高三数学曲线与方程及圆锥曲线.ppt

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1、1.设k1，则关于x，y的方程（1-k）x2+y2 =k2-1表示的曲线是（ ） A.长轴在y轴上的椭圆 B.长轴在x轴上的椭圆 C.实轴在y轴上的双曲线 D.实轴在x轴上的双曲线 方程可化为 所以k2-10，k+10， 所以方程表示实轴在y轴上的双曲线，选C.,C,因为k1，,2.在同一坐标系中，方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0(ab0)表示的曲线大致是（ ）,D,将方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0转化为 标准方程： 因为ab0，所以则有椭圆的焦点在y轴，抛物线的开口向左，选D. 易错点：由方程研究曲线的性质，须化为标准方程.,3.平面直角坐标系中，已知两点A(3,1

2、), B(-1,3)，若点C满足 (O为原点)，其中1,2R，且1+2=1，则点C的轨迹是（ ） A.直线B.椭圆 C.圆D.双曲线 设C(x,y)，由已知得(x,y)=1(3,1)+ 2(-1,3)， x=31-2 y=1+32， 又1+2=1，消去1,2得x+2y=5，选,A,A.,所以,4.在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点A(-6,00和C(6,0)，顶点B在双曲线 的左支上，则 =. 因为A和C恰为双曲线的两个焦点，所以由双曲线方程及定义得： 根据正弦定理知： 填.,5.我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合且单位长度相同）称为斜坐标系.平面上任意

3、一点P的斜坐标定义为：若（其中e1,e2分别为斜坐标系的x轴，y轴正方向上的单位向量，x,yR），则点P的斜坐标为（x,y）.在平面斜坐标系xOy中，若xOy=60，已知点A的斜坐标为（1,2），点B的斜坐标为（3,1）,则线段AB的垂直平分线在斜坐标系中的方程是.,x=2,设P(x,y)为线段AB垂直平分线上的任一点，则有 因为 =(1-x)e1+(2-y)e2， =(3-x)e1+(1-y)e2 所以 =(1-x)2+(2-y)2+2(1-x)(2-y)， =(3-x)2+(1-y)2+2(3-x)(1-y)， 由得x=2.填x=2. 易错点：处理新信息题应认真阅读并理解好题意.,1.曲线

4、与方程 (1)定义：在直角坐标系中，如果曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系 曲线上的点的坐标都是这个方程的解； 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.,：,(2)已知曲线求方程，已知方程画曲线是解析几何的核心内容. 已知曲线求方程实质就是求轨迹方程，其方法主要有直接法，定义法，代入法等； 已知方程画曲线就是用代数的方法，研究方程性质(x，y的取值范围，对称性等)，然后根据性质及一些基本函数(方程)的图象作出曲线.,2.圆锥曲线中的定值问题 在解析几何问题中，有些与参数有

5、关，这就构成定值问题.解决这类问题常通过取出参数和特殊值来确定“定值”是多少，再将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的. 3.圆锥曲线实际应用及其他知识交汇问题 以实际应用为背景，圆锥曲线的有关知识为手段，解决实际问题的应用题，或以圆锥曲线为载体，构建与其他数学分支相结合的问题（如数列问题）.,重点突破：已知曲线求方程 ()已知A(0,7)，B(0,-7) ，C(12,2)，则以C为一个焦点过A，B的椭圆，求该椭圆的另一个焦点F的轨迹方程. ()设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x2+2y2=4交于A，B两点，P是l上满足=1的点，求点P的轨迹方程.,()首先利用椭圆的定义可

6、知 为常数，再利用双曲线的定义即可求得轨迹方程. ()设出动点P的坐标，用直接法求出P点的轨迹方程即可，注意x的取值范围.,()由题意 又 所以故F点的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支，又c=7，a=1，所以b2=48，所以轨迹方程为 (y-1)，故填(y-1).,()设P点的坐标为(x,y)，则由方程x2+2y2=4，得 ，由于直线l与椭圆交于A，B两点，故-2x2，即A，B两点的坐标分别为A(x,)，B(x,-),则 所以即x2+2y2=6，所以点P的轨迹方程为x2+2y2=6(-2x2).,（）利用圆锥曲线的定义，求动点的轨迹应熟练掌握. （）若曲线上的动点满足的条件是一些

7、几何量的等量关系，则可利用直接法，其一般步骤是：建系，设点，列式，化简，检验.求动点的轨迹方程时要注意检验，即扣除多余的点，补上遗漏的点.,在ABC中，已知A(0，a)，B(0，-a),AC,BC两边所在的直线分别与x轴交于异于原点的点M和点N，且满足 =4a2(a为不等于零的常数)，求点C的轨迹方程. 设点C(x,y)，(x0)，M(xM,0)，N(xN,0)， 当y=a时，ACx轴， 当y=-a时，BCx轴，与题意不符，所以ya,由于A，C，M三点共线，有 解得 同理，由B，C，N三点共线，解得 因为xMxN0， 所以 化简可得点C的轨迹方程为：x2+4y2=4a2(x0).,重点突破：圆

