导线网的精度估算

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1、导线网的精度估算2.4.1等边直伸导线的精度分析在城市及工测导线网中单一导线是一种较常见的网形，其中又以等边直伸导线为 最简单的典型情况。各种测量规范中有关导线测量的技术要求都是以对这种典型情况的 精度分析为基础而制定的。为此下面将重点介绍附合导线的最弱点点位中误差和平差后 方位角的中误差。本节中采用下列符号：u 表示点位的横向中误差；t 表示点位的纵向中误差；M 表示总点位中误差；D 表示导线端点的下标；Z 表示导线中点的下标；Q 表示起始数据误差影响的下标；C 表示测量误差影响的下标。例如t表示由测量误差而引起的导线端点的纵向中误差；u表示由起始数据误差而C ,DQ,Z引起的导线中点的横向

2、中误差。1. 附合导线经角度闭合差分配后的端点中误差图 2-16 所示的等边直伸附合导线，经过角度闭合差分配后的端点中误差包括两部 分：观测误差影响部分和起始数据误差影响部分。有关的计算公式已在测量学中导出， 现列出如下：N冬/、；、 /图 2-16t =n m 2 + 九 2 LC ,Ds（2-31）U = 2L；(n + i)(n + 2)n +3C，Dp 12nP12（2-32）t = m（2-33）Q ,DABmLu = Q,Dp y2（2-34）式中，n为导线边数；m为边长测量的中误差；九为测距系统误差系数；L为导线全 s长；m为测角中误差（以秒为单位）；m为AB边长的中误差；m为起

3、始方位角的中 卩ABa误差； s 为导线的平均边长。导线的端点中误差为M =-.: 12 + u 2 +12 + u 2（2-35）D C ,D C ,D Q,D Q,D由上述公式可以看出，对于等边直伸附合导线而言，因测量误差而产生的端点纵向误差t完全是由量边的误差而引起的；端点的横向误差U完全是由测角的误差引起C,DC ,D的。这个结论从图形来看是显然的，然而，如果导线不是直伸的，则情况就不同了。测 角的误差也将对端点的纵向（指连结导线起点和终点的方向）误差产生影响，同样量边 的误差也将对导线的横向误差产生影响。也就是说，无论是纵向误差还是横向误差，都 包含有两种观测量误差的影响。对于这种一

4、般情况下的端点点位误差的公式，这里就不 予推导了。2. 附合导线平差后的各边方位角中误差a 的中误差i 1:. i2=m .-i P Pi n3 2(n i +1)2n +1 n(n + l)(n + 2)2-36)由上式可知m是导线边数n，方立角序号i和测角中误差m卩的函数。现就m卩=1的情况算出不同的n和i对应的m值列于表2-6。从中可以看出：一般地说，平差后各ai边方位角的精度最大仅相差约0.3（当n =16时）；对于n =1216的导线，各边的ma的平均值近似等于测角中误差m ;方位角精度的最强边当n 10时在导线两端；方位角精度的最弱边大约在距两端点1/51/4导线全长的边上，如图

5、2-17 所示。表 2-6直伸等边导线平差后各边方位角误差系数 Qa导线边号导线边数ni4681012141610.630.730.790.820.850.870.8920.550.730.860.951.011.061.1030.550.660.810.931.031.111.1840.630.660.750.870.991.101.1850.730.750.820.941.051.1560.730.810.820.901.001.1070.860.870.900.981.068910111213141516平均0.790.930.951.820.940.991.031.010.850.98

6、1.001.051.101.111.060.871.031.031.061.101.151.181.181.100.890.590.710.800.880.951.021.093. 附合导线平差后中点的纵向中误差i +1点纵向的中误差为I1. i2t 二 m ,i _i+1$ n对于导线的中点，距端点有-条边,2所以i = n代入上式得2图 2-17- t = m - i+i$21= m2$vn2-37)以上是测距的偶然误差产生的纵向中误差。此外，中点的纵向误差还受测距系统误差的影响。对于严格直伸的附合导线来说，平差后可以完全消除这种系统性的影响。然 而实际上不可能布设完全直伸的导线，现假定由

7、此而产生的纵向误差为2XL，于是 考虑测距的偶然误差和系统误差之后，可以写出导线中点因测量误差而产生的纵向中误差为tC,Z；nm 2 + 九 2 L$2-38)4. 附合导线平差后中点的横向中误差对于图2-18的导线，只有方位角误差对横坐标有影响。对第i +1点（距起点有i条 边），则点位横向中误差为ui+1图 2-18sm : i(i + l)(2i +1) _ i2(i +1)2p64(n +1)i 2(i + l)2(3n 2i + 2)212n(n + 1)(n + 2)2-39)对于导线中点将,=2代入上式得出uC,Z:n(n + 2)(n 2 + 2n + 4)192(n +1)2

