概率论与数理统计第四版第三章

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1、第三章多维随机变量及其分布1. 在一箱子中装有丄只开关，其中2只是次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种试验：（1）放回抽样；（2）不放回抽样我们定义随机变量如下:_6若第一次取出的是正品，ilg若第一次取出的是次品；0,若第二次取出的是正品，Y=Y,PY=2X,PX十丫=3,PXV3丫T解(1)按古典概型计算自7只球中取4只，共有=35种取法在4只4球中，黑球有，只，红球有/只(剩下4只为片球)的取法数为:NX=i.Y=j=2zI/J4_lJi=0,1,2,3,j=0,1,2,i+于是px=o,y=0=px=o,y=1=px=1,y=0=PX=3,y=2=o.PX=0.Y=235=A-P

2、X=l.Y=2PX=2,Y=0cQR一05_35-c、PX=2,Y=1r/35=li-PX=2,Y=2cQR一05_35-PX=0oyO35=35-分布律为第三章多维随机变量及其分布#第三章多维随机变量及其分布55(2)PXY=PX=2,Y=Q十X=2,Y=1十Px=3,y=o十px=3,y=i=,122_1_A=19萸十35353535*PY=2X=PX=1,丫=2=吕00PX十Y=3=PX=1,Y=2十PX=1十PX=3,Y=0=+匕+丄=2235353535*PX3-Y=PX十y3=px=o.y=2十px=1,y=1十px=2,y=0_x._6_.=10353535_35*3. 设随机变

3、量(X,Y)的概率密度为K6-0,0x2,2y4,其他.第三章多维随机变量及其分布#(1)确定常数k.(2) 求PXl,y3.(3) 求PX15(4) 求PX十y4.第三章多维随机变量及其分布#第三章多维随机变量及其分布#(1)由门y(x9y)d%dy=1,得第三章多维随机变量及其分布#第三章多维随机变量及其分布#1=(1Ar42_K6-0xy)dx=k(6y)(1V0J第三章多维随机变量及其分布#k(122y一2)(1y=k(10y一y)J2第三章多维随机变量及其分布#第三章多维随机变量及其分布#(2)PX1,Y6=9。$ir3A(6xy)dx(6y)XX(3)PX1.5=(lyJ2Jo11

4、_8.2iy_x(121$(6兀一y)dx1-创=1_-s-Jdy-yyJ在/(小刃HO的区域/：0x2,24上作直线光十了=4(如题33图)，并记G：(%,y)|0%三9x,(4)Cr4f1.5(1)633则px十y4=p(x,y)GG/(咒9y)(lxdy27y=而0-题3.3图y)d%(1yJ2JO_ir4cS-.(b_01f41=丐J(6y)(4-y)-y1L1=乓丄2(4刃十方(4y(4yY(lyi(4=)4.设都是非负的连续型随机变量，它们相互独立.y)(x)dx.(1)证明PXY=几(兀)fv其中Fa(%)是X的分布函数,八(刃是丫的概率密度.第三章多维随机变量及其分布57第三章

5、多维随机变量及其分布#（2）设X,丫相互独立，其概率密度分別为咒0,久e勺，其他，川刃冷0,/心）=ae.0,y。9其他,第三章多维随机变量及其分布#求PXY.解（1）因X,丫为非负的相互独立的随机变量，故其概率密度为J/.V(%)y),光0,y09宀八0,其他.从而PXY=/心)/r(y)dxdy,TtyG其中G为X界定的区域，从而PXY=题34图0fx(X)fv(y)dxdy=.0户(刃J丿心)d刃dy0Jco第三章多维随机变量及其分布#cofy(y)Fx(y)dycoFx(y)fv(y)dyFx(x)fv(%)(!%.第三章多维随机变量及其分布#第三章多维随机变量及其分布#(2)由(1)

