应力与应变

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1、第三章 应力与强度计算一.内容提要 本章介绍了杆件发生基本变形时的应力计算，材料的力学性能，以及基本变形的强度计 算。1拉伸与压缩变形1.1 拉（压）杆的应力1.1.1拉（压）杆横截面上的正应力拉压杆件横截面上只有正应力Q，且为平均分布，其计算公式b = FN（3-1）A式中J为该横截面的轴力，A为横截面面积。正负号规定 拉应力为正，压应力为负。 公式（3-1）的适用条件：（1）杆端外力的合力作用线与杆轴线重合，即只适于轴向拉（压）杆件；如果是偏 心受压或受拉的轻质杆件，那么必然存在靠近轴力的一侧受压，远离轴力的一 侧受拉，应力肯定不同，方向相反。并存在中和轴。（即应力在中和轴处为0）（2）适

2、用于离杆件受力区域稍远处的横截面（大于截面宽度的长度范围内圣维南）（3）杆件上有孔洞或凹槽时，该处将产生局部应力集中现象，横截面上应力分布很不 均匀（即应力集中；（4）截面连续变化的直杆，杆件两侧棱边的夹角a 200时，可应用式（3-1）计算，所得结果的误差约为3%。1.1.2拉（压）杆斜截面上的应力（如图3-1）拉压杆件任意斜截面（a图）上的应力为平均分布，其计算公式为全应力P严cos八3-2）正应力cos2a（3-3）切应力幕=b sin 2a3-4)式中b为横截面上的应力。正负号规定：d 由横截面外法线转至斜截面的外法线，逆时针转向为正，反之为负。 拉应力为正，压应力为负。dT 对脱离体

3、内一点产生顺时针力矩的P为正，反之为负。 dd两点结论：（1）当a= 00时，即横截面上，达到最大值，即G ）= 。当d =900时，即d d max纵截面上， =900 =0。dd（2）当a = 45。时，即与杆轴成45。的斜截面上，t达到最大值，即（t ）= da max 2。12拉（压）杆的应变和胡克定律（1）变形及应变 杆件受到轴向拉力时，轴向伸长，横向缩短；受到轴向压力时，轴向缩短，横向伸长如图3-2。图3-2轴向变形轴向线应变Al = l -11Al =l横向变形Ab = b - b1Ab横向线应变 = 一 b正负号规定伸长为正，缩短为负。（2）胡克定律 当应力不超过材料的比例极限

4、时，应力与应变成正比。即 = E（3-5）或用轴力及杆件的变形量表示为FlAl = eA（3-6）式中EA称为杆件的抗拉（压）刚度，是表征杆件抵抗拉压弹性变形能力的量。 公式（3-6）的适用条件：（a） 材料在线弹性范围内工作，即；p（b）在计算Al时，l长度内其N、E、A均应为常量。如杆件上各段不同，则应分段计算, 求其代数和得总变形。即Ali=1Nlr-rEAii(3-7)(3) 泊松比当应力不超过材料的比例极限时，横向应变与轴向应变之比的绝对值。即(3-8)1.3 材料在拉(压)时的力学性能1.3.1低碳钢在拉伸时的力学性能 应力应变曲线如图3-3所示。图3-3 低碳钢拉伸时的应力应变曲

5、线卸载定律:在卸载过程中，应力和应变按直线规律变化。如图3-3中dd直线。冷作硬化：材料拉伸到强化阶段后，卸除荷载，再次加载时，材料的比例极限升高，而 塑性降低的现象，称为冷作硬化。如图3-3中d def曲线。图3-3中，of为未经冷作硬 化，拉伸至断裂后的塑性应变。d f为经冷作硬化，再拉伸至断裂后的塑性应变。四个阶段四个特征点，见表1-1。表1-1低碳钢拉伸过程的四个阶段阶段图1-5 中线段特征点说明弹性阶段oab比例极限p弹性极限Ce为应力与应变成正比的最咼应力 p为不产生残余变形的最咼应力e屈服阶段be屈服极限s为应力变化不大而变形显著增加时的最低s应力强化阶段ce抗拉强度b为材料在断

