315空间向量运算坐标表示

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1、空间向量运算的坐标表示教学目标重点: 空间直角坐标系，空间向量运算的坐标表示. 难点：如何成立适当的坐标系及空间向量的坐标的确信和运算. 知识点：把握空间向量坐标运算的规律.能力点：通过用空间向量解决简单的立体几何中的平行、垂直、夹角、距离（模）等问题,进一步培育学生 的观看能力和探讨能力,总结一样性方式.提高学生运用坐标法解决几何问题的能力知道欣赏数 学的“简练美”，并渗透数形结合和等价转化的数学思想方式.教育点：通过必修4 平面向量的坐标运算,用类比的方式研究空间向量问题,教会学生准确的成立坐标系， 用空间向量坐标解决空间几何的线面关系.自主探讨点：通过平面向量运算的有关方式,引出空间向量

2、的运算,进一步体会“二维”与“三维”的关系. 如何成立坐标系,求解坐标才更简单.考试点：证明线线、线面的平行与垂直,求角和距离（模）等问题. 易错易混点：借助与向量夹角求解异面直线的夹角最后有的学生可不能转化. 拓展点：借助于向量求解线线、线面、面面的平行、垂直、夹角、距离等问题. 教具预备 多媒体课件和三角板课堂模式 学案导学一、引入新课温习平面向量的坐标运算 若“二（xi,人）,b = （x2,叮，则(1) a + b = (x + x , y + y ),1 2 1 2(2) a - b=(J y 2)，(3)九 a =(九x,九y).(4) a b =X1X2 + yi y2(5) a

3、 / b (b圭0)的充要条件是xy x y = 01 2 2 1(6) a 丄 b o x x + y y = 01 2 1 2(7) I a 1= Jxj + y2A(x , y ), B(x , y ), AB = OB - OA = (x - x , y - y )11 2 2 12 12d =1 AB 1= (x - x )2 + (y - y )2AB2121(8) cos =2 + y 21 2若设a = (a1，a2,盯，b = (b1，b2, b3)，【设计用意】通过回忆平面向量的坐标运算,能够自然的引出本节课课题,进一步让学生体会二维空间与三 维空间的关系.试探：你能由平面

4、向量的坐标运算类比取得空间向量的坐标运算吗？它们是不是成立？什么缘故？ 【设计用意】带着试探去学习,更能表现学习的目标性,提高学生的注意力.二、探讨新知设a = (a1，a a3)，b = (b1，b2, b3)，则a - b = ( a - b , a - b , a - b )1 1 2 2 3 3a b = a b + a b + a b1 2 2 2 3 3则(1) a +b = (a + b , a + b , a + b )1 1 2 2 3 3九 a =(九a ,九a ,九a )(X e R)123教师能够选择某一个坐标运算向学生证明它的正确性,加深学生对运算的明白得: 如证明向

5、量的数量积运算 设i jk 为单位正交基底，那么a = a1 i + a2 j + a3 k , b = b1 i + b2 j + b3 k .因此a b = (a i + a / + a k ) (b i + b / + b k )123123利用向量运算的分派律和i i = j j = k k = 1,i j = j k = i k = 0,即可得出a b = a b + a b + a b1 2 2 2 3 3设计用意】通过向学生展现向量的数量积运算求解进程,让学生进一步明确结论的正确性,加深了对空间 向量坐标运算的明白得.类似平面向量运算的坐标表示,咱们还能够取得:(2) a/ bo

6、 a X b(b 丰0)即 a =九b, a =九b, a =Xb(2eR)1 1 2 2 3 3a 丄 b o a b a b + a b + a b 01 1 2 2 3 3(3) I a I a a =、- a2 + a2 + a2v 123在空间坐标系中，已知点 AW，y1，Z1)，BL y2, Z2)，那么 AB = OB - OA = W - x1，y2 - y1，Z2 - Z1)即 A, B 两点间的距离 d =1 AB l=J(x - x )2 + (y y )2 + (z - z )2 AB212121”a b + a b + a bcos =ii 22a2 + a2 + a

7、3 b2 + b2 + b2123123【设计用意】将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来,不仅能够解决线面的平行、垂直、夹角距离(模)等问题 ,而且为下进一步解决立体几何问题提供了方便.三、明白得新知1. 与平面向量相较，只是多了一个竖坐标罢了，即由(x,y)变成了 (x,y,z).以下两个充要条件在解题中常常利用，要熟练把握若a = (a,a,a) , b = (b,b,b)，那么alibo a =久b(b丰0)即123123a 二九b , a 二九b , a 二九b (久 e R) ； a 丄 b o a b = a b + a b + a b = 0.112233112233a a