6、PXx-I1-/te1-(1咒co0人=人A+/t/I十人第三章多维随机变量及其分布61咒0,其他.y。彳其他.5. 设随机变量（X,/）具有分布函数其他.求边缘分布函数.f一厂,解Fa(x)=FCx)=0,6. 将一枚硬币掷3次，以X表示前2次中出现的次数，以丫表示3次中出现的次数求X,丫的联合分布律以及（X,Y）的边缘分布律.解法（i）将试验的样本空间及取值的情况列表如下：样本点HHHHHTHTHTHHHTTTIITTTHTTTX的值oo111100Y的值3o1co1110X所有可能取的值为0,h2；y所有可能取的值为0,1,2,3,由于试验属等可能概型，容易得到（X,Y）取=0,1,2；

7、）=0,1二，3的概率例如PX=1,丫=2=旨=亍，PX=久丫=3=PX=1,丫=3=0.可得X和丫的联合分布律和（*丫）的边缘分布律如下表所示.it）时显取，的概率为丫取，十1的概率也是,而取,，汁1以外的值是不1q1可能的（因第三次投掷不是出现就是出现T）,知PX=i=1门=0,I41,2,故知PX=Q.Y=0=PY=0X=0X=Qpx=o,y=1=py=1x=0px=0px=i,y=1=py=1x=iPx=1PX=1.Y=2=PY=X=1PX=1=PX=1=PX=2=PY=2X=2PX=2=*PX=2=*PX=2,Y=3=PY=3X=2PX=2=Xp/x=2=丄=丄9o1Jo4g弓PX=

8、O.Y=2=pX=0,Y=3=PX=l.Y=0=PX=l,y=3=PX=2,Y=0=PX=2,Y=1=0.所得x和丫的联合分布律与解法(i)相同，即为上表所示.7. 设二维随机变量(*力的概率密度为4.8y(2%)90,0x1,0%,其他.求边缘概率密度.(X,Y)的概率密度/(%,y)在区域G：外取零值如题37图有co/*(%)=|_s4.Sy(2%)(1y,0W尤W1,Io,其他2.4(20,0冬尤1,0x其他,r-1题37图4.8y(2x)(!x,0MyW1，y0,其他0WyM19其他.注：在求边缘概率密度时，需画出(X,Y)的概率密度/(%,刃工0的区域，这对于正确写出所需求的积分的上

9、下限是很有帮助的.8. 设二维随机变量(X,F)的概率密度为第三章多维随机变量及其分布#第三章多维随机变量及其分布#求边缘概率密度.解fx(x)0,/（F）=e4(1%=ye0丿0,Ie0%户.0,其他，其他,其他.9.设二维随机变量（*力的概率密度为了，%My冬1,其他.ICX2.0,（1）确定常数C（2）求边缘概率密度.解（1）由于（如题39图）21/(无9y)(1xdy=1rX(1X-12(1-0flr12cydy=c2yx-J-i2XAyx)dx=鲁9题39图Aexydxdyrl(2)/a(%)=f(x,y)dy=CJ,力0,21TTX其他8丁(1x),冬1,第三章多维随机变量及其分布

10、#0,其他.第三章多维随机变量及其分布#兀9y)dxrJ7-J70,4775/2O1c丁Xyd%90MyW19其他,F.其他.10.将某一医药公司8月份和9月份收到的青霉素针剂的订货单数分别记为X和丫据以往积累的资料知X和丫的联合分布律为第三章多维随机变量及其分布635152535455510.0G0.050.050.010.01520.070.050.010.010.01530.050.100.100.050.05540.050.020.010.010.03550.050.060.050.010.03(1) 求边缘分布律.(2) 求8月份的订单数为51时,9月份订单数的条件分布律.解(1)(

11、X.Y)关于X的边缘分布律为55PX=i=工PX=i.Y=ji=51,52,53,54,55.51将表中i那一列的各数字相加，就得到概率PX=讣，例如PX=52=0.05十0.05十0.10十0.02十0.06=0.28.可得(X,丫)关于X的边缘分布律为X515253545500.280.280.220.090.13(X,丫)关于Y的边缘分布律为55PY=j=PX=i.Y=j.j=51,52,53,54,55./=51将表中v=/那一行的各数字相加，就得到概率py=力，例如PY=53=0.05十0.10十0.10十0.05十0.05=0.35.可得(x,丫)关于y的边缘分布律为Y515253