8、-40)因导线全长为ns = L，所以上式还可写成uC,Z(n + 2)(n 2 + 2n + 4)192n(n +1)2-41)以上有关导线边方位角和点位精度的公式都是就等边直伸的条件下导出的，然而实 际上一条导线并不完全满足这两个条件。所以，在这种情况下应用这些公式都是近似的 它们只能作为精度分析时的参考。5. 起始数据误差对附合导线平差后中点点位的影响 起始数据误差对平差后的附合导线中点的纵、横误差也有影响，由（2-33）式知，AB边长的误差对端点纵向中误差的影响为mAB则它对导线中点纵向误差产生的影响 为t = m（242）Q,Z2 AB至于起始方位角误差对中点产生的横向误差可以这样来

9、理解：当从导线一端推算中 点坐标时，产生的横向误差为彳 m ；而中点点位的平差值可以看做是从两端分别推 算再取平均的结果。因而起始方位角误差对导线中点引起的横向误差为uQ,Z243)附合导线平差后中点的点位中误差应为M = t2 + u2 +12 + u2（ 244）ZC,ZC ,Z Q,ZQ,Z6. 附合导线端点纵横向中误差与中点纵横向中误差的比例关系 根据以上有关附合导线点位中误差的公式即可导出平差前端点点位中误差与平差 后中点点位中误差的比例关系。根据这种关系，即可通过控制端点点位中误差(即导线 闭合差的中误差)来控制导线中点(最弱点)的点位中误差，使其能满足规定的精度要 求。各种测量规

10、范中有关导线测量的主要技术要求，都是以这一关系作为重要依据的。 下面来解决这个问题。首先将 u 与 u 进行比较。由(2-32)和(2-41)式可知C ,DC,ZUcd = i：42 n2 + 2n +1 4(2-45)u n 2 + 2n + 4C,Z同样，将(2-31)、(2-33)、(2-34)式与(2-38)、(2-42)、(2-43)式进行比较也 可得出相应量之间的比例关系。现根据这些关系以及(2-45)式可写出下列各式：t = 2tC,DC ,Zu = 4uC,Dc,z I(2-46)t = 2tQ,DQ,Zu = 4uQ ,DQ ,Z2.4.2 关于直伸导线的特点由测量学中的有关

11、知识和以上的分析可知，直伸导线的主要优点是：导线的纵向 误差完全是由测距误差产生的；而横向误差完全是由测角误差产生的。因此在直伸导线 平差时纵向闭合差只分配在导线的边长改正数中，而横向闭合差则只分配在角度改正数 中；即使测角和测距的权定得不太正确，也不会影响导线闭合差的合理分配。但对于曲 折导线，情况就不是这样，它要求测角和测边的权定得比较正确才行，然而实际上这是 难以做到的。直伸导线形状简单，便于理论研究。本节中导出的有关点位精度关系的 一些公式，都是针对等边直伸导线而言的，如果不是直伸导线，上述公式都只能是近似 的。直伸导线也有不足之处。模拟计算表明：直伸导线的点位精度并不是最高的，有人

12、提出，精度较高的导线是一种转折角为90和270交替出现的状如锯齿形的导线。有 关规范上之所以要求布设直伸导线，主要是考虑它所具有的上述优点，然而实用上很难 布成完全直伸的导线。于是有关规范只能规定一个限度，在此容许范围内的导线可以认 为是直伸的。2.4.4导线网的精度估算以等级导线作为测区的基本控制时，经常需要布设成具有多个结点和多个闭合环的 导线网，尤其在城市和工程建设地区更是如此，在设计这种导线网时，需要估算网中两 结点和最弱点位精度，以便对设计的方案进行修改。至于估算的方法，在过去采用的“等 权代替法”是一种近似的方法，而且有一定的局限性。但是由此法导出的一些结论仍可作为导线网设计的参考

13、。如今在实际上采用的主要是电算的方法，如2.3.2 小节所述。 下面介绍等权代替法。测量学中已经导出计算支导线终点点位误差的公式M =.i nm 2 + 脸 L + 直 LSp 2n +1.532-47)上式略去了起始数据误差的影响，其中n =-。由此式可见若不考虑起始数据误差，则s在一定测量精度和边长的情况下，支导线终点点位误差与导线全长有关。这种关系如用m = 12mm + 5 x 10 -6 D，s图解表示可以看得更清楚。以城市四等电磁波测距导线为例。设导线测量的精度为X= 2x 10-6，mp = 2.5，导线边长s分别为 500、1 000、1500和2 000m，导线总长为110k

