现代数学思想概观 (2)

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1、现代数学思想概观目录第一节 现代数学的涵义一 数学的涵义二 对现代数学中现代的理解第二节 现代数学与社会发展一 世界数学中心转移与社会发展二 现代数学与社会实践三 现代数学与社会管理四 数学的教育功能第三节 现代数学与社会发展一 科学数学化的发展进程二 社会科学数学化的必然性三 社会科学数学化的进展第四节 现代数学的特点与发展趋势一 高度的抽象和统一二 注重公理化体系的建立和结构的分析三 注意不同数学学科的结合、不断开拓新领域四 研究更符合实际的数学模型，解决更复杂的问题五 与电子计算机的紧密联系六 数学向一切学科和社会部门渗透和应用第四节 普及现代数学教育的意义复习体参考文献数学是一门古老而

2、又常新的学科，今天它正表现着异常旺盛的生命力，人们认识世界，改造世界都要运有数学，现代数学是掌握科学技术的钥匙，是现代科学技术发展的有力工具。现代科学技术发展的一个重要趋势就是各门科学的数学化，它广泛渗透到社会生产和社会管理的各个领域，促进社会经济的发展，因而加强数学教育是提高国民素质的首要任务之一。鉴于以往本科院校数学系都不开设现代数学这样一门综合课，致使学生在本科毕业后对现代数学的掌握来说，是只见树木，不见森林，甚至对有些现代数学的内容一无所知，本章通过对现代数学内涵的理解，对现代数学特点的分析，以及对现代数学意义的描述，为我们展示的思想概貌，使我们能对蓬勃发展的现代数学有一个概观性了解。

3、第一节 现代数学的涵义现代数学一词由两部分组成，即现代与数学，要理解现代数学必须从这两个词入手。一、数学的涵义这里从数学的研究对象、数学的内容两方面来谈数学的涵义。（一） 数学的研究对象恩格斯指出：纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系。因而，数学是关于现实世界中空间形式和数量关系的学科。数和形这两个基本概念，是人们通过长期的实践活动，从现实世界中抽象、概括出来的，并且在运用过程中又回到实践。数是各种各样事物不同量的共性。最初人们在实践中常把耳朵、眼睛、和2联系在一起，我国的2与耳同音，5和手是同意词。随着实践的逐步深入，数的领域被逐渐扩大，具体的事物逐渐被舍弃，抽象的数的概念就被概括出来

4、。人们最早运用的数是自然数：，通过这些数才能比较出各种事物的量的大小和量的变化。后来由于单靠自然数描述量的大小还不够，又逐步引入了分数、小数、负数、无理数等形成实数系统，引进虚数而形成复数系统，近世代数中又引进与通常的数很不相同的量而构成各种数学系统，如群、环、域等等，这些代数系统的元素已失去数的本来意义，但相互间却能进行与数相类似的运算，因而可看成是数的扩张。形是各种物体存在的躯体与外壳，人们在实践中首先注意到物体的大、小、方、圆等形状，人们常把圆同日、月、车轮联系在一起，随着生产的发展，不断地把形的概念抽象化，就形成了抽象的点、线、面等概念。并在实践中总结出计算物体的长度、面积、体积等的方

5、法，研究图形的质量性质（长度、面积、体积、角度），而形成欧几里德空间的概念；研究图形的透视性质而发展出射影空间的概念；研究图形的连续性质又形成了拓扑空间的概念。空间概念还沿着其它方向扩张着，人们不仅研究通常的二维和三维空间，而且考虑多维乃至无穷维空间；不仅研究平直的欧几里德空间，而且考虑各种弯曲的非欧空间，现代数学已将越来越多形形色色的空间和它们的几何包括到所研究的对象中来。所以，数学是以数与形的性质、变化和它们的关系作为研究对象，探索它们的有关规律，给出对象性质的系统分析和描述，在这个基础上分析实际问题，给出具体的解答。数与形两个基本概念是整个数学的两个基石，整个数学就是随着这两个概念的提练

6、、演变与发展而不断深化的。在早期数学中，以研究物质世界量、量的关系为主要特征的，属于算术与代数的范畴，以研究现实世界空间形式和形的关系为主要特征的，属于几何学的范畴。世纪研究变量把数与形结合起来，产生解析几何与微积分，以后形成了研究形、数关系的分析学。这样几何学、代数学、分析学三大类数学便构成了整个数学的主体与核心。随着数学的迅速发展，数学的研究对象越来越广，就变得越加抽象，从而越加远离现实，因此就会产生数学对象与客观世界的研究问题。一般说来，大部分数学分支中那些最初最老的问题，都是起源于经验，是由外部世界提出。多维空间的概念，是在研究多个自由度的质点力学的基础上建立的，正如法国大数学家傅立叶

7、所说：对自然的深入研究，是数学发展最丰富的源泉，但是，数学的发展对现实世界还具有相对的独立性，一门数学理论一经建立，便可以不受客观世界影响，仅仅借助于数学内部逻辑推理而独立向前推进。数学中新理论的产生有时只是由于数学内在逻辑的需要，非欧几何与群论的产生就是如此，因此，数学的研究对象，不仅是直接从现实世界抽象出来的数量关系与空间形式，而且包括那些由数学内部逻辑定义的各种可能“数量”关系与“空间”形式。（二） 数学的基本内容数学的内容十分丰富，数学已经形成了一门系统庞大，分支众多的基础学科，分支众多就是数学包含了许多具有基本理论、自成系统的学科，就像一棵根深叶茂的大树一样，以粗壮的树干向周围分出许

8、多粗细不等的枝杈。数学有许多分支，迄今，尚没有一个统一的划分原则。1、着眼于与现实生活的联系，数学可分为纯粹数学与应用数学两大类。 纯粹数学是研究从客观世界中抽象出来的数学规律的内在联系，也可以说是研究数学本身规律，大体分为三类，即研究空间形式的几何类；研究离散系统的代数类；以及研究连续现象的分析类。属于几何类的，如微分几何、拓扑学、射影几何等。微分几何是研究光滑曲线、曲面等，它以数学分析、微分方程为研究工具，在力学和一些工程问题（如弹性壳结构、齿轮等方面）中有广泛的应用。拓扑学是研究几何图形在一对一的双方连续变换下的性质，即拓扑性质，如画在一个橡皮膜上的图形，当橡皮膜受到力变形但不破裂和折迭

