中学数学教学概论第3章.pps.pps

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1、第三章 中学数学逻辑,本章将讨论以下问题： 概念与定义； 判断与命题； 推理与证明.,1 数学概念,关于概念先说明几点： 概念产生与实践； 概念属于意识领域； 概念是判断、推理的基础； 概念是发展变化的.,1 数学概念,一、概念：反映事物本质属性的思维形式. 数学概念是反映一类对象在空间形式和数量关系方面本质属性的思维形式. 例：“直角三角形”. 概念的主要作用：第一，概念是思维的细胞； 第二，概念是科学思维的总结，是进一步认识事物的工具. 二、概念的内涵与外延： 1.概念的内涵：指反映在概念中的对象的本质属性. 2.概念的外延：指具有概念所反映的本质属性的对象. 例：“平行四边形”，其内涵包

2、含着一切平行四边形所共有的两个本质属性： 四边形； 两组对边分别平行. 外延包含着：一般的平行四边形、矩形、菱形、正方形等.,1 数学概念,注意：(1)内涵是思维对象的质的反映，但并不就是思维对象的质. 例如 “偶数”. (2)外延是思维对象的量的反映，但并不就是思维对象的量. 例如 “素数”. 1996年：21257787-1（378632位）； 1998年：23021377-1（909526位）. 3.内涵与外延间的关系： 内涵与外延的反变关系： 某个概念内涵的多少与该概念外延的大小成反变关系变化.即，当增加一个概念的内涵时，它的外延就要相应的缩小；当减少一个概念的内涵时，它的外延就要相应

3、的扩大； 例如，在“平行四边形”概念的内涵中再增加一个属性“一组邻边相等”，它们总和将表达另一个新的概念“菱形”.,1 数学概念,三、概念的命名： 概念的词的表现叫概念的名称. 注意： 1.有些概念可以用不同的词来表示； 如：等边三角形、正三角形. 2.有些词可以用来表示不同的概念； 如：“根”.,1 数学概念,例：考察下面的推理是否有错？ 当 x=ay 时，两边 n 次方得 xn=anyn ，两边同减去 an 得： xnan=anynan，即 xnan=an(yn1)； 又由 x=ay 知 an-1x=any，即 an-1(xa)=an(y1) 因为当n为自然数时，二项式 yn1 都能被 y

4、1 整除， 故 an(yn1) 也能被 an(y1) 整除. 从而，xnan 对于任意的自然数 n 以及任意的实数 x 和 a 的值，都能被 an-1(xa) 的值所整除. 这是一个错误的结论！,1 数学概念,四、概念间的关系： 1.相容关系：指两个至少有一部分外延重合的概念. 同一关系：两个概念的外延完全重合. 如：等边三角形、等角三角形与正三角形； 自然数与非负整数； 注：内涵有可能不同 再如：等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线 外延相同，但内涵不同！,1 数学概念,四、概念间的关系： 1.相容关系：指两个至少有一部分外延重合的概念. 同一关系：两个概念的外延完全重合. 属种

5、关系：如果两个概念之间，一个概念的外延完全包含在另一个概念的外延之中，而且仅仅成为另一个概念外延的一部分，则这两个概念之间的关系是属种关系. 其中外延较大的概念叫做属概念，外延较小的概念叫做种概念. 如：有理数与实数；,再如：四边形、平行四边形、矩形、 菱形、正方形等概念之间的关系如图 注意： 属概念与种概念是相对的； 最邻近的属：在一个概念的各个 属概念中，其内涵与这个概念的内涵 之差最小的概念 如：菱形最邻近的属概念是平行四边形； 正方形最邻近的属概念有菱形、矩形,四 边 形,平行四边形,矩形,菱形,正方形,1 数学概念,交叉关系：如果两个概念的外延有而且只有一部分重合，则这两个概念间的关