12、545500.180.150.350.120.20(2)所需求的是条件分布律：PY=j|X=51,j=51,52,53,54,55.由PY=jX=51=H.厂严煮八知，只要将原表中第一行各数除以rX=51PX=51=0.28,即得所求的条件分布律：y=j5152535455PY=jX=51628728528528528(7.14)(686)i14neU第三章多维随机变量及其分布#11.以X记某医院一天出生的婴儿的个数显记其中男婴的个数，设X和Y的联合分布律为PX=心Y=m=(7.14)气686)im!(nm)!(7.14)(686)i14neU第三章多维随机变量及其分布#m=n=(1) 求边缘

13、分布律.(2) 求条件分布律.(3) 特別，写出当X=%时，丫的条件分布律.(1) PX=n=PX=n.Y=mm=0(7.14)气686)i-14nn!岛=匚(7.14十6.86)n=n!“、.(7.14)气6.86)etnJinrn)irei4山=0丄2n!(7.14)(686)i14neU第三章多维随机变量及其分布#coPY=m=工PX=心Y=m“=mco=工“=m(714)“(686)im!(n一m)!(7.14)工(686)im!=(7.14)严m!亦即X朮14),丫瓜714)(2)对于m=0,1,2,-,-14e(nm)!(714)“e=rr匸2(714)咛空m!旨k!PX=nY=m

14、-PX=nY=mPY=m4(714)气686厂m|(nm)!(7.14).(7.14)(686)i14neU第三章多维随机变量及其分布#(7.14)(686)i14neU第三章多维随机变量及其分布#,心5十1,.knm)!对于n=0JtPY=mx=n=PiX(7.14)(686)i14neU第三章多维随机变量及其分布#(7.14)(686)i14neU第三章多维随机变量及其分布#rn!(nrn)!(7.14)(686)i14neU第三章多维随机变量及其分布65=叮1636m14M14I=(0.51)气049)i,m=0,1,n.rrt(3)X=20时，PY=m=(O.51)m(O.49)20_

15、，m=0,1,20.m12求1例1中的条件分布律：PY=k.X=i解在1例1中，在X取为定值i之后显是在It,这，个数中等可能地取一个数，因此，条件分布律为PY=kX=i=A,k=l,2,，i.I当i=1时,条件分布律为Y=kY=k12PY=kX=2111PY=kX=1当i=2时,条件分布律为当i=3时,条件分布律为Y=k123PY=kX=3111TTT当：=4时,条件分布律为Y=k1234PY=kX=41111TTTT13.在第9题中（I）求条件概率密度fnAxy）,特別，写出当y=时X的条件概率密度.(7.14)(686)i14neU第三章多维随机变量及其分布67(2)当一1%1时9第三章

16、多维随机变量及其分布#(2)求条件概率密度条件概率密度.(3)求条件概率44光)，特別，分別写出当x=时y的0解在第9题中，有(如题39图)O1cXy9Xy19/心)=心4212=Xlo,其他.f1212,2122-xr1y=可先y题39图g了(1X),T三一Xy(lXwyMyW1v=Jy丄=_边缘概率密度为*(i%),o75/20(1)当0Vy1时,(21/4)/心)=其他.其他.y)=-0.(2)当一1%1时9第三章多维随机变量及其分布#题315图1题315图2第三章多维随机变量及其分布#711*(y(21/4)卉(21/S)%(1x)0,y1,取其他值.当X=丄时显的条件概率密度为Ofr

17、.y(yIx=)JJ0SI-0,4其他.（3）)(1y=1d备.3介心可J7-14.设随机变量（x,y）的概率密度为1,IyII0,其他.求条件概率密度/rii（y|x）./x,y（xly）解如题314图，/（F）=/.(%)=j_戈0,r1Idx1(1y=2%,0%I9其他.0y1,ldx=1+0,当0VyV1时,其他.题3.14图当一IV了冬0时,fxY(.Xy)=、11_y0,1y0,光取其他值.兀取其他值.题315图1题315图2第三章多维随机变量及其分布69题315图1题315图2第三章多维随机变量及其分布#也可写成题315图1题315图2第三章多维随机变量及其分布#题315图1题3