9、，有些性质（如曲线的闭合性，两曲线的相交性等）保持不变。属于代数类的，如数论、抽象代数。数论是一门研究整数性质的学科。按研究方法的不同，大致可分为初等数论、代数数论、量、矩阵等，研究更为一般的代数运算的规律性和性质，它讨论群、环、域、格、模等性质和结构，在分析数学、几何、物理、化学等学科中有广泛的应用。属于分析类的，如微分方程、函数论、泛函分析。微分方程即是含有未知函数的导数或偏导数的方程。如未知函数是一元函数的，称为常微方程，未知函数是多元函数时，则称为偏微分方程。函数论是实变函数论与复变函数论的通称。泛函分析是综合运用函数论、几何学、代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论

10、的分支，它研究的不是单个函数，而是具有某种共同性质的函数集合。它在数学和物理中有广泛的应用。应用数学是研究如何从现实问题中抽象出数学规律，以及如何把已知的数学规律应用于现实问题的学问，如数理方程、运筹学、概率论、数理统计、计算数学等。数理方程是用微分方程来描述物理、工程技术及其其它领域中发生的运动过程及现象，例如水面上波的扩散和物理中热的传导。运筹学用数学方法来协助人们找出解决各种问题的最优方案。例如，怎样安排工序可使工程周期最短，怎样剪裁钢板可使材料最省。概率论用数学方法从客观存在的偶然中找出必然规律。例如，根据历史资料分析发生地震的可能性，根据水文记录预测洪水汛期，数理统计用数学方法根据抽

11、样检查判定某种产品的质量，它使人们通过概率来判断某种事物发生的可能程度和正确程度，算出发生错误判断的可能性，使得我们所作的判断即有分寸又有力量，既能保证足够的正确性和工作质量，又能最大限度地节省调查工作的人力、物力和时间，达到多快好省地开展工作的目的。计算数学是在某一客观事物已有确切的数学描述后，研究如何解算出具体结果来，它的主要任务是找出各种新的计算方法，其特点是：（）近似（）快速。现实世界中大部分数学问题是不能求得精确的，解同一个问题，好方法与差方法所需时间可相差几百、几千倍。甚至有这样的数学问题，在理论上完善的笨方法去解年也算不出来。电子计算机的出现，给计算带数学带来变革性的变化，许多过

12、去做不到的事现在能做到了，例如在几小时内就可算出过去需要几年才能算出的天气预报，甚至在几秒钟算出正在飞行的导弹的偏差，以便立即校准它的轨道。随着科学技术的迅速发展，数学各门分支的内容也在迅速地发展，数学的许多部门常常和其他学科相互交叉、相互渗透，又形成许多新的分支学科，但有许多新的学科，从它的内容、方法、意义和应用范围来说，已不单单属于数学的范畴了，如控制论、系统论、信息论就是数学和其他学科相互渗透、凝合而成的新兴边缘学科。还有生物学与数学相结合产生了生物数学；地质学用数学理论和方法研究各种地质现象的数量关系，形成了数学地质学；数学和经济学相互渗透，产生了数量经济学；数学与社会学相互渗透，产生

13、了定量社会学；历史学用数学方法研究各种历史问题，产生了计量历史学；数学与语言学相互渗透产生了数学语言学；数学与逻辑学相互结合产生数学逻辑学等许多新兴的交叉学科，它推动各行科学走向定量化与精确化。生产和科技的发展，总是要求数学帮助解决新发生的问题，一些数学分支结合某些实际问题，又可能促使它向前发展，得出新的理论。但是，正像树干上新长出的嫩牙一样，一开始很难预言这个小嫩牙会不会长成树枝，通过实际应用与检验，有好些小嫩牙茁壮成长，如模糊数学、突变理论、非标准分析等新兴学科。2、着眼于数学对现实世界中各种现象的处理，数学又可分为确定性数学、随机数学、模糊数学。现实世界中的现象纷繁复杂，但不外乎如下三类

14、：一、确定性现象；二、随机现象；三、模糊现象。自由落体运动，其规律是确定的，为一种确定性现象，与之相应的数学即为确定性数学，它包含了数学的绝大部分；投掷一枚硬币，出现的结果是确定的，只能是正面或反面，但就每一次投掷的结果究竟是正面还是反面事先却无法预料，这就是随机现象，它是一种非此即彼的不确定性，符合概率规律，与之相应的数学即为随机数学，也就是概率论与数理统计；除了上述不确定的随机现象外，现实世界中更多地存在一种亦此亦彼的不确定性现象，它无法用通常的二逻辑来表达，这就是模糊现象，如年轻人，秃子，大个子等，与之相应的数学即为模糊数学。3、着眼于数学的发展过程，数学又可分为数学基础，初等数学，高等

15、数学，现代数学。 二、对现代数学中现代的理解纵观数学的历史发展，可以清楚地划分为初等数学，高等数学，现代数学三个阶段。从古代到世纪初为初等数学阶段；从世纪初到世纪末为高等数学阶段，从世纪末开始，数学进入了现代数学阶段。按着数学的研究对象即数与形来说，在三个阶段中层次是不一样的。在初等数学阶段，数是常量，形是孤立、简单的几何形体。初等数学分别研究常量间的代数运算和几何形体内部以及相互间的对应关系，形成了代数和几何两大领域。高等数学阶段以笛卡尔建立解析几何（）为起点，世纪年代微分学的建立是这一阶段的最显赫的成就和标志。在高等数学阶段，数是变量，形是曲线和曲面，高等数学研究它们之间各种函数和变换关系

16、。这就是数与形紧密联系起来，但大体上还是各成系统的。由于以微积分为源头的分析数学的兴起和发展，数学形成为代数、几何和分析三大领域。 现代数学阶段以康托尔建立集合论（）为起点。正如数学家陈省身所说：康托尔建立集合论独具新意，高瞻远瞩，为数学立了就厘时微。世纪以后，用公里化体系和结构观点来统观数学，成为现代数学阶段的明显标志。现代数学阶段研究的对象“数”为集合，形为各种空间和流形，它们都能用集合和映射的概念统一起来，数与形的界限已难以划分了。综上，我们可以看出，现代数学是指世纪末期以后建立起的数学，结合数学的内容可以看出，现代数学的内容极为繁杂，分之众多，以至于现在已经没有一个数学通材，他能全面掌

