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1、第十章 曲线积分与曲面积分 习题课（二）,对坐标的曲线积分（第二型曲线积分）,一、对坐标的曲线积分的概念,1定义,2物理意义,变力 沿 所作的功.,二、对坐标的曲线积分的性质,1线性性质：,若 （方向不变），则,设 是 的反向曲线弧，则,3. 与积分曲线的方向有关性：,2可加性：,三、对坐标的曲线积分的计算方法,（化为定积分计算）,（1）参数方程：,1直接计算法：,设 从 变到 ; 则,设 ; 从 变到 ; 则,设 从 变到 ; 则,（2）直角坐标：,设 从 变到 ; 则,注: 下限 起点 上限 终点,3利用积分与路径无关的条件计算法.,与路径无关,单连域.,单连域.,2格林（Green）公式
2、计算法,（注意使用条件！）,（这里 为区域 的正向边界曲线),，为区域内任意闭曲线.,四、两类曲线积分之间的联系,其中 为有向曲线弧 在点 处的切向量的方向角.,五、对坐标的曲线积分的解题方法,4斯托克斯（Stokes）公式计算法,（这里 是有向曲面 的正向边界曲面),No,积分与路径无关,封闭,取特殊曲线,转化为定积分,积分与路径相关,封闭,确定D,应用Green公式,对L补上特殊曲线,在封闭曲线 上应用Green公式,转化为 定积分,Yes,No,Yes,No,Yes,解题方法流程图,由上图可以看出，计算第二型曲线积分时，首先要找出函数,及积分曲线 然后判断等式 是否,成立？若上述等式成立
3、，则曲线积分在单连域 内与积分路径,无关. 此时的计算方法是，看积分曲线 是否封闭. 若 为封闭,曲线,则利用积分与路径无关的等价命题，便可知所求积分为零;,若上式不成立，则曲线积分与积分路径有关。此时的计算方,法是，看积分曲线 是否封闭. 若 为封闭曲线, 则直接利用,若 不是封闭曲线, 通常采用取特殊路径的方法（如取平行于,坐标轴的折线 )来计算所给积分，即,Green公式计算所给积分，即,若 不是封闭曲线, 则计算方法一般有两种, 一种是将曲线,再计算 最后将两式相减便得原曲线积分的值,即,积分化为定积分来计算；另一方法是通过补特殊路径 , 使,与 构成封闭曲线，然后在封闭曲线 上应用G
4、reen,公式, 即,六、典型例题,分析 由于 故曲线积分与路径有关. 又因为曲线,不是封闭的，按解题方法流程图，计算本题有两种方法：一是将第二型曲线积分直接转化为定积分计算；二是采用补特殊路径，然后应用Green公式计算。本题采用第一种方法计算比较简便，这里应首先将积分曲线 的方程改写为,再代入被积函数中计算。,解：由于 所以,分析 本题为沿空间曲线的积分，从所给曲线来看，可采用参数法转化为定积分来计算，这里关键是要正确写出积分曲线的参数方程。考虑到本题为沿空间平面闭曲线的积分，故又可利用斯托克斯（Stokes）公式将曲线积分转化为曲面积分计算。,解法1：化为定积分计算. 由于,(如图)，这
5、里,所以,从 变到 。,从 变到 。,从 变到 。,从而,解法2：利用斯托克斯公式计算.,设 为平面 上 所围成部分的上侧，,由Stokes公式，得,为 在坐标面 上的投影区域，则,分析 由于 , 故曲线积分与路径有关。,又因 为封闭曲线（如图）。,且 、 在 所围区域上满足 格林公式的条件，故本题可 采用格林公式方法来计算， 即采用框图中线路221的方法。,解: 令 ， . 则,即 由于,故利用格林公式，得,解法1：化为定积分计算。,的参数方程为： , 从 变到 . 则,解法2：利用格林公式计算。,设 由所围区域为 ,则 ; 于是,分析 由例3的分析可知，曲线积分与路径有关，又因积分曲,接计
6、算法，即转化为定积分的方法计算，不难看出沿着路径,的积分，被积函数中含有 和 的项,积分的计算将是非常困难的。因此，本题采用补特殊路径，然后应用Green公式的方法计算本题，即采用框图中线路222计算。,线 不是封闭的，按框图，计算本题有两种方法；但若利用直,解: 补直线段 : , 从 变到 ; 并设曲线,所围区域为 （如图），则由Green公式，得：,又,故,分析 因 , , 则,由于 与 在原点 处不连续, 因此：,（1）若给定的曲线 所围成的闭区域不包括原点 , 则在,此区域内曲线积分与路径无关；（2）若给定的曲线 所围成,的闭区域包括原点 , 那么 、 在 所围成的闭区域上不,满足格林
7、公式（积分与路径无关的条件）。此时，我们可取,一条特殊的封闭光滑曲线 ,在 上应用Green公式,由此,将 上的曲线积分转化为 上的曲线积分.,解： 因 , , 则,故 .,（1）若给定的曲线 围成的闭区域不包括原点 . 由,知曲线积分 与路径无关, 故 .,（2）若给定的曲线 所围成的闭区域包括原点 , 则取一条,特殊的有向曲线 ( 充分小), 规定 的方向为,逆时针（如图所示）。,设 所围成的区域为 ,则在 上应用Green 公式，得,所以 . 而,故,或利用参数方程计算：令 : , , 从 到 .,所以,解：记 , . 则由于 ,则所给积分与路径无关。现取 , 从 变到 ;,则有,七、对
8、坐标的曲线积分的物理应用,求变力沿曲线所作的功： .,【例8】设位于点 的质点 对质点 的引力大小为,（ 为常数, 为质点 对质点 之间的距离), 质点,沿曲线自 运动到 .求在此运动过程,分析 设质点 对质点 的引力 .,因此，问题的关键是写出引力 的表达式.,中质点 对质点 的引力所作的功.,则所求的功为,解： 作图如右图所示，可知,引力 的方向与 一致,故 , 于是,分析 由于场力沿路径所作的功为 ,所以证明场力所作的功与所取的路径无关的问题，实质上就是证明上述曲线积分与路径无关的问题。,证明：场力沿路径所作的功为 ,令 , ; 则,由于右半平面为单连通区域，且 , 所以场力所作的功,与所取的路径无关。,
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