8、a试探:若a = (a , a , a ), b = (b , b ,b )，那么= 2 =亍”是“ a iib ”的什么条件?1231 2 3b b b123aaaaaa分析：当y1 = 2 = 3成立时，a 11 b必然成立；但a 11 b成立y1 = 2 = 3不必然成立，缘故是bbbbbb123123b ,b ,b 有为零的情形.1232. 对利用向量处置平行和垂直问题的考查，要紧解决立体几何中有关垂直和平行判定的一些命题关 于垂直，要紧利用a丄b o a b = 0进行证明.关于平行，一样是利用共线向量和共面向量定理进行证 明.二是对利用向量处置角度问题的考查，利用向量求夹角(线线夹

9、角、线面夹角、面面夹角)，其一样方式a b 是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角那么能够利用公式cos3 =进行计|a |b|算.3. 利用向量坐标解决立体几何问题的关键在于找准位置，成立适当、正确的空间坐标系，难点是在已建 好的坐标系中表示出已知点的坐标，只有正确表示出已知点的坐标，才能通过向量的坐标运算，实现几何问 题的代数化解法【设计用意】培育学生总结归纳的能力，让学生明白利用空间向量所要解决的问题，及解决问题的一样性 方式.四、运用新知题型一:空间向量的坐标运算例1.设 a = (2,1,6) ， b = ( -8, -3,2) ，计算:1(1) 2a + 3b ；

10、(2) 3a - 4b；(3)-b a ； (4)假设久a +卩b与y轴垂直，求入卩所知足的关系式.厶分析：(1)(2)(3)直接利用向量的坐标运算解决即可，(4)需要找一下久a +卩b与y轴方向向量的关 系.教师板书例题求解进程：(1) 2a + 3b = 2(2,1,6) + 3(-8,-3,2) = (4,2,12) + (-24,-9,6) = (-20,-7,18).(2) 3a -4b = 3(2,1,6) -4(-8,-3,2) = (6,3,18) - (-32,-12,8) = (38,15,10)1 337(3) -b a = (-4,- ,1) (2,1,6) =-4x

11、2 - -x 1 +1 x 6 二-.2 222(4) 久a +pb = (2九8卩,九-3比6九+ 2卩)，取y轴的方向向量为(0,1,0).因此九-3卩=0,即入“所知足的关系式为九3卩=0.【设计用意】通过此题能够让学生先熟悉一下空间向量运算的坐标表示,能够为下面的题目做好知识、运算的铺垫.题型二:空间向量平行与垂直的判定例 2.已知空间三点 A(-2,0,2), B(-1,1,2), C(-3,0,4),设a = AB , b = AC.(1) 设 I c 1= 3, c / BC 求 c ;(2) 假设k a + b与k a 2b相互垂直，求k.分析：通过 A(-2,0,2), B(

12、1,1,2), C(3,0,4)及a - AB , b -AC，第一把a,b表示出来.(1) 由c / Be那么借助共线向量大体定理，可设c = A Be如此c的坐标中只含有一个参数九，再利用I c I= 3把九c = (x, y,z)要简便的多.(2) 第一把k a + b与k a 2b的坐标表示出来,再利用两向量垂直时的坐标关系求出参数k即可.教师板书例题求解进程：(1) 因为 BC = (2,1,2),且c / BC,设c = ABC = (2A, A,2 A)(A e R).因此Ic 1/(-2A)2 + (-A)2 + (2A)2 = 3I A I= 3.解得 A = 1,因此I c

13、 I= (-2,-1,2)或I c I= (2,1,-2).(2) 因为a = AB = (1,1,0), b = AC = (1,0,2).因此k a + b = (k 1,k,2)与 k a 2b = (k + 2,k, 4), 由 k a + b 与 k a - 2b 相互垂直，因此(k a + b) (k a - 2b) = 0 ,即(k -1,k,2) (k + 2, k,一4) = 2k2 + k -10 = 0，解得 k = 2 或 k = 一 .2 方式小结:解决空间向量平行与垂直的思路:(1) 假设有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标.例如，设a = (x,y,z);(2)

