基于格林函数对实际通行量的非线性模型

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1、2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模竞赛参赛规则（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛

2、规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）

3、：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：2 题 目 基于格林函数对实际通行量的非线性模型 关 键 词 格林希尔治模型； 非线性模型； 实际交通量； 摘 要随着人民生活水平的提高，车辆数目逐年上升，交通需求也日益增长，在城市土地资源有限的情况下，交通堵塞的概率也就大了。 本文首先运用了图表说明，主要针对视频资料中发生交通事故时至道路恢复正常这一段时间事故所处横断面实际通行能力随时间的变化过程，并对两个视频进行了比较分析。采用集散波的理论和方法，定量分析了交通事故与路段排队长度、事故横断面实际通行能力、事故持续时间、事故上游车流量的关

4、系，并建立了多元回归分析模型，进行了更为合理的计算说明。 其次，建立格林希尔治模型，在距离事故横断面140米处等条件下，对车辆排队延伸的最远距离作出较客观的估算，对上游交通信号灯交叉路口进口道上的车辆排队进行了分析，从而为交通质量评价及采取的控制管理对策提供依据。 一、问题重述由于工业化和城市化进程的迅速发展，当代城市人口数和车辆数目的不断迅速增加，已形成难以遏制的趋势，并将进一步大规模快速增加，与此同时，由于城市空间和道路资源的稀缺性等各种条件的限制，因交通事故、路边停车、占道施工等因素，导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低，因而交通的便捷与舒适及人身安全仍难以达到较好的统一。由于城

5、市道路具有交通流密度大、连续性强等特点，一条车道被占用，也可能降低路段所有车道的通行能力，即使时间短，也可能引起车辆排队，出现交通阻塞。如处理不当，甚至出现区域性瘫痪。车道被占用的情况种类繁多、复杂，正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度，将为交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供理论依据。本文以发生在某一段城市道路的交通事故为例，建立模型较为精确地分析交通事故发生时横断面的实际通行能力，事故持续时间，路段车流量及其事故路段车辆排队长度之间的关系，并对事故发生至事故持续不撤离时，车辆排队长度达到上游路口时的时间进行了预测

6、，为城市交通道路建设提供参考。二、模型的假设与符号的说明2.1模型的假设1. 假设数据统计准确无误。2. 假设统计的车辆都为标准车辆数。3. 假设路段为理想的道路条件。2.2符号的分类说明2.2.1 符号说明 A 交通量（pcu/h） ； 持续时间（h）； 道路交通量； 在过后交通量下降后的量； 持续时间； 时间所对应的密度； 对应的密度； 因交通事故堵塞了部分车道通行能力下降后的量； 在时对应的密度； 所持续的时间； 在后随后排除故障的时间； 故障排除后通行能力恢复值； 在时所对应的密度； 时持续的时间； 故障完全排除后所对应的通行能力； 时所对应的密度； 时持续的时间； 状态到状态的波速；

7、 事故发生车辆拥堵距离； 从事故发生至故障解除所用时间；2.2.2 符号说明 事故发生地点至上游路口距离； 车辆排满路段所用的时间； 车辆排满路段时的车流密度； 事故发生后的交通量； 事故发生后车的速度； 该路段的最大速度； 三、问题的建模与求解3.1事故所处横断面实际通行能力的变化交通事故往往涉及到一车或多车一路的多方面因素，随着中国城市化进程的不断推进，交通供需矛盾不断加剧。视频资料中是单方向三车道的路段，当发车交通事故时，第二车道和第三车道完全被占用，只有第一车道能够通车，此时事故路段就相当于一个混合单方向车道，。实际通行能力是指在实际的（或预计的）道路和交通条件下，单位时间内通过道路某

8、一点的最大交通量(在混合交通道路上为标准车)，因此，我们将从视频资料里面获取的车辆数据化为标准车的数据结果如下表所示 ： 表一：事故一中实际交通量统计表车辆通行起止时间持续时间 h小型车(电动车、摩托车、三轮车）大型车(中型、重型载货汽车、30座以上大客车）标准车（车型为小型车）交通量(大型车=两个小型车，都转化为小型车）pcu/h16:42:3216:42:450.002 036156516:42:4516:47:500.084 741296116216:47:5016:50:400.048 38752108716:50:4016:51:450.018 16220116516:51:4516