6、系就是交叉关系. 2.不相容关系（全异关系）：如果同属下的两个种概念的外延没有重合部分，则这两个概念之间的关系叫做不相容关系.分为： 对立关系（反对关系）：如果同属下的两个具有不相容关系的种概念的外延和小于属概念的外延，则这两个概念之间的关系叫做对立关系. 例如：正有理数与负有理数、等腰梯形与直角梯形（对立关系） 矛盾关系：如果同属下的两个具有不相容关系的种概念的外延和等于属概念的外延，则这两个概念之间的关系叫做矛盾关系. 例：有理数与无理数、(同平面内)相交直线与平行直线（矛盾关系）,1 数学概念,1 数学概念,五、明确概念的逻辑方法 1.概念的限制与概括： (1)概念的限制：由外延较大的概

7、念向外延较小的概念的过渡. 例如：四边形平行四边形. 注：对任何概念的限制都有一个极限单独概念. 整数自然数素数偶素数2. (2)概念的概括：由外延较小的概念向外延较大的概念的过渡. 例如：自然数整数. 注：对任何概念的概括也有一个极限范畴. 自然数整数有理数实数复数数.,1 数学概念,2.定义： (1) 定义 揭示概念内涵的逻辑方法. (2)下定义的方式： 属种式定义(内涵定义法) 种差：被定义的概念与同一属概念之下的其他的种概念之间的属性差别 如：平行四边形、梯形与一般的四边形都是四边形的种概念，平行四边形与梯形以及一般的四边形的属性差别就是：平行四边形有两组对边分别平行 例 两组对边分别

8、平行的四边形是平行四边形. 被定义概念=最邻近的属概念+种差. 例 含有未知数的等式叫方程.,注1：利用最邻近的属加种差的方式给概念下定义需要找出被定义概念的最邻近的属概念以及种差； 注2：对于同一个概念，可以选择不同的种差，作出不同的定义 如：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形； 两组对边分别相等的四边形叫平行四边形,1 数学概念,2.定义： (1) 定义 揭示概念内涵的逻辑方法. (2)下定义的方式： 发生定义法: 指出概念所反映的对象是怎样产生出来的. 例 线段绕其一端旋转一周另一端画出的封闭曲线叫圆. 例 半圆面绕其直径旋转一周（种差）所生成的旋转体（最临近的属）叫做球.,1 数学概

9、念,外延定义法: 例 整数和分数统称有理数. 例 三角形的边和角称为三角形的元素. 递归定义: 例 幂的定义：a1=a；ak+1=aka. 例 自然数序数理论中加法的定义： a+1=a，a+b=(a+b),1 数学概念,(3)下定义的规则: 定义应当是相称的. “直径是通过圆心的弦”； 定义过宽：“直径是弦”. “无理数是无限小数”. 定义过窄：把无理数定义为有理数开不尽的方根. 定义不能循环. 例 1是直角的九十分之一；直角是90的角. 注：“循环定义”的错误常表现为“同语反复”. “直线就是笔直的线” “平行线就是两条互相平行的线”,1 数学概念,定义一般不采取否定论断的形式. 注：也有例

10、外. 如：在同一平面内不相交的两条直线叫平行线. 无限不循环小数叫无理数. 定义应当是简明清晰的. 例 两组对边平行且相等的平面四边形叫平行四边形. 注：也有例外. 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，则称这条直线和这个平面垂直. 属种式定义中，一般只能选最邻近的属. 例：“菱形是一组邻边相等的四边形”不正确. “菱形是两组对边平行且有一组邻边相等的四边形”冗长.,1 数学概念,3.划分 (1)划分：按照一定的标准，把一个属概念分为若干全异种概念，以明确概念外延的逻辑方法. (2)划分的三要素： 划分的母项：被划分的概念； 划分的子项：划分后得到的全异的各种概念； 划分的标准：划分所

11、依据的事物的某种属性. 例：实数划分为有理数和无理数. (3)划分的方法： 一次划分和连续划分； 二分法. 例 平行四边形划分为菱形和非菱形的平行四边形.,1 数学概念,（4）划分的规则： 划分后各子项应互不相容（不重）； 例 “平行四边形”分为：矩形、菱形和一般的平行四边形.（重） 各个子项必需穷尽母项（不漏）； 例 “四边形”分为平行四边形和梯形.（漏） 每一次划分时应当用同一划分标准； 例 “平行四边形”分为矩形和菱形. “三角形”分为锐角三角形、直角三角形和等腰三角形. 划分不应当越级. 例 “多边形”分为平行四边形和梯形.,第五次作业,1.指出下列概念间的关系： （1）在直角坐标平面