18、15图2第三章多维随机变量及其分布#其他./心)=J10,1(!%=!题315图1题315图2第三章多维随机变量及其分布#题315图1题315图2第三章多维随机变量及其分布#因此，当丨討1时,y%h0,X1O9y%)-.Vy取其他值.fvX(y1V咒90,15.设随机变量X(0,l),当给定0Y.(1)因/(%,y)=fvX(y|X)fx(x)h0%h0,其他，光90y0,其他./a(%)=/(x.y)=-,0%1,X仅在区域OACx.y)I0%1,0y丄上不等于零，如题3.15A图1.(2)如题315图三有,/Q)题315图1题315图2第三章多维随机变量及其分布#co户（刃=_rar，1X

19、(X=9WyOO90JyJ题315图1题315图2第三章多维随机变量及其分布#题315图1题315图2第三章多维随机变量及其分布#-0,其他.冇90VyV1,0,其他.（3）PXY=|/（尤,y）（1兀（1y=（1yxdX=。】J）（1/=二16.（1）问第1题中的随机变量X和丫是否相互独立？（2）问第14题中的随机变量X和丫是否相互独立（需说明理由）？解（1）在放回抽样时，X和丫的联合分布律与边缘分布律如下表:题315图1题315图2第三章多维随机变量及其分布#题315图1题315图2第三章多维随机变量及其分布#由于题315图1题315图2第三章多维随机变量及其分布#5PX=0.Y=0=PX

20、=0PY=0,PX=0.Y=1px=opy=1,5_岳=PX=l.Y=0=px=1py=o,i,y=1=右=PX=1PY=1,题315图1题315图2第三章多维随机变量及其分布#题315图1题315图2第三章多维随机变量及其分布#故X与丫相互独立.不放冋抽样时，X和丫的联合分布律与边缘分布律如下表:题315图1题315图2第三章多维随机变量及其分布71)=1第三章多维随机变量及其分布#独立的.(2)在第14题中有(见第14题解答):/心)=|二VI0,1-.0,0%1,其他，IyL1,、0,%,0IyI1，其他，光,0V兀1,Iyl其他.%1上/(%y)H/a(%)fv(y),故在区域G：|I

21、yX与丫不是相互独立的.17.(1)设随机变量(x,y)具有分布函数(1厂,1a.ve9.0,证明相互独立.(2)设随机变量(x,y)具有分布律PX=x.Y=y=plp)卄厂JOVpl,%,y均为正整数,问x,丫是否相互独立.其他.解(1)Fx(x)=F(咒,g)=兀$0,0冬1,X0,y1,a0,)1厂lo,Fy(y)=F(,y)=y,1,.0,x0,其他.0Wy19y1，其他.因为对于所有的兀，y都有F(%,y)=几()川(y),故X,丫相互独立.CO(2)PX=x丿p(1i)y=l)=1第三章多维随机变量及其分布#第三章多维随机变量及其分布75=“(11,2,.,其中01同理PY=y(1

22、J)1,y19三99其中。V1因为对于所有正整数小孑都有PX=X.Y=y=PX=xPY=y.故相互独立.18.设X和丫是两个相互独立的随机变量，X在区间(0,1)上服从均匀分布，丫的概率密度为1中(刃=-、0,(1)求X和丫的联合概率密度.(2)设含有a的二次方程为a十2Xa十7=0,试求a有实根的概率.题3.18图解(1)因X的概率密度为门，0%1,/心)=10,其他，且X和丫相互独立，故(X,Y)的概率密度为1十r八，0x0,/(=j-0,其他.(2)a的二次方程/十十7=0有实根的充要条件为判別式d=4F4丫$0,亦即r豪丫而PXY=P(X,y)6G,其中G由曲线y=J,y=0,%=1所

23、围成(如题318图)，即有无9G=Joe(兀=1e(1(1X0r1PX豪YJy(%y)(1X(1y=1一|e(1%=1一01)00)Jo=1-&0.8413-0.5)=0.1445.19.进行打靶，设弾着点M(X,Y)的坐标X和y相互独立，且都服从N(0,l)分布，规定点A落在区域Di=(%,y)点A落在D:=(X,y)I1V了十y冬4得1分；点人落在5=(.x,y)|X2十+4得0分.以Z记打靶的得分写出乙丫的联合概率密度，并求Z的分布律.解由题设知X,Y的概率密度为、一1一讣丿伍127Tx,y犷十y1得2分;oo%小=J且知X和y相互独立，故x和丫的联合概率密度为右二(f)oox0,“0是