9、:52:450.017 941799016:52:4517:00:050.120 78241261029 图一：事故一中实际通行能力与时间的关系 从事故发生至撤离时间，该路段的实际通行能力随时间变化过程如图1所示，根据（视频1）整理得到数据，并制出的持续时间与实际通行能力的折线图。在交通事故发生之前，此车道的通行能力属于良好状态，即处于图像的最高点。当车道某处发生了交通事故时，车道的通行能力明显受到了影响，图像表现下降，反映出此时交通逐渐出现拥堵状态，如果车流密度相对大一些时，此车道会出现停滞。经过缓慢的交通疏散后，车道的通行能力会呈上升趋势，但是幅度甚小。此时，车道的通行能力和车流密度呈负相

10、关，当车流密度大时，通行能力变小，图像下降，当车流密度小时，通行能力变大，图像表现回升。这样的状态会一直持续到交通事故解除，车道恢复正常的通行能力。3.2 横断面实际通行能力的影响通过对视频数据的观察统计分析，可以把事故二中事故发生与撤离可化简为十个阶段进行分析，通过对碰撞后的车辆数据分析可以得出事故二的实际交通量的统计表如下所示： 表二：事故二中实际交通量统计表车辆通行起止时间持续时间/h小型车(电动车、摩托车、三轮车）大型车(中型、重型载货汽车、大客车）标准车（车型为小型车）交通量(大型车=两个小型车）pcu/h17:34:17-17:41:450.120 12329181145417:4

11、1:45-17:49:000.140 12027174125517:49:00-17:50:150.010 14218147917:50:15-17:51:750.020 16424139817:51:75-17:54:500.040 481068135217:54:50-17:55:830.020 16526222917:55:83-17:58:550.040 461168123617:58:55-18:00:140.020 13421103518:00:14-18:02:160.030 34442124118:02:16-18:03:290.010 255351522 再次对事故一与事故二

12、的数据进行对比分析，可以观察出事故二的车流量总是大于事故一，而且从视频中可以发现事故二发生时间为17:30以后，那么就可以判断出此时为下班高峰期的交通量通行数据。对比两图的数据可以从中发现他们的实际通行量都是先一直呈现下降趋势，最后在撤离时有些许回升，再通过matlab制图分析两次的实际通行能力，所得结果如下图所示： 图二：事故一、二中实际通行能力对比图 通过数据与图像的双重分析，发现两次所得出的结果都是一致的。那么就可以得出在交通堵塞这段时间内实际通行能力的趋势为开始一直呈现下降趋势，最后在撤离时有些许回升，但是事故二的交通量总大于事故一。3.3 排队长度模型建立3.3.1 车流密度 道路一

13、旦发生交通事故，就可能导致道路交通中断或者完全中断，此时就要合理正确地控制车辆的流入量，我们就得正确估算当发生交通事故等突发状况时车辆排队向上游的延伸的最远距离，本问题将用运集散波的理论和方法，获得较为正确的答案。 根据视频资料计算出在一定的时间段对应的车流密度，可以得到的车流密度统计表如下所示： 表三：事故一中的车流密度 时间间隔（s）车辆数（辆）车流密度（辆/米）117150.13 307150.13 611140.12 783210.18 845290.24 907270.23 时间间隔（s）车辆数（辆）车流密度（辆/米）32620.02 774160.13 1273170.14 130

14、9250.21 1379330.28 1560290.24 1622320.27 1800330.28 1873370.31 1995380.32 表四：事故二中的车流密度 3.3.2集散波原理随着城市化进程的日益加剧，交通事故的发生频率也越来越高，城市主干道的拥挤也给市民的出行带来了不便，所以在交通量变化中可以采取集散波原理来解决排队长度的问题，同时还要采用概率论知识和排队论知识来解决排队长度与实际交通量、拥塞时间、上游的车流量的关系。当堵车发生在不同的路段不同的时间段时，在不同的时间段内所通过的交通量是完全不同的，同时还要考虑公路等级及所处地段，通过以上影响量的分析，可以得出要运用集散波原

15、理，原理方程式 7如下所示： （1） （2） （3） (4) (5)通过上述关系式的理解与分析可以发现以上五个集散波原理方程式里包含了时间段数据、车流密度、实际交通量数据的影响，但是还是缺少上游的交通量。上游交通量作为一个随机数据，因此就要引进随机数据分析法来分析。在交通流理论中上游交通量满足随机分布中的泊松分布，那么就可引入上游交叉路口与泊松分布的关系表达式如下所示： (6) (7) 结合以上方程表达式就可以带入到视频采集来的数据中进行理论值的验证与分析，计算出模型中影响排队长度的部分量的数值，其次还可以计算出泊松分布式子中的正确分布量。3.4多元非线性回归分析由于上述交通量来时是随机的，而