12、上，平行线与斜率相等的直线； （2）棱柱和正方体； （3）直棱柱与斜棱柱； （4）一元一次不等式与一元二次不等式； （5）矩形与对角线相等的平行四边形. 2.指出下列划分中的错误： （1）凸四边形分为平行四边形和梯形； （2）三角形分为等腰三角形、直角三角形、锐角三角形； （3）不等式分为有理不等式、无理不等式、含绝对值不等式、不含绝对值不等式等四类. 3.用“二分法”将“实数”划分. 4.讨论方程(5k)x2+(k1)y2=(k1)(5k)（其中 k 为实参数）所表示的曲线的类型. 5、什么是概念？概念的内涵和外延指什么？两者的关系如何？ 6、举例说明概念间的关系. 7、什么是定义？下定义有

13、哪些方法和规则？ 8、什么是划分？划分有哪些规则？,2 数学命题,一、判断 对思维对象有所断定的思维形式. 例 （1）函数 y=2x 是增函数； （2）ABCDEF； （3）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角. 判断具有两个特征： 有所断定； 有真有假. (一)简单判断：不包含其它判断的判断. 1.性质判断：断定某对象具有（或不具有）某性质的判断. （1）基本形式：S是P. 由主项（S)、谓项(P)、联项（是）（有些性质判断还有量项）等组成.,2 数学命题,（2）性质判断的分类： 全称肯定判断(A)：断定一类事物的全部对象都具有某种性质的判断. “所有S都是P”. 例 所有的四边形都是正方形

14、. 全称否定判断(E)：断定一类事物的全部对象都不具有某种性质的判断. “所有S都不是P”. 例 所有的四边形都不是正方形. 特称肯定判断(I)：断定某类事物中的部分对象具有某种性质的判断. “有些S是P”. 例 有些四边形是正方形. 特称否定判断(O)：断定某类事物中的部分对象不具有某种性质的判断. “有些S不是P”. 例 有些四边形不是正方形.,2 数学命题,单称肯定判断：断定某一特定对象具有某种性质的判断. “某S是P”. 例 e是无理数. 单称否定判断：断定某一特定对象不具有某种性质的判断. “某S不是P”. 例 e不是无理数.,2 数学命题,2.关系判断：断定事物之间关系的判断. 两

15、个对象 a 与 b 之间具有关系 R 可记为 aRb，其中，a、b为关系项（a为关系前项，b为关系后项），R为关系. （1）关系判断根据关系能否对称分为： 对称性关系：如果当“aRb”为真时，“bRa”也真，则称关系R是对称性关系. 如：朋友、等于、平行、相似等. 非对称性关系：如果当“aRb”为真时，“bRa”可真可假，则称关系R是非对称性关系. 如：了解、等. 反对称性关系：如果当“aRb”为真时，“bRa”为假，则称关系R是反对称性关系. 如：属种、等.,2 数学命题,（2）根据关系能否传递分为： 传递性关系：如果当“aRb”、“bRc”为真时，“aRc”也真，则称关系R是传递性关系.

16、如：兄弟、相似、平行等. 非传递性关系：如果当“aRb”、“bRc”为真时，“aRc”可真可假，则称关系R是非传递性关系. 如：朋友、平面直线的相交、空间直线的垂直等. 反传递性关系：如果当“aRb”、“bRc”为真时，“aRc”为假，则称关系R是反传递性关系. 如：最邻近的属、平面直线的垂直等.,2 数学命题,（3）根据关系是否自反分为： 自反性关系：对任意的a，aRa为真，则称关系R为自反性关系. 如：整除、同余等. 非自反性关系：对任意的a，aRa可真可假，则称关系R为非自反性关系. 如：了解、xy=1等. 反自反性关系：对任意的a，aRa为假，则称关系R为反自反性关系. 如：、平行、垂