8、锥曲线中的定值问题 已知F1，F2分别为椭圆C1：(ab0)的上、下焦点,其中F1也是抛物线C2：x2=4y的焦点,点M是C1与C2在第二象限的交点,且,()求椭圆C1的方程. ()已知点P（1,3）和圆O：x2+y2=b2,过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A,B,在线段AB上取一点Q,满足： (0且1).求证：点Q总在某定直线上. ()求出点M的坐标，利用椭圆的定义，可求得椭圆方程；()利用设而不求法，将向量问题转化为坐标关系，可得证,.,()由C2：x2=4y知F1(0,1),设M(x0,y0)(x00), 因M在抛物线C2上,故=4y0. 又|MF1|=,则y0+1=. 由解得,椭

9、圆C1的两个焦点为F1(0,1),F2(0,-1),点M椭圆上, 由椭圆定义得2a=|MF1|+|MF2| 所以a=2,又c=1,所以b2=a2-c2=3, 所以椭圆C1的方程为,()证明：设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x,y), 由 可得： (1-x1,3-y1)=-(x2-1,y2-3), x1-x2=1- y1-y2=3(1-) 由可得:(x-x1,y-y1)=(x2-x,y2-y), x1+x2=(1+)x y1+y2=(1+)y ,即,即,得： 得： 两式相加得()-2()=(1-2) (x+3y). 又点A,B在圆x2+y2=3上，且1, 所以 即x+3y=3,所以点Q

10、总在定直线x+3y=3上. 掌握求定值定点问题的常用方法，这也是高考数学命题的方向之一，应引起注意.,若M，N是椭圆 (ab0)上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM,kPN时，求证：kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.,设点P(x,y)，若M的坐标为(m,n)，点N的坐标为(-m,-n)， 其中 由 所以kPMkPN= 将代入上式得： kPMkPN= 为定值，得证.,重点突破：圆锥曲线中的存在性问题 已知两点M(2,0)，N(-2,0)，平面上动点P满足 ()求动点P的轨迹C方程. ()如果直线x+my+4=0(mR)与曲线C交于A，B两

11、点，那么在曲线C上是否存在点D，使得ABD是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.,()利用直接法，可求得点P的轨迹方程.()联立直线和曲线的方程，利用韦达定理，结合假设存在，则有 =0，可判断成立与否. ()设点P(x,y)， 由 得 化简得y2=8x为点P的轨迹方程.,()设直线x+my+4=0与曲线C交于点A(x1,y1)，B(x2,y2)， x+my+4=0 y2=8x 所以=64m2-4320，即m22, 则y1+y2=-8m，y1y2=32，且 若存在点D满足条件，可设D（,t）， 因为ABD是以AB为斜边的直角三角形，所以,由,得：y2+8my

12、+32=0，,即 +(y1-t)(y2-t)=0, 因为y1t，y2t，所以(y1+t)(y2+t)+64=0 所以t2-8mt+96=0, 所以=64m2-4960，所以m26, 当m或m-时，存在点D使得ABD是以AB为斜边的直角三角形, 又m22，所以当- m- 或m 时，满足条件的点D不存在.,，,本题主要考查求曲线方程，直线与圆锥曲线的位置关系，垂直问题，以及推理能力和运算能力，探究能力和向量法，以及“设而不求”，对于(1)根据题目给定条件直接可求得；对于(2)先假设存在，用“设而不求”研究直线与圆锥曲线的位置关系，关键是构造一元二次方程，应用根与系数的关系解题.,已知定点A(a,0

13、)(a0)，B为x轴负半轴上的动点，以AB为边作菱形ABCD，使其两对角线的交点恰好落在y轴上.,()求动点D的轨迹E的方程； ()过点A作直线l与轨迹E交于P、Q两点，设点R(-a,0)，当l绕点A转动时，证明PRQ是否可以为钝角？请给出结论，并加以证明.,()设D(x,y). 因为A（a,0），由ABCD为菱形，且AC、BD的交点在y轴上，所以B、C两点的坐标分别为(-x,0)、(-a,y). 由ACBD，得=(2x,y)(2a,-y)=4ax-y2=0，即y2=4ax. 因为ABCD为菱形，所以x0， 故轨迹E的方程为y2=4ax(x0).,()PRQ不可能为钝角，即PRQ 90.证明如

14、下：,当PQx轴时，P、Q点的坐标为(a,2a)， 又R(-a,0)，此时PRQ=90，结论成立； 当PQ与x轴不垂直时，设直线PQ的方程为y=k(x-a)， y2=4ax y=k(x-a)， 得k2x2-(2ak2+4a)x+k2a2=0.,由,设P(x1,y1),Q(x2,y2)， 则x1+x2= =(x1+a)(x2+a)+y1y2 =(x1+a)(x2+a)+k2(x1-a)(x2-a) =(1+k2)x1x2+(a-ak2)(x1+x2)+a2+a2k2 =(1+k2)a2+(a-ak2)(2a+)+a2+a2k2 = 即为锐角. 综上知PRQ90成立.,(2009山东卷)设mR,在