16、且运用了随机过程的泊松分布过程量，所以可以认为此方程并非线性方程，而是非线性方程。那么就要运用非线性规划的Matlab解法来求解函数关系式，非线性规划的方程式如下所示： （8） 从上述的八个方程式联立可以解出排队长度与其他三个变量之间的关系式，而且关系是所呈现的方式为非线性方程。3.5格林希尔治模型对排队长度的计算乔治格林函数法对函数的值进行了规划，并把函数值化为与时间、车流量、运行最大速度的函数关系式，并且还已知上游实际交通量为1600pcu/h与上游距离为140m,所得到的乔治格林函数法的关系是如下所示： (10)通过上述方程，带入视频中所得出的数据计算时间t,并带入到原始方程中验证，证明

17、乔治格林函数计算方法与原函数有些许偏差，但是数据t值与真实值之间相差较小，属于真实可用值。四、 模型的影响与提出调整项目通过上述模型的建立、数据的综合分析，城市道路一旦发生交通事故，就会堵塞部分车道甚至完全切断交通，此时车辆停车或排队向上游迅速延伸，甚至使上游若干路口全部拥堵。资料视频显示为下班高峰期左右，我们可以从图中清楚看出道路实际通行量随时间的变化趋势，当交通事故发生时占用的车道不同时，对道路实际通行量也有一定的影响。从车辆排队长度、事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量之间的关系可以看出，他们之间或多或少的影响着城市道路的畅通状况。运用格林希尔治模型分析了在一定的路段长度

18、、车流量等条件下交通堵塞时所持续的时间，但是由于资料视频只是反映该路段两次事故的道路状况，所以收集的数据资料较少，不足以精确的说明问题，但可以从整体上能看出交通事故对道路实际通行能力的影响。五、模型的评价(一) 优点1) 首先对交通事故影响与通行能力间的相关性进行预处理,简化了计算.2) 模型中收集并处理了大量的可信数据,通过各种数学方法与MATLAB、excel等数学软件将数据资料转化成理论,使模型求解符合实际,分析有据,更具有可靠性.3) 通过对数据多次分析,减少盲目性,使得出的结果便于分析、更加准确、更具有一般性.4) 本模型具有普遍应用性,适合绝大多数情况下车道被占用对城市道路通行能力

19、影响的分析.5) 在对交通流量处理时,考虑到种类的繁多,将车辆分类并对其进行换算,避免了运用数据时出现混乱.6) 论文中matlab图形与excel数据表相结合更加形象真实的阐述了实际交通量与排队长度.(二) 缺点1) 由于分析的事例具有局限性，故模型求解必带有一定的主观性。2) 在求解一些问题时由于数据量很大,只能采取一些简化的措施,在一定程度上影响了结果的精度。3) 在处理数据和求解过程中不可避免的出现各种误差，影响到模型求解的精确度。六、 参考文献1美国交通运输研究委员会.公共交通通行能力和质量服务手册.北京：中国建筑工业 出版社，2010.012Mark M.Meerschaert杨淳

20、,刘来福,黄海洋译,Mathematl9ical Modeling(Third Edition)数学建模方法与分析.北京:机械工业出版社,2009.053卓金武,魏永生,秦 建,李必文.MATLAB在数学建模中的应用.北京:航空航天大学出版社,2011.044方道元,韦明俊.数学建模方法引导与案例分析.杭州:浙江大学出版社,2011.025刘承平.数学建模方法.北京：高等教育出版社，2002.076姜启源,谢金星.数学建模案例选集.北京:高等教育出版社,2006.067张郃生，易操，高红宾.交通工程学基础.北京：人民交通出版社，2008.078张亚平.道路通行能力理论.黑龙江：哈尔滨工业大学出

21、版社，2007.049陈宽民，严宝杰.道路通行能力分析.北京：人民交通出版社，2003.10附录：1、matlab源程序t=0:0.01:0.14;y=0:2500:300;t=0.002,0.002+0.084,0.002+0.084+0.048,0.002+0.084+0.048+0.018,0.002+0.084+0.048+0.017,0.002+0.084+0.048+0.017+0.120;y=1565,1162,1087,1165,990,1029;xlabel(持续时间(h),ylabel(交通量(pcu);plot(t,y,r);hold on;t1=0.120,0.26,0.27,0.29,0.33,0.35,0.39,0.41,0.44,0.45;y1=1454,1255,1479,1398,1352,2229,1236,1035,1241,1255;plot(t1,y1,b)9