17、直等. 对称的、传递的、自反的关系称为等价关系.,2 数学命题,（二）复合判断：包含其它判断的判断. 1.联言判断：断定几个对象都存在的判断. 联言判断的逻辑形式：“S是P，也是Q”.其中P、Q称为联言支. 当且仅当各联言支都真时，联言判断才真. 如：平行四边形对边相等，对角相等. 2.选言判断：断定事物若干可能情况的判断. 选言判断的逻辑形式：“P或者Q”、 “或者P，或者Q” .其中P、Q称为选言支. 相容的选言判断：几个选言支可以同时并存. 如：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补. 不相容的选言判断：几个选言支互不相容. 如：平面内两条不重合的直线或平行，或

18、相交.,2 数学命题,3.假言判断：有条件的断定某事物是否具有某种性质的判断. 如果P，那么Q.（充分条件假言判断） 如：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等. 4.负判断：一个判断的负判断，就是否定该判断的判断. 其形式为：“并非P”，或“不是P”.,2 数学命题,二、命题及其基本形式 1.命题：可以判断其真假的陈述语句. 在数学中，用来表示数学判断的语句或者符号的组合叫做数学命题.,中国是一个社会主义国家. 3+2=6. 1+101=110. 人们将在2020年登上火星. “哥德巴赫猜想”是正确的. 我喜欢贝多芬音乐. 请关门. 您身体好吗？ 我正在说谎. 小张很年轻.,2 数学命题,注1

19、：“已知其真假”与“本身能分真假”不同； 注2：命题是一种判断，这种判断在事实上正确与否在逻辑上是不重要的； 注3：命题未必一定要写成“如果，那么.”的形式； 注4：一个命题的真假可以随所处的系统而不同.,2 数学命题,2.命题的类型： （1）简单命题：表示简单判断的陈述语句. 如：2+36. （2）复合命题：表示复合判断的陈述语句. 如：2是偶数而5不是偶数.,2 数学命题,三、命题演算 1.命题的逻辑否定,其否定命题为：并非平行四边形的对角线相等.,例 设命题：平行四边形对角线相等.,2 数学命题,2.合取词： 设 p 、q 是两个命题，那么命题 “p 并且 q”（p和q）是一个新的复合命

20、题，表示为：pq，称为命题 p与 q 的合取. 例.设命题 p：平行四边形对边平行， q：平行四边形对边相等. 则 pq：平行四边形对边平行且相等. 真值表： p q pq 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0,2 数学命题,例.设命题 p：今天下雨， q：教室里有120个学生. 则 pq：今天下雨并且教室里有120个学生. 注1：在自然语言中，连接词“和”、“并且”多半用来表示两种同类事物的并列，而上例中两个并列子句在意义上是毫不相干的，我们之所以举这个例子，是想着重指出：我们现在只考虑命题与命题间的形式关系！ 注2：一个陈述句里是否包含了逻辑连接词不能仅从自然语言的句型上去看（是

21、否含有“和”、“并且”等），更重要的是要去分析那个句子所表达的逻辑思想、逻辑内容. 例.李佳和李明是堂兄；1和2是对顶角. 例 我虽然穷但很快乐. p:我穷，q：我快乐 pq：我虽然穷但很快乐.,2 数学命题,3.析取词： 设 p 、q 是两个命题，那么命题 “p 或 q”是一个新的复合命题，表示为：pq，称为命题 p与 q 的析取. 例 今天打雷或下雨. 他明天去北京或广州. 真值表： p q pq 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0,2 数学命题,4.蕴涵词： 设 p 、q 是两个命题，那么命题 “如果p，那么 q”是一个新的复合命题，表示为：pq，称为命题 p蕴涵 q.其中

22、p称为前件，q 称为后件. 例.设命题 p：河水泛滥， q：庄稼被毁坏. 则 pq：如果河水泛滥，那么庄稼被毁坏. 真值表： p q pq 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 注1：数学中的命题“AB”是指A与B具有实质关系（如因果关系、推出关系等）或意义上有关系的蕴涵关系. 注2：数学命题不仅要考虑思维形式的真假，还要考虑思维内容的真假.,2 数学命题,5.等价： 设 p 、q 是两个命题，那么命题 “p当且仅当 q”是一个新的复合命题，表示为：pq，称为命题 p与 q的等价. 例.设命题 p：ABC是等腰三角形， q：ABC中有两个角相等. 则 p q： ABC是等腰三角形当且