14、 在有关平行的问题中，通常需要引入参数.例如，已知a/b，那么引入参数入有a = xb，再转化为方程组求解;(3) 选择向量的坐标形式,能够达到简化运算的目的.【设计用意】通过本例一是让学生进一步熟悉向量坐标的运算,二是体会坐标运算在解决空间平行垂直问 题中的作用,并提炼利用向量坐标解决空间平行、垂直问题的一样性方式.变式训练 1：已知向量a =(人2, -2)，b = (2,4,4) , c = (2,x,4).(1) 判定a与b的位置关系;(2) 若a/c ,求I c | ；(3) 若b丄c,求c在a方向上的投影.教师板书求解进程：(1) b = (2, 4,4) = 2(1,2, 2)

15、= 2a，因此,a /b ；1 22i(2) a/c,= 一，得x = 4, ac = (2,4,4),.c I= J22 + 42 + (4)2 = 6;2 x 4(3) b丄c,:. b -c = 0，得x = 5，. c = (2, 5, 4)，因此c在a方向上的投影为a - c210+8I c I cos =l c I xI a I x I c I二3=0 【设计用意】通过此变式训练能够让学生进一步熟练两个空间向量平行与垂直的向量坐标表示，及向量的投影问题.题型三：利用坐标运算解决夹角、距离问题例3.如图在直三棱柱(侧棱与底面垂直)ABC - A1B1C1 中, CA = CB = 1

16、，ZBCA = 90，棱AA1 = 2,N为AA 的中点.1CC /NB1A1AB(1) 求BN的长；(2) 求AB与BC所成角的余弦值；11分析：第一结合直三棱柱的几何特点选择C点作为直角极点成立空间直角坐标系依照各个棱长写出相应点的坐标，借助与向量的坐标运算可求解模(长度)及夹角等问题；一样此题也可借助几何的方式解决.教师板书例题求解进程:如图成立空间直角坐标系C - xyz，由CA = CB = 1, ZBCA = 90,棱 AA = 2, N 为 AA11(1) B(0,1,0), N(10,1),因此 BN = (1 -1,1), I BN =小求EF与CG所成角的余弦值；1 求 F

17、H 的长；分析:此题专门好找到直角极点建系,可是在正方体中求出G, H的坐标是关键,三问别离是线线垂直、线线角、及空间中直线 + (一1)2 +1 = 3 ,即:线段BN 的长为 J3 .(2)依题意得A (10,2), C(0,0,0), B (0,1,2),因此BA = (1 -1,2), CB = (0,1,2),1 1 1 1且 BA CB = (1 -1,2) (0,1,2) = 3, I BA 1=血1 CB 1=药,1 1 11BA CB 30因此 cos =11 =11 I BA II CB I 101130故AB与BC所成角的余弦值为.1 1 10n注意:异面直线夹角的范围（

18、0,亍与向量夹角的范围0,n不同,因此再利用向量方式求解异面直线夹角的最后需要转化,即异面直线的夹角的余弦值只能是零或正数. 方式小结:利用空间向量的坐标运算解决简单立体几何问题的一样步骤:（1）成立适当的空间直角坐标系，并求出相关点的坐标.（建系求点）（2）将空间图形中的元素关系转化为向量关系表示.（构造向量并坐标化）（3）通过向量运算确信几何关系，解决几何问题.（向量运算、几何结论） 【设计用意】通过此例题能够让学生明确在特殊几何体中成立空间直角坐标系时要充分利用几何体本身的 特点,以使各点的坐标易求.利用向量解决几何问题,可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简 单.变式训练2:在

19、棱长为1的正方体ABCD- A】BCD1中，E,F别离为D1D,BD的中点，G在棱CD上，且CG = 1 CD, H为CG的中点.41（1）求证：EF丄B C ；1的长度均较常规.教师板书求解进程: 解：（1）证明:如图,成立空间直角坐标系D - xyz ,1 1 137 1D 为坐标原点,那么有E(0,0, 2),F(2，亍0), C(0,1,0), q(0,1,1),B/llg(0,-,0), H(0,-?2)2 2 21148 2则 EF 二（2,2, - 2），BC 二（j，T），因此 EF BC 二（2,2, - 2）（-i,o,-i）二 o一丄,-1)(-1,0,-1)二 01 2