24、常数引入随机变量|I,当X冬丫,.0,当XY.(1) 求条件概率密度Air(%Iy).(2) 求Z的分布律和分布函数./2f(咒9y)(1xdy=g：痣yrCOr=co解由于X和丫相互独立的概率密度=/心）/心）,即”F，%0,y0,/(兀,y)=lo其他.（1）当y0时，有1矿“，%0fxiY(x)=f(%)=0,其他.PXY=(2)(1x0产r(0)=X0久十“PXY=1-PY=故Z的分布律为z010人+fJLA人十pz的分布函数为0,Fz(z)=0z1,第三章多维随机变量及其分布#第三章多维随机变量及其分布7721.设随机变量（x,y）的概率密度为J%十y,0V兀V190VyV19/（x

25、，y）=lo,其他.分別求（1）z=x十y,（2）z=xy的概率密度.解记所需求的概率密度函数为wJ%十了，0V兀V190V了V1,f（兀9y）=）,.,J?0,其他.（1）z=X十丫co(关)fz（z）=f（xzx）dx.仅当被积函数/(x,z%)工0时，/：(z)工0我们先找出使/(x,z%)工0的心2的变化范围从而可定出(*1)中积分(相对于不同2的值)的积分限，算出这一积分就可以了.易知，仅当0%1,.0Vz咒V1,0%1,Z一IVXCZ,时4*1)的被积函数不等于零,第三章多维随机变量及其分布#参考题3.21图1,即得第三章多维随机变量及其分布#第三章多维随机变量及其分布#/心)=题

26、321图1X、Z%)(lx第三章多维随机变量及其分布79_%十(Zz)=2z一z9.0,(lz2)题321图2x)(!%,OVzVl,一光)(1兀91WZV三,其他.0z1,Kz2,其他.本题也可利用分布函数来求W如下所示.记Z=X十y的分布函数为Fz(z),参考题321图2知当2冬0时，肥(z)=0.当0V1时，Fz(z)=HZ冬z=PX十丫冬z丫.(x+y)(1xdy=(1y(%+y)(1%Jo013=z.o当12时，因/(%,刃只在矩形区域上工0,故Fz(z)PZz1一y*(x9y)d%dy(x+y)dx:=1(1yr1J2当2$2时，Q(Z)=1.故Z=X十y的分布函数为0,13=Z9

27、o1I-vzo1,zO90zh1z2,由此知Z=X十y的概率密度函数为fz（z）=*2zz0,0zh1z2,其他.(2)Z=XYP（z）=易知仅当f0Xh0xh0z如0V二V1,X时，上述积分的被积函数不等于零，如题3.即得21图3,（z）=题321图31(%+)(!%0CzVI-xx其他.021,其他.22.设X和丫是两个相互独立的随机变量，其概率密度分別为01,卄八fy(y)=2(1一z)90,/a(%)=1,0,其他，J求随机变量z=x十丫的概率密度.解法(i)利用公式y09其他.0,第三章多维随机变量及其分布#co/Hz)=、fxlzy)/y(y)(ly,按函数/.v,fv的定义知，仅

28、当(z)=fx(x)fv(z一%)(!%,知仅当0W兀W1,z兀0,时，上述积分的被积函数才不会等于0,如题322图三知即有0zl,z上1,其他./z(2)(e1)e0,0z1,zk1,其他.解法(ii)先求出Z=X十丫的分布函数Fz(z),然后将代(刃关于z求导从而得到fAz)X和丫的联合概率密度为第三章多维随机变量及其分布#/(F)0M%冬19y09其他.第三章多维随机变量及其分布81如果久:十y冬Z,那么yMZ光,这就表明区域6：(X,y)X十yz位于直线十y=2的下方现就2的不同大小，画出区域G：(%,刃十y冬2与心,刃工0的区域/)：(%,y)|0%0的公共部分(有阴影线的部分)如题