17、握现代数学的各个领域。第二节 现代数学与社会发展数学是人类在数千年文明史中所创造的精神财富，它随着社会的进步而不断地发展。一个国家的经济发达繁荣，生产技术先进，科学文化灿烂，它的数学就越发展。数学与社会有密切的关系，有相互联系、相互作用的关系。一、世界数学中心转移与社会发展从数学史看，数学的发展依赖于社会经济、科学技术的发展，特别是经济因素。一般来说，数学发展中心与经济发达中心相一致。 古希腊曾是最早的数学中心公元前世纪，古希腊奴隶社会是人类文明史上的重要里程碑。它是一个地跨欧、亚、非三洲的庞大帝国，它发展了手工业和商业，开拓了东西贸易通道，促进经济发达繁荣。由于贸易又促进了东西方的文化交流，

18、东西方的文化得以在希腊汇聚，经过希腊人加工和过滤澄清，创造出一种新的文化。经济繁荣又促进科学技术的发展。古希腊农业技术和经验是农业科学的萌芽。古希腊的制陶、冶铁技术和经验是化学的萌芽。古希腊纺织技术和经验是纺织科学中心的萌芽。古希腊的建筑技术是建筑科学的萌芽，而农业、建筑业、手工业、航海等的发展推动了天文学与力学的发展。古希腊达到了古代科学技术的发展高峰，而科学技术的发展又促进数学的发展，使古希腊成为数学中心。由于古希腊自然哲学发达，推动自然形成自己的理论体系。希腊民族具有偏爱抽象的理性思维的特点，他们追求理性的升华，创建了严密的逻辑方法，使数古希腊数学知识系统化、理论化，跨进理性的门槛。欧几

19、里得的几何原本是古代数学的最大成就，他是用公理方法建立起演绎的数学体系的杰出代表。他把逻辑推理引入了数学，使数学理论构成了严密的体系。他的学说一直被认为是科学理论逻辑结构的典范，这在数学史上是一个巨大的飞跃。阿波罗纪奥斯（pollonius，约公元前）著圆锥曲线论卷，探讨了抛物线、椭圆、双曲线的一般性质，已见利用坐标的端倪，为圆锥曲线的研究奠定了基础。阿基米得在几何学上研究一些形状复杂的面积和体积的计算方法，接近于积分计算的思想。他继承了古希腊研究抽象数学的方法，又使数学研究与实际应用相结合，这在科学史上有重大的意义，毕达哥拉斯学派为数论研究奠定了基础。 中世纪数学中心从希腊转移到中国公元前年

20、秦始皇建成了我国第一个统一的封建制中央集权国家-秦朝，从此开始了封建社会繁荣发展的时期。特别是到了隋唐宋时期（公元-世纪），我国封建社会达到了经济发展的最高峰。中国获得了世界封建社会科学文化的最高成就，当时农业、水利、手工业、商业、建筑等有了很大的发展，促进了科学技术的发展，特别是火药、指南针、造纸和印刷术的发明是我国杰出成果。而科学技术的发展又推动数学的发展，使数学中心从古希腊转移到中国。我国古代数学名著九章算术、周髀算经等，在代数方面已记载了开平方、开立方、求解一元二次方程的解法，在世界数学史上有很重要的地位，刘徽提出割圆术，指出圆周长等于无限增加的圆内接多边形之和，算出圆周率为.，后来祖

21、冲之用计算圆内接边形的边长和圆内接边形的面积方法，得出了圆周率的相当准确的近似值，即.3.1415927，被称之为祖率。欧洲世纪才达到这样的精度。在世纪下半叶，出现了秦九韶、李冶、杨辉（约世纪南宋人）朱世杰（元代）等四位杰出的数学家。秦九韶的数学九章在高次方程的数值揭发和一次同余式组的解法方面取得了卓越成就。李冶的测圆海镜和益古演段采用文字符号代表未知数，借以列方程（即天元术），为代数学向更高阶段的发展准备了条件。杨辉的详解九章算术则发展了实用数学，对各种问题提出了简捷算法，朱世杰的算法启蒙成为当时的一部很好的算学启教科书，他的四元玉鉴对解高次方程组，高次等差级数求和以及高次内插法有精辟论述，

22、令我国古代数学处于世界领先地位，它主要成就就是算术和代数学，没有形成公理化的几何体系。文艺复兴时代，意大利是当之无愧的数学中心世纪的文艺复兴是反对封建主义思想禁锢的一次伟大的思想解放运动，发源于当时工商业最发达的意大利。它使早期的资产阶级文艺、科学和艺术达到空前繁荣，它掀起了学习古希腊的科学艺术的高潮 。当时，意大利资本主义工业生产开始逐步工厂手工业，在工业中使用了最简单的机器（水轮、改良织布机、测风仪、挖土机、起重机等），这就需要知道综合技术知识，要进行计算和解决一些列机械和数学问题。还由于与亚洲、非洲和欧洲贸易，哥伦布发现了新大陆，航海技术的发展引起了一大批科学家，如达芬奇（Leonard

23、oda Vinci，1452-1519），伽里略等继承和发展了古代希腊科学，分别在力学、天文学和物理学方面奠定了近代科学的基础，意大利又成为当之无愧的数学中心。1563年佛罗伦萨建立了设计院。后成为数学研究中心。意大利数学的进展主要是代数学。科学家达芬奇在几何学上解决了求半圆的重心和四面体重心以及求椭圆的面积等问题。意大利塔塔利亚（Nicolo Tartaglia，1499-1557）获得了三次方程的代数解法，接着费拉里又获得了四次方程的代数解法。意大利数学家把三角学作为完整独立的数学分支。4 17世纪英国成为数学中心-微积分发源地之一16-17世纪英国资产阶级革命获得胜利。英国资本主义工业蓬

24、勃发展，海上交通线从地中海扩展到大西洋。英国的海外贸易发达，英国成为世界上最大的资本主义国家。新兴资产阶级发展采矿、造船、纺织、造纸以及兵器生产，需要更有效的生产工具，逐渐创制出了诸如抽水机、锻压机、起重机、车床等机械，推动机械学、力学发展，使研究物体的运动和变化成为科学中日益迫切的课题。力学在各门学科中首先兴盛起来，而力学的进步又直接求助于数学，数学家常常是在力学研究中施展出自己的科学才能。为了解决力学问题需要寻找和创造数学工具，这又大大地促进了数学的发展，数学与力学的紧密结合是当时科学发展的重要特征。1662年英国成立了皇家学会，对英国的科学研究起到了推动作用，在皇家学会中云集了一大批科学