14、m，代入(2-47)式计算支导线终点点位误差M。将所得 结果以L为横坐标，以M为纵坐标作图，如图2-19所示。由图可知，这些曲线都近似 于直线，因此，在一定的测量精度与平均边长情况下，导线终点点位误差M大致与导 线长度L成正比。设以长度为L的导线终点点位误差M作为单位权中误差，则长度为 00L的导线终点点位的权P及其中误差M可按下列近似公式计算i i iM = M -r = M L = M(2-48)i 0 L 0 i 0 P0iM30010010056823四筹电磁波测距导线终点点位误差m= 松+郭300mm200/nj=12mm+0.000 05$人=0. 000 02g = 25图 2-

15、19式中，L = L。所以 iL0式中，L是导线长L以L为单位时的长度。ii0由上式可知，如果已知线路的权P，则可求出相应的单一线路长度L，;反之如果ii已知线路长度L，则可求出相应的权P。现以图2-20所示的一级导线网为例，说明如ii何运用以上公式估算网中结点和最弱点的点位精度。图中A,B,C为已知点，N为结点。 各线路长度如图所示。试估计结点N和最弱点的点位中误差(不顾及起始数据误差影 响)。为了估计导线网中任意点的点位中误差，需设法将网化成单一导线，然后按加权平 均的原理计算待估点的权，再设法求出单位权中误差，最后即可求出待估点的中误差设以lkm长的一级导线的端点点位中误差为单位权中误差

16、，则图2-20中各段线路 的等权线路L即为已知的线路长，所以L = 1.4， L = 1.1， L = 1.0ANBNCN相应的权为P =丄=0.51，P =丄=0.83，P =丄=1.00ANL2BN LbCN LnANBNCN从线路BN和CN都可求得N点的坐标，如取其加权平均作为N点的坐标，则此坐标的 权为P = P + P = 0.83 +1.00 = 1.83BCN BN CN这个权值相应的虚拟等权线路长为I 11L = 0.74(km)bcn p1.83BCN这就相当于把BN, CN两条线路合并成一条等权的线路，其长度为L= 0.74km,如图BCN2-20 (b)中虚线所示。现在原

17、导线网已成为一条单一导线A-BC，其等权线路长为L = L + L = 1.4 + 0.74 = 2.14(km)A- BCAN BCN对于A-BC这条单一导线而言，其最弱点W应在导线中点，即距两端为2=bc = 1.07 km2 处。现在来求N点和W点的权。N点的坐标可看做是从AN和BCN两条线路推算结果 的加权平均，则N点的权为P = P + P =+=+= 2.34N AN BCN L 2L 21.42 0.742AN BCNW是导线的中点，其权应为线路AW的权的2倍，即P = 2丄=2 x -= 1.75WL21.072AW再来计算单位权中误差即长为lkm的一级导线端点的点位中误差。设

18、导线的平均边 长为 s = 200m，测距精度为 M =12 mm，X = 2/1000000，s入(2-47)式得M =5 x 122 + 22 + (丄 x 106)2 x 5 +1.5 1kmp40(mm)n =1000 = 5 ;代200于是结点N和最弱点W的点位中误差为I 11M = M= 40 x= 26(mm)N 1km P2.34N| 1I 1=M= 40 x1km P1.75W用同样的方法可以估算多结点的导线网的精 度。但是这种方法不能解决全部导线网的精度估 算问题，例如带有闭合环的导线网等图形。对于 其中几类特殊的网形，有人提出过其他的一些估 算方法，然而要估算任意导线网的

19、精度，如今只 能用电子计算机进行。对于某些典型的导线网，人们已用上述等权 代替法以及其他的一些方法进行了研究，其结论 可作为设计导线网时的参考。= 30(mm)(b)(a)(d)1.26L(g)T0.80o0.71?41LA(f)建ry1.18-x1.00L-0.500.50A高级控制点。结点最弱点2_J_L0.70 厶*).60L-0.80 0.80图 2-21图 2-21 是若干种典型导线网图形，这些图形 都可以转化为单一的等权线路。我们设想附合在 两个高级控制点之间的单一等边直伸导线的容许 长度为1.00L，如图2-21 (a)所示，则规定其 他图形的最弱点点位误差与上述导线最弱点点位 误差相等(亦即规定二者等权)的条件下，按等 权代替法，算得各图形中高级点之间的容许长度 及导线节的容许长度，它们的容许值分别在图中 标出，网的最弱点位置以黑点标志。在进行导线网的初步设计时，若某一级单导线的规定容许长 度为L，则同等级导线网中导线节的长度可由图2-21中所示的比例关系来规定。按这 种方式设计导线网，其最弱点点位误差将等于图2-21 (a)中单导线的最弱点点位中误 差。只要这一误差满足设计要求，则全部导线网的点位误差也必满足要求。