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1、第二章 函 数第一节 映射与函数,考纲解读 1. 了解函数的构成要素，了解映射的概念. 2. 在实际情况中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、 列举法、解析法）表示函数. 3. 了解简单的分段函数，并能简单应用. 知识点精讲 一、基本概念 1.映射 设 ， 是两个非空集合，如果按照某种确定的对应法则 ， 对 中的任何一个元素 ，在 中有且仅有一个元素 与之对 应，则称 是集合 到集合 的映射.,2. 象与原象,如果给定一个从集合 到集合 的映射，那么与 中的元素 对应的 中的元素 叫 的象，记作 ， 叫 的原象. 的象记为 . 3. 一一映射 设 ， 是两个集合 ， 是 到 的映射，在
2、这个映射下，对应集合 中的不同元素，在集合 中都有不同的象，且集合 中的任意一个元素都有唯一的原象，那么该映射叫 为 的一一映射. 4. 函数 设集合 是一个非空的实数集，对集合 中任意实数 ，按照确定的法则 ，集合 中都有唯一确定的实数值 与它对应，则这种对应关系叫做集合 到集合 上的一个函数，记作 ， ，其中 叫做自变量，其取值范围（数集 ）叫做该函数的定义域.如果自变量取值 ，则由法则 确定的值 称为函数在 处的函数值，记作 或 所以函数值构成的集合 叫做该函数的值域.,题型归纳及思路提示,题型10 映射与函数的概念 【例2.1】 若 构成映射，下列说法正确的有（ ）. 中任一元素在 中
3、必须有象且唯一； 中的多个元素可以在 中有相同的原象； 中的元素可以在 中无原象； 象的集合就是集合 . A. B. C. D. 【解析】 由映射的定义可知，集合 中任一元素在 中必须有象且唯一 是正确的. 集合 中的元素的任意性与集合 中元素的唯一性构 成映射的核心. 显然不正确，“一对多”不是映射；正确； 不正确，象的集合是集合 的子集，并不一定为集合 . 故选C.,题型11 同一函数的判断,【例2.3】 在下列各组函数中，找出是同一函数的一组. ( 1 ) 与 ；（2） 与 ； （3）与 【解析】（1） 的定义域为， 的定义域为 ，故该组的 两个函数不是同一函数. （2）的定义域为 ；
4、的定义域为 ，故 该组的两个函数不是同一函数. （3）两个函数的定义域为 ，且对应法则也相同，故该 组的两个函数是同一函数. 【评注】 由函数概念的两要素容易看出，函数的表示法只与定义域和对 应法则有关，而与用什么字母表示变量无关，这被称为函数表 示法的“无关特性”.,题型12 函数解析式的求法,【例2.4】 已知定义在 上的函数 满足 ，则 的表达式为_. 【解析】 ，又 或 ，故 （ ）. 【例2.8】 已知函数， ，求 ， 的表达式. 【分析】 本题考查分段函数的概念，根据函数对符合变量的要求解题. 【解析】 由 ，可得 当 时，即当 时， ；,当 时，即 时，,因此 . 【评注】 对于
5、分段函数的形式，不论是求值还是求分段函数表达式，一 定要注意复合变量的要求.,第二节 函数的定义域与值域（最值）,考纲解读 会求一些简单函数的定义域和值域. 知识点精讲 一、函数的定义域 求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零. （2）偶次方根的被开方数大于或等于零. （3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于 . （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零. （5）三角函数中的正切 的定义域是,余切 的定义域是 .,（6）已知 的定义域求解 的定义域，或已知 的定义域求 的定义域，遵循两点：定义域是指自变量的取 值范围；在同一对应法则 下，括号内式子的范围相同. （7）对于实际问题函数的
6、定义域，还需根据实际意义再限制，从 而得到实际问题函数的定义域. 二、函数的值域 求解函数值域主要有以下几种方法： （1）观察法、（2）配方法、（3）几何法、（4）均值不等式法、 （5）换元法、（6）分离常数法、（7）判别式法、（8）单调法、 （9）有界性法、（10）导数法.,题型13 函数定义域的求解,【例2.9】函数的定义域为（ ）. A. B. C. D. 【分析】 本题考查对数、分式、根式有关的函数定义域的求解. 【解析】 . 故选C.,题型14 函数定义域的应用,【例2.12】若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范 围为 . 【分析】 函数 的定义域为 ，即 在 上恒成立，再利 用指
