2023届高三数学小题专练——正弦定理和余弦定理2（含解析）

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1、一、单选题1已知，分别是双曲线的左右焦点，若P是双曲线左支上的点，且.则的面积为（）A8BC16D2勾股定理被称为几何学的基石，相传在商代由商高发现，又称商高定理汉代数学家赵爽利用弦图（又称赵爽弦图，它由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图1），证明了商高结论的正确性现将弦图中的四条股延长相同的长度（如将延长至）得到图2在图2中，若，、两点间的距离为，则弦图中小正方形的边长为（）ABCD3的三个内角，所对的边分别为，且a=1，B=45，其面积为2，则的外接圆的直径为（）ABC4D54刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的

2、“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形(如图所示)，当变得很大时，这个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到的近似值为（）ABCD5锐角中，角、所对的边分别为、，若、，且，则的面积为（）ABCD6已知中，分别为角的对边，则根据条件解三角形时有两解的一组条件是（）A，B，C，D，7的内角、的对边分别为、，.如果有两解，则的取值范围是（）ABCD8在ABC中，角ABC的对边分别为abc，若a=1，b=，B=60，则A=（）A30B30或150C60D60或1

3、209ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinAbsinB=4csinC，cosA=，则=A6B5C4D310今年第6号台风“烟花”于2021年7月25日12时30分前后登陆舟山普陀区.如图，点，正北方向的市受到台风侵袭，一艘船从点出发前去实施救援，以的速度向正北航行，在处看到岛在船的北偏东方向，船航行后到达处，在处看到岛在船的北偏东方向.此船从点到市航行过程中距离岛的最近距离为（）ABCD11我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“三斜求积术”，即在中，角，所对的边分别为，则的面积根据此公式，若，且，则的面积为（）ABCD12已知在ABC中，a=x，b=2，B=30，若三角

4、形有两解，则x的取值范围是（）Ax2B0x2C2x3D2x413如图所示，为测量某不可到达的竖直建筑物的高度，在此建筑物的同一侧且与此建筑物底部在同一水平面上选择相距10米的，两个观测点，并在，两点处分别测得塔顶的仰角分别为和，且，则此建筑物的高度为（）A米B米C10米D5米14公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率，他从单位圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，192，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，正一百九十二边形，的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候的近似值是3.141024，刘

5、徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想极其重要，对后世产生了巨大影响.按照上面“割圆术”，用正二十四边形来估算圆周率，则的近似值是（精确到）.（参考数据）A3.14B3.11C3.10D3.0515在中，若，则B=（）ABCD16在中，内角、所对的边分别为、，则()ABCD17在ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且b2=ac，则B的取值范围是（）A B CD18的内角，所对的边分别是，已知，则AB5CD19在中

6、，A的角平分线，则（）A2BCD20人们通常把顶角为36的等腰三角形称为黄金三角形，因为它的底边和腰长的比值等于黄金分割比，我们熟悉的五角星就是由5个黄金三角形和1个正五边形组成的，如图，三角形ABC就是一个黄金三角形，根据以上信息，可得=（）ABCD二、填空题21已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，则此球的表面积为_22“一带一路”国际合作高峰论坛（于2017年5月14日至15日）在北京举行，会议期间达成了多项国际合作协议，其中有一项是在某国投资建设一个深水港码头，如图所示，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量.已知AB=60m，BC=12

7、0m，于A处测得水深AD=120m，于B处测得水深BE=200m，于C处测得水深CF=150m，则cosDEF=_.23在中，若，则的面积是_24已知三角形的三边之比为5：7：8，则该三角形最大角的余弦值是_.25中，角所对的边分别为若且，则的面积的最大值是_26在中，若，则的大小为_27在中，若，则_.28在中，A=60，AB=1，AC=2，则BC=_.29已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，则能使成立的一组A，B的值是_30如图，在中，已知，D是边BC上一点，则_试卷第5页，共6页参考答案：1C【分析】由双曲线的定义可得，平方化简结合已知条件可得，再利用余弦定理可求得，从而可求出

8、三角形的面积【详解】因为P是双曲线左支上的点，所以，两边平方得，所以.在中，由余弦定理得，所以，所以.故选：C2C【分析】利用余弦定理可求得的值，可求得、的长，进而可得出弦图中小正方形的边长.【详解】由条件可得，在中，由余弦定理得，所以，所以，所以弦图中小正方形的边长为故选：C.3B【分析】先由三角形面积公式求得，由余弦定理求得，利用正弦定理求外接圆直径.【详解】，又，可得.设的外接圆半径为，则，.故选：B.4A【解析】首先判断等腰三角形的个数，根据割圆术的思想，等腰三角形的面积和近似为圆的面积，列出面积公式，求的近似值.【详解】圆的周角为，所以当等腰三角形的顶角为时，共割了60个等腰三角形，