6、裂前所能承受的最大名义应力 b局部形变阶段ef产生颈缩现象到试件断裂表1-1主要性能指标，见表 1-2。表 1-2 主要性能指标性能性能指标说明弹性性能弹性模量Eza当a a 时，E p8强度性能屈服极限as材料出现显著的塑性变形抗拉强度ab材料的最大承载能力塑性性能l 一 l延伸率 S = -i x 100%材料拉断时的塑性变形程度A 一 A截面收缩率屮1 x100%A材料的塑性变形程度低碳钢压缩时的比例极限b、屈服极限a、弹性模量E与拉伸时基本相同，但测不出 ps抗压强度ab1.3.3 铸铁拉伸时的力学性能图 3-5 铸铁拉伸时的应力应变曲线应力应变曲线如图 3-5 所示。应力与应变无明显

7、的线性关系，拉断前的应变很小，试验时只能侧得抗拉强度a。弹 b性模量 E 以总应变为 0.1%时的割线斜率来度量。1.3.3铸铁压缩时的力学性能应力应变曲线如图3-6所示。图3-6铸铁压缩时的应力应变曲线 铸铁压缩时的抗压强度比拉伸时大45倍，破坏时破裂面与轴线成450 350 。宜于做 抗压构件。1.3.4塑性材料和脆性材料延伸率55%的材料称为塑性材料。延伸率55%的材料称为脆性材料。1.3.5屈服强度0.2对于没有明显屈服阶段的塑性材料，通常用材料产生0.2%的残余应变时所对应的应力 作为屈服强度，并以表示。0.21.4 强度计算许用应力 材料正常工作容许采用的最高应力，由极限应力除以安

8、全系数求得。塑性材料Q 二 ；脆性材料Q 二一bnnsb其中n ,n称为安全系数，且大于1。sb 强度条件：构件工作时的最大工作应力不得超过材料的许用应力。 对轴向拉伸(压缩)杆件Q =1q(3-9)A按式(1-4)可进行强度校核、截面设计、确定许克载荷等三类强度计算。2扭转变形2.1 切应力互等定理受力构件内任意一点两个相互垂直面上，切应力总是成对产生，它们的大小相等，方向 同时垂直指向或者背离两截面交线，且与截面上存在正应力与否无关。2.2纯剪切单元体各侧面上只有切应力而无正应力的受力状态，称为纯剪切应力状态。2.3切应变切应力作用下，单元体两相互垂直边的直角改变量称为切应变或切应变，用e

9、表示。2.4 剪切胡克定律在材料的比例极限范围内，切应力与切应变成正比，即(3-10)式中G为材料的切变模量，为材料的又一弹性常数（另两个弹性常数为弹性模量E及泊松比 v ），其数值由实验决定。对各向同性材料,E、v、G有下列关系(3-11)E2(l+v)2.5 圆截面直杆扭转时应力和强度条件 2.5.1横截面上切应力分布规律 用截面法可求出截面上扭矩，但不能确定切应力在横截面上的分布规律和大小。需通过 平面假设，从几何、物理、平衡三方面才能唯一确定切应力分布规律和大小。（1）沿半径成线性分布，圆心T = 0，最大切应力在圆截面周边上。（2）切应力方向垂直半径，圆截面上切应力形成的流向与该截面

10、上扭矩转向相等，图3-7。2.5.2切应力计算公式横截面上某一点切应力大小为T pT 二（3-12）pIp式中 I 为该截面对圆心的极惯性矩， p 为欲求的点至圆心的距离。p圆截面周边上的切应力为Tt 二（3-13）max WtI式中w r 称为扭转截面系数，R为圆截面半径。tR2.5.3切应力公式讨论（l） 切应力公式（3-12）和式（3-13）适用于材料在线弹性范围内、小变形时的等圆 截面直杆；对小锥度圆截面直杆以及阶梯形圆轴亦可近似应用，其误差在工程允 许范围内。（2） 极惯性矩I和扭转截面系数W是截面几何特征量，计算公式见表3-3。在面积 pt不变情况下，材料离散程度高，其值愈大；反映

11、出轴抵抗扭转破坏和变形的能力 愈强。因此，设计空心轴比实心轴更为合理。表3-3实心圆 (外径为d)兀d 4I p 32w J d 3t16空心圆 (外径为D, 内径为d)丁兀 D 4/1、1 = (1 a4) p32da 一Dn D 4W (1 a 4)t162.5.4强度条件 圆轴扭转时，全轴中最大切应力不得超过材料允许极限值，否则将发生破坏。因此，强 度条件为T )T =Wk(3-14)max|W t max对等圆截面直杆T maxmax Wt3-15)式中t 为材料的许用切应力。3弯曲变形的应力和强度计算3.1 梁横截面上正应力3.1.1中性层的曲率与弯矩的关系EI(3-16)式中，p是