25、家，有牛顿、虎克（Robert Hooke，1535-1677）、波义耳（Robert，Boyle，1627-1691），有天文学家哈雷和J布拉德莱，有数学家约翰活利斯（John Wallis，1616-1703）哈克和马克劳林（Colin Maclaurin，1689-1764）等，这样，数学中心由意大利转移到英国。数学家约翰活利斯写了很多数学著作，有无穷小算术、代数论文等，后者引入了变量极限的概念。英国数学家伊萨克以巴罗（Isaac Barrow,1630-1677）写了光学和几何学讲义，他引?quot;微分三角形、切线斜率的术语，并把它作为函数学的无穷小增量与自变量的无穷小增量之比的极限

26、概念。他阐述了微分和积分问题之间的互逆关系。巴罗对他的学生牛顿影响很大。著名科学家兼数学家牛顿在1687年出版了自然哲学的数学原理一书，他仿照欧氏公理方法，建立起了经典力学公理体系，科学地定义了力的概念，并提出机械运动三定律，标志着经典力学的完成。在这本书中已提到微分学。牛顿在1711年出版了运用无穷多项方程的分析学，在1736年出版流数学和无穷级数，1704年发表论文求曲边形的面积。他在这些著作和论文中系统地详细地简述微积分原理，创建了微积分。微积分的创立是数学史上的重大成就。518世纪法国数学家取代英国雄踞欧洲之首18世纪法国大革命胜利，大规模的资本主义企业已发展起来，如安森的煤矿、炼铁厂

27、和铸造厂，色当的呢绒厂，生产毛织品、麻布、丝织品的企业发展起来。自由贸易政策促进了资本主义工商业的发展，也推动了科学技术的发展。法国出现了一大批科学家和工程师，有数学家拉格郎日、拉普拉斯，有物理学家库仑（Coulomb,Charles Augustiu de，1736-1806）。阿拉戈（Arago，D。F。J。1786-1855），化学家拉瓦锡、盖吕萨克（Gay-Lussac,J.L.1778-1850）,生物学家居维叶（Cuvier Geerges,1769-1832）,和拉马克（Lamarck，JBde1744-1829）等，在法国大革命推动下法国自然科学水平已超过了英国。居世界领先地位

28、。资产阶级为了发展工业和军事斗争的需要，大力促进数学的发展。当时军事学校都有第一流数学家在执教，一些数学家还在直接参与武器火药的创造，在防御工事的修筑等实践中创造新的数学理论。法国资产阶级革命从思想启蒙运动开始，他们高举科学与理性两面大旗，从科学反对神学，以理性反对迷信，启蒙思想家伏尔泰很重视数学，百科全书派达朗贝尔本身就是大数学家，撰写百科全书中的数学条目。法国数学已超过英国，并拥有了包括拉普拉斯、拉格朗日等著名数学家的阵营，法国成为世界数学中心，他们的优势一直持续到19世纪。法国数学的主要成就首先是进一步发展了数学分析，克来罗（Clsiraut,Alexis-Claude,1713-176

29、5）欧拉研究曲线和曲面的力学问题和光学。大地测量和地图绘制促进了微分几何的产生；拉格朗日和贝努利兄弟研究力学和天体运行，建立了变分法和常微分方程理论；达朗贝尔（dAlembert,Jean Le Rond,1717-1783）、拉普拉斯、拉格朗日研究弦振动、弹性力学和万有引力，建立偏微分方程理论（主要是一阶的）；欧拉、柯西建立了严格的极限理论作为微积分的基础。对流体力学的研究促进了复变函数论的产生；伽罗瓦解高次方程，引进?quot;群的概念，揭开了近世代数的序幕，1809年蒙日（Gaspard Monge,1746-1818）出版第一本微分几何著作分析在几何上的应用；1822年数学家庞加莱研究

30、几何图形在射影变换下的不变性质，建立了射影几何，射影几何在19世纪下半叶成了几何中心。619世纪德国数学的崛起随着19世纪德国资产阶级革命运动的发展，德国建立了统一的德意志帝国，经济上资本主义工业有了很大发展，煤矿 、煤炭、纺织、化工、交通运输业等迅速法发展，生产的机械化逐年增加，特别是莱因区工业最发达。工业上迅速赶超英法等老牌资本主义国家，采用俗钚驴蒲删驼馓踅菥叮?罅敌泄睦?蒲沟恼?撸?贫?蒲际醴埂?纾?873年德国生产合成染料已达1千吨，在燃料技术上的专利就有948项，而英国只有82项。1895年德国出现了各行各业普遍超过英国的势头，成为世界经济大国，1873年建立国理研究所。由国家组织科

31、学研究，这在世界上是最早的，促进了德国科技进入繁荣时期。特别是19世纪下半叶，著名科学家成批涌现，成果累累。在欧洲各国自然科学进步的条件下著名的德国古典哲学（黑格尔、康德、费尔巴哈）也发展起来，他们以思辨原则为基础，提出了颇有系统的关于自然界全貌的理论，特别是康德强调在一切自然科学中应用数学的重要性，他把数学和自然科学紧密地联系在一起，这就推动了德国数学的发展，使德国成为世界数学大国。德国数学的主要成就首先是数额分析的巨大发展。德国数学家维尔斯特拉斯（1815-1897）建立了极限理论，确定了一只收敛性概念。1872年数学家戴德金。威尔斯特拉斯建立集合论，发展了超穷基数德理论，为实变函数奠定了

32、基础，著名数学家高斯在数论、代数、数学分析、概率论、级数理论等许多数学领域都有重要的发现，高斯还发现了非欧几何学。数学家黎曼于1854年创立了非欧几里得的黎曼几何学，同时提出了拓扑流行的概念。1899年数学家希尔伯特的名著几何学基础一书出版，提出了欧几里得几何学的严格公理系统-希尔伯特的名著几何学基础一书出版，提出了欧几里得几何学的严格公理系统-希尔伯特公里系统，克服了欧氏几何原本的缺陷，对数学的公理化思潮产生了巨大的影响。著名数学家克莱因发表了著名的爱尔兰根纲领，明确提出数学各科的共性问题，首先提出将各种几何看作是各种群的不变量的理论，揭示了似乎既不相同的几何之间的统一形式引起了数学观念的深

