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1、学习目标1. 了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.知识点一平面向量的坐标表示（1）向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,作为基底，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数， 使得 = + ，则有序数jax y a xi yj对（x, y）叫做向量a的坐标，a = （ x, y）叫做向量的坐标表示.向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A x，y），贝ij OA=_（，
2、），若A xi，yi），B（ x?,y2），则 AB= （ x2 X，y2 y】）思考 根据下图写出向量 a，b，c，d的坐标，其中每个小正方形的边长是1.答案 a = (2,3) ， b = ( 2,3)，c =( 3， 2)，d = (3 ，-3) 知识点二平面向量的坐标运算（1）若a = （ X，y）， b =（ x2， y2），则a +b = （ x】土x，y土扯），即两个向量和的坐标等于这 两个向量相应坐标的和.（2）若a =（ xi，yi），b =（ x?，yj，则a b =（ x,X2， y, y），即两个向量差的坐标等于这1 1 2 2 1 2 1 2两个向量相应坐标的差. 若
3、a = （ x，y），入WR，则入a = （ hx，入y），即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原 来向量的相应坐标. 已知向量AB的起点A（x1，y1），终点，y2)，则 AB= ( x2 x1，y2 y1) b，c的坐标，并在直角坐标系内思考 已知a = OA，b= OB，c= OC，如下图所示，写出a, 作出向量a + b，a b以及a 3c，然后写出它们的坐标.答案易知：a = (4,1) , b = ( 5,3), c = (1,1),(2,0), (2cos 60 , 2sin 60 ),BCC(1,3)，1 亠D(2, 2),= (2,0)AB,=d，ACBC= (1 2,3
4、0) =( 1,3),OD= a +b= ( 1,4) , BA=a b = (9 , 2) , OF= a 3c = (1 , 2).题型一平面向量的坐标表示 例1 已知边长为2的正三角形ABC,顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，DAB, AC, BC, BD 的坐 为AC的中点，分别求向量标.解如图，正三角形的边长为2，则顶点(0,0)ABCABD=( 2一 2, 2 一0) =( 一2, 2 ).跟踪训练1在例1的基础上，若E为AB的中点,G为三角形的重心时，如何求向量CE, AG,BG, GD的坐标解 由于 B(2,0) , E(1,0) , C(1 ,3), D(2,
5、2 ), G(1, 3 ),所以=(1 1,0 CE=(0，3)，BGAG=(1,一 2, -0)=(-3GD=(2 1, 2 3)=(2, 6).题型二 平面向量的坐标运算例 2已知平面上三点 A(2 , 4), B(0,6) , C( 8,10)，求 AB AC； (2) AB+2BC； (3) BC1 2AC.解A(2 , 4) , B(0,6) , C( 8,10)AB = (0,6) (2 , 4) =( 2,10),AC= ( & 10) (2 , 4) = ( 10,14),BC= ( 8,10) (0,6)=( 8,4).(1) = ( 2,10)( 10,14) = (8 ,
6、 4).AB AC(2) AB+ 2BC = ( 2,10) +2( 8,4) = ( 18,18) BC 2AC= ( &4) 2( 10,14) = ( 3, 3).跟踪训练2 已知a = ( 1,2) ,b = (2,1)，求:1 1(1)2 a +3b； (2) a 3b； (3) 2a 3b.解(1)2 a + 3b=2( 1,2) + 3(2,1)=(2,4) + (6,3) = (4,7) (2) a 3b = ( 1,2) 3(2,1)=(1,2) (6,3) =( 7, 1) 111 1(3) 2a 3b = 2( 1,2) 3(2,1)12172=2, 1 3, 3 = 6
7、, 3 .题型三平面向量坐标运算的应用例3 已知点(2,3) , (5,4) , (7,10) 若f = +(WR)，试求为何值时,ABCAP AB 入AC入入(1) 点P在一、三象限角平分线上；(2) 点P在第三象限内.解设点P的坐标为(x, y),则 AP = ( x, y) (2,3) = ( x 2, y3),AB+ 入 AC= (5,4) (2,3) + 入(7,10) (2,3)=(3,1) + 入(5,7) = (3 +5入，1 + 7入). AP =AB+ 入 AC,x 2 = 3 + 5 入， y3 = 1 + 7 入,x= 5 + 5 入, 则y= 4 + 7 入.若P在一
8、、三象限角平分线上，则5 +5入=4 + 7入,1入=2.入1.入1时，点P在第三象限内.5 +5 入 0,(2)若P在第三象限内，则4+7 入 解析 AC = AB+ AD, AD=AC一 AB = ( 一 1, 一 1). BD = AD一 AB= ( 一 3, 一 5).6 答案 CA B与AB方向相同且长度相 解析等，故 A B = AB=(7 , 5).二、填空题7 答案3-4,55解析=（4，一 1） 一（1,3）AB OB OA，.与-同方向的单位向量为-3AB5丨AB=(3 , 一 4),-45 8 答案（一 3,6）卄9 答案2解析 AC= ( 2,0) ( 1, 2)=(B
9、D= ( x , y) (2,3) = ( x2 , y 3),1,2),又 2BD= AC ,即(2 x 4,2 y 6) = ( 1,2),2x 4 = - 1,2y 6 = 2,3x ,解得2y 4,11. x+ y2 .10 答案(7， 6)解析设 D( x, y),由 AD BC,*.(x5, y+ 1) (2 , 5). x 7, y 6.三、解答题11 解 p 2a +3b + c2(2,1) + 3( 1,3) + (1,2)(4,2) + ( 3,9) + (1,2) (2,13)19x 724y7设p xa + yb，贝V有2 2x y，解得x+3y 131924p 7 a
10、 + 7 b.12 .解设 P 点坐标为(x, y) , | API 21 PB.当P在线段AB上时，AP 2PB.(x3, y+ 4) 2( 1 x, 2 y),x 3 2 2x,x+4 4 2 ,yy解得3y 0.P点坐标为（3, o）.当P在线段AB延长线上时，AP = - 2PB.(x3, y+ 4) =- 2( -1 x, 2 y),x 3 = 2 + 2x,y+4 = 4+2y,x= 5,解得y= 8.1综上所述，点P的坐标为（3, 0）或（-5,8）13 解 设点 C(X, yx) , D(x2, y2),由题意可得 AC = ( X+ 1, yx2) , AB=(3,6),=(1 2 2),= ( 3, 6)2,DAx y BA-1 1 . ac=3ab, da= 3ba,1(x1 +1, y1 2) =3(3,6)=(1,2)1(1 x2, 2 y2) =-( 3， 3 =(1,2),x +1 = 1,1 x = 1则有1和2y 2 = 212 2=2 ,x = 0 ,x = 2 ,解得1和2y = 41比=0-C, D 的坐标分别为(0,4)和(一2,0), CD = ( 2, 4).
必修四平面向量的坐标运算