29、3巧图3所示.当2=0时，如题3.22图3(1),有Fz(z)=PZMz=PX十YMz%9y)(1xdy0(xdy=0,A/z当0VZV1时，如题3.巧图3(2),有rtF心)=PZMz=X十yz=xdyA/Z1edx=z1+e9o第三章多维随机变量及其分布#(1)x+y=zO题3匸图3x+y=z1z$1时，如题3.22图3(3),有耳(z)=HZMz=PX+Yz=Ayi+yC2f(尤，y)(lxdyr.lp2Xdxo)e0(1y111-00,z1+e,.1e+e-,(z)关于z求导数，得到Z的概率密度为z冬0,0Z1,z$11-efz(z)=(el)e-0,0h2$19其他.23.某种商品一

30、周的需求量是一个随机变量,其概率密度为t0,/()=te0.设各周的需求量是相互独立的求(1)两周，(三)三周的需求量的概率密度.解设某种商品在第i周的需求量为XKi=1,2,3),由题设匕9上，Xs相互独立，并且有te,/0,.0,te0咒十1-X-_e9故x的概率密度为/a(%)=0zy)(1广z6/(0J0,1C丄、TfJJ0R2y十y)e其他ZO90,其他.即有/(Z)=ir20zezO9第三章多维随机变量及其分布#0,第三章多维随机变量及其分布#25. 设随机变量相互独立，且具有相同的分布，它们概率密度均为/（尤）=IeI0,无19其他.求z=x十y的概率密度.解由卷积公式/心）=/

31、心）（Z兀)(1%9现在fx(x)=/心）=rIo,1-e.0,兀19.Z无19无1,其他，J1,其他.尤1,XZ一1仅迥时，上述积分的被积函数不等于零，由题3P*21X1（2X）1eedx=其他.e2(z2),0,2-1厂(11Z2其他.第三章多维随机变量及其分布#26. 设随机变量儿丫相互独立，它们的概率密度均为/(%)=e0,兀0今其他.第三章多维随机变量及其分布#第三章多维随机变量及其分布#解fx(x)兀0今其他，由公式/z（z）Ifx(x)fy(xz)dx求z=十的概率密度.y09其他.第三章多维随机变量及其分布#兀0仅当时，上述积分的被积函数不等于零，于是当2。时有COxe力（刃。

32、当z0时无（Z）=0,即x()11:山=?my第三章多维随机变量及其分布#第三章多维随机变量及其分布#Z0第三章多维随机变量及其分布8727. 设随机变量相互独立它们都在区间(0,1)上服从均匀分布A是以为边长的矩形的面积，求力的概率密度.0y1,其他.解x,丫的概率密度分別为h0,0%1,其他，/心)=面积A=XY的概率密度为.,/(X,)(1%xJX.,fx(x)yv(二)(1%,%IJJXf0X1,仅当0%z001,x时上述积分的被积函数不等于零，由题327图得rl1dx=InzxrY=1(J)x=z题327图第三章多维随机变量及其分布#第三章多维随机变量及其分布#其他.28.设/y是相

33、互独立的随机变量,它们都服从正态分布？V(0,/)试验证随机变量z=十f的概率密度为Z$。9其他.Ze67o我们称Z服从参数为(J(0)的瑞利(Rayleigh)分布.证先来求z的分布函数“(Z),由于z=Jr+r知当zvo时,Fz(z)=0当zO时有代(刃=pzz=pJr+rz=r+y2/C1Y.*u.erdr0Jo-TV厅1-讣小=一兀订Le将Fz(z)关于z求导数，得Z的概率密度为第三章多维随机变量及其分布#第三章多维随机变量及其分布#29.(1)(2)(3)解z一：/（e（f0,设随机变量（X,y）的概率密度为.0Xl,0y00,0,其他.无（z）=试确定常数b求边缘概率密度求函数U=

34、maxX,Y的分布函数.（1）由/(兀9y)(lxdy=coCOeJ01e(1xo其他.b(1-e1)ydX(2)八(3)max由(2)知/(Xyy)(l%b=311-e1.0,ir111亡1eJ0eedy=J,0%1,edx=e,y0,其他.、0,其他.由(2)知/(x,y)=f心)/y(y),故X,Y相互独立.分别记U=Y,X和丫的分布函数为几()，“()和Fy(刃,则有Fu(u)=Fx(u)Fy(u).(A)Fx(a)=fy(%)(1%=3J0,1m0今osv1,zz$109M091厂7,0uh1e.1,第三章多维随机变量及其分布910,UFy(U)=fy(y)(1y=、-sJjjeMy