33、刻变革。他还创立自守函数论。克莱因提醒数学家要高度重视数学应用，他筹?quot;哥廷根应用数学和技术促进协会，开创了科学家同经济界领导人合作的先河，对德国应用数学的发展起了重要作用。这座花费100多年功夫建立起来的国际数学中心，却在德国法西斯的空前的政治迫害下毁于一旦。720世纪美国成为数学大国20世纪经过二次世界大战，主要工业发达国家都受到挫伤，都成了弱国，急待补养自救，唯有美国利用战时军需工业的发展，产值翻了一番，比战前更加繁荣富强，进入经济发展的黄金时代，成为世界上经济大国，战时技术转入民用，刺激生产发展，工农业向机械化、电气化、自动化发展。雷达的发展，刺激了电视广播与通讯事业新技术发展

34、。喷气式飞机带来交通运输工具的革命。火箭技术使后来宇航事业成为国家事业，原子能科学推动了能源革命。自动化技术、信息论成为改变生产面貌与社会面貌的重要手段。特别是电子计算机的发明，大大提高了各项工作的效率，促使科学技术高速度发展，从而推动数学的发展。美国成为数学的大国。 美国的数学取得了重大进展。著名数学家冯诺伊曼由于经济与军事的需要，创建对策论。1944年他与摩根斯特思（Oskar Moreenstern,）合著的对策论与经济行为一书，标志着对策论诞生。他对点集论、算子理论、连续群论以及设计制成第一台电子计算机等都有重要贡献。数学家伯克霍夫（George Dauid Birkhoff,1884

35、-1944）用它发明的极小极大方法推进动力系统的研究，它的工作总结在1927年出版的动力系统一书中。这个理论把拓扑和分析紧密地结合起来，成为数学研究的一个重要工具。数学家维钠（Norbert Wiener,1894-1964）于生物学家、工程技术人员合作，于1984年创建了控制论新学科。数学家申农（Claude Elwood Shannon,1916-1948）在贝尔电话研究所工作时创建了信息论新学科，在同一时期，著名美籍华人数学家陈省身首创运用纤维从于微分几何研究，提出了后被广泛应用的陈示性类。50年代以来，埃霍夫曼（AHofmann,1924-）和马霍尔（M.HOLL,1900-）等人研究

36、组合数学取得很大进展，并且广泛应用于试验设计、规划理论、网络原理、信息编码等方面。1953年基费（JKiefer,1924-）等人提出了优选法。1957年贝尔曼（1920-）创立动态规划理论。1958年美国一个计算机协会小组创立了算法语言，用于电子计算机程序自动化。数学家罗宾逊运用数理逻辑的方法，是无穷小量获得新生，于1960年提出了非标准分析，著有非标准分析一书。1965年美国数学家扎的创建了模糊数学新学科。1976年美国伊利诺大学的阿佩尔（K Appel）和黑肯（WHaken）在计算机的辅助下证明了四色问题，这一成果使数学界大为震惊，开辟任何及其合作区解决理论问题的途径。8前苏联成为数学强

37、国十月革命前后苏联社会主义现代化建设速度很快，二次大战后，前苏联社会主义经济恢复较快，经济建设迅速发展增竟是世界上第二超级大国，特别是重工业与国防军事工业实力很强，核武器、火箭导弹、人造卫星、宇宙飞船等处于世界先进水平。科学技术蓬勃发展，促进数学的发展，前苏联成为数学强国。前苏联数学的主要成就，数学家柯尔莫哥洛夫(1903-)，他对开创现代数学的一系列重要分支做出重大贡献，他建立了在测度论基础上的概率论公理系统，奠定了近代概率论的基础，他也是随机过程论的奠基人之一。50年代他把经典力学于信息论结合起来，解决了对称量纲体高速旋转的稳定性和磁力线曲面的稳定性。60年代后他又创立了心理算法理论。19

38、80年由于他在调和分析、概率论、动力系统方面出色的工作获得沃尔夫奖。数学家维诺格拉多夫(1891-1959)，他的主要贡献在解析数论方面，他证明了：存在正数C使得每个大于C奇数是三个奇数之和，称为哥德巴赫-维诺格拉多夫定理，他一生不断完善和发展估计各种三角和的方法，在许多著名数论问题上得到重要结果。辛钦（1894-1959）是现代概率论的奠基人之一，在分析学、数论、概率论对统计学的应用方面也有重要贡献。他在1932年发表了排队轮的论文，50年代写了著名的专著。数学家卢津(1883-1950）和苏斯林，亚力山德罗夫共同创建立新的数学理论-描述性函数论。后来他还发现了新集-射影集。他在微分几何、微

39、分方程等领域都有建树。数学家庞德里亚金（1908-）的拓扑群庞德里亚金对偶定理，庞德里亚金实行类都是十分重要的工作。50年代开始研究振动理论和最优控制理论，以庞德里亚金的极值原理著称于世。它的主要著作有拓扑群。数学家盖尔范德（1913-）发展了交换赋范环论，即变换巴拿赫待数论。他着重研究广义函数，并与别人和写了关于广义函数的多卷巨著。以1968年开始，它研究光滑流形上所有光滑向量场构成的李代数的上同调，在微分几何和代数拓扑中有重要作用，1978年他获得沃尔夫奖。可见，数学史证明了数学中心的转移，同经济、科学技术的转移相一致。进步的社会、繁荣的经济、先进的科技是数学发展的必要和有利条件，数学于经

40、济、科技都有密切的联系。但是，社会环境的作用，除了经济基础，还表现为政治变革、哲学思想，以及一般文化的影响，所以在经济不是最发达的国家数学跻身于先进行列也是可能的，第一次世界大战的波兰数学发展就是一例。二、现代数学与社会实践数学的产生与发展，同人类社会生产、科学活动有密切关系，随着现代数学的高度抽象化，数学自身独立性增强，数学与社会实践的关系日趋多样化，也更趋密切。 社会生产向数学提出需求，促使新的数学理论与方法生产恩格斯指出：数学是从人的需要中产生的，是从丈量土地和测量溶剂，从计算时间和制造器皿产生的。伽利略认为数学和科学的基础是实验，只有在实验的基础上进行数学分析才能认识自然规律。他承认数

