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1、绝密 启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第卷1至2页，第卷3至5页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：如果事件，互斥，那么圆锥的体积公式. 其中表示圆锥的
2、底面面积，圆柱的体积公式. 表示圆锥的高.其中表示棱柱的底面面积， 表示棱柱的高. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）是虚数单位，复数（） （A） （B） （C） （D）解：，选A.（2）设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为（） （A）2 （B）3 （C）4 （D）5解：作出可行域，如图结合图象可知，当目标函数通过点时，取得最小值3，选B.（3）已知命题：，总有，则为（）（A），使得 （B），使得（C），总有 （D），总有解：依题意知为：，使得，选B.（4）设，则（） （A） （B） （C） （D）解：因为，所以，选C.（5）设是首项为，公差为-1的等差
3、数列，为其前项和.若成等比数列，则（）（A）2（B）-2（C） （D）解：依题意得，所以，解得，选D.（6）已知双曲线的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（）（A） （B）（C） （D）解：依题意得，所以，选A.（7）如图，是圆的内接三角形，的平分线交圆于点，交于点，过点的圆的切线与的延长线交于点.在上述条件下，给出下列四个结论：平分；.则所有正确结论的序号是（）（A） （B） （C） （D）解：由弦切角定理得，又，所以，所以，即，排除A、C.又，排除B，选D.（8）已知函数，在曲线与直线的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则的最小正周期为（）（A）（B）（C）
4、 （D）解：因为，所以得，所以或，.因为相邻交点距离的最小值为，所以，选C.第卷注意事项：1答卷前将密封线内的项目填写清楚。2用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上3本卷共12小题，共100分。二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）（9）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_名学生.解：应从一年级抽取名.（10）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_
5、.解：该几何体的体积为.（11）阅读右边的框图，运行相应的程序，输出的值为_.解：时，；时，所以输出的的值为-4.（12）函数的单调递减区间值是_.解：由复合函数的单调性知，的单调递减区间是.（13）已知菱形的边长为2，点分别在边上，.若，则的值为_.解：因为，菱形的边长为2，所以.因为，所以，解得.（14）已知函数若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为_.解：作出的图象，如图当直线与函数相切时，由可得，所以.三、解答题（本题共6道大题，满分80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（15）（本小题满分13分）某校夏令营有3名男同学和3名女同学，其年级情况如下表：一年级二年级三年级男同学女
6、同学现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选中的可能性相同）.（）用表中字母列举出所有可能的结果；（）设为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件发表的概率.解：（I）从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为A,B,A,C,A,X,A,Y,A,Z,B,C,B,X,B,Y,B,Z,C,X,C,Y,C,Z,X,Y,X,Z,Y,Z，共15种.（II）选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能接过为A,Y,A,Z,B,X,B,Z,C,X,C,Y，共6种. 因此，事件发生的概率（16）（本小题满分13分）在中，内角的对边分别为.已知，.（
7、）求的值；（）求的值.解：（I）在三角形ABC中，由及，可得又，有，所以(II) 在三角形ABC中，由，可得，于是，所以（17）（本小题满分13分）如图，四棱锥的底面是平行四边形，分别是棱，的中点.（）证明 平面；（）若二面角为，（）证明 平面平面；（）求直线与平面所成角的正弦值.解：（I）)证明：如图取PB中点M,连接MF,AM.因为F为PC中点，故MF/BC且MF=BC.由已知有BC/AD，BC=AD.又由于E为AD中点，因而MF/AE且MF=AE，故四边形AMFE为平行四边形，所以EF/AM,又AM平面PAB,而EF平面PAB,所以EF/平面PAB.（II）（i）证明：连接PE,BE.因
8、为PA=PD,BA=BD,而E为AD中点，故PEAD,BEAD,所以PEB为二面角P-AD-B的平面角.在三角形PAD中，由，可解得PE=2. 在三角形ABD中，由,可解得BE=1. 在三角形PEB中，PE=2, BE=1, ,由余弦定理，可解得PB=，从而，即BEPB,又BC/AD,BEAD,从而BEBC,因此BE平面PBC.又BE平面ABCD，所以平面PBC平面ABCD,（ii）连接BF，由（i）知BE平面PBC.所以EFB为直线EF与平面PBC所成的角，由PB=，PA=,AB=得ABP为直角，而MB=PB=,可得AM=,故EF=,又BE=1，故在直角三角形EBF中，所以，直线EF与平面P
9、BC所成角的正弦值为（18）（本小题满分13分）设椭圆（）的左、右焦点为，右顶点为，上顶点为.已知.（）求椭圆的离心率；（）设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过点的直线与该圆相切于点，求椭圆的方程.（）解：依题意得，所以，解得，.（）解：由（）知椭圆方程可化为.因为，所以直线的斜率.因为，所以直线的斜率，直线的方程为.设，则有，解得或（舍），所以.因为线段的中点为，所以圆的方程为.因为直线与该圆相切，且，所以，解得.所以椭圆方程为.（19）（本小题满分14分）已知函数，.（）求的单调区间和极值；（）若对于任意的，都存在，使得.求的取值范围.（）解：因为，所以.令得或.因为当或时，单调递减，当时，单调递增，所以，.（）解：因为，所以.（20）（本小题满分14分）已知和均为给定的大于1的自然数.设集合，集合.（）当，时，用列举法表示集合；（）设，其中，. 证明：若，则.（）解：当，时，.（）证明：因为，所以，所以，.所以 .
2014年全国高考天津市数学（文）试卷及答案【精校版】