35、,o丿0,将Fx(u)9Fy(u)的表达式代入(A)式，得到U=maxX.Y的分布函数为0,xo,f1e_uyFi(.u)=,0WmV19、1e,m豪130. 设某种型号的电子元件的寿命(以小时计)近似地服从正态分布N(160,20),随机地选取4只，求其中没有一只寿命小于ISO的概率.解以Xg=1,2,3,4)记所选取的第i只元件的寿命，由题设一只元件寿命小于180小时的概率为PX180=彳X，161816180-16020=1)=0.S413.可认为X-上，*,上相互独立，故选取的4只元件没有一只寿命小于180小时的概率为4n：i-PX,ISO=(10.8413)=0.00063.1=13

36、1. 对某种电子装置的输出测量了5次，得到结果为上，足，匕，匕，X-设它们是相互独立的随机变量且都服从参数4.解参数0,fx(x)=46其他.设其分布函数为F心).则当光V0时，卩心)=0,当时有D(幻=-ye-2/8dx=-=17Jo4o即有咒$O9光4=1-PZ4=1-Fz(4)=1一(1一e-)5=0.5167.第三章多维随机变量及其分布#32. 设随机变量X显相互独立，且服从同一分布，试证明：PaminX.Yb=PXaJPXbJb)证由题设X和丫相互独立，且服从同一分布，以F(光)记它们的分布函数,又记N=minX.Y的分布函数为几(z),则Fn(z)=11F(z)丁，于是PaminX

37、、Yb=1-PXb=1-F(b),从而PaminX,Yb=PXaJPXbJ33. 设儿丫是相互独立的随机变量，其分布律分別为PX=k=(),/c=0,l,2,，PY=r=r/(r),0,1,2,.证明随机变量Z=X十丫的分布律为iPZ=i=工)(/(iQ,i=0,1,2,.A=0证随机变量z=x十y的取值范围为0,1,2,.对于非负整数,Z=讣=x十y=讣可按下列方式分解为若干个两两互不相容的事件之和：z=i=x十丫=i=x=0,y=1Ux=1,y=i一1UUx=乩丫=,耐UUx=八丫=0.又由的独立性知PX=k.Y=ik=PX=kPY=ik因此=p(k)q(ik)9k=0,i,PZ=i=li

38、|JX=k.Y=ik=PX=k,Y=ikk=Q=工pCk）qi_k）、A=034. 设X,丫是相互独立的随机变量，X九人），丫皿心）证明z=x十丫朮久十凡）瓜久），y）,故p（k）=PX=k=k=O91929y一久“q(k.)=PY=k=上宁厂z=X十y可能取的值为0,1,2,.,且X,Y相互独立由33题得一（人+厶I-2kK二屛石(A.+為)(A+/t)re一门IX=0K,(入十凡)匕一5+.ci。I=U9丄9-,e门第三章多维随机变量及其分布#Z瓜久十凡）.35. 设X,Y是相互独立的随机变量，Xl）（m,），丫9“）证明Z=X十Yb（m十/K,p）因Xb（ni,p）9Yb（rK,p）9故

39、p(k)=PlX=肘=ru第三章多维随机变量及其分布#第三章多维随机变量及其分布#g(k=PY=k=X+Y可能取的值为0m9m+zt,且/y相互独立9由33题得PZ=izt712(1)第三章多维随机变量及其分布#第三章多维随机变量及其分布95i=0,1,2,ni十花“十（1=十（1”）丁丄“十（1）7Z1/K“（1屛比较上式两边展开式中（1）中厂这一项的系数，知7Z1十112=工A=01Un:从而PZ=i即Zb（iu十36.设随机变量（X,F）的分布律为“(1/ju+rS,=0Jm十01J34500.000.010.030.050.070.0910.010.020.040.050.0G0.0800.010.030.050.050.050.0G30.010.020.0