20、 2 2因此EF丄BC,即EF丄BC.1 1(2)CG = (0,-丄-1).CG 1=垃,i414又由帀EF = 2 x。+2 x ( 1(-)+ - 4 I 2丿x (-1)=3,且1EF1 吟EF CG 51i =3,1)因此cos =1 I EF II CG I 17i即异面直线EF与CG所成角的余弦值为耳*117 F（2,2,0）, H（0,8,2），因此FH 二（-2,昉,即1FH 珅- 2）2 +（|）2 +（2）2 斗 因此FH的长为弓18小结:求空间中点的坐标方式:（1）把所求点别离向xoy,xoz, yoz平面做投影,先找投影点的坐标;（2）可借助于中点坐标公式求解，如题目

21、中的点F,H ；也可借助与向量关系如：已知A,B两点坐标求P点 坐标，能够用AP二1AB的坐标关系.4【设计用意】通过题型三，一是增强学生熟悉空间向量解决立体几何问题，二是进一步明确求解空间中点 的坐标的一样方式.五、课堂小结1. 知识:（1）空间向量的坐标运算2)利用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题.3)利用空间向量的坐标运算解决简单立体几何问题的一样步骤: 成立适当的空间直角坐标系，并求出相关点的坐标.(建系求点)； 将空间图形中的元素关系转化为向量关系表示.(构造向量并坐标化)； 通过向量运算确信几何关系，解决几何问题.(向量运算、几何结论).2. 思想方式:(1)类比思想；

22、(2)数形结合思想【设计用意】通过课堂小结，深化对知识的明白得，完善熟悉结构，领会思想方式，强化情感体验，提高 熟悉能力同时应增强对学生在数学知识与思想方式的指导.六、布置作业必做题:AC 11. 依照条件求值：(1)已知A(4,l,3), B(2,5,1), C为线段AB上一点，且 卞，求点C的坐标; AB 3(2) 已知向量a = (1,1,0)与b (1,0,2)且k a + b与2 a b相互垂直，求k的值；(3) 已知向量a (1 t,2t 1,0)与b = (2,t,t)，那么求选做题：1-已知三个力f = (12,3)，f2 =(T3 1)，f3 =(3,4,5)，若 f打打一起

23、作用于一物体上，使物 b a 1的最小值.2. 已知空间三点 A(0,2,3), B(2,1,6),C(1,1,5).(1)求以AB, AC为边的平行四边形的面积;CC1(2)假设向量a别离与AB,AC垂直，且I a 1= *3，求a的坐标.3.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱都相等,P为BA上的点，AP 久AB，且 PC丄AB .求:1 1 1(1)求久的值;(2)求异面直线V与PC所成角的余弦值;必做题答案：1.1)c (130,-1,3)(2)k - 5 込2.1)7朽(2) a (1,1,1)或a (1,1,1)3.体从点M (1 2,1)移动到点M (3,1,2),求f

24、合力所做的功W .1222. 已知向量a二(5,3,1)与b二(-2,t，-5)，假设a与b的夹角为钝角，求实数t的取值范围.3. 正四棱锥S ABCD的侧棱长为运，底面边长为朽,E是SA的中点，O为底面ABCD的中心.1)求 CE 的长；(2)求异面直线BE与SC所成角的余弦值;选做题答案：1. 16 2.66 522, 5)5一 5,芒 3142)【设计用意】通过设计不同层次的作业一是为了让学生能够运用空间向量的坐标解决一些平行、垂直、夹角、距离(模)等问题；二是让学有余力的学生有所提高，从而达到激发学生学习爱好和“减负”的目的.七、教后反思1. 本教案的亮点是在教学进程中始终是教师作为引

25、导者，引导学生借助于平面向量运算的坐标表示去 引导探讨空间向量运算的坐标表示，在此基础上进一步探讨空间向量的平行、垂直、夹角、距离(向量的模) 等问题，和空间直角坐标系的成立和空间点坐标的求法等问题.在教学中通过例题的讲述，变式训练的增强， 作业的巩固大部份同窗大体上把握空间向量运算的坐标表示等相关问题.2. 本节课在设计和教学进程中，留下了一些遗憾:一是关于求解空间终点的坐标学生仍是个难点;二是 求解异面直线的夹角与向量的夹角的转化上有的同窗一是不睬解二是容易忘在下一步的教学中应多进行 增强.八、板书设计空间向量运算的坐标表示一、引入新课二、探究新知(1)(2)(3)三、理解新知：1.2.3.四、运用新知例3:变式训练2:五、课堂小结1. 知识：2. 思想:六、布置作业必做题：1.2. 3.选做题：1.2. 3.例1:例2:变式训练1：