23、仅当ABC中有两个角相等. 真值表： p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1,2 数学命题,6.复合命题的真假值：,2 数学命题,例2.写出命题（pq）p的真值表. 解： p q pq （pq）p 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1,2 数学命题,例3.写出命题 p(qr) 的真值表. 解： p q r qr p (q r) 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0,7.逻辑等价： 如果两个命题 p、 q 的真值表完全相同，则

24、称 p、 q 逻辑等价，记为 pq .,注意：逻辑等价“”与等价“”有区别,8.命题演算规则,2 数学命题,2 数学命题,例2 将语句化简：“事情并非如此：如果他不来，那么我也不去.” 解：设命题 p ：他来；q：我去.则： 于是化简为“我去了，但他没有来.”,例3 从五个候选人a，b，c，d，e中选出一个委员会，且必须满足以下条件： （1）a 和 b 必须有一个且仅有一个在委员会里； （2）c 和 e 至少有一个在委员会里； （3）如果 d 进入委员会，则 b 也必须进入； （4）a 和 c 或者都进入，或者都不进入； （5）如果 e 进入，则 c 和 d 也须进入. 问如何组成这个委员会？

25、,2 数学命题,例4.命题的合并.,例 “平行四边形对边相等”；“平行四边形对角相等”,合并为“平行四边形对边相等且对角相等”,例 “如果a=0，则ab=0”；“如果b=0，则ab=0”,合并为：“如果a=0或b=0，则ab=0”,四、数学命题的四种形式及其关系：,1、数学命题的四种形式及其关系： (1)原命题： 若 p则 q，记为：pq； (2)逆命题： 若 q则 p，记为：qp；,互逆,互逆,互否,互否,逆否,互为,2 数学命题,数学命题的四种形式在形式上的真假关系：,2 数学命题,例1.写出命题：“如果(x1)(x2)=0，那么 x=1 或 x=2 ”的其它三种形式. 解：把这个命题用逻

26、辑式表示为： 原命题：(x1)(x2)=0(x=1) (x=2) （真命题） (1)把条件与结论互换，得到： 逆命题：(x=1) (x=2)(x1)(x2)=0 (真命题） (2)把原命题的条件和结论否定得：,2 数学命题,例2.写出命题：“如果a=0，那么ab=0 ”的其它三种形式. 解：把这个命题用逻辑式表示为： 原命题：（a=0）（ab=0） （真命题） （1）把条件与结论互换，得到： 逆命题：（ab=0）（a=0） (假命题） （2）把原命题的条件和结论否定得： 否命题：（a0）（ab0） （假命题） （3）把否命题的条件和结论互换，得： 逆否命题：（ab0）（a0） （真命题） 注意

27、：“否定命题”与“否命题”是不同的两个概念！,例3 写出命题“若a+b为奇数，则a,b中一个为奇数，一个为偶数”的逆否命题 解：设 p：a为奇数；q：b为奇数；r：a+b为奇数，则所给命题为：,其逆否命题为：,即：若a与b都是奇数或a与b都是偶数，则a+b是偶数,2 数学命题,2.逆命题的制作： （1）简单情形：在题设和题断都是简单命题时，只要把命题的题设和题断调换位置 例1.（原命题）在ABC中，若AB=AC，则C=B （逆命题）在ABC中，若C=B ，则AB=AC 例2.（原命题）若a=0，则ab=0 （逆命题）若ab=0，则a=0 （2）复杂情形：当命题的题设或题断不都是简单命题时 把全