15、平面直角坐标系中,已知向量a=(mx,y+1),向量b=(x,y-1),ab,动点M(x,y)的轨迹为E. ()求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;,()已知m=,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且OAOB(O为坐标原点),并求该圆的方程; ()已知m=,设直线l与圆C:x2+y2=R2 (1R2)相切于A1,且l与轨迹E只有一个公共点B1.当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值.,()因为ab,a=(mx,y+1),b=(x,y-1), 所以ab=mx2+y2-1=0,即mx2+y2=1. 当m=0时,该方程表示两条直线,其方程

16、为y=1; 当m=1时,该方程表示圆; 当m0且m1时,该方程表示椭圆; 当m0时,该方程表示双曲线.,()证明：当m=时,轨迹E的方程为 设圆心在原点的圆的一条切线为y=kx+t. y=kx+t 即(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0.,解方程组,得x2+4(kx+t)2=4,要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B, 则=64k2t2-16(1+4k2)(t2-1)=16(4k2-t2+1)0, 即4k2-t2+10,即t24k2+1,且,x1+x2=,x1x2=,所以y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2,要使OAOB,需使x1x2+y1y2=0

17、,即 所以5t2-4k2-4=0,即5t2=4k2+4且t24k2+1,即4k2+420k2+5,恒成立. 又因为直线y=kx+t为圆心在原点的圆的一条切线, 所以圆的半径为,故所求圆的方程为x2+y2=. 当切线的斜率不存在时,切线的方程为 它与交于点（）或（），也满足OAOB. 综上,存在圆心在原点的圆x2+y2=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,()当m=时,轨迹E的方程为 显然，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y=k1x+t1. 因为直线l与圆C:x2+y2=R2(1R2)相切于 故由()知即 y=k1x+t1 +y2=1,A1,由,得x2+4(k1x+t1)

18、2=4,即,又因为直线l与轨迹E只有一个公共点B1,故上述方程有唯一解. 则 即 设点B1（x3,y3）. 所以,由得,因为点B1在椭圆上,所以 所以 在直角三角形OA1B1中,|A1B1|2=|OB1|2-|OA1|2= 因为当且仅当R=2时取等号,所以|A1B1|25-4=1. 即当R=（1,2）时,|A1B1|取得最大值,最大值为1.,本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题.,1.已知曲线求方程的常用方法有：定义法，直接法，代入法等，解题的一般步骤是：建系；设点；列式；代入；化简；证明.以上方法称为直接法，

19、适合于求知道动点符合的几何条件，但不知道轨迹形状的曲线方程；如果能够判断出动点的轨迹形状，又知道曲线方程的形状，则可用待定系数法求出曲线的方程；如果所求曲线上的点是已知曲线上的点的相关动点，那么它的方程可通过相关动点之间的关系，代入到已知曲线的方程中求得，此法称为间接法（代入法）.,2.解析几何与向量的交汇要紧紧抓住点的坐标，利用平面向量的坐标表示法，将问题中的向量关系转化为代数关系，再根据解析几何中已有的知识与方法求解. 3.圆锥曲线是高考的重点考查内容，在高考中除中档题或压轴题综合考查它们与其他知识的交汇之外，三种曲线间的交汇在高考中也常常出现.,4.过定点问题，定值问题，存在性问题（探究

20、性问题）等在综合问题中经常出现，解题时要注意应用转化思想，数形结合等数学思想与方法，明确解题思路，简化计算过程，常用“设而不求”“整体代换”等解题方法.,1.（2009四川卷）已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（ ） A.2B.3 C. D.,A,解法1：直线l2：x=-1为抛物线y2=4x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F（1,0）的距离，故本题化为在抛物线y2=4x上找一个点P使得P到点F（1,0）和直线l2的距离之和最小，最小值为F（1,0）到直线l1:4x-3y+6=0的距

21、离，即 故选择A.,解法2：如下图，由题意可知 本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题.,2.（2009宁夏/海南卷）已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1. ()求椭圆C的方程； ()若P为椭圆C上的动点，M为过点P且垂直于x轴的直线上的点， ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.,()设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c， a-c=1 a+c=7 所以椭圆C的标准方程为,由已知得,解得,a=4 c=3,.,()设M(x,y)，其中x-4,4. 由已知 及点P在椭圆C上可得 整理得（162-9）x2+162y2=112，其中x-4,4. ()=时,化简得9y2=112, 所以点M的轨迹方程为y=（-4 x4），轨迹是两条平行于x轴的线段.,()时，方程变形为 其中x-4,4. 当0时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足-4x4的部分; 当1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足-4x4的部分； 当1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆.,本小题主要考查抛物线的定义和几何性质等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力.,