9、设圆的半径为，则由题意可知，解得：，所以的近似值是.故选：A5D【分析】先由向量垂直得到，利用余弦定理求出或，利用锐角三角形排除，从而，利用面积公式求出答案.【详解】由题意得：，故，因为，所以，由余弦定理得：，解得：或，当时，最大值为B，其中，故为钝角，不合题意，舍去；当时，最大值为B，其中，故B为锐角，符合题意，此时.故选：D6C【分析】由正弦定理与大边对大角逐项判断即可求解【详解】对于A：由得：，所以，无解，A错误；对于B：由得：，所以，又，故，此时有一个解，B错误；对于C：由得：，所以，又，故，此时有两个解，C正确；对于D：由得：，所以，又，故，此时有一个解，D错误；故选：C7D【分析】

10、作出图形，根据题意可得出关于的不等式，由此可解得的取值范围.【详解】如下图所示：因为有两解，所以，解得.故选：D.8A【分析】根据正弦定理的式子，代入题中数据算出，结合ABC中AB，可得A=30.【详解】解：在ABC中，B=60，根据正弦定理，可得，又在ABC中ab，可得AB，A=30.故选：A.9A【分析】利用余弦定理推论得出a，b，c关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.【详解】详解：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推论可得，故选A【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用10C【分析】构造三角形运用正弦定理求解三角形即可得出结果.【详解】如图，中，由正弦定理得，所以船与岛的最

11、近距离：故选：C.11C【分析】先根据正弦定理可求，再求出后可求面积.【详解】因为，故由正弦定理可得：即，而，故，故，由余弦定理可得，故，故，故选：C.12D【分析】根据三角形有两个解，转化为以C为圆心，以2为半径的圆与BA有两个交点，再结合正弦定理求解.【详解】如图所示：因为AC=b=2，若三角形有两个解，则以C为圆心，以2为半径的圆与BA有两个交点，当时，圆与BA相切，不合题意；当时，圆与BA交于B点，不合题意；所以，且，所以由正弦定理得： ，则，解得，故选：D13B【分析】结合图形由余弦定理可得答案.【详解】设，则，在中，由余弦定理可得，即，整理得，解得或（舍），故选：B.14B【解析】

12、圆内接正二十四边形的中心即为圆心，连接圆心与正二十四边形的各个顶点，构成24个全等的等腰三角形，并且等腰三角形的腰长为单位圆的半径，顶角为，根据圆面积，利用三角形面积公式，计算正二十四边形的面积，求解即可.【详解】由题意可知，单位圆面积，正二十四边形的面积.则.即.故选：B【点睛】本题考查三角形面积公式，属于较易题.15C【分析】利用正弦定理计算可得；【详解】解：在中，由正弦定理可得，即，解得，因为，所以或，又，所以，所以；故选：C16A【分析】利用正弦定理并结合已知条件即可求解.【详解】由正弦定理可得，.故选：A.17A【分析】利用余弦定理解答即可.【详解】由b2=ac，得，因为0B，所以B

13、.故选：A.18A【分析】求出，利用余弦定理，解方程即可求出结果.【详解】因为，所以，又因为，所以，即，即，解得.故选：A.【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式，余弦定理，属于较易题.19C【分析】由正弦定理求得，则，从而得到，再根据正弦定理即可求出答案【详解】如图，由正弦定理可得，得，由正弦定理得，.故选：C20A【分析】由正弦定理得到，结合倍角公式，求得，再利用诱导公式，即可求解.【详解】在中，由正弦定理得，即，由倍角公式得，解得，故选：A21【分析】在，利用正弦定理可得的外接圆的半径，在直角三角形 中，根据勾股定理可得球半径，进而可求表面积.【详解】设的外心分别为 ,连接，可知外接球的

14、球心为的中点，连接 在，由正弦定理可得的外接圆的半径 ,在直角三角形 中，外接球的半径 ,所以外接球的表面积为 故答案为： 22【分析】先利用勾股定理分别求得，进而利用余弦定理求得结果【详解】如图，作交于，交于，则,，在中，由余弦定理得,故答案为：23【分析】利用倍角公式可得，利用同角三角函数基本关系式可得，利用三角形的内角和定理与两角和差的正弦公式可得，由正弦定理可得，利用三角形面积公式即可得出.【详解】，由正弦定理可得：，故答案为：.24【分析】根据大边对大角及余弦定理直接计算即可.【详解】设三边长分别为，则，即最大角的余弦值为.故答案为：25【分析】根据题设和正弦定理化简得到，再化简得到

15、，解基本不等式，即可求解.【详解】因为且，由正弦定理可得，即，可得，又由，得，所以，所以，可得的面积，当，即时取等号，所以的面积的最大值是.26或【分析】首先由正弦定理可求出，根据大边对大角的原则，由可得，即得解【详解】由正弦定理得，或故答案为：或27【解析】由内角和求得，然后由正弦定理求得【详解】，由正弦定理得，所以.故答案为：28【分析】根据给定条件利用余弦定理计算作答.【详解】在中，AB=1，AC=2，由余弦定理得：，则，所以.故答案为：29（答案不唯一）【分析】利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换公式得到等式，进而写出一组值即可.【详解】由正弦定理得：， ，（答案不唯一）.故答案为：（答案不唯一）.30【分析】在中，利用余弦定理求得，再在，利用正弦定理求解.【详解】由题，在中，所以，在中，即，所以.故答案为：答案第13页，共14页