pbi8-1-6-多元函数微分学的几何应用.ppt

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1、1,空间曲线的切线与法平面,曲面的切平面与法线,8.6 多元函数微分学的,几何应用,全微分的几何意义,小结 思考题 作业,第8章 多元函数微分法及其应用,2,设空间曲线的方程,(1)式中的三个函数均可导.,1. 空间曲线的方程为参数方程,一、空间曲线的切线与法平面,3,考察割线趋近于极限位置,上式分母同除以,割线 的方程为,切线的过程,4,曲线在M处的切线方程,切向量,法平面,切线的方向向量称为曲线的切向量.,过M点且与切线垂直的平面.,平面的点法式方程,5,解,切线方程,法平面方程,例,即,6,设曲线直角坐标方程为,法平面方程为,2. 空间曲线的方程为,曲线的参数方程是,由前面得到的结果,在

2、M(x0, y0, z0)处,令,切线方程为,x为参数,两个柱面,的交线,7,例 在抛物柱面 与 的交线上,x为参数,于是,解,所以交线上与,对应点的切向量为:,交线的参数方程为,取,求对应 的点处的切向量.,8,设空间曲线方程为,3.空间曲线的方程为,确定了隐函数,(此曲线方程仍可用方程组:,表示.),两个曲面,的交线,利用2. 结果,切线方程为,法平面方程为,在M(x0, y0, z0)处,两边分别对,x求导:,下面求出.,9,利用2.结果,两边分别对,x求全导数:,10,法平面方程为,切线方程为,在点 M(x0, y0, z0)处的,11,解,例,切线方程和法平面方程.,法一,直接用公式

3、.,令,代入公式, 得切线方程,令,12,代入公式, 得法平面方程,法平面方程公式:,13,切线方程,解,将所给方程的两边对x求导, 得,法平面方程,例,切线方程和法平面方程.,推导法,法二,即,14,设曲线,练习,证,因原点(0,0,0)在法平面上,即,于是,证明此曲线必在以原点为中,的法平面都过原点,在任一点,心的某球面上.,曲线过该点的法平面方程为,故有,任取曲线上一点,15,今在曲面上任取一条,1. 设曲面的方程为F(x, y, z) = 0的情形,隐式方程,二、曲面的切平面与法线,函数F(x, y, z),的偏导数在该点连续且不同,点M 对应于参数,不全为零.,过点M 的曲线,设其参

4、数,方程为,时为零.,过点M 的曲线,过点M 的曲线,16,由于曲线在曲面上,所以,在恒等式两端对t 求全导数,并令,则得,若记向量,曲线在点M处切线的方向向量记为,则式可改写成,即向量,垂直.,17,因为曲线是曲面上过点 M 的任意一条,所有这些曲线在点 M 的切线都与同一向量,垂直,因此这些切线必共面,称为曲面在点M的,过点M且垂直于切,法线,又是法线的方向向量.,向量,称为曲,法向量.,切平面,由切线形成的这一,平面,平面的直线称为曲面在,点M的,面在点M的,曲线,18,曲面在M(x0, y0 , z0)处的法向量:,切平面方程为,法线方程为,所以曲面上在点M的,19,解,令,切平面方程

5、,法线方程,例,20,上求一点的坐标,使此点处的切平面平行于yOz平面.,解,设所求点为(x, y, z),则切平面的法向量为,练习,由题意,由此得,所求之点:,21,曲面在M处的切平面方程为,曲面在M处的法线方程为,令,或,显式方程,2. 曲面方程形为z = f (x, y)的情形,22,例,证,则法向量为,切平面方程为,设(x0, y0, z0)是曲面上任一点,23,所以这些平面都过,原点.,24,考研数学(一), 3分,的切平面的方程是( ).,练习,解,则法向量为,切平面方程为,即,平行,设(x0, y0, z0)是曲面上一点,25,例,证,的所有切平面都与一常向量平行.,则曲面在任一

6、点处的法向量:,则,即,所以, 所有的切平面均与,平行.,取,26,3. 曲面方程为参数方程的情形,(u,v为双参变量),求(u0, v0 )对应的点M0(x0, y0 , z0)处的法向量,固定v = v0, 让u变,它在M0处的切向量为,曲面的参数方程为,得到曲面上一条所谓的u,曲线,双切线法,27,(u,v为双参变量),求(u0, v0 )对应的点M0(x0, y0 , z0)处的法向量,它在M0处的切向量为,曲面的参数方程为,同样, 固定u = u0, 让v变,得到另一条所谓的v曲线,曲面的法向量,同时与,垂直,故有公式,双切线法,28,例,求马鞍面,对应点处的切平面方程.,解,u =

7、 1 , 得曲线, 即,v = 1,它们在点(u , v) = (1, 1)处的切向量分别为,在曲面上分别令,切平面的法向量为,切平面方程为,双切线法,29,例,求马鞍面,对应点处的切平面方程.,解,将每个方程的两端求微分, 得,切平面方程为,全微分法,30,令,解,切线方程和法平面方程.,垂直于,曲线在点,例,当空间曲线方程为一般式时,求切向量曾采用了推导法.,处切线向量,再用向量代数法做此题.,应同时,31,令,切线方程和法平面方程.,例,32,切线方程和法平面方程.,解,双切平面法,由于两曲面的交线的切线等,于两曲面的切平面的交线,所以求出两曲面在点P0,处的切平面方程,再将两切平面方程

8、联立即为所求.,33,一元函数微分的,(如图),三、全微分的几何意义,对应的增量.,增量时;,当y是曲线的纵坐标,dy就是切线纵坐标,回忆,几何意义,34,因为曲面在M处的切平面方程:,全微分的几何意义,表示,平面上的点的竖坐标的增量.,切平面上点的竖坐标的增量,曲面z = f (x, y)在点(x0, y0, z0)处的切,z = f (x, y)在点(x0, y0)的全微分,曲面z = f (x, y),函数z = f (x, y)在点(x0, y0)的全微分,35,其中,法向量,表示曲面的法向量的方向角,并假定法向量的方向是向上的,即使得它与,z 轴的正向所成的角,是锐角,则法向量的,方

9、向余弦为,36,思考,求旋转抛物面,因为,(第三个分量为负),解,而,为向下的法向量,故向上的法向量应为:,在任意点,在任意点P(x, y, z)处向上的法向量(即与z轴夹角为,锐角的法向量).,37,研究生考题,填空,3分,解,令,练习,的旋转面在点,处的指向外侧的单位,法向量为( ).,旋转面方程为,38,空间曲线的切线与法平面,曲面的切平面与法线,三、小结,注意: 向量的方向余弦的符号.,当空间曲线方程为一般式时,采用推导法、向量代数法或用双切面法.,求法平面可,空间曲面三种不同形式方程以及求法.,39,思考题,思考题解答,证,两边对t求导,得,设F(x, y, z)具有连续偏导数, 且对任意实数 t,有,试证曲面,40,设(x0, y0, z0)是曲面上任一点,则过这点的,切平面为,这说明曲面上任一点的切平面皆相交于原点.,41,作业,习题8.6,(348页),