3.1.2导数的概念6

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1、高二数学高二数学 选修选修1-13.1.2导数的概念 -冯慧侠 泸州老窖天府中学一创设情景一创设情景（一）平均变化率（一）平均变化率（二）探究：（二）探究：在高台跳水运动中在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为度称为瞬时速度瞬时速度.又如何求又如何求瞬时速度呢瞬时速度呢?平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢如何精确地刻画曲线在一

2、点处的变化趋势呢?,?,.).tan(.,时时的的瞬瞬时时速速度度是是多多少少比比如如度度呢呢如如何何求求运运动动员员的的瞬瞬时时速速那那么么度度在在某某时时刻刻的的瞬瞬时时速速她她他他度度不不一一定定能能反反映映运运动动员员的的平平均均速速的的速速度度称称为为我我们们把把物物体体在在某某一一时时刻刻是是不不同同的的度度运运动动员员在在不不同同时时刻刻的的速速在在高高台台跳跳水水运运动动中中2 tvelociyeousins瞬时速度瞬时速度二新课讲授二新课讲授1瞬时速度瞬时速度 .,.,;,.,.可以得到如下表格内平均速度和区间计算区间之后在时当之前在时当但不为也可以是负值正值可以是是时间的改

3、变量任意取一个时刻之前或之后在附近的情况我们先考察vtttttttttt 22222202200222t0时时,在在2,2+t 这段时这段时间内间内1.139.4tv1.139.4tv13.051v 当t=0.01时,13.149v 当t=0.01时,0951.13v当t=0.001时,1049.13v当t=0.001时,13.09951v 当t=0.0001时,13.10049v 当t=0.0001时,099951.13vt=0.00001,100049.13vt=0.00001,13.0999951v t=0.000001,13.1000049v t=0.000001,105.69.4)(

4、2ttth当当t趋近于趋近于0时时,平均平均速度有什么变化趋势速度有什么变化趋势?.,1132220 个确定的值平均速度都趋近于一时一边趋近于还是从大于的一边从小于即无论时趋近于当我们发现tt./.,.,|,smttvt11322 时的瞬时速度是员在运动因此时的瞬时速度就无限趋近于速度平均无限变小时时间间隔从物理的角度看 .,.lim,11302113220 定值趋近于确平均速度时趋势近于当表示我们用为了表述方便vttththt .时的极限时的极限趋近于趋近于当当是是我们称确定值我们称确定值022113tthth 2.导数的定义导数的定义:函数函数 y=f(x)在在 x=x0 处的瞬时变化率是

5、处的瞬时变化率是 0000()()limlim xxf xxf xyxx 称为函数称为函数 y=f(x)在在 x=x0 处的处的导数导数,记作记作0000()()()lim.xf xxf xfxx )(0 xf 或或 ,即即0|xxy。其导数值一般也不相同的值有关，不同的与000)(.1xxxf 的具体取值无关。与 xxf)(.20一概念的两个名称。瞬时变化率与导数是同.3由导数的定义可知由导数的定义可知,求函数求函数 y=f(x)的导数的一般方法的导数的一般方法:1.求函数的改变量求函数的改变量2.求平均变化率求平均变化率3.求值求值);()(00 xfxxfy.lim)(00 xyxfx;

6、)()(00 xxfxxfxy一差、二比、三极限一差、二比、三极限例例1.(1)求函数求函数y=3x2在在x=1处的导数处的导数.(2)求函数求函数f(x)=-x2+x在在x=-1附近的平附近的平均变化率，并求出在该点处的导数均变化率，并求出在该点处的导数(3)质点运动规律为质点运动规律为s=t2+3，求质点在，求质点在t=3的瞬时速度的瞬时速度.三典例分析三典例分析注意：距离关于时间的导数就是速度注意：距离关于时间的导数就是速度而速度关于时间的导数则是加速度而速度关于时间的导数则是加速度.,62).80(157:,.,220并说明它们的意义的瞬时变化率原油温度时和第计算第为单位的温度原油时如

7、果在和加热行冷却油进对原需要品产柴油、塑胶等各种不同将原油精炼为汽油、例hhxxxxfCxh,根据导数的定义 xfxfxy22 .6f和 262,fhh就是原油温度的瞬时变化率时和第在第解 xxx152721527222 ,3742 xxxxx,33limlim2,00 xxyfxx所以 .56 f同理可得.运运算算过过程程请请同同学学们们自自己己完完成成具具体体./,;/,.,的速率上升原油温度大约以附近在率下降的速原油温度大约以附近它说明在第与分别为原油温度的瞬时变化率时与第在第hChhChhh0056325362 .,情况附近的变化反映了原油温度在时刻一般地00 xxf例例3 物体作自由

8、落体运动物体作自由落体运动,运动方程为：运动方程为：其中位移单位是其中位移单位是m,时间单位是时间单位是s,g=10m/s2.求：求：(1)物体在时间区间物体在时间区间2,2.1上的平均速度；上的平均速度；(2)物体在时间区间物体在时间区间2,2.01上的平均速度；上的平均速度；(3)物体在物体在t=2(s)时的瞬时速度（导数）时的瞬时速度（导数）.221gts 分析分析:_00()()12()2s tts tsvggttt 2001()()2()2ss tts tg tgt 解解:)(212_tggtsv s ss(2+t)Os(2)(1)将将 t=0.1代入上式，得代入上式，得:./5.2

9、005.2_smgv (2)将将 t=0.01代入上式，得代入上式，得:./05.20005.2_smgv 的的极极限限为为：从从而而平平均均速速度度当当_,22,0)3(vtt _00limlim220/ttsvvgm st (2)S小结：1 1求物体运动的瞬时速度：求物体运动的瞬时速度：（1 1）求位移增量求位移增量:（2 2）求平均速度）求平均速度:（3 3）求极限）求极限:;svt00()().limlimxxss tts ttt 2由导数的定义可得求导数的一般步骤：由导数的定义可得求导数的一般步骤：（1）求函数的增量）求函数的增量:y=f(x0+t)-f(x0)(2)求平均变化率求平均变化率:（3）求极限）求极限:yx00()limxyfxx s=s(t+t)-s(t)