12、变形后梁轴线的曲率半径；E是材料的弹性模量；I是横截面对中性轴ZE轴的惯性矩。3.1.2横截面上各点弯曲正应力计算公式Mb - y(3-17)Z式中，M是横截面上的弯矩；I的意义同上；y是欲求正应力的点到中性轴的距离。Z由式(3-17)可见，正应力b的大小与该点到中性轴的距离成正比。横截面上中性轴的一侧为拉应力，另一侧为压应力。 在实际计算中，正应力的正负号可根据梁的变形情况来确定，位于中性轴凸向一侧的各点均 为拉应力，而位于中性轴凹向一侧的各点均为压应力。最大正应力出现在距中性轴最远点处MM7max ymax(3-18)maxImaxzWz式中，W二厶称为抗弯截面系数。对于hXb的矩形截面，

13、W = 1 bh2 ；对于直径为D z y z 6max兀dK的圆形截面，W =诂D3 ；对于内外径之比为a = 的环形截面，W =右D3（1-a4）。z 32Dz 32若中性轴是横截面的对称轴，则最大拉应力与最大压应力数值相等，若不是对称轴，则最大 拉应力与最大压应力数值不相等。3.2 梁的正应力强度条件 梁的最大工作应力不得超过材料的容许应力，其表达式为3-19)M(7 maxmax W由正应力强度条件可进行三方面的计算：（1）校核强度 即已知梁的几何尺寸、材料的容许应力以及所受载荷，校核正应力 是否超过容许值，从而检验梁是否安全。2）设计截面即已知载荷及容许应力，可由式w备确定截面的尺寸

14、（3）求许可载荷即已知截面的几何尺寸及容许应力，按式M W t 确定许max z可载荷。对于由拉、压强度不等的材料制成的上下不对称截面梁（如T字形截面、上下不等边 的工字形截面等），其强度条件应表达为M7max y （3-20a）l maxI 1tzM 7 max y 7（3-20b）y maxI 2cz式中，,7分别是材料的容许拉应力和容许压应力；y , y分别是最大拉应力点和最 t c 1 2大压应力点距中性轴的距离。若梁上同时存在有正、负弯矩，在最大正、负弯矩的横截面上均要进行强度计算。3.3 梁的切应力QS *zIb3-21)式中，Q是横截面上的剪力；S *是距中性轴为y的横线与外边界

15、所围面积对中性轴的静矩; zI是整个横截面对中性轴的惯性矩；b是距中性轴为y处的横截面宽度。 z3.3.1矩形截面梁 切应力方向与剪力平行，大小沿截面宽度不变，沿高度呈抛物线分布 切应力计算公式最大切应力发生在中性轴各点处，3-22)3.3.2工字形截面梁 切应力主要发生在腹板部分，其合力占总剪力的9597%，因此截面上的剪力主要由腹 板部分来承担。切应力沿腹板高度的分布亦为二次曲线。计算公式为(3-23)-QB (h Ibz式中各符号可参看。另外，沿翼缘水平方向也有不大的切应力，计算公式为3-24)翼缘部分的水平切应力沿翼缘宽度按直线规律变化,并与腹板部分的竖向剪切应力形成 所谓的剪应力流。

16、由于这部分切应力较小，一般不予考虑，只是在开口薄壁截面梁的弯曲中 才用到它。3.3.3圆形截面梁 横截面上同一高度各点的切应力汇交于一点，其竖直分量沿截面宽度相等，沿高度呈 抛物线变化。最大切应力发生在中性轴上，其大小为pmaxQS*zIb2d3兀 _ 4 Q兀d 4,x d643A3-25)圆环形截面上的切应力分布与圆截面类似。3.4切应力强度条件梁的最大工作切应力不得超过材料的许用切应力，即pmaxQS *maxz maxIbzt(3-26)式中， Q 是梁上的最大切应力值； S* 是中性轴一侧面积对中性轴的静矩； I 是横maxz maxz截面对中性轴的惯性矩；b是p 处截面的宽度。对于