41、学只是来自对自然界的认识。现代数学是人们长期社会实践活动中经过抽象思维而产生的。现代生产技术和科学的迅速发展，是数学问题的现实来源更加广泛了。概率论研究最初是由于保险业的发展，但是鼓舞数学加思索的专门问题却是股子和纸牌赌博的贵族们的要求。运筹学是第二次世界大战期间发展起来的，用于研究军事活动和经济活动有关运用、筹划与管理等方面的问题，通过数学的运算，做出合理的安排，有效地使用人力，物力，提高效率。由于探讨跨声速飞行推动了混合型偏微分方程理论的研究。而泛函分析的发展，则是由量子力学和电动力学问题、计算技术问题、物理学和技术的统计问题等等所推动的。60年代初我国数学家独立创造的解椭圆形微分方程的系

42、统化计算方-有限元法，短短十年中已成功地应用于几十个科技领域。实践的需要促进了有限元法的研究与逐步完善。由于研究复杂系统与模糊现象，研究用电子计算机模拟人脑去识别模糊图像，促使人们提出了模糊数学。突变理论是由于研究自然现象和社会现象中由渐变、量变发展为突变、质变的过程而产生的。所有这些说明现实世界蕴藏着无穷无尽的数学原料，永远不可穷尽。而且，直接来自事迹材料的数学概念越多，通过再加工而发展概念的可能性就越大，正如恩格斯所说：“为了继续前进，我们必须汲取真实的关系，来自显示物体的关系和空间形式。” 社会实践是检验数学真理的标准数学发展依赖社会生产和科学技术的发展，也可以由数学本身纯粹逻辑地提出问

43、题，他具有相对独立性。当一个数学分支基础奠定之后，它的进一步发展，常常并不受来自外部的明显影响，因而它自己就以一个人真正提问特的身份出线，借助于逻辑的方法就能提出和解决许多新的富有成果的问题。另外，在数学发展的一定阶段，由于对已经积累的丰富材料的分析，也会提出一些数学理论自身的矛盾。解决这些矛盾的过程有时还可以导致数学新学科的建立。数学的发展具有相对性，数学理论的发展可以走在生产与科学实验等社会活动的前面，为他们做好理论的储备，成为研究科学技术问题的有效方法。这样，数学新理论的真理性最后还得有社会实践所检验。如19世纪数学家尝试证明欧氏几何等第五公设的问题，最后以逻辑推导出非欧几何学这一新学科

44、。高斯最早发现非欧几何学的轮廓，他怕新理论被人嘲笑，未敢提出。另一发现非欧几何的匈牙利数学家波尔约则因知道高斯也由此发现而感到沮丧。罗巴切夫斯基在1826年公布了非欧几何，遭到各种嘲笑于漫骂。一直到20世纪爱因斯坦的相对论中成功地应用非欧几何，才被作为科学理论而获得充分发展。公元前200年希腊几何学家阿波罗尼奥斯的“圆锥曲线”，经过1800年才找到存在光学抛物镜研究和天体运动理论中的具体应用。本世纪初，为克服黎曼积分的局限性建立了勒贝格测度和积分理论，当时由于找不到应用而遭到讽刺。今天，勒贝格测度却成为现代控制论，信息论等学科不可少的工具。布尔代数学的发明人绝对没有想到他的理论会被用于电子计算

45、机。傅里叶级数的创始人同样也没有想到根据它的理论发展出来的傅氏分析会在雷达探测。全息照相等技术中大显身手。一直被作为纯理论来研究的理论，它的许多结果如今在计算方法、代数编码、组合论、计算机科学等领域内得到了广泛的应用。1860年初创造是作为纯数学理论一部分的矩阵理论，65年后作为描述原子系统中矩阵力学的基本数学工具得到了应用。张良计算氏19世纪90年代创立的，仅相隔20年，就被爱因斯坦应用于相对论。可见，数学理论是否具有客观真理性，实践是检验数学理论的标准。这些相对发展阶段的纯理论之所以对事件有巨大的指导作用，正因为这些理论是基于实践基础产生德里戴数学只是继承、积累与发展的结果。数学发展在某一

46、分支、某一阶段上常常表现为一理论到理论，从而整个数学发展过程来看，还是遵循实践-理论-实践这个马克思主义知识论的基本规律的。 数学对社会的推动作用虽然，社会实践是数学产生的基础和检验数学内容真理性的标准，但是，数学的发展反过来有力地推动着社会的繁荣和进步，这是数学对于社会的巨大的反作用。 首先，现代数学对于生产技术的推动突出反映对产业革命的影响。在早期资本主义生产力发展需要刺激下产生的微积分，反过来推动了以机械运动为主的17、18世纪的科学技术。18世纪第一次产业革命的主体技术蒸汽机、纺织机等的设计及对运动、变化的计算只有在做积分发明后才可能。19世纪60年代开始第二次产业革命，前后分为两个阶

47、段。第一阶段以发电机、电动机为主体技术，这些技术当然是依靠了电磁理论，但电磁理论的研究却是与数学分析的应用分不开的。电磁作用的数学基础由数学家高斯、泊松（Simeo-Denis Poisson,1781-1840）,法国数学家和格林（George Green,1793-1841）,英国数学家等人所建立。第二阶段的主体技术是无线电通讯技术，他溯源于麦克斯韦从数学上预言电磁波的存在。正如麦克斯韦所指出的，倘若没有搞四、格林等人提出的位势理论、没有偏微分方程这个数学工具，他是不可能建立其电磁波学说的。20世纪40年代开始的第三次产业革命，主要是电子计算机、原子能、空间技术与生产自动化等。现代通用数字

48、计算机的概念最早是数学家巴贝奇（Charles Babbage 1792-1871,英国数学家）提出的；后来英国数学家图灵（Alan Mathison Turimg,1912-1954）从数学上证明了制造通用数字机的可能性。而在世界上第一台通用电子计算机的设计改进中，数学家冯诺依曼起了关键作用。因此，在现代计算机发展的每个重要关头，都记载着数学家的贡献。如果没有图灵的理想计算机，没有布尔代数，没有冯诺依曼的存储程序设计思想，现代电子计算机的发展也是不可能的。数学对于解决原子能技术与空间问题也起了重要作用。众所周知，原子能释放的可能性首先是由爱因斯坦论证的。他利用数学工具导出著名的公式E=mc2

49、揭示出质能转化的规律，美国第一颗原子弹研制过程中，吸收了一批数学家参加，冯诺依曼就是第一颗原子弹研制基地罗斯。阿拉木斯实验室的主要科学顾问。这些数学家的数学计算对于保证研制工作的顺利进行非常重要。50年代苏联为了实施核计划与空间计划，也充分动员了数学家，1953年苏联科学院成立应用数学所，苏联卫星计划的轨道计算部分就是在这里进行的。该所专门承担于空间技术、核技术与自动化技术有关的课题并从事相当的理论研究。我国数学家周毓麟以大量的科学计算保证了我国核计划在理论上的可靠性。至于自动化技术，它的发展受到控制论的深刻影响，而控制论的主要创始人和开拓者是当代杰出的数学家维钠、庞特里金（1908-1988