28、部题设与全部题断交换，得到原命题的逆命题 例3.（原命题） 在ABC中，M是AB的中点，N是AC的中点，则MNBC （逆命题）在ABC中， MNBC ，则M是AB的中点，N是AC的中点,2 数学命题,将原命题的题设与题断作“等量互换” 例4.(原命题) 在ABC中，M是AB的中点，N是AC的中点，则MNBC （逆命题）在ABC中， MNBC ，M是AB的中点，则N是AC的中点 （逆命题）在ABC中， MNBC ，N是AC的中点，则M是AB的中点 即“过三角形一边的中点且平行与另一边的直线，必平分第三边” 注：为了区别，通常把部分换位得到的逆命题叫做偏逆命题；全部换位得到的逆命题叫做逆命题,偏逆

29、命题,偏逆命题,2 数学命题,例5.（原命题）在ABC 中，AB=AC，AD平分A，则ADBC，BD=CD 将题设与题断一一交换，得： （偏逆命题）在ABC 中， ADBC ，AD平分A，则AB=AC ，BD=CD 在ABC 中， BD=CD ，AD平分A，则AB=AC ， ADBC 在ABC 中， ADBC ， AB=AC ，则AD平分A ，BD=CD 在ABC 中， AB=AC ，BD=CD ，则ADBC ，AD平分A 将题设与题断二二交换，得： （逆命题）在ABC 中， ADBC ， BD=CD ，则AB=AC ， AD平分A ,2 数学命题,（3）制作逆命题时应注意的问题： 分清命题的

30、题设和题断 “如果”前面有题设 例 （原命题）在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边之半 （逆命题）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边之半，那么这条直角边所对的角等于30 （逆命题）如果三角形的一个角是30，且这角所对的边是另一边之半，那么这另一边所对的角是直角 “那么”后面有题设 例 如果两个三角形有两边对应相等，那么夹角大的所对的边也大,2 数学命题,命题的题设与题断交换位置后，要根据位置的不同，把某些词语适当改变 例1 （原命题） “等腰三角形底角相等” “底角相等的三角形是等腰三角形”（不妥）； “有两个角相等的三角形是等腰三角形”（不确切）； （逆命题）

31、“如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 例2 （原命题）在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和 “斜边的平方等于两条直角边的平方和的三角形是直角三角形”； “如果三角形一边的平方等于其它两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形”； （逆命题）如果三角形一边的平方等于其它两边的平方和，那么这条边所对的角是直角,2 数学命题,五、命题的等效性. 有几种形式的命题，它们与原命题常同真假，这种命题叫做原命题的等效命题（等价命题）. 1.逆否命题律：互为逆否的两个命题是等效命题.,2 数学命题,2.同一法则： 如果一个命题的题设和题断所涉及的事项都是唯一存在的，则原命题与其逆

32、命题是等效命题. 例 （原命题）“等腰三角形顶角平分线是底边上的中线”.（真） （逆命题）“等腰三角形底边上的中线是它的顶角平分线”.（真）,2 数学命题,3.分断式命题律： 分断式命题：如果把 n 个命题总合起来叙述成一个命题P,而该 n 个命题的条件和结论所含事项双方都面面俱到且互不相容，那么这个命题P叫做分断式命题. 例1.在一个三角形中，对等角的边相等，对大角的边较大，对小角的边较小.,2 数学命题,分断式命题的特征： 面面俱到，不能有遗漏； 互不相容，不能有重复； 一一对应，一个条件对应一个结论.,2 数学命题,分断式命题律：分断式命题与其逆命题是等效命题. 证明：假设条件与结论分别

33、为 Ai 及 Bi (i=1,2, n)，而有 AiBi. 现从这 n 个蕴涵式中取出 n1 个来，譬如AiBi (i=2,3， n)， 那么由于分断式命题的本性，这 n1 个蕴涵式联立起来表明：,第六次作业,1.什么是判断？判断有什么特征？ 2.性质判断有哪些？其结构如何？ 3.试将关系判断分类. 4.数学中常用的复合判断有哪些？试举例说明. 5.什么是命题？什么是数学命题？ 6.写出下列命题的逆命题： （1）(a0) (b0) (ab0) (a，bR)；（2）勾股定理 7.右表说明五个工具箱A，B，C，D，E所 装工具，写出一个表达式，说明如何选择 工具箱，使每种选择所包含的工具每种至 少一把. 8.证明:,