17、等宽度截面，p 发生在中性轴上,maxmax对于宽度变化的截面，e 不一定发生在中性轴上。max切应力强度条件同样可以进行强度校核、设计截面和求许可载荷三方面的计算。 在进行梁的强度计算时，应注意下述二个问题。（1）对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是主要的，剪应力强度条件是次要的。 一般仅需考虑正应力强度条件。对于较粗短的梁，当集中力较大时，截面上剪力较大而弯矩 较小，或是薄壁截面梁时，需要校核切应力强度。（2）正应力的最大值发生在横截面的上下边缘，该处的切应力为零；切应力的最大值 一般发生在中性轴上，该处的正应力为零。对于横截面上其余各点，将同时存在正应力和切 应力，这些点的强度计算，

18、应按强度理论计算公式进行。3.5 提高弯曲强度的主要措施3.5.1 选择合理的截面形式由公式（3-20）可知，梁所能承受的最大弯矩与抗弯截面系数W成正比。在截面面积相z同的情况下，改变截面形状以增大抗弯截面系数W，从而达到提高弯曲强度的目的。zWW为了比较各种截面的合理程度，可用抗弯截面系数与截面面积的比值了来衡量，了 比值愈大，截面就愈合理。在选择截面形状时，还要考虑材料的性能。对于由塑料材料制成的梁，因拉伸与压缩 的容许应力相同，以采用中性轴为对称轴的截面。对于由脆性材料制成的梁，因容许拉应力 远小于容许压应力，宜采用T字形或II形等中性轴为非对称轴的截面，并使最大拉应力发 生在离中性轴较

19、近的的边缘处。3.5.2 用变截面梁一般的强度计算是以危险截面的最大弯矩M 为依据的，按等截面梁来设计截面尺寸，max 这显然是不经济的。如果在弯矩较大的截面采用较大的尺寸，在弯矩较小的截面采用较小的 尺寸，使每个截面上的最大正应力都达到容许应力，据此设计的变截面梁是最合理的，称为 等强度梁。3.5.3 改善梁的受力状况 合理布置梁上的载荷和调整梁的支座位置，使梁的最大弯矩变小，也可达到提高弯曲强度的目的。4. 剪切及其实用计算4.1 剪切的概念剪切定义为相距很近的两个平行平面内，分别作用着大小相等、方向相对（相反）的两 个力，当这两个力相互平行错动并保持间距不变地作用在构件上时，构件在这两个

20、平行面间 的任一（平行）横截面将只有剪力作用，并产生剪切变形。4.2 剪切的实用计算名义切应力：假设切应力沿剪切面是均匀分布的 ，则名义切应力为Qe =（3-27）A剪切强度条件：剪切面上的工作切应力不得超过材料的许用切应力LI即T = Q li(3-28)A利用式(3-28)对构件进行剪切强度校核、截面设计和许可载荷的计算。5. 挤压及其实用计算5.1 挤压的概念挤压 两构件接触面上产生的局部承压作用。挤压面 相互接触压紧的面。挤压力承压接触面上的总压力用他表示。5.2 挤压的实用计算名义挤压应力 假设挤压应力在名义挤压面上是均匀分布的，则bsb 3-29)bsbs式中， A 表示有效挤压面

21、积，即挤压面面积在垂直于挤压力作用线平面上的投影。当 bs挤压面为平面时为接触面面积，当挤压面为曲面时为设计承压接触面面积在挤压力垂直面上的 投影面积。挤压强度条件挤压面上的工作挤压应力不得超过材料的许用挤压应力c -二 l bs A bsbs3-30)利用式(3-29)对构件进行挤压强度校核、截面设计和许可载荷的计算。基本要求1. 拉伸与压缩变形1.1 熟练掌握应力的计算，理解胡克定律。1.2 了解常用材料在拉伸和压缩时的机械性质及其测量方法。1.3 理解许用应力、安全系数和 强度条件，熟练计算强度问题2. 扭转变形2.1 理解纯剪切的概念、切应力互等定理和剪切胡克定律。2.2 理解圆轴扭转