50、）等。可见，历次产业革命的主体技术与数学的新理论、新方法有直接与间接的关联，显示了数学理论转化为生产力的巨大功能与潜力。其次，为解决数学内部矛盾而产生的纯数学成果在技术革命及产业革命中获得意外的重要应用。例如用数学形式描述逻辑思维规律而建立的布尔代数。后来成为计算机线路设计不可缺少的法宝。还有现有数学知识的直接应用。这类应用使大量的、经常的，人们往往对之习以为常，但有时也会引起震惊。历史上如第一条横越大西洋的海底电缆工程，徘徊多年，屡遭失败，后采用了英国数学物理学家汤姆生（James Thomson,1824-1907年）以数学推导为基础的方案，终于在1865年依据安装成功，轰动了当时科技界而

51、被传为数学应用之佳话。超音速飞机机翼设计必须借助复变函数论中的宝角映射。现代汽车与远洋巨轮的外形要依靠计算几何与样条函数而得到。70年代，苏步青教授（1902- ）参加上海江南造船厂船体曲线放样。数学放样是以数学求出船体的曲线。他应用3次参数样条曲线的教学方法，再由数控机床切割出所需要的材料，可节约人力、物力。自动导航设备离不开卡尔曼滤波理论。石油地震勘探少不了时间序列的数学方法，还有核反应堆计算，人造卫星姿态控制，等等，都必须应用现代代数计算。随着科学技术的迅速发展，数学成果应用的速度在加速，周期在缩短。有些数学理论具有相对独立，常常领先发展，成为数学基础理论储备。这种储备在适当的时机和一定

52、的条件下转化为生产力而对社会产生影响。因此，我们应该积极地支持数学理论储备，增进数学理论转化为生产力的可能性。三、现代数学与社会管理随着社会的发展和进步，现代社会经营规模越来越大，越来越复杂，要求社会管理精确化、科学话，就必须运用数学方法。. 经济管理必须应用数学经济管理是最基本的社会管理。经济学中的许多因素、指标如生产量、总收入、工资、价格等等，都必须用数量表示。然而由于经济变量之间的因果关系变化莫测，数学在经济中的作用发展是迟缓的。但本世纪30年代以来，数学在经济管理中作用明显增长，经济分析中运用数学方法已被证明是一种有效的途径，并逐渐形成了数学经济的交叉学科。目前，数学经济大致包括两大部

53、门，即偏重统计手段的计量经济学和以抽象的数学经济模型理论为主的数理经济学。现介绍主要的经济方法如下：对策论方法，对策论最早的始祖是我国战国时代，本世纪40年代，冯诺依曼创立对策论并应用于经济学，这是西方数理经济学的正式形式。对策论的经济模型就是将社会经济看作是一种竞争体系，根据已获得的信息进行定量分析以寻找最佳方案。最优化方法。最优化方法研究在一定约束条件下如何选取某些因素值使的某个（或n个）指标达到最优，因此在经济学中自然有广泛应用。例如最优经济决策的选择、国民经济计划的确定、经济静态平衡与动态平衡模型的建立等等。解决最优化问题的主要数学方法是数学规划，即研究在变量x=(x1,x2，xn )

54、受到某些条件约束情况下如何寻求一个x使某个（或n个）函数在该出达到极大值或极小值。这里的函数称为目标函数，根据目标函数核约束条件的不同，数学规划又可分为线性规划、非线性规划、动态规划、多目标规划等不同分支。优先法和统筹法是最优化方法的一部分，本世纪60-70年代，在华罗庚教授的倡导下曾在国内推广，取得很大的成绩。投入产出方法，他是利用数学方法综合地分析和研究国民经济各部门各地区在产品生产和消耗间的数量关系及其数学模型的一种方法，因此它又叫部门联系平衡法，或产业关联法。这种方法的主要特点和作用，是要解决一个经济系统的各部门之间在发展过程中的平衡协调问题。采用投入产出方法，可以指示国民经济各部门的

55、技术经济联系和再生产过程中的重要比例关系，在对经济过程进行质的分析基础上，考察它的量的关联性，从而掌握其发展的规律。这对加深理解经济过程的本质，制定优科学根据的国民经济计划，全面提高经营管理的经济效果都有十分重要的意义。投入产出方法是本世纪30年代由美国哈福大学教授瓦西里。列昂节夫首次发展起来的，他在1936年发表的论文美国经济系统中的投入和铲出的数量关系中首先公开提出了投入产出分析的基本思想和实践，随后在他发表的美国经济结构，1919-1929（1941），美国经济结构，1919-1939（1951年），美国经济结构（1953年）等著作中，作出了进一步的论述。50年代起在欧美和苏联盛行。我国

56、从60年代初采用了投入产出方法。1976年编制了我国第一张投入产出表，即1973年我国经济投入产出表，其中主要产品有61类。国家计委组织是编的1981年国民经济投入产出表包括26个部门149种产品，是第二张全国规模的投入产出表。一些省市、部门和企业，也分别编出了地区、部门及企业的投入产出表、并应用到实际工作中。投入产出方法已引起广大经济管理人员的重视，正在推广。数学预测方法。运用以占有的资料对经济变量作预测、估计，包括计量经济预测法、回归分析预测法等。此外，经济成长理论中还日益普遍使用微分方程、差分方程，近年来对经济理论结构的逻辑探讨还将点集合、拓扑学等抽象工具引进了经济学。 经济学的数学方法

57、作为一门独立的学科还在继续发展，必须指出的是，国民经济是一个极端庞大复杂的系统，经济数学不考虑数量关系以外的因素，并且数量模型也只是对现实经济关系的非常近似的描述，因而带有很大局限性，不应把数学方法在经济学中的应用绝对化。3.决策必须应用数学从本世纪30年以来，出现一批大科学、大工程、大企业。他们的特点是规模庞大，结构复杂，功能总和，因素众多。从性质上判断，他们具有广博性、多购性，多分支性和综合性等特点，其参数变量之多，活动规律之复杂，输入和输出信息两制大都是空前的。为了提高社会经济效率，不仅要依靠先进的生产技术，而且在很大程度上要依靠科学的决策。其次，社会活动的变化多端，使得领导者不断面对层