7、数函数的单调性求解. 【解析】 由题意知 在 上恒成立，所以 ， 即有 恒成立，其等价于 则实数 的取值范围为.,题型15 函数值域的求解,【例2.17】求函数 的值域 . 【 解 析 】 令 ， ，得， . 因为函数 的对称轴 ，所 以函数在区间 上单调 递增，因此值域为 ，故函数 的值域为,【例2.18】求 的值域.,【分析】 本例中的函数是关于 的齐次分式，故可以考虑使用分离常数 法加以求解. 【解析】由题意 ，因为 ， 故 . ， ， 故所求函数的值域为 . 【评注】 本题除可以使用分离常数法求解外，还可以使用反解出 ，利 用 求解 的范围，读者可自行完成 .,第三节 函数的性质奇偶性
8、、单调性、周期性,考纲解读 1. 理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 2. 结合具体函数，了解函数奇偶性的含义. 3. 会利用函数的图像理解和研究函数的性质. 知识点精讲 1. 函数的奇偶性定义 设 ，（ 为关于原点对称的区间），如果对于任意的 ，都有 ，则称函数 为偶函数；如果对于任意的 ，都有 ，则称函数 为奇函数.,2. 函数的单调性定义,给定区间 上函数 ，若对于任意的 ，当 时，都有 （或 ），则称函数 在区间 上是单调递增（或单调递减）的，区间 为函数 的增（减）区间. 3. 函数的周期性定义 设函数 存在非零常数 ，使得对任何 ，都有 ，则函数 为周期函数， 为函数的
9、一个周期. 若在所有的周期中存在一个最小的正数，则这个最小的正数叫最小正周期. 题型归纳及思路提示,题型16 函数奇偶性的判断,【例2.24】判断下列函数的奇偶性. ( 3 ) ； （4） （5） ；（7） 【分析】 利用定义来判断函数的奇偶性分两步：（1）判断定义域的对称 性；（2）判断解析式是否满足等量关系： . 【解析】 （3）由 可知： ，故 函数 的定义域为 ，定义域不具对称 性，故 为非奇非偶函数.,（4）由 ，故函数的定义域为 ，关于 原点对称，又因此时 ，所以，所以函数,是既奇又偶函数. （5）因为对任意实数 ，都有 ，故定义域为 ，且 故 为奇函数. （7）当 时， ， ，当
10、 时， ， . 故 为奇函数. 【评注】利用定义判断函数的奇偶性要注意以下几点： （1）必须首先判断 的定义域是否关于原点对称， （2）有些函数必须根据定义域化简解析式后才可判断，否则可 能无法判断或判断错误，如本例(4).,【例2.30】函数，若 ，则 的值 为（ ）.,A. B. C. D. 【分析】 函数 中 为奇函数，利用函数的 性质求解. 【解析】 令 ，则 ，得 由 为奇函数，故 ，所以 故选B. 【评注】 本题中虽然函数整体没有奇偶性，但可利用局部的奇偶性求解.,题型17 函数的单调性（区间）,【例2.32】设 是函数 的一个减区间，则实数 的取 值范围为（ ）. A. B. C
11、. D. 【分析】 作出函数的图像，找出递减区间，从而确定 的取值范围. 【解析】 由 ，得 知 为偶函数， 其图像关于 轴对称. 只要画出当 时的图像，然后将其 关于 轴对称即可得到 部分的图像. 如图2-5所示.可知 若 为函数 的减区间， 则 . 故选B. 图 2-5,【例2.33】已知函数 是 上的偶函数，若对于 ，都有 且当 时， ，则 的值 为（ ）. A. B. C. D. 【分析】 由周期性定义，将自变量的范围转化到区间 ，再代入解 析式. 【解析】 因 是 上的偶函数，所以 ， 因为 时，都有 ，可得 ， 所以 ， 所以 ，故选C.,题型18 函数的周期性,题型19 函数性质的综合应用,【例2.39】定义在 上的函数满足 ， ， ，且当 时，则 _. 【分析】 当 时， ，可知 为非减函数，求这类函数 值时用夹逼的方法解答. 【解析】 由 ， ，可得 ， ， ， ， ， 同理， ， ， ， ，,， ， ， ，,又因为 ，所以 .,
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