位移函数.位移函数必须具备的条件位移函数必须具备的条件（）在节点上的值应等于节点的位移（）在节点上的值应等于节点的位移（）所采用的函数必须保证有限元的解收敛于真实解（）所采用的函数必须保证有限元的解收敛于真实解南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966位移函数的一般形式位移函数的一般形式位移函数一般为多项式形式，这样处理是从两方面出发的（）位移函数一般为多项式形式，这样处理是从两方面出发的（）进行数学运算（如微分，积分）较简单（）任意阶次的多项式可进行数学运算（如微分，积分）较简单（）任意阶次的多项式可以近似地表示精确解，其一般形式为：以近似地表示精确解，其一般形式为：u=u(x,y)=1+2x+3y+4x2+5xy+6y2+mynv=v(x,y)=m+1+m+2x+2myn （-）式中式中:,其中其中 1 m为待定系数。为待定系数。式中的式中的 也称为广义坐标，这种描述方式又称为广义坐标形式。也称为广义坐标，这种描述方式又称为广义坐标形式。（一维形式多项式（一维形式多项式u