58、出不穷的新问题，要求他们审时度势，统观全局，于千头万绪质中找出关键所在，权衡利弊，及时做出柯性、有效的判断。为了做到这一点，单靠个人的经验是不够的，还必须深入地研究科学决策方法。大生产在人、财、物的投资方面是空前的，而且与整个社会的各个方面也千丝万缕地联系在一起，牵一发而动全身。因此，一个决策的失误必然会引起一连串连锁反应，导致严重的后果。所以，现代社会情况，要求现代领导实行科学决策。目前，决策总是为了达到的目标；决策总是要付诸实施的；决策总是在若干个有价值的方案中选择最优的方案。要做到这些，就必须运用运筹学中的决策方法，包括我们在面前提到的确定型问题的决策方法、风险型问题的决策方法、非确定性

59、问题的决策方法、多级目标问题的决策方法、以及模糊决策等。目前，一个大工程获大企业的决策，往往要用一、二年的时间，花区占总投资万分之十的费用，来进行各项技术经济的分析比较，做出最科学决策，正确的决策会带来巨大的经济校验和社会效果。相反，错误决策会造成巨大经济损失和严重的社会后果。 公益事业必须运用数学现代公共福利与服务事业中日益广泛地应用数学，因此数学对人类的日常生活也起着潜移默化的影响。排队轮与最优服务，在现代化的城市生活中，随时都会遇到用给予排队，公共汽车站、汽车站、轮船码头、商场，剧场等售票处都游泳给予排队现象。牌对论是解决这一问题的有力数学工具。1940年后人们一八拍对论广泛用于解决军事

60、、运输、维修、生产、服务、医疗卫生、教育等排队系统问题。60年代后，由于系统工程、计算机科学、信息论和控制论的发展，给排队轮的应用开拓新的生命力，系统科学涉及各子系统的时间等待问题、要求服务问题、优先权问题、忙闲问题。它们构成了由输入过程、服务机构、排队纪律等基本特征的排队问题，必须借助排队轮。数学与城市交通，现代城市交通计划、运输动力学、道路形式选择等普遍应用线性规划、组合图论等数学方法和计算机。运输问题的数学模型是一类特殊的线性规划模型，可用单纯形法来求解。但是，即使是一个简单的运输问题如用线性规划来解也并不简单。如在5个产地6个销地的情况下，变量竟达30个之多。因此，用单纯形法求解问题是

61、不合算的。可根据运输模型约束方程中所有变量系数均为1的特点，采取表上作业法来计算。数学与生态环境。生态失衡是当今社会面临的严重问题之一，向人们提出了许多困难的问题需要抉择，数学在这里也有用武之地。用数学方法描述生物体与周围环境的相互作用，已形成一门叫数学生态学的新学科。数学生态学为自然界物种竞争、病虫害蔓延、传染病扩散等具体问题提供数学模型，因而对人类环境保护与保持生态平衡具有意义。生态系统的最优管理是近十几年来科学家门感兴趣的课题。例如从一个湖泊中得到最大的渔产量，从林场中得到最大的木材产量，或者使害虫的成活率极小，这些问题是求极大值或极小值问题。在生态系统管理中，常用的最优化方法有线性规划

62、合肥线性规划，动态规划，离散最小值原理等数学方法。数学与医疗技术，数学在医学上的应用在过去是凤毛麟角，近数十年却取得了不少成功，从而使这门是许多人望而生畏的抽象学科直接关系到人们的生命健康。最令人振奋的例子就是计算机断层扫描（CT扫描）仪的问世。设计CT扫描仪的主要理论基础是数学上的拉东变换。再加上人工肾技术中血液中成份分析要利用扩散方程求解等等，数学正在通过现代医学而造福人类。 人口控制必须运用数学人口理论广泛地应用概率论、数理统计和微分方程等数学工具，以研究年龄分布、出生率、死亡率、性别比例、人口迁移率以及人口发展的估计与预测等。亿人口增长的数学模型为例，设P表示人口，t表示时间，则人口增

63、长率就可由方程：1/P(dp/dt)=R 给出，若R常数r，就得到几何级数增长模型；p=Aexp(rt)若假定R=r91-p/l)(rL均为常数)，就得到更适用的所谓逻辑斯蒂增长模型：P=L/(1+exp-r-(t-)人口增长数学模型为定制人口政策提供理论参考，但任何数学模型都是近似的，但依靠数学模型是危险的。在人口模型中可以加进各种参数，研究参数变化对解的影响。例如，可以研究人口增长对国民经济的影响，也可以反过来研究经济增长和教育普及对人口增长的影响，以及国家各项法令，政策对人口增长的影响。四、数学的教育功能数学对人类生产活动和科学技术有很大的作用，他对推动社会进步有很大的影响。它还有对人类

64、具有教育功能，它是思维的工具，能够提高人的思维能力。数学长期以来一直是人们启蒙教育和基础教育的必修课目。数学教育的意义，不仅是传授一些具体的数学知识，使人们获得为从事生产、科学以及文化等社会活动所必须具备的计算和推理的基本能力；而且通过学习数学，可以激发创造精神，提高思维本领，数学的主要教育功能有： 数学可以训练人的抽象思维能力人们研究纯粹数学正是在各种抽象的数学概念或数学结构之间思索着，追求着，寻找它们之间的内在联系和规律。数学应用过程也是一个科学抽象的过程，分析和综合的过程，要善于抓住主要关系，撇开次要的东西，经过合理的简化，把问题用数学语言表述出来，提炼成数学模型进行推导和盐算，形成对问题的认识、判断和预测，这是用数学的抽象思维去把握现实事物。 数学可以训练人的逻辑思维能力数学中每一公式、定理都要严格地在逻辑上加以证明以后才能确立，数学的推理步骤严格地遵守形式逻辑诸法则，以保证从前提到结论的推导过程中，每一个步骤都是在逻辑上准确无误的。 数学可以训练人的辩证思维能力数学是辩证的辅导工具和表现形式。数学包含着丰富的辩证思想，数学用符号语言，用简明的数学公式，明确地表达出各种辩证的关系和转化。人们常把学习数学，进行数学推导和演算，比作锻炼思维的保健操或智力体操，这种思维操练，确实能提高科学抽象力、逻辑推理能力和辩