22、时应力公式推导方法，并熟练计算扭转应力。2.3 理解圆轴扭转强度条件的建立方法，并熟练计算强度问题。3. 弯曲变形3.1 理解弯曲正应力的概念及其公式推导方法，熟练掌握弯曲正应力及强度问题。3.2 理解弯曲切应力的概念及其公式推导方法，掌握简单截面梁弯曲切应力的计算及弯 曲切应力强度条件。4. 剪切与挤压变形：了解剪切和挤压的概念，熟练掌握剪切和挤压的实用计算方法。5. 熟练掌握常用截面的形心、静矩、三.补充例题例1.杆系结构如图所示，已知杆AB、AC材料相同，160MPa,横截惯性矩的计算及平行移轴公式。面积分别为A1 706.9 mm2 ,A = 314 mm2，试确定此结构许可载荷P。2

23、解：（1）由平衡条件计算实际轴力，设 AB 杆轴力为 N ，AC 杆轴力为 N 。 12对于节点A,由工X = 0得N sin45。= N sin30。（a）21由工Y = 0得N cos 30。+ N cos 45。= P（b）12由强度条件计算各杆容许轴力（N A L L 706.9x 160x 106 x 10-6 二 113.1 kN （c）11n A LL 314 x 160 x 106 x 10-6 = 50.3 kN（d）22由于AB、AC杆不能同时达到容许轴力，如果将In ，In 代入（2）式，解得12p= 133.5 kN显然是错误的。正确的解应由（a）、（b）式解得各杆轴力

24、与结构载荷P应满足的关系2PN = 0.732P（e）11 + y 3N 二丄聖二 0.518P(f)21 +打(2)根据各杆各自的强度条件，即N N ，N 计算所对应的载荷p，由1 1 2 2(c)、 (e)有N Lv = A L = 113.1 kN1 1 10.732P 113.1kN午 154.5 kN(g)由(d)、 (f)有N V = A L = 50.3 kN2 2 20.518P 50.3 kNP TA兀 dtb所以Pt = 1.04 cm兀dTb例3.2.5m3挖掘机减速器的一轴上装一齿轮，齿轮与轴通过平键连接，已知键所受 的力为P=12.1kN。平键的尺寸为：b=28mm,

25、 h=16mm, l =70mm,圆头半径R=14mm （如图）。2键的许用切应力=87MPa，轮毂的许用挤压应力取t = 100MPa，试校核键连接的强度。 bs解:（1）校核剪切强度 键的受力情况如图c所示，此时剪切面上的剪力（图d）为Q = P = 12.1kN = 12100N对于圆头平键，其圆头部分略去不计（图3 10e）,故剪切面面积为A 二 bl = b（l -2R）P2=2.8（7 - 2 x 1.4）=11.76cm2 = 11.76 x 10-4m2所以，平键的工作切应力为Q 12100t =A 11.76 x 10-4=10.3 x 106Pa = 10.3MPa IT

26、= 87MPa满足剪切强度条件。（2）校核挤压强度 与轴和键比较，通常轮毂抵抗挤压的能力较弱。轮毂挤压面上的挤压力为P=12100Nh挤压面的面积与键的挤压面相同，设键与轮毂的接触高度为2，则挤压面面积（图f）为A = - -1 = 16（7.0 - 2 x 1.4）bs 2 p 2=3.36cm2 = 3.36 x 10-4m2故轮毂的工作挤压应力为p 12100b =bs A3.36 x 10 -4bs=36 x 106Pa = 36MPa L = 100MPabs也满足挤压强度条件。所以，此键安全。例4 AB轴传递的功率为N = 7.5kW，转速 n = 360r/min。如图 所示，轴

27、AC段为实心圆截 面，CB段为空心圆截面。已知D = 3cm， d = 2cm。试计算AC以及CB段的最大与最小剪 应力。解：（1）计算扭矩 轴所受的外力偶矩为N7 5m = 9550 = 9550= 199 N- m宙 4-IJn360由截面法T 二 m 二 199 N- m（2）计算极惯性矩AC段和CB段轴横截面的极惯性矩分别为P1=嗒=7.95cm4=6 4 - d 4P2326.38cm4T CB= T CBmin 内T CB= T CBmax 外3）计算应力 AC 段轴在横截面边缘处的剪应力为TDt ac = t ac =-= 37.5 x 106 Pa = 37.5MPamax 外 I 2P1T AC = 0minCB段轴横截面内、外边缘处的剪应力分别为-=31.2 x 106 Pa = 31.2MPa2P2f 二468 x 106 Pa 二 46.8MPa